THE  LIBRARY 

OF 

THE  UNIVERSITY 
OF  CALIFORNIA 

LOS  ANGELES 


UNIVERSITY  of  CALIFOW 
AT 

LOS  ANGELES 
LIBRARY 


MATHEMATICAL   PAPEBS 

READ   AT  THE 

INTERNATIONAL     MATHEMATICAL 
CONGRESS. 


PRINTED    BY    J.    AND    C.    F.    CLAY, 
AT   THE    UNIVERSITY    PRESS. 


Papers  Published  by  the  American  Mathematical 
Society. —  Vol.  I. 


MATHEMATICAL    PAPEES 


READ   AT  THE 


INTERNATIONAL   MATHEMATICAL 
CONGRESS 


HELD   IN  CONNECTION  WITH  THE 


WORLD'S    COLUMBIAN    EXPOSITION    CHICAGO    1893 


EDITED   BY   THE 
COMMITTEE   OF  THE   CONGRESS 

E.   HASTINGS  MOORE 
OSKAE  BOLZA  HEINRICH  MASCHKE        HENRY  S.  WHITE 


NEW  YORK 
MACMILLAN    AND   CO. 

FOR  THE 

AMERICAN    MATHEMATICAL    SOCIETY 


1896 

1024SO 


r\  A  o          <-".'ig« 

Mathematical 

JT  5  ^  ^      Sciences 
<  Lforwy 


PREFACE. 

rTTHE  Mathematical  Congress  of  the  World's  Columbian   Ex- 
position— of  whose  proceedings   a  brief  report   follows  this 
preface — entrusted   the   publication   of  the  papers   presented  to 
the  Congress  to  the  Chicago  committee  editing  this  volume. 

Neither  the  management  of  the  Exposition  nor  the  govern- 
ment  of  the  United  States  had  made  provision  for  the  publishing 
of  the  proceedings  of  any  of  the  Chicago  Congresses.  No  publisher 
was  found  willing  to  issue  the  papers  at  his  own  risk. 

At  last  a  guaranty  fund  of  one  thousand  dollars  in  all  was 
subscribed,  six  hundred  dollars  by  the  American  Mathematical 
Society,  and  four  hundred  dollars  by  members  of  that  Society  and 
other  mathematicians.     On  the  basis  of  this  guaranty  fund  the 
•j  publication  of  the  volume  of  papers  was  made  possible,  the  Am. 
Math.  Soc.  assuming  the  financial,  and  the  Chicago  committee  the 
^4  editorial  responsibility. 

The  Editors  take  this  opportunity  to  express  their  grateful 

,  appreciation  of  the  generosity  of  the  subscribers  to  the  guaranty 

^  fund,  and  of  the  interest  in  the  undertaking  shown  by  the  officers 

of   the   Am.   Math.   Soc.      They   desire    also   to   thank    Messrs. 

Macmillan  and  Co.  for  the  satisfactory  dress  in  which  the  papers 

appear. 

THE  EDITORS. 

CHICAGO,  December  1895. 


A    BRIEF    ACCOUNT    OF    THE    CONGRESS    ON 

MATHEMATICS,   HELD  AT   CHICAGO 

IN  AUGUST,   1893* 


IN  the  schedule  put  forth  by  the  World's  Congress  Auxiliary 
of  the  World's  Columbian  Exposition  of  1893,  the 
week  beginning  on  the  twenty-first  day  of  August  Arrangements, 
was  designated  for  Congresses  on  Science  and  Philo- 
sophy. Early  in  1893  the  local  committee  for  the  Department  of 
Mathematics  and  Astronomy  had  sent  invitations  to  a  large 
number  of  eminent  specialists  in  those  sciences  in  American  and 
European  countries.  In  response  to  these  invitations,  many  con- 
tributions were  received  by  the  local  committee  before  the  opening 
of  the  Congress.  The  government  of  one  country,  Germany,  had 
delegated  an  Imperial  Commissioner  to  attend  the  Congress  in 
person,  Professor  Felix  Klein  of  Gottingen,  who  brought  nearly  all 
the  mathematical  papers  contributed  by  his  countrymen,  and 
cooperated  effectively  with  the  local  committee  in  the  preliminary 
arrangements. 

The  general  session  of  all  congresses  in  the  Department  of 
Science  and  Philosophy,  convened  in  the  Memorial 
Art   Palace,   Hall   of    Columbus,   at    10.30   A.M.    of     opening. 
Monday,  August  21st,  1893.     After  an  address  of 
welcome  by  Mr  Charles  C.  Bonney,  President  of  the  World's  Con- 
gress Auxiliary,  responses  were  made  by  foreign  delegates.     The 
assembly  then  dispersed,  to  meet  immediately  in  the  smaller  rooms 
set  apart  for  the  several  divisions. 


*  Compiled  by  H.  S.  White  from  the  official  records  of  the  Secretary,  Professor 
H.  W.  Tyler  of  Boston,  Massachusetts. 


Vlll 

The  divisions  for  Mathematics  and  Astronomy  convened  in 
Room  24  at  12  M.,  under  the  chairmanship  of  Pro- 
Mathematics       fessor  Q    w    uough  Of  Northwestern   University. 
Astronomy          After  the   introductory   address    of  the    chairman, 
Professor  Klein  addressed  the  division  upon  "The 
Present  State  of  Mathematics*."     By  vote  of  those  present  it  was 
then  resolved  to  meet  in  two  separate  sections,  for  Mathematics 
and  for  Astronomy  respectively. 

The  mathematical  section  met  at  12.30  P.M.  in  Room  25,  where 

also   all   its  subsequent   sessions  were   held.      The 
Organization. 

assembly  was  called  to  order  by  the  chairman  of  the 

local  committee,  Professor  E.  H.  Moore  of  Chicago.  For  the  pur- 
pose of  organization,  a  nominating  committee  was  chosen,  con- 
sisting of  Professor  J.  M.  Van  Vleck  of  Wesleyan  University, 
President  H.  T.  Eddy  of  Rose  Polytechnic  Institute,  and  Professor 
O.  Bolza  of  the  University  of  Chicago.  Upon  their  nomination 
the  following  officers  were  elected  unanimously : 

President,  Professor  W.  E.  STORY  of  Clark  University; 

Vice-President,  Professor  E.  H.  MOORE  of  the  Uni- 
Offlcers.  .  m  m_. 

versity  of  Chicago ; 

Secretary,  Professor  H.  W.  TYLER  of  the  Massachusetts  In- 
stitute of  Technology ; 

Executive  Committee,  the  above  officers  together  with  Professor 
FELIX  KLEIN  of  the  University  of  Gottingen,  and  Professor  H.  S. 
WHITE  of  Northwestern  University. 

After  a  short  recess  the  executive  committee  reported  a  program 
for  the  week,  according  to  which  daily  sessions  should 
begin  at  9.30  A.M.,  and  the  papers  and  lectures  re- 
ceived through  the  local  committee  and  the  commissioner  from 
Germany  should  be  presented  as  nearly  as  possible  under  the 
following  order: 

Tuesday,  August  22.          Arithmetic,  Algebra,  Multiple  Algebra: 

Wednesday,  August  23.     Algebraic    Curve-Theory,    Theory    of 

Functions  of  a  real  variable ; 


See  p.  133  of  this  volume ;  also  The  Monist,  vol.  4,  p.  1 ;  Chicago,  1893. 


IX 

Thursday,  August  24.        Theory    of  Functions   of  a   complex 

variable  ; 

Friday,  August  25.  Theory  of  Groups; 

Saturday,  August  26.        Geometry. 

The  committee  recommended  further  that  the  Congress  accept 
for   the   afternoons   of    Tuesday,    Wednesday,    and 

University 


Friday  the  invitation  of  Professor  Klein  to  visit  the     Gennan 


.  . 

German  University  Exhibit  at  the  World's  Colum- 

bian    Exposition,   and    attend    his    exhibition    and 

explanation  of  mathematical  models  and  apparatus.    These  recom- 

mendations were  adopted. 

At  the  session  of  Tuesday,  on  motion  of  Professor  E.  H.  Moore, 
the  Congress  by  acclamation  elected  as  Honorary  Honorary  Pre 
President  Professor  Felix  Klein.  sident,  Klein. 

Meantime  a  program  had  been  printed.     The  papers  at  hand 

being  too  numerous  and  extensive  for  reading  in  full 

'    .  .  Routine. 

were  given  in  abstract  by  their  authors  if  present, 

otherwise  by  members  designated  by  the  executive  committee  ;  or, 
where  this  was  not  possible,  were  read  by  title.  With  this  neces- 
sary condensation  the  Congress  listened  daily  to  the  reading  of  six 
papers  and  the  delivery  of  two  lectures,  sessions  lasting  usually 
three  to  four  hours.  On  the  three  afternoons  above  mentioned, 
the  Congress  met  at  the  German  mathematical  exhibit  in  the 
Columbian  Exposition  at  3  P.M.,  and  attended  lectures  there  given 
by  Professor  Klein  with  the  assistance  of  Professor  H.  Maschke  of 
the  University  of  Chicago. 

The  order  in  which  the  several  papers  were  read  is  a  matter 
of  indifference  ;    the  list  of  papers  appears  in  the 
Table  of  Contents  of  this  volume*.     The  names  of 
those  in  attendance,  taken  from  the  official  register 
preserved  by  the  Secretary,  are  as  follows  : 

CHARLOTTE  C.  BARNUM,  New  Haven,  Connecticut. 
WOOSTER  W.  BEMAN,  A.M.,  professor  of  mathematics,  University  of 
Michigan,  Ann  Arbor,  Michigan. 


*  A  brief  synopsis  of  these  papers  is  given  by  Professor  H.  W.  Tyler:  The 
Mathematical  Congress  at  Chicago,  Bulletin  of  the  New  York  Mathematical  Society, 
vol.  3,  pp.  14-19,  1893. 


E.    M.   BLAKE,  Ph.D.,  instructor  in   mathematics,  Columbia  College, 

New  York. 
T.  M.  BLAKSLEE,  Ph.D.,  professor  of  mathematics,  Des  Moines  College, 

Des  Moines,  Iowa. 
OSKAR  BOLZA,   Ph.D.,  associate  professor  of  mathematics,   University 

of  Chicago. 

ELLERY  W.   DAVIS,   Ph.D.,  professor  of  mathematics,   University  of 
Nebraska,  Lincoln,  Nebraska. 

HENRY  T.  EDDY,  Ph.D.,  C.E.,  President  of  Rose  Polytechnic  Institute, 

Terre  Haute,  Indiana. 
ACHSAH   M.    ELY,   B.A.,   professor   of   mathematics,    Vassar   College, 

Poughkeepsie,  New  York. 

RUFUS  L.  GREEN,  M.A.,  associate  professor  of  mathematics,  Leland 

Stanford  Junior  University,  Palo  Alto,  California. 
GEORGE  BRUCE  HALSTED,  Ph.D.,  professor  of  mathematics,  University 

of  Texas.  Austin,  Texas. 
NORBERT  HERZ,  Ph.D.,  Vienna,  Austria. 
THOMAS  F.  HOLGATE,  Ph.D.,  instructor  in  mathematics,  Northwestern 

University,  Evanston,  Illinois. 
LORRAIN  S.  HULBURT,  M.A.,  instructor  in  mathematics,  Johns  Hopkins 

University,  Baltimore,  Maryland. 
JOHN  W.  JOHNSON,  M.A.,  associate  professor  of  physics  and  astronomy, 

University  of  Mississippi. 
H.  G.  KEPPEL,  fellow  in  mathematics,  Clark  University,  Worcester, 

Massachusetts. 
FELIX  KLEIN,   Ph.D.,  professor  of  mathematics,   University  of   Gcit- 

tingen,  Germany. 
JOHN  H.  KLEIXHEKSEL,  M.A.,  professor  of  mathematics,  Hope  College, 

Holland,  Michigan. 
FRANK   H.    LOUD,    B.A.,    professor   of   mathematics   and   astronomy, 

Colorado  College,  Colorado  Springs,  Colorado. 

ALEXANDER  MACFARLANE,  Sc.D.,   LL.D.,  professor   of   physics,    Uni- 
versity of  Texas,  Austin,  Texas. 
JAMES  M°MAHON,  M.A.,  assistant  professor  of  mathematics,  Cornell 

University,  Ithaca,  New  York. 
HEINRICH    MASCHKE,    Ph.  D.,    assistant    professor    of    mathematics, 

University  of  Chicago. 
MANSFIELD    MERRIMAX,    Ph.D.,   C.E.,  professor  of   civil   engineering, 

Lehigh  University,  Bethlehem,  Pennsylvania. 


XI 

JOHN  A.  MILLER,  M.A.,  instructor  in  mathematics,  Leland  Stanford 
Junior  University,  Palo  Alto,  California. 

E.  HASTINGS  MOORE,  Ph.D.,  professor  of  mathematics,  University  of 

Chicago. 
JAMES  E.  OLIVER,  M.A.,  professor  of  mathematics,  Cornell  University, 

Ithaca,  New  York. 

MAX  OSTERBERG,  Columbia  College,  New  York. 
BERNARD  PALADINI,  Ph.D.,  University  of  Pisa,  Italy. 
JOHN  E.  PURDON,  M.D.,  Cullman,  Alabama. 
EDWARD    D.  ROE,  Jr.,   associate   professor   of    mathematics,    Oberlin 

College,  Oberlin,  Ohio. 

IDA  M.  SCHOTTENFELS,  A.B.,  Chicago,  Illinois. 
MONTAGUE  R.  SEVERSON,  M.D.,  Charlottesville,  Virginia. 
JAMES  B.  SHAW,  Jr.,  Ph.D.,  professor  of  mathematics,  Illinois  College, 

Jacksonville,  Illinois. 
WILLIAM  B.  SMITH,  Ph.D.,  professor  of  mathematics  and  astronomy, 

University  of  Missouri,   Columbia,   Missouri. 
WILLIAM  E.  STORY,  Ph.D.,  professor  of  mathematics,  Clark  University, 

Worcester,  Massachusetts. 

E.  STUDY,  Ph.D.,  professor  extraordinarius  of   mathematics,  Univer- 
sity of  Marburg,  Germany. 
HENRY    TABER,    Ph.D.,    assistant    professor    of    mathematics,    Clark 

University,  Worcester,  Massachusetts. 
HARRY  W.   TYLER,   Ph.D.,  professor  of   mathematics,   Massachusetts 

Institute  of  Technology,   Boston,  Massachusetts. 
CHARLES  A.  VAN  VELZER,  Ph.D.,  professor  of  mathematics,  University 

of  Wisconsin,  Madison,  Wisconsin. 
JOHN  M.  VAN  VLECK,  M.A.,  LL.D.,  professor  of  mathematics  and 

astronomy,   Wesleyan  University,  Middletown,  Connecticut. 

CLARENCE  A.  WALDO,  M.A.,  professor  of  mathematics,  De  Pauw 
University,  Greencastle,  Indiana. 

ARTHUR  G.  WEBSTER,  Ph.D.,  assistant  professor  of  mathematical 
physics,  Clark  University,  Worcester,  Massachusetts. 

HENRY  S.  WHITE,  Ph.D.,  associate  professor  of  mathematics,  North- 
western University,  Evanston,  Illinois. 

MARY  F.  WINSTON,  A.B.,  honorary  fellow  in  mathematics,  University 
of  Chicago. 

M.  J.  YANTZYN,  San  Francisco,  California. 


Xll 

ALEXANDER  ZIWET,  C.E.,  assistant  professor  of  mathematics,  Univer- 
sity of  Michigan,  Ann  Arbor,  Michigan 

At  the  final  session  on  Saturday,  August  26,  after  the  regular 

ci  sine          program,   certain    concluding    actions   were    taken. 

Session.          ^n  motion  of  Professor  J.  M.  Van  Vleck   it   was 

voted:  That  the  local  committee  of  the  mathematical 

Publication     sectiOn  of  this   Congress  have   authority  to    make 
authorized.  J 

arrangements  in  regard  to  the  publication  ot  the 

proceedings  and  memoirs.  On  motion  of  Professor  Moore  it 
was  voted  unanimously:  That  the  thanks  of  this  mathematical 
section  be  tendered  to  Professor  Klein  for  his  very  valuable  con- 
tributions to  the  proceedings  of  the  Congress  and  for  his  interesting 
expositions  of  the  mathematical  material  in  the  German  University 
Exhibit  at  the  Exposition. 

Remarks  were  made  by  Professor  A.  G.  Webster  of  Clark  Uni- 
versity, deprecating  the  separation,  in  our  educational  curricula, 
of  the  different  branches  of  mathematical  and  physical  science. 

President  Story  congratulated  the  section  upon  the  success  of 
their  sessions ;  and  in  behalf  of  the  section  acknowledged  its 
indebtedness  to  Professor  Klein,  and  the  indebtedness  of  American 
mathematics  in  general  to  the  influence  and  inspiration  of  German 
Universities  and  mathematicians. 

Adjournment.        The  section  then  adjourned  sine  die. 


TABLE   OF   CONTENTS.* 

PAGE 

BOLZA,  OSKAE,  of  Chicago  : 

On  Weierstrass'  systems  of  hyperdliptic  integrals  of  the  first 
and  second  kind,  Glc 1 

BURKHARDT,  HEINRICH,  of  Gottingen,  Germany : 

Ueber  einige  mathematische  Resultate  neiierer  astronomi- 
scher  Untersuchungen,  insbesondere  iiber  irreguldre  Integrate 
linearer  Differential gleichung 'en,  H4aaref.  U'5  .  .  13 

CAPELLI,  ALFREDO,  of  Naples,  Italy  : 

Qiielqites  formules  relatives  aux  operations  de  polaire,  B  4  b        35 

COLE,  FRANK  N.,  of  Ann  Arbor,  Michigan  : 

On  a  certain  simple  group,  J  4  a  y       .         .         .         .         .         40 

DYCK,  WALTHER,  of  Munich,  Germany  : 

Einleitung  zu  dem  fur  den  mathematischen  Teil  der 
deutschen  Universitatsavsstellung  ausgegebenen  Specialkatalog, 
Via 44 

ECHOLS,  WILLIAM  H.,  of  Charlottesville,  Virginia : 

On  interpolation  formulae  and  their  relation  to  infinite 
series,  H12a</ 52 

EDDY,  HEXRY  T.,  of  Terre  Haute,  Indiana : 

Modern  graphical  developments,  R  4  d  ref.  K  22  .         .         .         58 

FRICKE,  ROBERT,  of  Gottingen,  Germany  : 

Automorphe  Functionen  und  Zahlentheorie,  0  6  a  y      •         •         72 

HALSTED,  GEORGE  BRUCE,  of  Austin,  Texas : 

Some  salient  points  in  the  history  of  non-Euclidean  and 

hyper-spaces,  V  8  ref.  Q 1  b 92 

HEFFTER,   LOTHAR,  of  Giessen,  Germany  : 

Die  neueren  Fwtschritte  in  der  Theorie  der  linearen 
Differentialgleichungen,  H4a  .  .  .  .  .  .  .  96 


*  We  use  the  notation  proposed  by  "  la  commission  permanente  du  repertoire, 
biblioyraphique  des  sciences  mathematiques,"  Paris,  1893. 


XIV  TABLE   OF   CONTENTS. 


HERMITE,  CHARLES,  of  Paris,  France  : 

8ur  quelques  propositions  fondamentales  de  la  theorie  des 
f auctions  elliptiques,  F4a 105 

HILBERT,  DAVID,  of  Konigsberg,  Germany  : 

Ueber  die  Theorie  der  algebraischen  Invarianten,  B4         .       116 

HURWITZ,  ADOLF,  of  Zurich,  Switzerland : 

Ueber  die  Reduction  der  binaren  quadratischen  Formen,  1 13  a       125 

KLEIN,  FELIX,  of  Gottingen,  Germany  : 

The  present  state  of  Mathematics,  V 133 

Ueber  die  Entvricklung  der  Oruppentheorie  wahrend  der 
letzten  zwanzig  Jahre,  V9 136 

KRAUSE,  MARTIN,  of  Dresden,  Germany : 

Zur  Transformation  funften  Grades  der  hyperelliptischen 
Functionen  erster  Ordnung,  G4b  .  .  .  .  .  .  137 

LEMOINE,  EMILE,  of  Paris,  France : 

Considerations  gen&ales  snr  la  mesure  de  la  simplicite' 
dans  les  sciences  mathematiques,  K21a<5  .  .  .  .  143 

Regie  des  aiuilogies  dans  le  triangle  et  transformation 
continue,  K  2  e 155 

LERCH,  MATYAS,  of  Prague,  Austria  : 

Sur  une  intfyrale  ddfinie  qui  represente  la  fonction  £  (s} 
de  Riemann,  E5  .  .  .  .  .  .  .  .  .  165 

MACFARLANE,  ALEXANDER,  of  Austin,  Texas  : 

On  the  definitions  of  the  trigonometric  functions,  K20a     .       167 
The  principles  of  the  elliptic  and  hyperbolic  analysis,  D  6  d   .       167 

MARTIN,  ARTEMAS,  of  Washington  : 

On  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a  fifth  powei;  I19c        168 

MASCHKE,  HEINRICH,  of  Chicago  : 

Invariants  of  a  group  of  2'168  linear  quaternary  substi- 
tutions, B2d 175 

MEYER,  FRANZ,  of  Clausthal,  Germany : 

Tabellen  von  endlichen  continuirlichen  Transformations- 
gruppen,  J  4  f .  187 

MINKOWSKI,  HERMANN,  of  Bonn,  Germany : 

Ueber  Eigenschaften  von  ganzen  Zahlen,  die  durch  riium- 
liche  Anschauung  erschlossen  sind,  I  ref.  K  .  201 

MOORE,  ELIAKIM  HASTINGS,  of  Chicago : 

A  doubly-infinite  system  of  simple  groups,  J  4  a  y  ref.  1 3  C       208 


TABLE    OF    CONTENTS.  XV 


NETTO,    EUGEN,  of  Giessen,  Germany  : 

Ueber  die  arithmetisch-algebraischen  Tendenzen  Leopold 
Kronecker's,  V  9  ref.  I  &  A 243 

NOETHER,  MAX,  of  Erlangen,  Germany  : 

Consecutive  und  coincidirende  Elemente  einer  algebraischen 
Curve,  M1 1  ref.  0  1  .  - 253 

D'OCAGNE,  MAURICE,  of  Paris,  France  : 

Nomographie :  Sur  les  equations  representables  par  trois 
systemes  rectilignes  de  points  isoplethes,  A 1  b  &  X  3  .  .  258 

PALADINI,  BERNARD,  of  Pisa,  Italy  : 

Sul  moto  di  rotazione  di  un  corpo  rigido  attorno  ad  un 
punto  fisso,  Rlc 272 

DE  PEROTT,  JOSEPH  ,  of  Worcester,  Massachusetts : 

A  construction  of  Galois'  group  of  660  elements,  J  4  a  y     .       273 

PERVOUCHINE,  T.  M.,  of  Kasan,  Russia  : 

Concerning  arithmetical  operations  involving  large  num- 
bers, X 1  ref.  1 2 .  .277 

PINCHERLE,  SALVATORE,  of  Bologna,  Italy  : 

Re'sume'  de  quelques  re'sultats  relatifs  a  la  the'orie  des 
systemes  re'currents  de  fonctions,  H 11 C  ref.  H  12  D  .  .  278 

PRINGSHEIM,  ALFRED,  of  Munich,  Germany  : 

Ueber  die  nothwendigen  und  hinreichenden  Bedingungen 
fur  die  Entwickelbarkeit  von  Functionen  einer  reellen  Vari- 
ablen  nach  der  Taylor* schen  Reihe,  C  1  e  .  .  .  .  288 

Allgemeine  Theorie  der  Diveraenz  und  Convergenz  von 
Reihen  mit  positiven  Gliedern,  D  2  a  .  .  .  .  •  305 

SAWIN,  ALBERT  M.,  of  Evansville,  Wisconsin  : 

The  algebraic  solution  of  equations,  A  4  a   .         .         .         .       330 

SCHLEGEL,  VICTOR,  of  Hagen,  Germany : 

Einige  Satze  vom  Schu-erpunkt,  R  2  b .        .                 .         .       331 
Der  pythagordische  Lehrsatz  in  mehrdimensionalen  Raumen, 
Q2 337 

SCHOENFLIES,  ARTHUR,  of  Gottingen,  Germany : 

Gruppentheorie  und  Krystallographie,  B  2  d  ref.  Q  4  a         .       341 

STRINGHAM,  IRVING,  of  Berkeley,  California  : 

A  formulary  for  an  introduction  to  elliptic  functions,  F    .       350 


XVI  TABLE   OF   CONTENTS. 

PAGK 

STUDY,  E.,  of  Marburg,  Germany : 

Aeltere    und    neuere    Untersuchungen    iiber    Systeme    com- 

plexer  Zahlen,  B12c 367 

Some  researches  in  spJierical  trigonometry,  K  20  f  ref.  F  8  f  a      382 

TABER,  HENRY,  of  Worcester,  Massachusetts  : 

On  orthogonal  substitution,  B  2  C  a 395 

WEBER,  HEINRICH,  of  Gottingen,  Germany  : 

Zur  Theorie  der  ganzzahligen  algebraischen  Gleichungen,  A  4       401 

WEYR,  EDOUARD,  of  Prague,  Austria  : 

Sur  I'equation  des  lignes  gebde'siquet,  051          .         .         .       408 


ON    WEIERSTRASS'    SYSTEMS    OF    HYPER- 
ELLIPTIC  INTEGRALS  OF  THE  FIRST 
AND    SECOND    KIND. 

BY 
OSKAR   BOLZA   OF  CHICAGO. 

IN  Weierstrass'  theory  of  Abelian  functions,  certain  systems 
of  associated  integrals  of  the  first  and  second  kind  play  a  funda- 
mental part ;  they  consist  of  p  integrals  of  the  first  kind  (p  being 
the  deficiency  of  the  algebraic  curve  under  consideration)  and  p 
integrals  of  the  second  kind,  and  are  characterized  by  the  reduced 
form  of  the  bilinear  relations  between  their  periods. 

In  the  following  paper,  I  propose  to  give  a  new  exposition, 
based  on  Riemann's  methods,  of  the  theory  of  these  systems  of 
integrals — I  shall,  for  shortness,  call  them  canonical  systems — 
which  have  recently  gained  an  additional  importance  through 
their  connection  with  Klein's  researches  on  hyperelliptic  and 
Abelian  o--functions.  I  shall  confine  myself  to  the  hyperelliptic 
case,  but  the  conclusions  can  be  immediately  extended  to  the 
general  Abelian  case  provided  Riemann's  existence-theorems  are 
presupposed. 

§  1.     Construction  of  a.  canonical  system. 

2p+2  /9/,  _|_  O\ 

Let  y*  =  R(x)=  2   [™  7    \Aitf*-*  (1) 

i=0  \       *       / 

be  a  hyperelliptic  curve  of  deficiency  p,  T'  the  corresponding 
Riemann-surface  after  it  has  been  made  simply  connected  by  a  set 
of  2p  canonical  cross-cuts*: 

A!,  Ap+1 ;  A2,  Ap+2 ;  •••  Ap,  A2p (2). 

*  For  our  purpose  it  is  more  convenient  to  write  Ap+l,  Ap+2, ...  A%p,  instead  of 
the  usual  notation  Blf  B2,  ...  Bp. 

C.  P.  1 


2  OSKAR   BOLZA. 

In  order  to  obtain,  in  the  simplest  possible  way,  a  first 
canonical  system  of  integrals,  we  assume  arbitrarily  a  point 
oc  =  a,  y  =  b  in  T',  finite  and  not  a  branchpoint,  and  consider 
the  p  integrals  of  the  first  kind, 

(x-a)*~ldx 

—    -(«  =  !,  2,...  p). 

It  is  easy  to  build  up  out  of  these  integrals  p  other  integrals  of 

the  first  kind, 

w,,   wt,...wp  ...........................  (3), 

linearly  independent  and  such  that  the  expansions  of  their  deriva- 
tives according  to  powers  of  x  —  a  shall  have  the  following  form, 

-a)  ............  (4) 


where  the  letter  -p  denotes,  as  usual,  an  ordinary  power  series. 

In  the  second  place  we  consider  the  p  integrals  of  the  second 
kind, 

Z—    — 


They  have  no  other  pole  than  (a,  6)  and  admit  in  its  neighbour- 
hood the  expansions*  : 


. 

(x  —  a)a 

Subtracting  from  them  proper  linear  combinations  of  wlt  w.2,  ...  wp, 
we  easily  obtain  p  new  integrals  of  the  second  kind, 

WP+I,    Wp+2,  ...  w2p  ........................  (5), 

having  no  other  pole  than  (a,  6)  and  in  its  neighbourhood  the 
developments  : 


The  2/3  integrals 

wlt  w2,  .  .  .  wp  ; 


*  See  for  inst.  Konigsberger,   Vorlesungen  iiber  die  Theorie  der  hyperellipt- 
ischen  Integrate,  p.  13. 


HYPERELLIPTIC   INTEGRALS. 


form  a  canonical  system.     To  prove  it  we  have  only  to  consider 
the  integral 


(X,  jj,  being  any  two  of  the  numbers  1,  2, ...  2/j),  taken  along  the 
complete  rim  of  T'.  For  if  we  denote  by  Iw^  the  modulus  of 
periodicity  of  w\  at  the  cross-cut  A,,,  and  remember  the  particular 
form  of  the  expansions  (4)  and  (6),  Cauchy's  Theorems  on  residues 
furnish  the  relations* : 

in  . 


"V)=.< 


TTl 
^ 


-f*  =  -p     ...(7). 


0    „  X 

But  these  are  precisely  the  bilinear  relations  which  define  a 
canonical  system  of  integrals  of  the  first  and  second  kind. 

§  2.     Determination  of  all  canonical  systems. 
Having  thus  obtained  a  first  canonical  system,  we  proceed  to 
derive  from  it  all  possible  canonical  systems. 

It  is  an  immediate  consequence  of  the  relations  (7)  that  the 
determinant  of  the  periods  is  always  different  from  zero*f*: 

|  O>AM  |  +0(\, /&  =  !,  2,.,.2/D) (8). 

Hence  it  follows  that  every  integral  of  the  second  kind  is  ex- 
pressible as  a  homogeneous  linear  function  of  wlt  w2,  ...w^  4-  a 
rational  function  of  x,  y. 

Now  let  w1}  w2,...w2p 

be  another  canonical  system,  and  let  2&>A>,  denote  the  modulus  of 
periodicity  of  w^  at  the  cross-cut  Av,  then 

iri  .„ 
2 

-^    »   X-A*  =  -P      ..-(9). 
0     „   X  —  IJL  4=  i  p 

*  I  follow  as  nearly  as  possible  Weierstr  ass'  notations;  accordingly,  the  letters 
a,  /3,  7  will  always  be  used  to  denote  indices  running  from  1  to  p,  whereas  the  letters 
X,  n,  v  denote  indices  running  from  1  to  2p;  for  the  integrals  of  the  first  and  second 
kind  and  their  periods,  I  adopt  the  notation  used  by  Weierstr  ass  in  his  course  on 
hyperelliptic  functions  of  1881-82. 

+  See  for  inst.  Frobenius,  Journal  fiir  Math.  Bd.  89,  p.  41. 

1—2 


4  OSKAR   BOLZA. 

But  according  to  the  last  remark  the  new  system  is  expressible  in 
terms  of  the  old  in  the  form  : 

(10), 


where  the  CAM'S  are  constants  and  the  rA's  rational  functions  of 
x,  y  ;  moreover 

ca,p+0  =  0,   ra  =  0  .....................  (11), 

since  wlt  w2,  ...  wp  are  again  integrals  of  the  first  kind.    From  (10) 
follows 

a>AV  =  2  CAM  ov  ........................  (12). 

n 

Substituting  these  values  in  (9)  and  making  use  of  the  relations 
(7)  we  obtain  the  following  condition  for  the  coefficients  CAM  : 

r+1  if  fi-\  =  +  p 
2  (CA«  CMP+0  —  Cxp+a  C^)  =  <  —  1    „   fjt,  —  \  =  —  p   ...(13). 

I      0  „  /i-X+±P 

But  we  can  give  this  result  a  more  explicit  form.    The  relations 
(13)  are  the  necessary  and  sufficient  condition  that  the  cogredient 
substitution  : 

^A  =  ScxM^,  yi  =  2c^yli  ..................  (14), 

/«.  t>- 

transforms  the  reduced  alternating  bilinear  form 

2(«a2/p+a-aVHi2/a) 
a 

into  itself,  that  is  : 

2  («„  yp+a  -  xp+a  ya)  =  2  (xft  yp+p  -  x^  yp)  ......  (15). 

«  /3 

Since  cop+^  =  0  we  can  throw  the  substitution  (14)  into  the 
form* 

Xa  =  S  C0/J  OS  ft       S  faft  Xp+aL  =  SSp+ft  + 


y 

S  dfty  yy, 

ft  a  y 

and  if  we  substitute  from  these  equations  the  values  of 


*  Compare  the  agreement  concerning  the  notation  of  the  indices  in  the  footnote 
of  p.  3. 


HYPERELLIPTIC    INTEGRALS.  5 

in  (15)  we  obtain  by  comparing  corresponding  coefficients  on 
both  sides 

dpy  =  dyp  ,    faft  =  c^  . 

We  thus  reach  the  following  theorem  : 
Any  two  canonical  systems 

Wi,  w2,...w2p  and   w1}  w2,...w2p 
are  connected  by  the  following  transformation: 

wa  =  2  ca/3  Wp  , 
ft 

^caft(wp+ai-rp+a)  =  wp+ft  +  '^d?ywy  ............  (16), 

a  y 

where  the  coefficients  c00  are  subject  to  the  only  condition  that  their 
determinant  shall  be  different  from  zero 

10*140, 

and  the  coefficients  dpy  to  the  condition 

dyp  =  dpy, 
while  the  rp+a's  are  arbitrary  rational  functions  of  x,  y. 

§  3.     Periods  of  the  integrals  of  the  third  kind. 

Let  /*'*'  be  an  elementary  integral  of  the  third  kind  with  the 
parameters  £  ,  £0  and  the  limits  xlt  x0;  it  is  single-valued  in  the 
surface  T"  derived  from  T'  by  a  new  cut  from  £0  to  £1}  not  inter- 
secting the  cross-cuts  AA.  Let  further  I\  denote  the  modulus  of 
periodicity  of  /  at  the  cross-cut  AA. 

The  consideration  of  the  integral* 

fw^dl 

(WP  denoting  one  of  the  integrals  of  §  1), 

taken  along  the  complete  rim  of  T',  leads  to  the  following  ex- 
pression of  /x  in  terms  of  the  integrals  of  the  special  canonical 
system  of  §  1  : 

7A  =  2  (2o,aA  w^  -  2a>  +   x  w^)  +  2  ,-^ 

\        aA      p-t-a  p+o,  X      a     /  (,*  _  1 

a  a   Vtt  —  L 

where  w      denotes  the  integral  w^  taken  from  the  point  £0  to  ^ 


*  Compare  for  inst.  Neumann,  Abel'sche  Integrate,  p.  269. 


OSKAR   BOLZA. 


Among  the  infinity  of  elementary  integrals  of  the  third  kind 
with  the  same  parameters  fn  f0,  there  exists  one  and  but  one  for 
which  in  the  above  expression  of  the  periods  the  second  term 
disappears  (for  every  X),  viz.  the  integral 


For  this  integral  $,  the  expression  of  the  period,  S\,  takes  the 
simplified  form 


.  ..    -- 

V          aX       p-fa  p-fa,  X       a      / 

a 

But  the  same  result  which  we  have  just  proved  with  respect  to 
the  special  canonical  system  of  §  1  holds  for  every  canonical 
system,  viz.  : 

To  every  canonical  system  wlt  w2,  ...  w2p  there  belongs  one  and 
but  one  elementary  integral  of  the  third  kind,  S^0,  such  that  the 
expression  of  its  periods,  8\,  in  terms  of  the  integrals  w1}  w2,  ...  w2p 
takes  the  simplified  form 

..  ..(19). 


p-J-a, 


Proof:  Pass  from  the  original  canonical  system  of  §  1  to  the 
new  system  W1,w2,...w2p  by  the  transformation  (16);  it  is  then 
easily  seen  that  the  integral 


—  (where  r  ,  °  denotes  the  difference  of  the  values  of  the  rational 

p+a 

function  rp+0  in  the  two  points  £,  £0)  —  and  no  other  has  the 
required  properties. 

§  4.     Interchange  of  Parameter  and  Argument. 

From  the  expression  (19)  of  the  periods  of  *S*  it  follows  that 
the  theorem  on  the  interchange  of  parameter  and  argument  -f-  takes 
the  following  form  for  our  integral  S  : 

flf^-Sw"*  wXlXt  =  Su'-'&wXl?w*1*'  ......  (21). 

£,£„  p  +  a       a  XtX9  p  +  a       a 


*  We  drop  the  stroke  and  denote  by  wl . . .  Wy>  any  canonical  system,  by  S  the 
corresponding  integral  of  §  3. 

t  See  for  inst.  Konigsberger,  I.  c.  p.  65. 


HYPERELLIPT1C   INTEGRALS. 


The  left-hand  side  of  this  equation  is  itself  an  elementary 
integral  of  the  third  kind  with  the  parameters  ^  ,  £0  and  the  limits 

#i,a?<>;  we  denote  it  by  P?1*0  : 

SlSo 


,.XlX<>  /OO\ 

a     ...............  (22), 


and  obtain  (21)  in  the  form  : 


that  is  :  TFi'^  every  canonical  system  there  is  associated  a  perfectly 
definite  elementary  integral  of  the  third  kind,  Pf1?0,  defined  by  (22), 
which  remains  unchanged  if  the  parameters  and  limits  are  inter- 
changed. 

The  periods  of  this  commutative  integral  P  are  immediately 
derived  from  (19)  and  (21)  ;  they  are  : 


If  we  pass  from  the  system  w1}  w.2,  ...  w2p  to  another  canonical 
system  wlt  w.2,  ...  w2p  by  the  transformation  (16),  the  commutative 
integral  P  belonging  to  the  new  system  is  connected  with  P  by 
the  relation 

w*  =  P**._2d       •*  w«.  ...............  (25). 

ClSo  Slfo  0      aP         a  P 

a,p 

Hence  follows  the  corollary  : 

If  two  canonical  systems  lead  to  the  same  commutative  integral 
P  and  have  the  same  integrals  of  the  first  kind,  then  their  corre- 
sponding integrals  of  the  second  kind  differ  only  by  rational 
functions. 

§  5.     Connection  with  the  ©-Function. 

Weierstrass'  function*  ®(u1,u2,...Up)  depends  on  4p2  con- 
stants ("  moduli  ")  &)Afl  satisfying  the  same  bilinear  relations  (7) 
which  are  satisfied  by  the  half-periods  of  a  canonical  system,  and 
besides  a  certain  inequality  which  is  necessary  for  the  convergence 
of  the  ©-series  and  which  is  likewise  always  satisfied  by  the  half- 
periods.  It  is  therefore  allowed  to  choose  for  the  moduli  of  the 

*  See  for  inst.  Schottky,  AbeVsche  Functionen,  §  1;  our  w0jS,  wo,p+/3,  wp+0)jS, 
wp+a,p+/3  correspond  to  Schottky's  wa£,  w'0/3>  'Jo/s,  Va/s. 


8  OSKAR   BOLZA. 

©-function  the  half-periods  of  a  canonical  system  and  we  thus 
obtain  corresponding  to  every  canonical  system  a  function 


In  order  to  see  how  the  function  ®(ult  u2,  ...up)  is  affected  by 
a  passage  from  one  canonical  system  to  another,  we  make  use  of 
the  formula* 

0  (u1}  «„  .  .  .  Up)  =  ei<«»  M*--MP>  6  (VL  v2,  .  .  .  vp), 

where  ua  =  S  2&>0/3  v$, 

ft 

/  \        1    -c1  da> 

7?  (w-i  .  .  .  up)  =  ^~  2  o>p+ajY  =  -  uaup, 

AM  a/3y  OCW0y 

and  o)  =  |  <ua/3  |  . 

The  second  factor  0(vl}  v2,...vp)  is  not  changed  by  a  passage  to 
another  canonical  system,  and  this  leads  to  the  following  result  : 

If  we  pass  from  one  canonical  system  to  another  by  the  trans- 
formation (16),  the  ©-functions  corresponding  to  the  two  systems 
are  connected  by  the  relation 

®(u1,u2,...up)  =  e  «.P  "0  Ma^  ©  (M!,  w2,  .  .  .  up)  ......  (26), 

where  ua  =  S  cap  up, 

^ 

the  ca0's  and  dap's  being  the  coefficients  which  occur  in  the  trans- 
formation (16). 

Between  the  ©-function  and  the  commutative  integral  P 
belonging  to  the  same  canonical  system,  Klein's  Theorem^  holds  ; 
in  the  simplest  case  (v  =  1  in  Klein's  notation)  it  is  : 


a?0) 


©(0,0,...0) 

......  (27), 

where  wlt  w2,...wp  are  the  integrals  of  the  first  kind  of  the 
canonical  system  under  consideration;  R  =  <f>.^r  is  a  certain 
decomposition  of  H  (x)  into  two  factors  of  degree  p  +  1,  which 
depends  on  the  canonical  dissection  of  the  Riemann-surface  ;  ylt  yQ 
are  the  values  of  \/R(x)  in  the  points  xlt  x0  and  xl,  x0  denote  the 
points  (#!  ,  -  yO,  (a?0  ,  ~  2/o)« 

*  See  for  inst.  Wiltheiss,  Math.  Ann.  33,  p.  269. 

t  See  Klein,  Math.  Ann.  27,  p.  477  and  32,  p.  368  and  376. 


HYPERELLIPTIC    INTEGRALS.  9 

§  6.     Special  canonical  systems. 

In  this  last  §  I  propose  to  consider  a  few  special  canonical 
systems  which  are  important  on  account  of  peculiarly  simple 
properties  either  of  the  integrals  of  the  first  and  second  kind 
themselves  or  of  the  integrals  of  the  third  kind  to  which  they 
lead. 

(a)     Riemann-Clebsch's  System. 

To  obtain  this  system,  we  choose  for  the  integrals  of  the  first 
kind  the  p  normal  integrals  vlt  v.2> ...  vp  with  the  table  of  periods : 


...(28). 


The  integrals  of  the  second  kind  are  then  determined  up  to 
additive  integrals  of  the  first  kind  (see  §  2) ;  by  a  proper  choice  of 
the  latter  we  can  make  the  periods 

<WP+O,  ft  =  0. 

This  condition  determines  completely  the  integrals  of  the  second 
kind,  which  we  denote  by 

Vp+l  J   Vp+2  >  •  •  •  V2p  j 

their  remaining  periods  follow  from  the  relations  (7) ;   they  are 
contained  in  the  following  table*. 


L  ...(29). 


A, 

A2 

...Ap 

Ap+1 

Ap+2 

.  .  .   A2p 

l\ 

1 
0 

0 
1 

...  0 
...  0 

TH 

Tl2 

...   Tlp 

vp 

0 

0 

...  1 

TPI 

v 

...    Tpp 

A, 

A2 

...Ap 

A              A 
p+1     |      *»p+2 

...A* 

Vp+2 

0 
0 

0 
0 

...  0 
...  0 

-  2iri 

0 

0 

...0 
...0 

?>2 

0 

0 

...  0 

0 

0 

.  .  .  -  2iri  ' 

The  commutative  integral  P  belonging  to  this  canonical  system 
is  Cleb.sch  and  Gordan's  integral 

n!? 


*  The  same  system  has  been  obtained  in  a  different  way  by  Klein  in  his  paper 
on  Abelian  Functions,  Math.  Ann.  36,  p.  10. 


10  OSKAR   BOLZA. 

whose  p  first  periods  are  zero.     The  corresponding  function 

8  (t*!,  «,,...  wp) 

reduces  to  the  function  B(UI,  w2,...wp).     Riemann  and  Clebsch- 
Gordan  operate  exclusively  with  this  canonical  system. 

(6)     Weierstrass'  System. 

Weierstrass  uses  in  his  lectures  a   canonical   system    whose 
characteristic  feature  is  that  the  corresponding  integral  S  of  §  3  is 


A  canonical  system  which  leads  to  this  integral  is  the  following*  : 


wp+a  = 


where 


From  this  particular  system,  the  most  general  system  which 
leads  to  the  above  integral  8  is  derived  by  the  transformation  (16) 
in  which  all  the  rational  functions  rp+a  are  taken  =  0  (see  formula 
(20)  for  the  transformation  of  8). 

The  corresponding  integral  P  is  always  of  the  form 

)  ............ 

7 

where  F(x,  £)  is  an  integral  function  of  x  and  £  of  degree  p  +  1  in 
each,  symmetric  in  x,  %,  and  moreover 


gjK      i 

9^      /«-|     2 

The  transformation  formula  (25)  shows  that  not  only  for  the 
particular  canonical  system  which  leads  to  the  above  integral  8,  but 
for  every  canonical  system  the  commutative  integral  is  reducible  to 
the  form  (32). 

*  Given  for  the  case  ^0=ObyWiltheiss,  Jour.  f.  Math.  99,  p.  238. 
t  Weierstrass'  lectures. 


HYPERELLIPTIC   INTEGRALS.  11 

(c)     Klein's  System. 

Among  the  infinity  of  commutative  integrals  of  the  third  kind 
there  is  one  of  paramount  importance,  the  integral  discovered  by 
Klein  and  denoted  by  him  by  the  letter  Q,  in  which  the  function 
F(x,  £)  is  the  p  +  lst  polar  of  R  (x)  with  respect  to  £,  that  is,  if  we 
use  homogeneous  variables  and  write  R  (x)  =  ax2p+2 : 


Among  the  various  canonical  systems  which  lead  to  this 
commutative  integral  Q,  two  are  of  particular  interest  :  the  system 
used  by  Klein  himself,  for  which  we  refer  to  Klein's  paper  on 
hyperelliptic  sigma  functions  (Math.  Ann.  32,  p.  365),  and  another 
system  used  by  Wiltheiss  in  his  researches  on  the  partial 
differential  equations  of  the  ©-functions  (Math.  Ann.  Bd.  29,  31, 
33).  It  may  be  described  as  Weierstrass'  system  so  normalized 
that  the  corresponding  commutative  integral  is  Klein's  integral  Q, 
that  is,  the  integrals  are  of  the  form 

_fgi(x)dx 
X~J        y       ' 

where  the  g\  (#)'s  are  integral  functions  and  satisfy  the  relation  : 


d  (I    y  +  rj   \ 


. 


x-yn  T,          y 

Wiltheiss  gives  the  explicit  expression  of  the  #A  (#)'s  only  for 
the  case  p  =  2  *  ;  to  obtain  it  for  the  general  case  it  is  necessary  to 

1        V  "4"  77 

throw  the  function  -  -r^—     -  into  a  covariant  form  by  the  intro- 


duction  of  an  auxiliary  variable  t  =  ti :  t2 ;  the  left-hand  side  of  (34) 
becomes -f- : 

(dxx)  d$ 


o<  **  tW 
2  (icf)2  V-R  (a 

where  d$  denotes  the  complete  differential  with  respect  to  the  two 

*  Math.  Ann.  29,  p.  276. 

t  Compare  Burkhardt,  Math.  Ann.  32,  p.  384. 


12  OSKAR   BOLZA.       HYPERELLIPTIC   INTEGRALS. 

homogeneous  variables  into  which  £  has  been  split  up.     Effecting 
the  division  by  (xl~f  I  find  the  above  expression  equal  to 

^  \ P  "~~  /"*    '    •*•  /  ^^  ^ic         ^t    (^7C)  \C  /         (Cw7iC)  v^t  C/ 

-J-  — -...(36). 


Putting  £i  =  l,  tz  =  0  and  returning  to  non-homogeneous  vari- 
ables we  obtain  the  following  result : 

The  integrals 


wa.= 


a~ 


i\  //3  -  1  \  a+1  ,  7 

)((3-a)a*      ai 


p+a~  J7'7\     2 

form  a  canonical  system  whose  commutative  integral  of  the  third 
kind  is  Kleins  integral  Q. 

The   integral    Q   is   the   starting-point   of  Klein's   theory   of 
hyperelliptic  o--functions  ;  indeed  Klein's  function  <r  (u^,  u2,...up) 

with  the  transcendental  characteristic  is  identical  with 

the  function 


0(0,  0....0) 
belonging  to  a  canonical  system  with  the  commutative  integral  Q. 


UBER     EINIGE     MATHEMATISCHE     RESULTATE 

NEUERER    ASTRONOMISCHER     UNTERSUCH- 

UNGEN,    INSBESONDERE    UBER    IRRE- 

GULARE    INTEGRALS    LINEARER 

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN. 

VON 
HEINRICH   BURKHARDT   IN  GOTTINGEN. 

SEIT  etwa  zwanzig  Jahren  haben  die  Astronomen  damit  begonnen, 
den  Schwierigkeiten  der  allgemeinen  Stb'rungstheorie  dadurch  zu 
begegnen,  dass  sie  die  traditionellen  Methoden  der  mdcanique 
celeste  zu  verlassen  und  neue  Bahnen  zu  eroffnen  streben.  Diese 
Bemlihungen  haben  bereits  eine  Reihe  von  Resultaten  geliefert, 
welche  auch  vom  rein  mathematischen  Standpunkte  aus  hb'chst 
bemerkenswert  sind;  dieselben  sind  aber  an  vielen  Orten  zerstreut, 
ausserdem  haufig  versteckt  zwischen  rein  astronomischen,  auf  die 
Bestimmung  der  auftretenden  Constanteu  u.  dgl.  bezuglichen 
Untersuchungen  und  sind  infolge  dessen  unter  den  Mathematikern 
nicht  so  bekannt  geworden,  wie  sie  es  verdienen.  Andererseits 
sind  einschlagige  von  Mathematikern  angestellte  Untersuchungen 
von  den  Astronomen  nicht  benutzt  worden,  sei  es  dass  sie  ihnen 
uberhaupt  entgangen  sind,  sei  es  dass  sie  unter  der  andersartigen 
Form  der  Darstellung  die  Bedeutsamkeit  der  Resultate  fur  astro- 
nomische  Zwecke  nicht  erkannten.  Beiden,  Astronomen  wie 
Mathematikern,  wird  es  deshalb  vielleicht  nicht  unwillkommen 
sein,  wenn  im  folgenden  der  Versuch  gemacht  wird,  fur  ein 
wichtiges  Capitel  dieser  Untersuchungen  die  von  beiden  Seiten 
erlangten  Resultate  unter  Anwendung  einer  moglichst  einheitlichen 
Darstellungs-  und  Bezeichnungsweise  zusammenzustellen  und  zu 
vergleichen.  Wenn  das  Resultat  dieser  vom  mathematischen 
Standpunkt  aus  unternommenen  Vergleichuug  teilweise  abweicht 
von  der  unter  den  Astronomen  herrschenden  Ansicht  liber  den 
relativen  Wert  der  verschiedenen  Methoden,  so  glaube  ich  es  um 
so  weniger  zuriickhalten  zu  diirfen. 


14  HEINRICH   BURKHARDT. 

I.     Alter e  Ans&tze  der  Mathematiker. 

Aus  der  allgemeinen  Theorie  der  linearen  Differentialgleich- 
ungen  mit  eindeutigen  Coefficienten  geht  hervor,  dass  das 
allgemeine  Integral  einer  solchen  Gleichung  nter  Ordnung  in  der 
Urngebung  einer  singularen  Stelle  x  =  a  sich  darstellen  lasst  als 
Summe  von  n  particularen  Integralen  der  Form 

(x  -  ay  {<£0  +  <klog  (a?  -  a)  +  </>2[log  (as  -  a)]2+  . . .  +  ^  [log  (x  -  a)]m] 

(1). 

Die  </>  bedeuten  dabei  Functionen,  welche  in  der  Umgebung  von 
x  =  a  eindeutig  sind,  also  nach  dem  Laurent'schen  Satze  sich  in 
Reihen  nach  Potenzen  von  x  —  a  mit  positiven  und  negativen 
ganzzahligen  Exponenten  entwickeln  lassen.  Die  Substitution* 

x  =  a  +  beit,    t  =  V-l  (2) 

fiihrt  diese  Integrale  uber  in  folgende  Form 

cos (pt -t- &,)  [<£0  +  tfr  +  f2(j)2  +...+  tm<f>m] (3), 

in  welchen  nunmehr  die  <j)  Reihen  vorstellen,  die  nach  trigono- 
metrischen  Functionen  der  ganzzahligen  Vielfachen  von  t  fort- 
schreiten.  Diejenigen  Glieder  in  (3),  welche  Potenzen  von  t  zu 
Factoren  haben,  werdeu  von  den  Astronomen  Saecularglieder 
genannt ;  ihnen  eritsprechen  in  (1)  die  logarithmischen  Glieder. 
Ob  solche  im  einzelnen  Falle  auftreten,  ist  jedesmal  eine  wichtige 
Frage.  Andrerseits  macht  es  auch  einen  wesentlichen  Unterschied, 
ob  in  den  Reihen  (1)  nur  eine  endliche  oder  eine  unendliche 
Anzahl  von  Gliedern  mit  negativen  Exponenten  vorkommen ;  im 
ersten  Fall,  in  welchem  alle  solchen  Glieder  durch  Verminderung 
von  p  um  eine  ganze  Zahl  uberhaupt  beseitigt  werden  konnen, 
heissen  die  betr.  Integrale  nach  dem  Vorschlag  von  Thomef 
regular,  im  entgegengesetzten  Falle  irregular. 

Sind  alle  Integrale  in  der  Umgebung  eines  singularen  Punktes 
in  diesem  Sinne  regular,  so  kann  man  zunachst  die  Exponenten 
p  aus  der  "  determinirenden  Fundamentalgleichung"  von  Fuchs| 

*  Diese  Substitution  und  ihre  Umkehrung  werden  ini  folgenden  haufig  anzu- 
wenden  sein,  um  die  verschiedenen  Fragestellungen  in  einander  iiberzuiuhren. 
In  den  einschlagigen  astronomischen  Untersuchungen  bedeutet  t  gewohnlich  die 
Zeit  oder  eine  mit  der  Zeit  wachsende  Winkelgrosse  (Anomalie). 

t  Journal/,  d.  r.  u.  a.  Mathematik,  Bd.  75,  p.  266  (1872). 

+  Ebenda  Bd.  68,  p.  367  (1868). 


DIFFERENTI ALGLETCHUNGEN  IN  DER  ASTRONOMIE.   15 

bestimmen,  alsdann  die  Reihenentwicklungen  formal  ansetzen,  die 
Coefficienten  derselben  aus  den  linearen  Bedingungsgleichungen, 
welchen  sie  zu  geniigen  haben,  successive  berechnen  und  schliesslich 
die  Convergenz  der  erhaltenen  Reihen  durch  Cauchy's  "me'thode 
des  limites"  beweisen*.  Im  andern  Falle  kann  man  versuchen, 
durch  Abtrennung  einer  Exponentialgrosse  vom  Integral  zu  Reihen 
zu  gelangen,  in  welchen  die  Exponenten  von  einem  niedrigsten  an 
nur  steigen.  Auch  zur  Bestimmung  dieser  Exponenten  erhalt 
man  eine  Art  von  determinirender  Gleichung;  aber  man  kann 
keineswegs  behaupten,  dass  zu  jeder  Wurzel  dieser  Gleichung 
auch  wirklich  ein  regulares  Integral  der  umgeformten  Differential- 
gleichung  gehort.  Es  gelingt  zwar  auch  in  diesem  Falle,  die 
Coefficienten  der  Reihenentwicklungen  so  zu  bestimmen,  dass  der 
Gleichung  formal  geniigt  wird,  nicht  aber,  ihre  Convergenz 
nachzuweisen-f*.  Die  Bedeutung  dieser  Entwicklungen  hat 
Poincar^J  klargestellt ;  es  sind  semiconvergente  Reihen,  welche 
das  betr.  Integral  nicht  "  in  der  Umgebung  des  singularen  Punktes 
mit  beliebiger  Genauigkeit,"  sondern  "  fur  in  bestimrnter  Richtung 
geschehende  Annaherung  an  den  singularen  Punkt  mit  angebbarer 
Genauigkeit"  darstellen.  Daraus  folgt  insbesondere,  dass  die  auf 
diese  Weise  berechneten  Exponenten  p  keineswegs  identisch  zu 
sein  brauchen  mit  denjenigen,  welche  im  Sinne  der  durch  (1) 
gegebenen  Definition  zu  dem  singularen  Punkte  x  =  a  gehoren§. 

*  Ebenda  Bd.  66,  p.  139ft.  (1865);  Bd.  68,  p.  359  ff.  Man  vgl.  auch  die 
Darstellung  bei  C.  Jordan,  Cours  d' analyse,  t.  in.  art.  148 — 152. 

t  Mit  diesem  Eesultat  mussten  sich  die  nach  dieser  Richtung  zielenden  Bemii- 
hungen  von  Frobenius  (Journal  f.  d.  r.  u.  a.  Math.,  Bd.  76,  p.  214  (1873); 
Bd.  80,  p.  317  (1875))  und  von  Thome  (vgl.  dessen  R6sum£  in  Bd.  96,  p.  185  (1884) 
desselben  Journals)  begniigen,  iiber  welche  man  sich  aus  den  Pariser  Thesen  von 
Floquet  (Sur  la  theorie  des  equations  differentielles  lineaires,  1879,  abgedr.  in  den 
Ann.  de  Vecole  normale,  ser.  2,  t.  8)  und  von  Fabry  (Sur  Us  integrates  des  equ. 
diff.  lineaires  a  coefficients  rationnels,  1885)  orientiren  mag.  Letzterer  hat  auch 
Verallgemeinerungen. 

£  American  Journal  of  Mathem.,  t.  7  (1884),  insbes.  p.  225 ff.;  Acta  mathematica, 
Bd.  8,  p.  295  ff.  (1886). 

§  Das  hat  Thome,  der  in  dieser  Beziehung  ein  Missverstandniss  bei  Poincare 
vermutete,  im  Journal  f.  d.  r.  u.  a.  Math.,  Bd.  101,  p.  203  noch  einmal  besonders 
hervorheben  zu  miissen  geglaubt ;  in  der  sich  anschliessenden  Polemik  (Poincar^ 
in  Acta  math.,  Bd.  10,  p.  310 ;  Thom6  im  Journ.  /.  d.  r.  u.  a.  Math.,  Bd.  103, 
p.  346)  ist  soviel  jedenfalls  constatirt  worden,  dass  iiber  diesen  Punkt  gar  keine 
Meinungsverschiedenheit  besteht ;  schon  das  einfache  Beispiel  der  langst  bekannten 
Reihen  fur  die  Bessel'schen  Functionen  zeigt  den  Unterschied  beider  Arten  von 


16  HEINRICH   BUBKHARDT. 

Eine  sehr  allgemeine  Methode  zur  Darstellung  der  Integrale 
einer  linearen  Differentialgleichung  hat  Fuchs*  gegeben.  Sei 
Dy  der  Differentialausdruck,  der  gleich  0  gesetzt  die  Differential- 
gleichung liefert  ;  man  forme  ihn  auf  irgend  eine  Art  um  in  eine 
Differenz  zweier  solcher  Ausdriicke  D\y  —  D2y,  doch  so  dass  der 
hochste  vorkommende  Differentialquotient  dem  Minuenden,  ein 
etwa  vorkommendes  "zweites  Glied"  dem  Subtrahenden  zugeteilt 
wird.  Man  setze  y  =  2/0  +  *7o  und  bestimme  y0  aus  A2/o  =  0  ;  dann 
bleibt  fiir  ij0  die  Gleichung  A^o  —  D2  y0  +  D2  r)0.  Man  setze 
ij0  =  y1  +  r)1  und  bestimme  y^  aus  D1yl  =  D.2y0;  dann  bleibt  fur  7^: 
A?7i  =  A2A  +  A??i-  So  fortfahrend  ersetze  man  die  gegebene 
Gleichung  durch  folgendes  System: 


rim-1  =  ym  +  rim,      A2/m  =  A2/m-i'> 

Dabei  sind  yliya...  so  zu  bestimmen,  dass  sie  an  einer  bestimmten 
Ste-lle  a;  =  a;0  samt  ihren  w  —  1  ersten  Ableitungen  verschwinden. 
Sind  die  Coefficienten  in  D2  klein  gegen  die  Coefficienten  von  A> 
so  hat  es  keine  Schwierigkeit  einzusehen,  dass  von  den  Functionen 
2/o  >  2/i,  2/2-  ••  jede  folgende  klein  gegen  die  vorhergehende  ist, 
solange  die  unabhangige  Variable  auf  einen  kleinen  Bereich 
beschrankt  bleibt.  In  diesem  Sinne  sind  Processe,  welche  specielle 
Falle  des  Fuchs'schen  darstellen,  seit  langem  als  gute  Annaher- 
ungsverfahren  betrachtet  und  geiibt  worden.  Aber  die  Integration 
der  in  (4)  auftretenden  Gleichungen  "mit  zweitem  Glied"  fiihrt 
im  allgemeinen  Saecularglieder  ein,  und  man  hat  es  frtiher  wol 
stets  als  selbstverstandlich  angesehen,  dass  diese  die  Convergenz 
des  Verfahrens  storten,  sobald  die  unabhangige  Variable  eine 
gewisse  Grenze  erreicht.  Dem  entgegen  hat  Fuchs  a.  a.  O. 
bewiesen,  dass  die  Reihe 

2/  =  2/o  +  2/i  +  2/2+---  +2/m+..-ininf  ............  (5), 

Exponenten    in   schlagender  Weise  :    trotz   alledem   hat   noch    ganz   neuerdings 
Hantzschel  (Reduction  der  Potentialgleichung  auf  gewohnliche  Differentialgleich- 
ungen,  Berlin,  1893,  p.  108)  beide  verwechselt  und  darauf  einen  ganz  ungerecht- 
fertigten  Angriff  gegen  Eesultate  von  Bruns  gegriindet. 
*  Annali  di  matematica,  ser.  n.  t.  4,  p.  36  (1870). 


DIFFERENTIALGLEICHUNGEN    IN    DER    ASTRONOMIE.      17 

ungeachtet  des  Auftretens  der  Saecularglieder  fur  alle  nicht 
singularen  Werte  der  unabhangigen  Veranderlichen  convergirt, 
ohne  dass  man  liber  die  Grosse  der  Coefficienten  in  Da  und  D.2 
irgend  eine  Voraussetzung  zu  machen  brauchte. 

Uber  die  Art  des  Verhaltens  der  Integrale  in  der  Umgebung 
der  singularen  Punkte  geben  Reihen  der  Form  (5)  zunachst  keinen 
Aufschluss ;  die  formal  auftretenden  Saecularglieder  brauchen 
nichts  weiter  zu  sein  als  Entwicklungsglieder  periodischer  Func- 
tionen.  Wie  man  gleichwol  von  ihnen  aus  zur  Bestimrnung  der 
Exponenten  p  in  (1)  vordringen  kann,  hat  P.  Gunther*  gezeigt. 

Von  astronomischer  Seite  ist  von  diesem  Convergenzbeweis 
von  Fuchs  keine  Notiz  genommen,  vielleicht  weil  Fuchs  in  der 
Einleitung  anzudeuten  scheint,  dass  es  sich  um  zu  numerischer 
Berechnung  weniger  geeignete  Methoden  handle.  Thatsachlich 
sind,  wie  wir  spater  noch  sehen  werden,  verschiedene  der  von  den 
Astronomen  inzwischen  vorgeschlagenen  Methoden  Specialfalle 
seines  Verfahrens. 

Fuchs  hat  auch  noch  einen  andern  Ansatz  zur  analytischen 
Darstellung  der  Integrale  gegebenj*;  clerselbe  beruht  aber  auf 
dem  Satze  vom  Grenzkreis,  dessen  Unrichtigkeit  von  Anissimoff| 
dargethan  worden  ist,  und  es  bedarf  noch  der  Nachuntersuchung> 
in  wie  weit  mit  diesem  Satze  auch  die  aus  ihm  gezogenen 
Folgerungen  fallen. 

Von  diesen  Ansatzen  abgesehen  beziehen  sich  die  Methoden, 
welche  zur  Darstellung  der  irreguliiren  Integrale  in  der  Umgebung 
eines  singularen  Punktes  gegeben  worden  sind,  zugleich  auf  einen 
allgemeineren  Fall.  Ob  namlich  der  Weg  der  Veranderlichen  x, 
dem  entlang  die  Veranderung  der  Function  verfolgt  werden  soil, 
einen  einzelnen  singularen  Punkt  umkreist  oder  deren  mehrere, 
ist  gleichgiltig ;  wesentlich  ist  nur  folgendes :  es  muss  voraus- 
gesetzt  werden,  dass  die  Coefficienten  der  vorgelegten  Differential- 
gleichung  analytische  Functionen  von  x  sind,  welche  zwischen 
zwei  conceiitrischen  Kreisen  eindeutig  und  stetig  sind,  sodass  sie 
sich  innerhalb  des  von  diesen  Kreisen  begrenzten  Ringgebietes  in 
Laurent'sche  Reihen  entwickeln  lassen.  Wie  sie  sich  innerhalb 


*  Journal/,  d.  r.  u.  a.  Mathematik,  Bd.  106  (1890),  p.  330,  und  Bd.  107  (1891), 
298. 

+  Ebenda  Bd.  75,  p.  177  (1872). 
J  Mathematische  Annalen,  Bd.  40,  p.  145  (1892). 

c.  P.  2 


18  HEINRICH    BURKHARDT. 

des  inneren  oder  ausserhalb  des  ausseren  Begrerizungskreises 
verhalten,  bleibt  dabei  ganz  gleichgiltig,  und  die  speciellen  Falle, 
in  welchen  der  Radius  des  ausseren  Begrenzungskreises  bis  ins 
unendliche  erweitert  oder  der  des  inueren  beliebig  verkleinert 
werden  darf,  bieten  keine  wesentliche  Vereinfachung.  Unter  der 
getroffenen  Voraussetzung  sind  die  Integrale  innerhalb  des  Ring- 
gebietes  unverzweigt ;  aber  bei  Durchlaufung  einer  in  ihm  liegen- 
den  geschlossenen  Curve,  die  sich  ohne  Uberschreitung  seiner 
Grenzen  nicht  auf  einen  Punkt  zusammenziehen  lasst,  erfahren  sie 
eine  lineare  Substitution  mit  constanten  Coefficienten.  Sei  x  =  a 
der  gemeinsame  Mittelpunkt  der  beiden  Begrenzungskreise,  so 
werden  auch  in  diesem  Falle  die  Integrale  sich  in  der  unter  (1) 
gegebenen  Form  darstellen,  und  es  handelt  sich  nur  noch  um  die 
Bestimmung  der  in  ihr  auftretenden  Exponenten  und  Coeffi- 
cienten. 

So  gefasst  scheint  die  Fragestellung  auf  den  ersten  Blick  sehr 
abstract  zu  sein  und  von  alien  Anwendungen  weit  abzuliegen ;  in 
der  That  ist  das  keineswegs  der  Fall.  Demi  die  Substitution  (2) 
fiihrt  das  unendlich  oft  iiberdeckt  zu  denkende  Ringgebiet  iiber 
in  einen  Parallelstreifen,  der  bei  geeigneter  Wahl  der  Constanten  b 
die  Axe  der  reellen  Werte  von  t  in  sich  enthalt;  die  vorgelegte 
Differentialgleichung  aber  geht  unter  Beibehaltung  ihres  linearen 
Charakters  liber  in  eine  andere,  deren  Coefficienten  als  Functionen 
von  t  durch  absolut  und  gleichmassig  convergente  trigonoraetrische 
Reihen  dargestellt  sind;  und  solche  Gleichungen  treten  bei 
physikalischen  und  astronomischen  Problemen  sehr  haufig  auf. 

Die  Aufmerksamkeit  der  Mathematiker  hat  sich  zunachst 
der  Bestimmung  der  Exponenten  p  in  (1)  zugewendet.  Die 
Grossen  e2pni  sind  Wurzeln  einer  algebraischen  Gleichung,  die  man 
aufstellen  kann,  wenn  man  die  lineare  Substitution  kennt,  die 
irgend  n  von  einander  linear  unabhangige  Integrale  bei  einem 
Umlauf  innerhalb  des  Gebietes  erfahren.  Seien  etwa  n  solche 
y\>  y-2,---yn  gewahlt,  welche  durch  die  Bedingung  definirt  sind, 
dass  fur  t  =  Q,  x  =  a  +  b  bezw. 


werden    soil.      Analytische   Fortsetzung    auf    einem    Wege   der 


DIFFERENTIALGLEICHUNGEN    IN   DER   ASTRONOMIE.       19 

bezeichneten  Art  fiihrt  ylt  y^...yn  iiber  in  andere  Integrale 
t/i>  2/2,  •••  yn]  die  Coefficienten  der  Anfangsglieder  in  den  Entwick- 
lungen  derselben  nach  Potenzen  von  x  —  (a  +  b)  geben  dann  direkt 
die  gesuchten  Substitutionscoefficienten,  und  deren  Bestimmung 
wiirde  somit  geleistet  sein,  wenn  das  Verfahren  der  analytischen 
Fortsetzung  sich  thatsachlich  durchfuhren  Hesse.  Die  hiermit 
bezeichnete  Schwierigkeit  wiirde  wegfallen,  wenn  man  eine  Ent- 
wicklung  benutzte,  aus  der  gleichzeitig  die  Anfangs-  und  die 
Endwerte  der  Integrale  entnommen  werden  konnen.  Die  Methode 
von  Fuchs  vom  Jahre  1870  leistet  das  in  der  That;  aber  sie  ist 
wie  oben  bemerkt  erst  ganz  neuerdings  zur  Bestimmung  der  p 
verwendet  worden.  Hamburger  hat  vorgeschlagen*,  die  Ent- 
wicklung  nach  Potenzen  der  durch  (2)  definirten  Grosse  t 
vorzunehmen.  Unbeschadet  der  Allgemeinheit  darf  angenommen 
werden,  a  sei  der  Nullpunkt  und  das  Ringgebiet  sei  durch  die 
Ungleichungen 

Rl<\a\  <R*  ........................  (V), 

mit  der  Bedingung 

£A  =  1  ...........................  (8), 

definirt,  so  dass  der  Einheitspunkt  ins  Innere  desselben  fallt  und 
b=I  gesetzt  werden  darf.  Dann  werden  die  Entwicklungen  der 
Integrale  nach  Potenzen  von  t,  wenn 

>2*-  ........................  (9) 


ist,  auch  noch  fur  t  =  2?r  convergiren  und  also  die  gesuchten 
Endwerte  zu  berechnen  gestatten.  Ist  aber  die  Ungleichung  (9) 
nicht  erfiillt,  so  werden  auch  hier  analytische  Fortsetzungen 
erforderlich  ;  aber  die  Anzahl  der  Zwischenwerte,  welche  einge- 
schaltet  werden  miissen,  ist  geringer,  als  bei  dem  ersten  Ansatze. 
Uberdies  hat  Mittag-Lefflerf  gezeigt,  dass  dabei  noch  gewisse 
Vereinfachungen  erzielt  werden  konnen. 

Von  einer  Einschrankung  wie  die  durch  die  Ungleichung  (9) 
ausgedruckte  frei  ist  die  Methode  von  PoincareJ,  der  durch  die 


*  Journ.f.  d.  r.  u.  a.  Math.,  Bd.  83,  p.  185,  Bd.  84,  p.  264  (1877). 
t  Acta  mathematica,  Bd.  15,  p.  25  ff.  (1891). 
t  Ebenda  Bd.  4,  p.  211  (1884). 

2—2 


20  HEINRICH    BURKHARDT. 

Substitution* 


t 


den  Parallelstreifen  auf  einen  Vollkreis  abbildet  und  die  Integrale 
nach  Potenzen  von  z  entwickelt.  Im  Anschluss  hieran  ist  die 
functionentheoretische  Untersuchung  der  Abhangigkeit  der  Ex- 
ponenten  p  von  den  in  der  Differentialgleichung  auftretenden 
Coefficienten  in  der  Pariser  These  von  H.  Vogtf  weitergefuhrt 
worden. 

Beide  Methoden,  die  von  Hamburger  wie  die  von  Poincare, 
liefern  schliesslich  Ausdriicke  fur  p,  welche  den  willkiirlich  zu 
wahlenden  Ausgangspunkt  der  Entwicklungen  formell  enthalten, 
wahrend  ihr  Wert  tatsachlich  von  demselben  unabhangig  sein 
muss.  Mittag-Leffler  hat  gezeigtj,  wie  man  die  von  dieser 
Hilfsgrbsse  freien  Glieder  der  betr.  Entwicklungen  erhalten  kann, 
ohne  alle  ubrigen  berechnen  zu  mussen. 

Ubrigens  scheint  weder  die  eine  noch  die  andere  Methode 
jemals  zu  numerischer  Durchfuhrung  in  einem  einzelnen  bestimm- 
ten  Fall  verwendet  worden  zu  sein. 

II.     Die  Methode  von  Hill. 

Wahrend  so  die  Mathematiker  noch  mit  unvollkommenen  und 
umstandlichen  Methoden  sich  behalfen,  war  die  Aufgabe  bereits 
von  dem  amerikanischen  Astronomen  G.  W.  Hill  gelost  worden§. 
Hill  greift  die  Schwierigkeit  ganz  direkt  an,  indem  er  folgender- 
massen  vorgeht :  Sei  vorgelegt  die  Differentialgleichung 

V—  P  (sA  11  n"H 

JM  —-r^\x)-y  V11/, 


in  welcher  P2(#)=   2   aka;oje,     x  =  eu (12). 

k=-<*> 


*  h  hat  hier  dieselbe  Bedeutung,  wie  unter  (9). 

t  Sur  lea  invariants  fondamentaux  des  6qu.  diff.  du  second  ordre  (1889), 
abgedr.  Ann.  de  I'ecole  normale,  ser.  in.  t.  6. 

J  Acta  mathem.,  Bd.  15,  p.  20,  p.  29, 

§  On  apart  of  the  motion  of  the  moon's  perigee,  Cambridge,  U.S.,  1877,  insbes. 
p.  17  ff. ;  wiederabgedr.  Acta  mathem.,  Bd.  8  (1886). 


DIFFERENTIALGLEICHUNGEN    IN    DER   ASTRONOMIE.      21 
Soil  diese  Gleichung  durch  eine  Reihe  der  Form 


iategrirt  werden,  so  miissen  die  unendlich  vielen  Coefficienten 
den  unendlich  vielen  linearen  Gleichungen 


+  00 


(14), 


geniige  leisten.     Das  erfordet  das  Verschwinden  der  unendlichen 
Determinante  dieses  Gleichungssystems ;  dieselbe  1st 


(15), 


...[-2] 

r_ll        —a          —n               n 

L       *J                      1                       2                   "3... 

.  .  .  -  a_3 
...-a_4 

—  <7_2     ~  a-i       [1]       —  oti  .  .  . 
-  a_3     -  a_2     -  a_j       [2]  ... 

wenn  zur  Abktirzung 


(16), 


gesetzt  wird.     Der  Exponent  p  in  (13)  muss  also  eine  Wurzel  p 
der  Gleichung 

0  ...........................  (17), 


sein  ;  er  ist  aber  seiner  Definition  nach  nur  bis  auf  gerade  ganze 
Zahlen  bestimmt,  und  in  der  That  andert  sich  D  (p)  nicht,  wenn 
man  p  um  eine  solche  Zahl  vermehrt  oder  vermindert.  Mit  p' 
zugleich  sind  also  auch  p'  ±  2,  p'±4>...  Wurzeln  von  (17). 
Ausserdem  ist  in  dem  von  Hill  behandelten  Falle  allgemein 
afc=a_fc,  was  zur  Folge  hat,  dass  auch  —  p',  —p'±%,  —p'±4s 
Wurzeln  von  (17)  sind.  Es  hat  also  D  (p)  dieselben  Nullstellen 
wie  cos  (/3?r)  —  cos  (pV)  ;  demnach  muss  eine  Identitat  der  Form 
bestehen 

D  (p)  =  E  [cos  (PTT)  -  cos  (pV)]  ...........  (18), 

wo  E  eine  nirgends  verschwindende  Function  von  p  ist.  Hill 
nimmt  an,  sie  sei  eine  Constante  und  bestimmt  sie  folgender- 
massen  :  nimmt  man  von  D  (p)  nur  eine  endliche  Anzahl  sym- 
metrisch  um  das  Element  [0]  herum  gelegener  Elemente  zu  einer 
Determinante  zusammen  und  entwickelt  diese  nach  aufsteigenden 


22  HEINRICH    BTJBKHARDT. 

Potenzen  von  p,  so  ist  1  der  Coefficient  der  hochsten  vorkommenden 
Potenz  ;  dagegen  in  der  bekannten  Productentwicklung 

COB  (,»r)  =  (1  -  V)  (l  -  4£)  (l  -  *|2)  ......  (19), 

ist  er  ±4.-|.-^g-  —  Multiplicirt  man  demnach  allgemein  alle 
Elemente  derjenigen  Zeile  von  D  (p),  in  welcher  das  Element  [j] 
vorkommt,  mit 

4  4 


so  entsteht  eine  neue  unendliche  Determinante  V(p),  welche 
identisch  gleich  cos  (pir)  —  cos  (//TT)  ist  ;  insbesondere  hat  man 
also  die  zur  Rechnung  und  Controlle  dienlichen  Formeln 

cos  (pV)  =  1  -  V  (0)=  -V  (I)  =  -  1  -  V  (1)  =  .........  (20). 

Eine  andere  Umformung  erhalt  Hill,  indem  er  davon  ausgeht, 
dass  das  Produkt  der  "  Diagonalelemente"  in  V  (0)  gleich 


ist  ;  durch  Division  jeder  Zeile  von  V  (0)  mit  ihrem  Diagonal- 
element  erhalt  er  eine  neue  Form  n  (0),  deren  Diagonalelemente 
alle  =  1  sind.  Ahnlicher  Umformungen  gibt  er  noch  mehrere. 

Ist  erst  der  Wert  von  p'  ge  fund  en,  so  geschieht  die  Auflosung 
des  Gleich  ungssystems  (14)  einfach  dadurch,  dass  alle  a  und  g, 
deren  Indices  eine  gewisse  Grenze  iiberschreiten,  vernachlassigt 
werden.  Dadurch  reducirt  sich  das  System  auf  ein  endliches. 

Man  sieht,  dass  durch  Hill's  Verfahren  das  Problem  vollstandig 
und  auf  die  direkteste  Weise  erledigt  ist.  Aber  um  die  Begriin- 
dung  desselben,  um  die  Frage  nach  der  Convergenz  der  mannig- 
fachen  dabei  auftretenden  unendlichen  Prozesse  hat  er  sich  wenig 
Sorgen  gemacht.  Insofern  bedurfte  sein  Vorgehen  der  functionen- 
theoretischen  Nachprufung.  Diese  ist  ihr  denn  auch  durch 
Poincare'*  zu  teil  geworden;  und  ganz  neuerdings  hat  H.  von 
Koch-f-  eine  ausfuhrliche  Darstellung  der  Theorie  veroffentlicht, 

*  Bulletin  de  la  socUte  math,  de  France,  t.  14  (1886),  p.  83  ff.  PoincarS  war 
bereits  von  anderer  Seite  her  auf  unendliche  lineare  Gleichungssysteme  aufmerk- 
sam  geworden  (a.  a.  O.  t.  13,  p.  19). 

t  Acta  mathematica,  Bd.  16  (1892),  p.  217  ff.;  vorlaufige  Mitteilungen  in  den 
Farhandlingar  der  Stockholmer  Akademie,  1890,  und  in  Acta  math.,  Bd.  15  (1891). 


DIFFERENT! ALGLEICHUNGEN    IN    DEB   ASTBONOMIE.      23 

welche  auf  dem  von  Poincare  eroffneten  Wege  den  allgemeinen 
Fall  einer  linearen  Ditferentialgleichung  beliebig  hoher  Ordnung 
mit  Integralen  der  allgemeinen  Form  (1)  in  sorgfaltiger  Durch- 
fiihrung  aller  Einzelheiten  der  Beweise  erledigt. 

Wesentlich  ist  dabei  vor  allem  eine  bestimmte  Definition  dessen, 
was  unter  einer  unendlichen  Determinante  verstanden  werden 
soil ;  Poincare  und  von  Koch  wahlen  die  folgende :  Seien 

A^  (i,  k  =  -  oo  . . .  +  oo  ), 

eine  doppelt  unendliche  Reihe  gegebener  Grb'ssen,  und  sei  Dm  die 
aus  den  Aik  unter  der  Einschrankung 

i,  k  =  —  m,  —  m  +  1,  . . .  m  —  1,  in 

gebildete  Determinante;'  wenn  diese  Grossen  Dm  mit  wachsen- 
dem  Index  m  einem  bestimmten  Grenzwert  D  sich  nahern,  so 
heisst  die  aus  alien  Aik  gebildete  unendliche  Determinante  con- 
vergent und  D  ihr  Wert.  Die  Definition  bevorzugt  die  "  Diagonal- 
elemente,"  d.  h,  diejenigen,  deren  beide  Indices  einander  gleich 
sind,  und  unter  diesen  wieder  Am ;  es  wird  dann  gezeigt,  dass  zwar 
die  ersteren  in  der  That  eine  besondere  Rolle  spielen,  dass  aber 
jedes  von  ihnen  an  die  Stelle  von  A^  treten  kann.  Convergent 
sind  insbesondere  die  Determinanten  "  von  normaler  Form,"  d.  h. 
diejenigen,  in  welchen  sowol  das  Produkt  der  Diagonalelemente, 
als  die  Summe  aller  iibrigen  Elemente  unbedingt  convergiren; 
ferner  auch  diejenigen,  welche  dadurch  auf  normale  Form  gebracht 
werden  konnen,  dass  man  alle  Elemente  jeder  Zeile  mit  einer 
bestimmten  Grosse  multiplicirt  und  alle  Elemente  der  gleich- 
namigen  Colonne  je  mit  derselben  Grosse  dividirt*.  Von  solchen 
Determinanten  zeigt  von  Koch,  dass  fur  sie  alle  Satze  der  gewohn- 
lichen  Determinantentheorie  insoweit  gelten,  als  die  bevorzugte 
Stellung  der  Diagonalelemente  gewahrt  bleibt.  Auf  Grund  dessen 
ist  die  Auflosung  unendlicher  linearer  Gleichungssysteme  ohne 
weitere  Schwierigkeit  zu  erledigen ;  wesentlich  ist  dabei,  dass  bei 
einer  Determinante  von  normaler  Form  nicht  alle  Hauptunter- 
determinanten  bis  zu  beliebig  hoher  Ordnung  bin  Null  sein 
kb'nnen. 

Die  Anwendung  auf  die  Darstellung  der  irregularen  Integrate 


*  Fur  Determinanten  dieser  Art  hat  Vivanti  (Annali  di  matem.,  ser.  n.  t.  21, 
p.  28  (1893))  die  Bezeichnung  "normaloide"  vorgeschlagen. 


24  HEINRICH    BURKHARDT. 

linearer  Differentialgleichungen,  die  von  Koch  allgeraein  gibt,  mag 
hier  zu  leichterer  Vergleichung  sowol  mit  Hill,  als  mit  den  noch 
zu  besprechenden  Methoden  fur  den  Fall  der  Gleichung* 


(21), 

>  A=  -oo 

skizzirt  werden.     Wird  wieder  ein  Integral  der  Form 

+  (22), 


1=  -00 

gesucht,  so  lautet  diesmal  das  zu  behandelnde  unendliche  Glei- 

chungssystem 

+» 
(p  +  m)(p+m-l)gm+   2   am_>,_2gi,  =  0,    m  =  -  oo  ...  +  oo  ...(28), 

A=-oo 

+  00 

oder  S   ^mA#A  =  0,    m  =  -oo...  +  oo  ............  (24), 

A=-oo 

wo  ijr™™  =  1,  dagegen  fur  X  J  m  : 


Die  Determinante  dieses  Gleichungssystems  —  die  Hill's 
entspricht  —  bezeichnet  von  Koch  mit  fl(p)',  aus  ihr  entsteht  eine 
andere,  Hill's  V  (p*)  entsprechende,  von  v.  Koch  mit  D  (p)  bezeich- 
nete,  indem  man  die  linke  Seite  jeder  der  Gleichungen  (23)  mit 
einem  Factor  hm  multiplicirt,  der  wie  folgt  definirt  ist:  Seien 
plt  p2  die  Wurzeln  der  Gleichung 

p(p-l)-«_2  =  0  .....................  (25), 

(der  bei  Hill  p2  —  a0  =  0  entspricht),  so  ist 


lit/ 


(26). 


Diese  Determinante  D  (p)  ist  dann,  wie  aus  dem  Cauchy'schen 
Satze  uber  den  Maximalbetrag  der  Coefficienten  einer  convergenten 
Potenzreihe  gefolgert  wird,  fur  alle  Werte  von  p  gleichmassig 
convergent  und  stellt  also  eine  ganze  transcendente  Function  von 
p  vor-f.  Andererseits  ist 


*  Man  beachte,  dass  in  (11)  t,  in  (21)  x  unabhangige  Variable  ist. 
t  Durch  diesen  Satz  hat  sich  von  Koch  den  Weg  zur  Beherrschung  auch  der 
mit  Logarithmen  behafteten  Integrale  gebahnt. 


DIFFERENTI ALGLEICHUNGEN   IN    DEB   ASTRONOMIE.      25 

D  (P)  =  —2  sin  (P  ~  Pi)  *  sin  (P  -  ps)  w  ft  (p)     (27), 

D  (p)  vfie  H  (p)  sind  periodische  Functionen  von  p  mit  der  Periode 
1 ;  £1  (p)  wird  ira  Periodenstreifen  zweimal  unendlich  und  besitzt 
im  unendlich  fernen  Punkte  desselben  den  bestimraten  Wert  1 ; 
es  muss  also  auch  zweimal,  fiir  p  =  p'  und  p  =  p",  Null  werden ; 
schliesslich  erhalt  man 

sin(p-p')7rsm(p-p")7r (28). 


Der  Fall  p  =  p"  erfordert  noch  weitere  Untersuchungen,  die  v. 
Koch  sorgfaltig  durchgefiihrt  hat,  die  aber  hier  bei  Seite  gelassen 

werden  konnen ;  ist  aber  p  <  p",  so  ergibt  sich  sofort  die  Bestirn- 
mung  der  zu  jedem  dieser  Werte  gehb'rigen  Coefficienten  g^. 
Damit  ist  Hill's  Verfahren  vollstandig  gerechtfertigt. 

III.     Die  Methode  von  Gylden. 

Eine  andere  Methode  zur  Behandlung  der  Differentialglei- 
chungen  der  Form  (11)  oder  (21)  hat  Gy  Iddn*  vorgeschlagen.  Sie 
beruht  darauf,  dass  unter  Voraussetzung,  die  hoheren  Glieder  in 
der  Entwicklung  von  P2(#)  seien  von  geringem  Einfluss,  die 
vorgelegte  Differentialgleichung  durch  eine  Lame'sche  Differen- 
tialgleichung,  und  zwar  durch  den  "ersten  Hermite'schen  Fall" 
einer  solchen  ersetzt  wird-f*.  Die  GleichungJ 

-7^2  +[-  2&2  sin2  am  u  -  k2  sin2  am  v  +  1  +  k2]  y  =  0 . .  .(29), 


*  Kurze  Mitteilung  in  der  Vierteljahrsschrift  der  astronomischen  Gesellschaft, 
Bd.  16;  ausfuhrliche  Darstellung  der  gesamten  Storungstheorie  Gyldens  (un- 
dersokningar  af  theorien  for  himlakropparnas  rorelser)  im  bihang  till  K.  svenska 
vetenskaps  akad.  handlingar,  Bd.  6,  Nr.  8  und  16,  Bd.  7,  Nr.  2  (1881—82)  [fiir 
unsere  Frage  kommen  hauptsachlich  Bd.  6,  Nr.  8,  p.  50—58  in  Betracht];  Kesum6 
dieser  Abhandlung  in  den  Astron.  Nachrichten,  Bd.  100,  p.  97 ;  weitere  allgemeine 
Auseinandersetzungen  ebenda  Bd.  103,  p.  49.  Dann  die  zahlreichen  Abhandlungen 
Gylden's  und  seiner  Schiiler,  in  welchen  seine  Methoden  auf  specielle  Probleme 
angewendet  werden.  Uber  deren  astronomische  Tendenzen  und  Kesultate  orientirt 
ein  zusammenhangender  Bericht  von  C(allandreau),  im  Bulletin  astronomique, 
t.  7  (1890),  p.  470;  die  mathematischen  Fragen  sind  dort  bei  Seite  gelassen. 

t  Hermit e,  Sur  qques.  applications  des  fonctions  elliptiques,  Paris,  1885. 

£  Die  Bezeichnungen  sind  die  der  Fundamenta  Jacobi's. 


26  HEINRICH    BURKHARDT. 

hat  namlich  das  allgemeine  Integral* 


Diese  Gleichung  hat  in  der  That  die  Gestalt   von  (11);   es  ist 
namlich,  wenri 


gesetzt  wird 

sin2  am  u  =  £  (1  -  cos  2  am  u)  =  £  (I  -  f  Fj<2>  cos  2ft)- .  .(32). 

Die  Coefficienten  F  hatte  Gylde'n  schon  bei  einer  frliheren  Ge- 
legenheit  bestimmt*}-  und  insbesondere  gefunden 

£_JL  ...(33). 


Die  ersten  beiden  Glieder  des  Coefficienten  von  y  in  der  Differen- 
tialgleichung 


rJf-2     '    I  _"*  "(  wo  "vv  I  y  ~  "   ('J41)' 

stimmen  daher  mit  den  entsprechenden  Gliedern  in  (29)  iiberein, 
wenn  in  diesen  der  Modul  der  elliptischen  Functionen  und  die 
Hilfsgrosse  v  den  Gleichungen  gemass  bestimmt  wird 

T  .^,2  A.    *  2    T/'O  0        *"\          /* 


Die  Coefficienten  in  (32)  nehmen  rasch  ab ;  wenn  auch  die  in  (34) 
dieselbe  Eigenschaft  haben,  kann  (30)  als  erste  Annaherung  fur 
das  Integral  von  (34)  gelten. 

Um  aus  dieser  ersten  Annaherung  eine  zweite  zu  erhalten, 
ersetzt  Gylde'n  in  den  bei  ihr  vernachlassigten  Gliedern  die 
abhangige  Veranderliche  durch  ihren  ersten  Naherungswert.  Er 
erhalt  so+  fur  die  Correction  eine  Lame'sche  Differentialglei- 


*  Den  schon  von  Lam6  selbst  erledigten  Ausnahmefall,  dass  v  einer  Halbperiode 
gleich  ist,  konnen  wir  hier  bei  Seite  lassen.  Er  spielt  in  andern  noch  zu  nennen- 
den  Untersuchungen  Gyldens  eine  grosse  Bolle. 

t  Memoires  de  Vacad.  de  St  Pgtersbourg,  t.  16,  nr.  10,  p.  6  8.  (1871). 

J  Vgl.  oben  das  Gleichungssystem  (4). 


DIFFERENTIALGLEICHUNGEN    IN    DER   ASTRONOMIE.      27 

chung  "mit  zweitem  Glied,"  deren  Integral  aus  dem  der  Gleichung 
"ohne  zweites  Glied"  in  bekannter  Weise  durch  Quadratur 
abgeleitet  werden  kann.  Insoweit  fallt  Gylden's  Methode  unter 
die  citirten  allgemeinen  Entwicklungen  von  Fuchs;  aber  nun 
kommt  eine  charakteristische  Modification :  Gylden  entfernt  die 
durch  die  genannte  Quadratur  eingefiihrten  Saecularglieder 
dadurch,  dass  er  an  dem  durch  (35)  bestimmten  Wert  der 
Hilfsgrosse  v  nachtraglich  eine  Correctur  anbringt.  Gibt  man 
namlich  dem  v  ein  Increment  Av  und  berechnet  das  dadurch 
entstehende  Increment  von  y  unter  Beiseitelassung  hoherer 
Potenzen  von  At;,  so  erhalt  man  ausser  periodischen  Termen  den 
folgenden  saeculareu : 

.  d?  log  ®v  . 
*(-yi  +  yi)— ^—  At; (36), 

der  bei  geeigneter  Bestimmung  von  Av  gegen  die  durch  jene 
Quadratur  eingefuhrten  Terme  derselben  Art  sich  weghebt. 

Auf  demselben  Wege  kann  man  von  der  zweiten  Annaherung 
zu  einer  dritten  gelangen  u.  s.  w.;  dabei  erhebt  sich  die  Frage 
nach  der  Convergenz  des  Verfahrens.  Zieht  man  die  allgemeine 
Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  herbei,  so  hat  es 
keine  Schwierigkeit  nachzuweisen,  dass  das  Verfahren  in  der 
That  ein  Integral  der  Form  (22)  liefert,  wie  es  aus  jener  Theorie 
sich  ergibt ;  daraus  folgt  die  Convergenz  fur  alle  diejenigen 
(hinlanglich  kleinen)  Werte  der  Parameter  a1}  a2--->  fur  welche  p 
und  die  in  (22)  vorkommenden  Coefficienten  nach  Potenzen  dieser 
Parameter  entwickelt  werden  konnen*.  Aber  diese  Bedingungen 
fur  die  Convergenz  aus  dem  Verfahren  selbst  ohne  Bezugnahme 
auf  die  allgemeine  Theorie  zu  entwickeln  dlirfte  sehr  schwierig 
sein.  Gylden  hat  die  Convergeuz  seiner  Methoden,  von  welchen 
die  Integration  der  Gleichungen  der  Form  (34)  ja  nur  einen  Teil 
bildet,  in  wiederholten  Ansatzen-f-  nachzuweisen  versucht,  ohne 
selbst  behaupten  zu  wollen,  dass  der  Beweis  in  einer  alle  Moglich- 
keiten  umfassenden  Weise  gegliickt  sei.  Es  wird  auch  erforderlich 
sein,  bei  solchen  Untersuchungen  die  einerseits  von  Matheraati- 
kern,  andererseits  von  Astronomen  mit  dem  Worte  Convergenz 


*  Vgl.  Tisserand,  Annales  de  la  facnlte  de  Toulouse,  t.  n.  D  (1888). 
t  Astron.  Nachrichten,  Bd.  106,  p.  209  (1883)  und  Bd.  121,  p.  81  (1889);  Acta 
mathematica,  Bd.  9,  p.  185  (1887)  u.  Bd.  15  (1892). 


28  HEINRICH    BURKHARDT. 

verkniipften  Vorstellungen  *  scharfer  als  dies  Gylddn  gethan  hat 
auseinanderzu  halten. 

In  den  eben  erwahnten  allgemeinen  Untersuchungen  Gylden's 
kommen  ausser  Differentialgleichungen  der  Form  (34)  auch  solche 
der  Form 

y  V  k  /O*7\ 

'$p  =  2  akyK (61), 

sowie  solche  der  allgemeineren,  (34)  wie  (37)  urnschliessenden 

//2/j/  GO  GO 

(38). 


Den  Methoden,  welche  Gylddn  zur  Integration  dieser  Differential- 
gleichungen  vorschlagt,  sind  zwei  wesentliche  Gedanken  von 
zweifelloser  Tragweite  gemeinsam.  Der  eine  ist  die  Erkenntniss, 
dass  das  Auftreten  von  Saeculargliedern  im  Verlaufe  der  succes- 
siven  Annaherungen  in  vielen  Fallen  bedingt  ist  durch  die 
Abweichung  der  Periode  der  betrachteten  Erscheinung-f*  von 
dem  aus  der  ersten  Annaherung  erhaltenen  Werte  derselben, 
samt  der  daraus  entspringenden  Methode,  bei  jedem  Schritte  des 
Annaherungsverfahrens  die  auftretenden  Saecularglieder  dadurch 
zu  beseitigen,  dass  der  bereits  gewonnene  Wert  der  Periode 
vveiter  corrigirt  wirdj.  Der  andere  Grundgedanke  Gylden's 
besteht  in  der  Uberzeugung,  dass  Fortschritte  in  der  Storungs- 
theorie  uber  die  klassischen  Methoden  von  Lagrange  und  Laplace 
hinaus  nur  erzielt  werden  kb'nnen,  wenn  man  sich  das  gesamte 
Arsenal  des  von  der  modernen  Functionentheorie  bereitgestellten 
mathematischen  Riistzeugs  zur  Verfugung  halt.  Die  in  der 
Aufstellung  und  Durchbildung  dieser  beiden  Principien  liegende 
Leistung  GyldeVs  wird  niemand  laugnen  oder  herabsetzen  wollen. 
Wenn  aber  Gylden  unter  alien  Ergebnissen  der  Fuuctionentheorie 
gerade  die  Integration  der  Lame'schen  Differentialgleichung 
durch  elliptische  Function  en  herausgreift  und  jede  auftretende 
Gleichung  in  diese  Form  zu  presseri  sucht,  so  kann  der  Mathe- 

*  Vgl.  hieriiber  Poincar6,  Les  methodes  nouvelles  de  la  mecanique  celeste,  t.  n. 
(Paris,  1893),  p.  1  ff. 

t  Bezw.  die  Periode  des  einflussreichsten  Terms. 

J  Bei  Gleichungen  der  Form  (37)  oder  (38)  erzielt  Gylden  die  erforderliche 
Corrector  der  Periode  durch  Abanderung  des  Moduls  der  elliptischen  Functioiien, 
von  dem  im  Falle  der  Gleichung  (34)  die  Periode  unabhangig  war  (vgl.  31). 


DIFFERENTIALGLEICHUNGEN    IN    DER   ASTRONOMIE.      29 

matiker  darin  nur  einen  Notbehelf  sehen,  dessen  Anwendung 
gerechtfertigt  war,  solange  die  allgemeine  functioneiitheoretische 
Behandlung  der  betreffenden  Gleichungen  noch  nicht  gelungen 
oder  noch  Dicht  bekannt  war,  dem  aber  an  sich  keine  tiefer- 
gehende  Bedeutung  zukommt*. 

IV*     Die  Methode  von  Lindstedt, 

In  der  That  hat  Lindstedt  gezeigt,  wie  man  unter  Beibe- 
haltung  der  wesentlichen  Gedanken  GyldeVs  sich  von  der 
unwesentlichen  Benutzung  der  elliptischen  Functionen  freimachen 
kannf.  Er  behandelt  den  Fall,  dass  in  der  Gleichung  (38)  der 
Coefficient  «10  die  iibrigen  uberwiegt  und  negativ  ist,  also  den 
Fall  einer  Gleichung  der  Form 


(39), 


in  der  a  eine  gegeniiber  n2  kleine  Grb'sse  und  <t>  eine  Reihe 
bedeutet,  die  nach  Potenzen  von  y  mit  positiven  ganzen  Expo- 
nenten  und  nach  trigonometrischen  Functionen  der  ganzen  Viel- 
fachen  von  t  fortschreitet.  Die  traditionelle  Methode  der 
Integration  solcher  Gleichungen  durch  successive  Annaherung 
wu'rde  mit  der  Integration  der  Gleichung 

f  +  n22/o  =  0  ........................  (40), 


durch  T/O  =  cos  nt 

beginnen.     Statt  dessen  integrirt  Lindstedt  (in  Benutzung  des 


*  Unter  den  Astronomen  haben  der  gleichen  Ansicbt  Ausdruck  gegeben  Thiele 
(Astron.  Nackrichten,  Bd.  102,  p.  65,  1882)  und  E.  E(adau)  (Bulletin  astrono- 
mique,  t.  5,  p.  178,  1888).  Die  alteren  Untersuchungen  Gyldens,  welche  die 
Einfiihrung  der  elliptischen  Functionen  in  das  Problem  der  "speciellen"  Storungen 
zum  Gegenstand  haben,  werden  von  dieser  Kritik  nicht  beriihrt,  wie  zur  Vermei- 
dung  jeden  Missverstandnisses  hier  ausdrucklich  bemerkt  sein  mag.  Das  sind 
Fragen,  iiber  die  nicht  der  Mathematiker,  sondern  nur  der  rechnende  Astronom 
entscheiden  kann. 

t  Memoires  de  Vacademie  de  St  Petersbourg,  t.  31,  nr.  4  (1883) ;  Astron.  Nach- 
ricMen,  Bd.  105,  p.  97  (1883).  Uber  Gleichungen  der  Form  (37)  schon  vorher  in 
Astron.  Nachrichten,  Bd.  103,  p.  211  u.  p.  257  (1882).  Ein  in  den  letztgenannten 
Aufsatzen  vorkommendes  Missverstandniss  in  Bezug  auf  die  Methode  Gylden's  hat 
dieser  ebenda  p.  321  aufgeklart. 


30  HEINRICH    BURKHABDT. 

ersten  der  oben  genannten  Principien  GyldeVs),  indem  er  eine 
noch  zu  bestimmende  Correctionsgrosse  v  einfuhrt,  zuerst  die 
Gleichung 

/«+n2(l-ai/)  r/0  =  0  ..................  (41), 


durch  2/0  =  cos  pt,     p  =  n  Vl  —  av 

Dann  setzt  er  y  =•  y0  +  ctTjn  ........................  (43), 

in  (39)  ein,  erhalt  fur  r}0  die  Gleichung 

0+  a<rj0,  t).  .  .(44), 


und  ersetzt  dieselbe  in  zweiter  Annaherung  durch 

C^  +  n*(I-av)yl  =  -n*vy0  +  3>(y0,t)  .........  (45). 

Von  den  Saeculargliedern,  welche  die  Integration  dieser  Glei- 
chung im  allgemeinen  rait  sich  bringt,  werden  die  von  a  freien 
dadurch  beseitigt,  dass 

v  =  Vl  +  av,  +  a?v3  +  .....................  (46) 

angenommen  und  ivgeeignet  bestimmt  wird;  die  iibrigen,  welche 
a  zum  Factor  haben,  werden  zunachst  vernachlassigt  und  erst 
beim  nachsten  Schritte  beriicksichtigt.  Es  wird  namlich  in 
gleicher  Weise  fortgefahren,  i)0  =  y^  +  atji  gesetzt,  flir  ^  die 
Gleichung* 


,  t)} 
(47), 


erhalten,  diese  in  dritter  Annaherung  durch 

> 

++  ...  (48), 


y=yo 

ersetzt  und  nun  i/2  so  bestimmt,  dass  das  Integral  dieser  Gleichung 
keine  von  a.  freien  Saecularglieder  enthalt  u.  s.  f.  Dabei  werden 
zur  Bestimmung  der  v1}  v2  Gleichungen  erhalten,  in  deren  Coeffi- 
cienten  v  selbst  vorkommt  ;  Lindstedt  setzt  in  diesen  einfach 
v  =  0,  indem  er  die  Correctur  der  dadurch  begangenen  Vernach- 
lassigung  ebenfalls  jedesmal  dem  nachsten  Annaherungsschritt 

*  Mit  \f/  ist  die  Gesamtheit  derjenigen  Glieder  bezeichnet,  die  bei  dem  vorher- 
gehenden  Annaherungsschritt  dem  eben  betrachteten  zugeschoben  worden  sind. 


DIFFERENTI  ALGLEICHUNGEN    IN    DEB   ASTRONOMIE.      31 

zuschiebt.     So  erhalt  er  schliesslich  y  entwickelt  in  eine  Reihe 
der  Form 


(49), 


deren  einzelne  Coefficienten  ihrerseits  nach  Potenzen  von  a  ent- 
wickelt sind. 

Lindstedt  betrachtet  auch  noch  simultane  Gleichungen   der 
Form 


und  entwickelt  deren  Losungen  in  Reihen  der  Form 

2Aim_kcos(lp1  +  mp2+  ...  +  k)t  (51), 

damit  erreicht  er  schliesslich  den  Anschluss  an  denjenigen  allge- 
meinen  Ansatz  der  Form  der  Integrale,  von  welchem  Newcomb 
schon  1874  bei  seinen  Vorschlagen  zu  einer  neuen  Behandlung 
der  Storungsprobleme  ausgegangen  war*f*. 

Die  weitere  Discussion  der  Lindstedt'schen  Ansatze  hat  sich 
hauptsachlich  in  zwei  Richtungen  bewegt.  Einmal  hat  die  Frage 
nach  der  Convergenz  der  resultirenden  Reihen  die  Aufmerksam- 
keit  auf  sich  gezogen.  Die  Quadraturen  namlich,  welche  jedesmal 
beim  Ubergang  von  der  Differentialgleichung  "  ohne  zweites 
Glied "  zu  der  "  mit  zweitem  Glied "  erfordert  werden,  fiihren 
Nenner  der  Form  Ip  +  k  ("  Integrationsdivisoren ")  ein,  unter 
welch  en  beliebig  kleine  sich  befinden,  entsprechend  denjenigen 
Werten  von  I  :  k,  welche  Naherungswerte  des  Kettenbruchs  fur 
—  p  sind.  Poincare  hat  zunachst^;  durch  einen  indirecten  Schluss 
dargethan,  dass  die  Losung  des  Dreikorperproblems  nicht  durch 
unbedingt  convergente  Reihen  dieser  Art  dargestellt  werden 
konne ;  weiter§  hat  er  gezeigt,  dass  fur  jede  solche  Reihe  in 

*  y,  z  ...  ersckeinen  hier  als  "  Normalcoordinaten  "  im  Sinne  der  englischen 
Physiker  (vgl.  z.  B.  Thomson  and  Tait,  Treatise  on  natural  philosophy,  t.  i.,  art. 
337). 

t  Smithsonian  contributions  to  knowledge,  vol.  21,  art.  in.,  1876. 

J  Acta  mathematica,  Bd.  13,  p.  254  ff.  (1889). 

§  Methodes  nouvelles  de  la  mecan.  eel.,  t.  n.,  p,  94  ff.  (1893). 


32  HEINRICH   BURKHARDT. 

jedem  Intervall  unendlich  dicht  Werte  von  p  liegen,  fur  welche 
sie  nicht  convergirt.  Zu  demselben  Resultat  war  auch  Bruns* 
bei  sehr  einfachen  Reihen  dieser  Art  auf  einem  andern  Wege 
gelangt,  bei  welchera  in  Frage  kommt,  ob  p  eine  "  algebraische  " 
oder  "  transcendente  Zahl  ist-f"  (Ubrigens  setzen  diese  letztge- 
nannten  Untersuchungen  voraus,  dass  die  Coefficienten  nur 
verraoge  der  Integrationsdivisoren  von  p  abhangen,  was  nicht 
durchweg  der  Fall  ist).  Andererseits  folgt  aber  aus  den  Unter- 
suchungen von  Poincare,  dass  die  Reihen,  wenn  man  sie  nach 
Potenzen  von  a  ordnet,  in  vielen  Fallen  semiconvergent  und  also 
zu  numerischer  Rechrmng  sehr  wol  brauchbar  sind*!*. 

Ausserdem  ist  die  Anwendung  der  Lindstedt'schen  Methode 
auf  Gleichungen  der  Form  (34)  weiter  verfolgt  worden,  insbeson- 
dere  auf  die  Gleichung 

+  (a0  +  aicos£)2/  =  0  ..................  (52), 


die  in  der  mathematischen  Physik  als  "  Differentialgleichung  der 
Functionen  des  elliptischen  Cylinders"  wohl  bekannt  ist  J.  Bruns§ 
hat  zunachst  diese  Gleichung  behandelt  und  fur  dieselbe  die 
Convergenz  des  Lindstedt'schen  Verfahrens  (auf  einem  einiger- 
massen  muhsamen  Wege)  dargethan;  Callandreau||  hat  fur 
den  allgemeinen  Fall  der  Gleichung  (34)  den  Ansatz  des  Inte- 
grals in  der  Form 

•2    Akcos(p  +  k)t  .....................  (53), 


(vgl.  22)  aus  der  allgemeinen  Theorie  der  linearea  Differential- 
gleichungen  gerechtfertigt  und  damit  fur  diesen  Fall  die  Con- 
vergenzfrage  erledigt.  Ausserdem  war  die  Gleichung  (52)  von 
F.  Lindemann^f  in  eigentumlicher  Weise  mit  Hilfe  ihrer  Eigen- 
schaft  integrirt  worden,  dass  das  Produkt  von  zwei  particularen 
Integralen  derselben  eine  ganze  transcendente  Function  ist  ; 


*  Astron.  Nachrichten,  Bd.  109,  p.  215  (1884). 

t  Diese   Untersuchungen   Poincares   fiillen   das   1.  Heft  des   n.   Bdes.   seiner 
me'thodes  nouvelles. 

I  Vgl.  z.  B.  Heine,  Handbuch  der  Kngelfunctionen,  Bd.  i.  (Berl.,  1878),  p.  404. 

§  Astron.  Nachrichten,  Bd.  106,  p.  193  ;  Bd.  107,  p.  129  (1883/4). 

||  Ebenda  Bd.  107,  p.  33. 

IT  Mathematische  Annalen,  Bd.  22,  p.  117  (1883). 


DIFFERENT! ALGLEICHUNGEN  IN  DER  ASTRONOMIE.   33 

Stieltjes*  hat  aus  dieser  Darstellung  die  Resultate  von  Bruns 
von  neuem  abgeleitet. 

In  alien  diesen  Untersuchungen  tritt  zwischendurch  immer 
das  unendliche  System  linearer  Gleichungen  (23)  auf ;  aber  indem 
dessen  direkte  Behandlung  vermieden  wird,  werden  Entwick- 
lungen  erhalten,  welche  nicht  wie  die  von  Hill  fur  alle,  sondern 
nur  fur  beschrankte  Werte  von  a^  Giiltigkeit  haben. 

Eine  Vergleichung  der  von  Gylde'n  und  von  Lindstedt  zur 
Integration  der  Gleichungen  der  Form  (34)  vorgeschlagenen 
Methoden  hat  Tisserand-f-  durchgefuhrt.  Es  ergibt  sich  aus 
seinen  Resultaten,  dass  in  diesem  Fall  die  elliptischen  Functionen 
nichts  leisten,  was  das  Lindstedt'sche  Integrationsverfahren  nicht 
ebensogut  leistete,  und  dassj  die  grosse  Ubereinstimmung  mit 
dem  genauen  Werte,  welche  Gylden  in  dem  von  ihm  zuerst 
behandelten  Falle  der  Bewegung  des  Mondperigaeurns  schon  in 
der  ersten  Annaherung  erzielte,  einein  diesem  Specialfalle  eigen- 
tiimlichen  Zusammentreffen  mehrerer  giinstiger  Umstande  zu 
danken  ist.  Fur  Gleichungen  der  Formen  (37)  und  (38)  ist  eine 
ahnliche  Vergleichung  noch  nicht  durchgefuhrt ;  doch  ist  auch 
fur  sie,  von  ganz  besonderen  Fallen  abgesehen,  ein  analoges 
Resultat  zu  erwarten.  Die  bleibende  Leistung  von  Gylden  in  der 
Theorie  der  "allgemeinen"  Storungen  wiirde  demnach  in  den  unter 
ill  bereits  erorterten  Principien  bestehen,  welche  ihn  bei  der 
Reduction  des  Problems  auf  Differentialgleichungen  der  genann- 
ten  Formen  leiten,  sowie  in  dem  System  von  Umformungen, 
durch  welches  er  diese  Reduction  durchsetzt ;  wahrend  sein 
Integrationsverfahren  weder  eine  tiefere  Einsicht  in  die  Natur 
der  zu  untersuchenden  Functionen,  noch  wesentliche  Vorteile  fur 
die  Ausfuhrung  der  Rechnung  gewahrt.  Fiir  Gleichungen  der 
Form  (34)  ist  die  theoretische  Einsicht  durch  die  allgemeine 
Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  vermittelt,  die  wirk- 
liche  Bestimmung  der  Exponenten  und  Coefficienten  in  alien 
Fallen  durch  das  Hill'sche  Verfahren  geleistet,  das  in  geeigneten 
Fallen  durch  das  Lindstedt'sche  ersetzt  werden  kann.  Fiir  Glei- 
chungen der  Form  (37)  hat  Weierstrass§  die  theoretischen 


*  Astron.  Nachrichten,  Bd.  109,  p.  145,  p.  264  (1884). 
t  Annales  de  lafaculte  de  Toulouse,  t.  n.  D  (1888). 
t  a.  a.  0.  p.  11. 
§  Sitzungsberichte  der  Berl.  Akademie,  1866,  p.  97. 


C.  P. 


34  HEINRICH    BURKHARDT. 

Grundlagen  gelegt  und  einige  Ansatze  fiir  die  Ausfuhrung  der 
Rechnungen  gegeben.  Es  erscheint  demnach  als  eine  Aufgabe 
der  nachsten  Zukunft,  die  allgemeine  Form  (38)  in  gleicher  Weise 
zuganglich  zu  machen.  Aus  der  Theorie  der  elliptischen  Func- 
tionen  wird  man  dabei  Fingerzeige  dariiber  zu  entnehmen  haben, 
welcherlei  mannigfaltige  Moglichkeiten  zu  erwarten  sind ;  die 
schliesslich  fiir  die  Rechnung  erforderlichen  Entwicklungen  in 
trigonometrische  Reihen  wird  man  lieber  direkt  als  auf  dem 
Umweg  iiber  elliptische  Functionen  aufstellen. 

Gottingen,  Juli  1893. 


[Das  eben  erschienene  2.  Heft  des  n.  Bandes  von  Poincare"s 
Me'thodes  nouvelles  ist  dem  Verfasser  erst  nach  Abschluss  dieses 
Berichtes  zugekommen.] 


QUELQUES    FORMULES    RELATIVES   AUX 
OPERATIONS    DE    POLAIRE. 

PAR 
ALFREDO    CAPELLI    A   NAPLES. 

LES  for  mules  que  j'ai  1'honneur  de  communiquer  an  Congres  ont 
pour  but  de  servir  a  ramener,  autant  que  possible,  1'expression 
de  1'ope'ration  H(x,y,  ...,  u)  entre  n  series  de  variables : 

a  des  operations  H  renfermant  un  nombre  plus  petit  de  series. 
L'ope'ration  H  peut  etre  de'finie  par  1'expression*: 


uu...     Dzu       D 


yu 


H(x,  y,z,  ...,  u)  = 


D 


Dyz     Dm\ (1), 


Dpq  designant  I'ope'ration  ele'mentaire  de  polaire : 
D          —        —  — 

Pour  /i  =  n  1'ope'ration  H  revient  a  1'operation  ft  de  M.  Cayley. 
On  a  en  effet  dans  ce  cas  particulier : 


H  («.  y,  ,,...,  «)  =  (2  ±  ^jw ... «%)  (2  ±  /-  ^  ^ . . .  gf-) . . .(2). 

Au  moyen  des  operations  H (x},  H(x,y),...  on  peut  construire 
d'abord  les  n  operations : 


*  Cfr.   Ueber  die  Zurilckfiihrung  der  Cayley'schen  Operation  fl  etc.     (Mathe- 
matische  Annalen,  Band  xxix). 

3—2 


36  ALFREDO    CAPELL1. 

K(x,  y,  z,  ....  u\  =  H(x}  +  H(y}+...  +  H  (a} 

=  •'-' xx   i   -Uyy  "T"  •  •  •  T  J-' 

K(x,y,z,  ...,u).2=H(x,y)  +  H(x,z)  +  H(y,z)  +  ... 
K(x,y,  z,  ...,  u)3=H(x,  y,  z)  +  H(x,y,  t)  +  ... 

K(x,  y,  z,  ...,  u)n  =  H  (x,  y,  z,  ...,  u\ 

ou  K(x,y,z,  ...,u){  est  ddfinie  comme  somme  de  (7)  operations 
correspondantes  aux  (")  combinaisons  des  n  lettres  #,  y,  z,  ...,u 
en  groupes  de  i  lettres.  Je  vais  rappeler  ici  en  peu  de  mots  leurs 
proprietes  plus  importantes,  dont  la  connaissance  rie  sera  sans 
interet  pour  ce  qui  va  suivre. 

(1°)  Une  quelconque  des  n  operations  K(x,y,z,  ...,  w)£  est 
permutable  avec  toute  operation  de  polaire  renfermant  les 
x,y,z,  ...,u*. 

(2°)  Toute  operation  de  polaire,  entre  les  series  x,  y,  z,  ...,u, 
permutable  avec  toute  autre  operation  de  polaire  renfermant  les 
memes  series,  peut  s'exprimer  par  un  aggrtgat  rationnel  entier  des 
n  operations  K(x,  y,  z,  ...,  u ),:•{•. 

(3°)  Entre  les  n  operations  K (x,  y,  z,  ...,  u)i  ne  peut  subsister 
aucune  syzygie.  En  d'autres  mots,  il  ne  saurait  exister  un  aggregat 
rationnel  entier  des  n  operations  K  (x,  y,  ...,  u\  dont  le  resultat 
soit  nul  identiquement.  Pour  le  cas  de  /t*<  n  il  y  aurait  cependant 
a  faire  des  exceptions  dont  nous  nous  passerons  icij. 

I. 

Pour  p  <  n  le  resultat  de  ropdration  H  (x,  y,  . . .,  u)  etant  nul 
identiquement,  on  doit  supposer  naturellement  fi  >  n.  Mais,  pour 
H  >  n,  il  serait  impossible,  d'apres  ce  que  je  viens  de  rappeler, 
d'exprimer  1'operation  H  (ac,  y,  ...,  u)  au  moyen  des  operations 
plus  simples 

K  (x,  y,  ...,  u)1}     K  (x,  y,  ...,  u)2,  ...,     K(x,y,  ...,  u)n-i- 

*  Cfr.  Ricerca  delle  operazioni  invariantive  permutabili  con  ogni  ultra  operazione 
invariantiva  (Atti  della  E.  Accademia  delle  Scienze  fisiclie  e  matematiche  di 
Napoli,  Serie  2»,  Vol.  i.  1888). 

t  Cfr.  Sul  sistema  completo  delle  operazioni  di  polare  permutabili  etc.  (Eendi- 
conti  de  la  meme  Acad.  Febbrajo  1893). 

J  DelV  impossibilita  di  sizigie  fra  le  operazioni  fondamentali  permutabili  con 
ogni  ultra  operazione  di  polare  fra  le  stexse  serie  di  variabili  (Kendiconti  de  la  m£me 
Acad.  Giugno  1893). 


OPERATIONS    DE   POLAIRE.  37 

Les  formules  que  je  vais  communiquer  ramenent  d'abord 
1'operation  H  (x,  y,  z,  ...,  u)  a  1'operation  H  (y,  z,  ...,  u\,  en 
designant  en  general  par  H  (x,  y,  z,  ...,  u)p  le  meme  determinant 
(1)  oil  Ton  ait  substitue  p  +  Dxx,  p  +  Dm,...,  p  +  Duu,  dans  la 
diagonale,  respectivement  au  lieu  de  Dxx,  Dyy,  ...,  Duu.  Pour 
mieux  fixer  les  ide'es,  j'ecrirais  les  formules  dont  il  s'agit  pour  le  cas 
de  quatre  series  x,  y,  z,  u  ;  1'extension  au  cas  d'un  nombre  quel- 
conque  de  series  n'ayant  besoin  d'autres  explications.  On  peut 
deVelopper  H  (x,  y,  z,  t)  suivant  1'une  ou  1'autre  des  quatre  formules: 

(a)  H(x,  y,  z,  t)  =  H(y,  z,  t\  Dxx  +  A^Dxy  +  A2DXZ  +  A3Dxt 


(ft)  H(x,  y,  z,  t)=H(y,  z,  t)  Dxx-B,Dyx-B,Dzx-B3Dtx+ZH(y,  z,  t)  \ 
(a')  H(x,  y,  z,  t)  =  H(y,  z,  t\  Dxx  -  DyxB,  -  DZXB,  -  DtxB3 

.........  (4), 

ou: 

—  A!  =  DyxH^  —  H^Dyx,     —B1  =  DxyHl  —  H1Dxy} 

-A,  =  DZXH1-H1DZX,     -B,«D«fi1-JH1D«  ......  (5), 

-  As  =  DtxH,  -  H,Dtx,     -B3  =  DxtH,  -  H.D^  } 
et 

Dyz        Dxz 

Dzy    2  +  Dyy     Dxy      .........  (6). 

D^       Dyx    l+Dxxt 

La  comparaison  de  la  formule  (a)  avec  (a)  et  de  la  formule  (/3) 
avec  (S'   nous  donne  les  identites  suivantes  : 


H(y,  z,  t\  .  (D^Dvy  +  DZXDX 

=  (DyxDxy  +  J)ZXDXZ  +  DtxDxt)  .  H  (y,  z, 
H(y,  z,  t^.^D^  +  D^D^  +  DaD^ 

=  (DxyDyx  +  D^D^  +  DxtDtx)  .  H  (y,  z,  t)p 

pour  p  =  l,  identites  que  Ton  pourrait  aussi  dtablir  directement. 

II. 

II  reste  a  eliminer  de  (4)  et  (5)  1'operation  H  (y,  z,  t\  ou,  plus 
generalement,  a  exprimer  H  (y,  z,  t,  ...,  w)j  au  moyen  de 
H  (y,  z,  t,  ...,  u),  H(z,  t,  ...,  u)  etc.  II  suffirait  a  cet  objet 
d'appliquer  la  formule  generate  que  j'ai  donne'e  ailleurs*: 

*  DelV  impossibilita  di  sizigie  fra  le  operazioni  fondamentali  permiitabili  con 
ogni  altra  operazione  di  polare  fra  le  stesse  serie  di  variabili  (Rendiconti  de  la  meme 
Acad.  Giugno  1893). 

102480 


38  ALFREDO   CAPELLI. 

H(x,  y,  ...,  w)p+1  =  (p  +  1)  (p  +  2)  ...  (p  +  n) 


+  (p  +  1) (p  +  2) ...  (p  +  n  -  2) .  K(x,  y,  ...,  u\ 


h  .-.(8), 


oil  n  est  le  nombre  des  series  x,  y,  ...,  u,  et  les  K (x,  y,  ...,  u\  sont 
definies  par  les  formules  (3).     On  en  de'duit  en  effet  pour  p  =  0 : 


i  +  H(x,  y,  ...,«)  ......  (9). 


et  en  particulier 


+  H(y,  t)  +  H(z,  t}  +  H(y,  z,  t)  ......  (9)'. 

Mais  il  est,  peut-etre,  preferable  de  proc^der  comme  il  suit. 
En  faisant  dans  (8)  p  =  —  2,  on  en  deduit  : 

H(x,  y,  ...,  u)  =  H  (x,  y,  .  .  .,  u)^  +  K  (x,  y,  .  .  .,  «)„_!  .  .  .(10). 

Maintenant,  si  Ton  change  partout  dans  les  formules  (4),  ainsi 
qu'il  est  permis,  jD^,  Dyy,  Dzz,  Dtt  respectivement  en  Dxx—\, 
Dyy  —  \,  Dzz—l,  Du  —  \,  ces  formules  deviennent 

H(x,  y,  z,  t)^=H(y,  z,  ^D^+A.'D^  +  A,'Dxz+A3'Dxt  -  H(y,  z,  t) 
H(x,  y,  z,  0_i  = 


H(x,  y,  z,  0_!  =  H(y,  z,  t)^Dxx  -  B^Dyx  -  B.;DZX  -  B3' 
H(x,  y,  z,  t).l  =  H(y,  z,  t)Dxx-  D^B,'  -  DUBJ  - 
011: 


(11), 


,  z,  t)-H(y,  z,  t).Dyx 
-  A2'  =  Dzx  .  H(y,  z,  0  -  H(y,  z,  t)  .  D^ 


,(12). 


l,z,  t)-H(y,z,  0«A* 
,,z,t)-H(y,z,t).Dxz 
-  B3'  =  Dxt .  H(y,  z,  t)  -H(y,  z,  t} .  Dxt 

La  premiere  des  formules  (11)  substitute  dans  la  (10),  pour  n  =4, 
nous  donne : 


H(x,y>  z,  t)  =  H(y,  z, 

+  H(x,  y, 


a,  z,  t)+H(a;,  y,  z)  ......  (13) 


OPERATIONS    DE   POLAIRE.  39 

ou  bien  : 

H(as,  y,  z,  t)=H(y,  zy  t).Dxx  -     2    (Dp*H(y,  2,  £)  -  H(y,  z,  t)Dpx)Dxp 

p=y,z,t 

+  H(x,  y,t)  +  H  (a?,  z,  t)  +  H(x,  y,  z}. 

Dans  le  cas  de  n  series  x,  y,  z,  ...,  u  on  aurait  analoguement : 
H(x,y,  z,  ...,  u)  =  H(y,  z,  ...,  u).(Dxx-l)-  2  (DpxH(y,z.  ...,v) 

p=y,z,...,u 

-H(y,  z,  ...,  u)Dpx)Dxp+K(x,  y,  z,  ...,  u)n^ (14), 

K  (x,  y,  z,  ...,  w)w_!    designant   la   meme  operation   definie   par 
les  (3). 

Naples,  le  10  ao&t  1893. 


ON    A    CERTAIN    SIMPLE    GROUP. 

BY 

F.   N.   COLE  OF   ANN   ARBOR. 

1.  DESPITE  the  great  advances  of  the  past  fifty  years,  the 
Theory  of  Groups  remains  to-day  in  many  respects  in  a  very 
unfinished  state.  It  is  true  that  we  possess  an  accurate  system  of 
general  classification  on  the  one  hand  and  an  elaborate  knowledge 
of  special  types  on  the  other.  But  between  these  two  extremes 
lies  a  vast  middle  ground,  the  exploration  of  which  is  extremely 
slow  and  difficult.  Thus  groups  in  general  have  been  divided  since 
Galois  into  simple  and  compound,  and,  in  case  of  substitution 
groups,  into  transitive  and  intransitive,  primitive  and  non-primi- 
tive ;  the  groups  belonging  with  algebraically  solvable  problems  are 
known ;  and  the  theory  of  the  groups  of  linear  transformations, 
including  the  congruence  groups,  are  familiar;  and  we  have  an 
extensive  series  of  theorems  limiting  the  possibilities  of  substitu- 
tion groups.  But  the  determination  of  all  the  groups  of  given 
order,  or  of  given  degree,  or  of  all  the  primitive  or  all  the  simple 
groups,  etc.,  is  still  an  almost  untouched  problem.  Much  of  this 
is  due  to  the  lack  of  positive  criteria  and  the  consequent  necessity 
of  employing  processes  of  exclusion.  Thus,  a  primitive  or  a  simple 
group  is  one  which  is  not  non-primitive  or  compound,  the  im- 
portant type  in  each  case  receiving  the  negative  definition. 

In  an  abstract  and  intricate  theory  like  that  of  groups,  too 
much  must  not  be  expected  in  the  way  of  general  development  from 
the  accumulation  and  study  of  individual  examples.  No  amount 
of  such  experimentation  could  have  led  to  our  modern  knowledge. 
Progress  is  from  abstract  to  abstract.  Nevertheless,  in  the  absence 
of  a  general  method,  something  may  be  accomplished  by  the 
tentative,  step-by-step  process,  especially  within  moderate  limits 
where  the  labor  involved  is  not  incommensurate  with  the  value  of 
the  result.  Thus,  it  is  of  some  scientific  interest  to  obtain  all  the 


ON    A    CERTAIN    SIMPLE   GROUP.  41 

groups  of  lower  degrees  and  orders,  and  the  simple  groups  below 
any  convenient  order. 

The  latter  problem  has  been  solved  by  Dr  Otto  Holder*  and 
myself"f*  as  far  as  order  660.  It  appears  that  below  this  limit  the 
only  cases  are  the  known  simple  groups  of  prime  orders,  and  of 
orders  60,  168,  360,  and  660,  together  with  a  type,  apparently  new, 
of  order  504.  The  cases  of  order  60  and  360  are  identical  with 
the  alternating  groups  of  five  and  of  six  letters  ;  those  of  order 
60,  168.  and  660  are  identical  with  the  groups  of  the  modular 
equations  for  the  transformations  of  the  5th,  7th  and  llth  orders  of 
the  elliptic  modular  functions.  The  two  former  orders  are  of  the 
general  type  ^nl  ;  the  three  latter  of  the  general  type  ^p(pz  —  1), 
where  p  is  a  prime.  Beside  these  general  formulae  for  the  orders 
of  classes  of  simple  groups,  Camille  Jordan  £  has  given  others  : 


where  pn  =(=  22  or  32,  and  8  is  the  greatest  common  divisor  of  n  and 
p-1. 

|  (p*n  -  1)  p8"-1  (j9**-s  -  I)p™~s  ...(p*-\)p,  (p>2)  ......  (2). 

(22»  -  1)  22»-'  (22n~-  -  1)  22"-3  .  .  .  (22  -  1)  2,  (n  >  2)  ......  (3), 

(Ptt-l)2«-*...(P8-l)2»J  (n>2)  ............  (4), 

where  Pn  =  22;M  +  2IM. 

The  simple  group  of  order  504  obviously  does  not  come  under 
any  of  these  forms. 

2.  By  Sylow's  Theorem  §  on  the  structure  of  groups,  a  simple 
group  of  order  504  might  contain  4,  7,  or  28  subgroups  of  order 
9  ;  3,  7,  9,  21,  or  63  subgroups  of  order  8,  and  8  or  36  subgroups  of 
order  7.  In  each  case  the  highest  number  of  subgroups  is  actually 
present  in  the  simple  group  as  found. 

It  is  not  however  easy  to  construct  the  group  by  this  method, 
nor  was  this  the  method  by  which  it  was  originally  obtained.  It 


-;-  Math.  Ann.  Bd.  40,  p.  55. 

t  American  Jour,  of  Math.  Vol.  14,  p.  378,  Vol.  15,  p.  303. 

£  Traite  des  substitutions,  pp.  106,  176,  177,  205. 

§  Math.  Ann.  Bd.  5,  pp.  T.84— 94. 


42  F.    N.    COLE. 

appeared  as  an  accidental  result  in  the  determination  of  the 
transitive  substitution  groups  of  nine  letters*.  In  fact,  it  contains 
9  conjugate  subgroups  of  order  56,  which,  when  it  is  expressed  as 
a  group  of  nine  letters,  appear  as  the  9  subgroups  which  leave 
each  one  letter  unaffected.  These  subgroups  are  certainly  transi- 
tive in  seven  letters,  and  therefore,  since  there  are  exactly  9  of 
them,  also  in  eight  letters.  Those  of  their  substitutions  which 
leave  a  single  letter  unchanged  form  a  subgroup  of  order  7.  The 
latter  furnish  8'6  distinct  operations  of  order  7,  which  with  identity 
and  7  substitutions  affecting  8  letters  each  make  up  the  entire 
subgroup  of  order  56.  The  nine  subgroups  of  this  order  furnish 
therefore  280  substitutions,  leaving  224  which  affect  nine  letters 
and  which  make  up  exactly  28  subgroups  of  order  9.  The  latter 
are  cyclical  and  all  their  operations  are  distinct.  The  substitutions 
of  the  group  are  therefore  168  of  order  9  and  56  of  order  3 
affecting  9  letters  each,  63  of  order  2  affecting  8  letters  each,  216 
of  order  7  affecting  7  letters  each,  and  identity.  The  group  is 
triply  transitive. 

That  the  group  actually  exists  may  be  shown  as  follows.     The 
substitution 

0-  =  (2354786) 

transforms  the  group  of  order  and  degree  8 

1,  T5  =  (15)  (26)  (37)  (48), 

(34)  (56)  (78),  rB  =  (16)  (25)  (38)  (47), 

(24)  (57)  (68),  r7  =  (17)  (28)  (35)  (46), 

(23)  (58)  (67),  r8  =  (18)  (27)  (36)  (45), 

into  itself,  and  therefore  with  the  latter  generates  a  doubly 
transitive  group  H  of  degree  8  and  order  56.  If  to  H  is  added 
the  substitution 

p  =  (193872456), 

it  is  readily  shown  ^  that  for  every  a 


so  that  p  and  H  generate  a  triply  transitive  group  of  order  504 
and  degree  9.     That  this  group  is  simple  appears  from  a  method 


*  Cf.  Bulletin  of  the  N.  Y.  Math.  Society,  Vol.  2,  pp.  253—4. 
t  L.  c.  p.  254. 


ON    A    CERTAIN    SIMPLE   GROUP.  43 

of  consideration  due  to  Klein*.  If  namely  the  group  contained 
a  self  -conjugate  subgroup,  the  latter  must  include  all  or  none  of 
the  subgroups  of  any  conjugate  set.  Accordingly,  if  a,  fi,  7,  B 
denote  each  either  1  or  0,  the  number 

168  a  +  56  £  +  63  7  +  216  8  +  1 
must  be  a  divisor  of  504.     The  only  possibilities  here  are 


and  a  =  /3  =  7  =  S=l, 

and  the  only  self-conjugate  subgroups  are  therefore  identity  and 
the  entire  group  itself. 

ANN  ARBOR,  August,  1893. 


Cf.  Ikoftaeder,  p.  18. 


[Copies  of  this  article  were  presented  to  the  members  of  the  congress  for  use  in 
visiting  the  German  University  Exhibit.     Editors.] 


EINLEITUNG   ZU   DEM    FUR   DEN    MATHEMATI- 

SCHEN    TEIL    DER    DEUTSCHEN    UNIVERSI- 

TATSAUSSTELLUNG    AUSGEGEBENEN 

SPECIALKATALOG. 

VON 
WALTHER   DYCK   IN   MUNCHEK 

DIE  Deutsche  Universitatsausstellung  in  Chicago,  auf  Veranlass- 
img  der  Koniglich  Preussischen  Unterrichtsverwaltung  ins  Lebeu 
gerufen,  bezweckt  ein  zusammenfassendes  und  moglichst  anschau- 
liches  Bild  von  dem  Stand  und  der  Bedeutung  der  Deutschen 
Universitaten  nach  ihren  Aufgaben  der  Lehre  und  Forschung  zu 
geben. 

Fallt  die  vornehmliche  Aufgabe  eines  zusammenfassenden 
Berichtes  von  der  historischen  Entwickelung  unserer  Hoch- 
schulen,  von  deren  Einfluss  auf  den  Fortschritt  der  einzelnen 
Wissenschaften,  von  ihrer  gegenwartigen  Stellung  im  Leben  der 
Nation,  dem  fur  die  Ausstellung  vorbereiteten  Sammelwerke 
"Die  Deutschen  Universitaten"  zu,  so  ist  fur  die  Ausgestal- 
tung  der  einzelnen  Gruppen  der  Ausstellung  selbst  um  so  mehr 
der  Spielraum  gegeben,  je  nach  richtigem  Ermessen  sei  es  die 
historische,  sei  es  die  padagogische,  sei  es  die  rein  vvissenschaft- 
liche  Seite  des  speciellen  Faches  zur  Vorfuhrung  zu  bringen  und 
durch  diese  Mannigfaltigkeit  das  Gesamtbild  zu  beleben. 

Die  mathematische  Ausstellung  will  von  unserer  modernen 
Forschung  und  von  unseren  gegenwartigen  Methoden  und  Hiilfs- 
mitteln  des  hoheren  mathematischen  Unterrichtes  Zeugnis  geben, 
und  fasst  dabei,  •  wie  dies  in  unserem  Fache  den  gemeinsamen 
Aufgaben  entspricht,  die  Thatigkeit  unserer  Deutschen  Universi- 
taten und  Technischen  Hochschulen  zusammen. 

Die  Mittelgruppe  der  Ausstellung  fuhrt  in  der  Kolossalbiiste 
von  Gauss,  in  den  Bildnissen  von  Jacobi,  Dirichlet  und 
Riemann  die  Manner  vor  Augen,  deren  fundamentale  Werke  die 


DEUTSCHE    UNIVERSITATSAUSSTELLUNG.  45 

Marksteine  der  mathematischen  Arbeit  unseres  Jahrhunderts  in 
Deutschland  bezeichnen*. 

DieZusammenstellungneuererdeutscher  mathematischer 
Literatur  (vergl.  Teil  II  des  Specialkataloges  der  mathematischen 
Ausstellung)  soil,  ohne  Anspruch  auf  Vollstandigkeit  zu  machen, 
die  wesentlichsten  Richtungen  unserer  heutigen  mathematischen 
Forschung  im  Einzelrien  zu  verfolgen  gestatten  und  so  das  von 
F.  Klein  in  dem  eben  erwahnten  Sammelwerke  liber  die 
Deutschen  Universitaten  gegebene  Bild  ihrer  Entwicklung  er- 
ganzen. 

Wir  unterscheiden  die  Schriften  der  Akademieen,  der  Uni- 
versitaten, die  mathematischen  Zeitschriften  und  den  eigentlichen 
buchhandlerischen  Verlag. 

Die  Akademieen  haben,  soweit  wir  von  ihrem  weiteren,  die 
Gesamtheit  der  Natur-  und  Geisteswissenschaften  einheitlich  um- 
fassenden  Wirkungskreis  absehen,  und  auf  den  gesonderten  des 
speciellen  Faches  eingehen,  sich  einmal  die  Aufgabe  gestellt,  die 
Werke  der  hervorragendsten  Deutscheu  Mathematiker  herauszu- 
geben — so  die  K.  Preussische  Akademie  der  Wissenschaften  zu 
Berlin  die  Werke  von  Dirichlet,  Jacobi,  Steiner  und  neuer- 
dings  die  von  Kronecker ;  die  K.  Gesellschaft  der  Wissenschaften 
zu  Gottingen  Gauss'  und  Weber's  Werke;  die  K.  Sachs. 
Gesellschaft  d.  W.  zu  Leipzig  die  von  Mb'bius  und  neuerdings 
die  von  Grassmann;  die  K.  Bayer.  Akademie  der  Wissenschaften 
zu  Mil nc hen  die  Schriften  von  Fraunhofer  und  gegenwartig  die 
von  Hesse.  Andererseits  sollen  die  Sitzungsberichte  und  die 
Abhandlungen  dieser  Gesellschaften  Gelegenheit  bieten  zu 
rascherer  Publikation  kiirzerer  wissenschaftlicher  Mitteilungen, 
wie  zu  der  fur  den  Einzelnen  zu  kostspieligen  Drucklegung 
umfangreicherer  Denkschriften. 

Die  Schriften  der  Akademieen  und  vornehmlich  die  mathe- 
matischen Zeitschriften  enthalten  wohl  den  wesentlichen  Teil 
unserer  neueren  mathematischen  Forschungen  und  sie  haben  sich 
dabei  nicht  auf  Deutschland  allein  beschrankt.  Heben  wir  hier 


*  Eine  gesonderte  Gauss-Weber-Ausstellung giebt  in  historischen  Dokumenten, 
Apparaten,  Schriftstiicken  und  Photographieen  des  physikalischen  Instituts,  der 
Sternwarte  und  des  Gaussischen  Erdmagnetischen  Observatoriums  zu  Gottingen 
ein  Bild  von  der  gemeinsamen  Thatigkeit  der  beiden  grossen  Gelehrten.  (Vergl. 
den  allgem.  Katalog  der  Universitats-Ausstellung  pg.  48.) 


46  WALTHER    DYCK. 

zuvdrderst  die  alteste  dieser  Zeitschriften,  das  1826  von  Crelle 
gegriindete,  jetzt  bis  zum  111.  Bande  gediehene  "Journal  fur  die 
reine  und  angewandte  Mathematik"  hervor.  Mit  Recht  konnten 
Kronecker  und  Weierstrass  zur  Einleitung  des  100.  Bandes 
(1887)  sagen  :  "  Die  Geschichte  der  Entwickelung  dieses  Journales, 
welches  noch  von  Gauss,  Poisson,  Poncelet  Beitrage  erhalten 
hat,  welches  die  Mehrzahl  der  Werke  Abel's,  Jacobi's,  Lejeune- 
Dirichlet's,  Steiner's  zuerst  veroffentlicht  hat,  welches  Haupt- 
arbeiten  Riemann's  und  Abhandlungen  von  vielen  der  be- 
deutendsten  unter  den  noch  lebeuden  alteren  und  jungeren 
Mathematikern  und  mathematischen  Physikern  aller  Nationen 
enthalt,  welches  also  vier  mathematischen  Generationen  als  Statte 
fur  Publicationen  gedient  hat,  stellt  einen  guten  Teil  der  Geschichte 
der  Entwickelung  dar,  welche  die  Mathematik  selbst  in  den 
vergangenen  sechzig  Jahren  genommen."  Im  Jahre  1846  entstand 
das  "  Archiv,"  1856  die  "Zeitschrift  fur  Mathematik  und  Physik," 
beide  besonders  die  Bediirmisse  der  Lehrer  an  hoheren  Unter- 
richtsanstalten,  die  letztere  vorzugsweise  auch  die  Geschichte  der 
Wissenschaft  betonend.  1868  rief  R.  A.  Clebsch  in  Verbindung 
mit  C.  Neumann  die  "Mathematischen  Annalen"  ins  Leben,  die 
heute  in  einer  Reihe  von  42  Bariden  zusammen  mit  den  genannten 
Journalen  von  der  Intensitat  und  der  Vielseitigkeit  mit  der  die 
mathematischen  Wissenschaften  in  Deutschland  betrieben  werden, 
berichten. 

Neben  die  Aufgabe  unserer  Fachzeitschriften,  jeweils  den 
actuellen  Stand  der  mathematischen  Forschung  zu  umfassen,  stellt 
sich  noch  eine  zweite,  welche  das  "  Jahrbuch  iiber  die  Fortschritte 
der  Mathematik"  in  der  Zusammenstellung  und  Berichterstattung 
iiber  die  gesamte  moderne  mathematische  Literatur  sich  gestellt 
hat,  eine  Aufgabe,  welche  neuerdings  die  "  Jahresberichte  der 
deutschen  Mathematiker-Vereinigung"  durch  zusammenhangende 
Darstellungen  einzelner  Gebiete  der  neueren  Forschung  zu  erganzen 
suchen. 

Den  deutschen  mathematischen  Verlag  kennzeichnet  das 
verbal  tnismassige  Zurucktreten  der  Lehrbiicher  fiir  den  hoheren 
mathematischen  Unterricht,  ein  Umstand  der  in  der  individu- 
ellen  Ausgestaltung  auch  der  einfiihrenden  mathematischen 
Vorlesungen  an  unseren  Hochschulen,  wie  sie  die  Vorbildung  der 
Schiller,  Neigungen  der  Docenten  haben  entstehen  lassen,  seine 


DEUTSCHE   UNIVERS1TATSAUSSTELLUNG.  47 

Begriindung  findet.  Um  so  mehr  zeichnet  sich  dieser  Buchverlag 
durch  das  Vorhandensein  einer  grossen  Anzahl  specieller,  der 
eigentlichen  Forschung  angehorender  Werke  aus  und  so  kommen 
auch  in  diesen  Veroffentlichungen  die  Richtungen  unserer  neueren 
deutschen  mathematischen  Forschung  zum  Ausdruck.  Waiter 
seien  hier  die  Sammelwerke  hervorgehoben,  welche  sich  die 
Aufgabe  stellen,  die  klassischen,  fur  den  Fortschritt  der  Wissen- 
schaffc  fundamentalen  Werke  in  handlichen  Ausgaben  allgemein 
zuganglich  zu  machen. 

Mit  der  Vorfiihrung  der  bis  zum  Jahre  1850  zuriickreichenden 
Inauguraldissertationen  zur  Erlangung  der  Doctorwiirde, 
wie  der  venia  legendi,  welche  durch  das  Entgegenkommen  der 
Universitatsbibliothek  zu  Marburg  ermoglicht  wurde,  leiten 
wir  in  das  Gebiet  des  mathematischen  Unterrichtes  iiber. 
Wir  glauben  unsern  Lesern  einen  Dienst  zu  erweisen,  wenn  wir 
im  Kataloge  die  ausfuhrliche  Liste  der  Dissertationen  (Teil  II, 
Abschnitt  5)  geben.  Spricht  sich  doch  in  den  verschiedenen 
Richtungen  und  mannigfachen  Arbeitsgebieten,  welchen  diese 
Abhandlungen  entnommen  sind,  der  individuelle  Charakter  der 
einzelnen  Hochschulen,  wie  er  nach  den  Forschungsgebieten  der 
Lehrer  auch  im  Unterrichte  sich  gestaltet,  am  klarsten  aus,  und 
kommt  gerade  hier  die  Wirksarnkeit  der  mathematischen 
Seminare  zum  vollen  Ausdruck. 

Es  mogen  einige  Bemerkungen  liber  Entstehung  und  Zweck 
dieser  Seminare,  wie  sie  jetzt  an  alien  deutschen  Hochschulen 
bestehen  und  wie  sie  aufs  engste  mit  dem  ganzen  Unterrichtsplane 
derselben  zusamrnenhangen,  hier  Platz  finden. 

Uber  die  Vorgeschichte  des  in  Konigsberg  1834-  ins 
Leben  getretenen  ersten  mathematischen  Seminars  schreibt 
Richelot  in  einem  Berichte  an  das  K.  Preussische  Unterrichts- 
ministerium  (welcher  im  besonderen  die  Stellung  der  sog.  allgemein 
bildenden  Facher  zu  den  speciellen  Fachstudien  bespricht*). 
"  Die  von  unwissenschaftlichen  Nichtkennern  Einseitigkeit  ge- 
riannte  wissenschaftliche  Vertiefung  wurde  von  einem  Manne 
(namlich  Bess  el)  hierher  verpflanzt,  der  in  alien  fiinf  Weltteilen 
beriihmt  war  und  bleiben  wird,  und  dem  es  im  Laufe  von  wenig 


*  Die  hier  gegebene  Mitteilung  iiber  das  Konigsberger  Seminar  verdanke  ich  der 
Giite  von  Herrn  F.  Lindemann. 


48  WALTHER   DYCK. 

Jahren  eben  durch  dies  Mittel  gelang,  einer  bis  dahin  in  den 
exacten  Wissenschaften  vollig  unbedeutenden  Universitat  gerade 
in  dieser  Richtung  einen  bedeutenden  Namen  zu  verschaffen. 
Sein  Unterricht  wurde  sehr  bald  der  einzige,  der  von  den  hiesigen 
Mathematikern  benutzt  wurde,  obgleich  er  seine  Zuhb'rer  meist 
nur  in  einem  speciellen  Teile  des  mathematischen  Wissens,  in  der 
mathematischen  Astronomie  vertiefte.  Als  seit  1826  der  gross- 
artige  Geist  Jacobi's  hier  zu  wirken  begann,  wurden  durch  den 
erweiterten  Umf'ang  der  hier  gelehrten  mathematischen  Disciplinen 
die  jungen  Mathematiker  noch  mehr  den  ihrer  Wissenschaft  ferner 
liegenden  Studien  entzogen;  .  .  .  Beide  grosse  Mathematiker 
verschmahten  es  nicht,  einen  betrachtlichen  Teil  ihrer  Zeit  und 
Kraft  der  Ausbildung  ihrer  Schiller  zu  opfern,  und  es  gelang 
ihnen  bald,  den  Lehranstalteii  der  Provinz  zunachst  solche  Lehrer 
zuzufuhren,  die  den  mathematischen  Unterricht  auf  eine  in 
Deutschland  nicht  geahiite  Hohe  brachten  .  .  .  Nachdem  Neu- 
mann's unvergleichliche  Lehrwirksamkeit  in  der  mathemati- 
schen Physik  hier  Wurzel  gefasst  und  bald  ihre  fast  einzige 
Pflanzstatte  in  Deutschland  gefunden  hatte,  wurden  namentlich 
durch  die  Grlindung  des  mathematisch-physikalischen  Seminars 
die  Studien  der  hiesigen  Mathematiker  auf  reine  Mathematik, 
mathematische  Physik  und  theoretische  Astronomie  und  Mechanik 
concentrirt." 

In  der  That  war  Jacobi  der  erste,  der  es  unternahm,  auch  die 
neuesten  und  zur  Zeit  hochsten  Probleme  seiner  Wissenschaft  in 
seinen  Vorlesungen  den  Studirenden  darzulegen,  wie  es  jetzt  in 
den  Specialvorlesungen  und  Seminaren  allenthalben  an  unseren 
Hochschulen  zu  geschehen  pflegt.  Auch  heute  noch  liegt  der 
wesentlichste  Teil  des  Seminarunterrichtes  in  der  Anleitung  zu 
eigener  wissenschaftlicher  Thatigkeit  und  in  der  Einflihrung  in 
die  mathematische  Literatur.  Mittelbar  kommt  diese  Ausbildung 
auch  dem  praktischen  Berufe  des  klinftigen  Lehrers  zu  gute, 
insoferne  Griindlichkeit  und  Klarheit  durch  sie  gefordert  wird. 
Der  eigentlichen  padagogischen  Ausbildung  aber  dienen  besondere, 
an  den  Mittelschulen  errichtete  Seminare.  Von  ihnen  sei  das 
durch  mehr  als  dreissig  Jahre  unter  Schellbach's  Leitung 
stehende  Berliner  Seminar  hervorgehoben,  dem  auch  eine  Reihe 
unserer  heutigen  Hochschuldocenten  angehort  hat. 

Was   die   besondere  Gliederung  des  mathematischen  Unter- 


DEUTSCHE    UNI  VERSIT  ATS  AUSSTELLUNG.  49 

richtes  in  den  einleitenden  und  allgemeinen  wie  den  speciellen 
Vorlesungen  und  Seminaren  betrifft,  so  sei  auf  die  Ausfuhrungen 
des  Sammelwerkes,  wie  auf  die  in  der  Ausstellung  aufgelegten 
Jahresberichte  und  Studienplane  der  einzelnen  Hochschulen 
verwiesen.  Hier  sei  nur  noch  eine  Seite  der  Entwickelung  unseres 
modernen  Unterrichtes  hervorgehoben,  deren  Vorfiihrung  unsere 
raathematische  Ausstellung  im  Besonderen  gewidmet  ist:  die 
Entstehung  der  Sammluugen  mathematischer  Modelle, 
Apparate  und  Instrumente. 

Das  Interesse  fur  die  raumliche  Gestaltung  geometrischer 
Gebilde  geht,  wenn  wir  von  friiheren  zumeist  auf  ebene  Gebilde 
beztiglichen  gestaltlichen  Untersuchungen  absehen,  auf  Monge 
und  seine  Schiller  zuriick.  Der  systematische  Ausbau  der  darstel- 
lenden  Geometric,  die  Anwendungen  der  Differentialrechnung  auf 
geometrische  Fragen,.  Anwendungen  der  Mathematik  auf  physi- 
kalische  und  technische  Probleme,  veranlassten  eine  Ftille  von 
gestaltlichen  Untersuchungen.  Der  von  Monge  umfassend  ange- 
legte  Unterrichtsplan  der  ecole  polytechnique  wies  diesen  Fachern 
einen  breiten  Baum  zu ;  hier  erwiesen  sich  zweckentsprechende 
Modelle  und  Apparate  als  ein  fruchtbares  Hiilfsmittel  des  Ver- 
standnisses.  So  entstanden,  von  Schiilern  von  Monge  gefdrdert, 
weiterhin  durch  die  Thatigkeit  des  conservatoire  des  arts  et 
metiers  unterstiitzt,  in  Paris  die  bekannten  Sammlungen  von 
Modellen  von  Brocchi,  Olivier,  Bardin,  Muret,  de  Saint  Venant. 

Gleichzeitig  traten  auch  in  Deutschland  mit  den  Schopfungen 
von  Steiner,  Mobius,  Pllicker,  Hesse  rein  geometrische  Untersuch- 
ungen in  den  Vordergrund  des  Interesses,  und  so  war  es  naturgemass, 
dass  auch  hier  der  Sinn  ftir  gestaltliche  Fragen  praktische  Be- 
thatigung  fand.  Die  von  Fiedler  und  von  Chr.  Wiener  ausge- 
fuhrten  Modelle  von  Flachen  dritter  Ordnung,  die  den  Formen- 
reichtum  algebraischer  Flachen  zuerst  veranschaulichenden 
Plticker'schen  Complexflachen,  die  Modelle  zur  Theorie  der 
Strahlensysteme,  zur  Krlimmungstheorie,  zu  Flachen  vierter 
Ordnung  von  Kummer,  mb'gen  als  die  ersten  hier  genannt  sein. 

Das  grosste  Interesse  und  eine  Flille  neuer  Anregung  bot  dann 
die  im  Jahre  1876  zu  London  im  South  Kensington  Museum 
veranstaltete  Ausstellung  wissenschaftlicher  Apparate.  Auf  ihr 
gelangten  neben  den  eben  genannten  noch  insbesondere  elegant 
ausgefuhrte  Modelle  von  Fabre  de  Lagrange,  die  Steiner'sche 
C.  P.  4 


50  WALTHER   DYCK. 

Flache,  Ball's  Cylindroid,  Zeichmmgen  Maxwell's  zur  Krllmmungs- 
theorie  u.  a.  m.  zur  Vorfllhrung ;  welter  Rechenmaschinen  und 
Integraphen  (Thomson's  harmonischer  Analysator),  sowie  die 
mannigfachsten  Instrumente  und  Apparate  der  ange  wand  ten 
Mathematik  (wir  erwahnen  insbesonders  die  Apparate  Reuleaux's 
zur  Kinematik). 

Die  gegenwartige  Ausstellung  zeigt  die  weitere  Entwickelung 
unseres  Gebietes  in  Deutschland.  Sie  enthalt  in  mb'glichster 
Vollstandigkeit  all'  die  vielerlei  Modelle  und  graphischen  Darstel- 
lungen,  wie  sie  zunachst  im  Anschluss  an  geometrische  Unter- 
suchungen  in  den  mathematischen  Seminaren  an  unseren 
Universitaten  und  technischen  Hochschulen  entstanden  sind  und 
wie  sie  weiterhin  nicht  bios  rein  geometrische,  sondern  auch 
functionen-theoretische  Fragen  und  solche  der  Mechanik  und 
mathematischen  Physik  umfasst  haben.  Wir  miissen  betreffs  der 
eingehenden  Beschreibung  der  einzelnen  Objecte  auf  den  Special- 
katalog  selbst  verweisen.  Hier  aber  sei  noch  ein  wesentlicher 
Gesichtspunkt  fur  die  Zusammenstellung  hervorgehoben :  Die 
Gesamtheit  aller  dieser  verschiedenen  raumlichen  Darstellungen, 
all'  dieser  Gestalten  aus  Gips,  aus  Holz  und  Metall,  will  nicht  den 
Eindruck  erwecken,  als  bilde  sie  die  unentbehrliche  Rllstkammer 
des  gegenwartigen  mathematischen  Unterrichtes,  als  erfordere  ein 
modernes  mathematisches  Institut  diesen  ganzen  umfangreichen 
Apparat  und  dem  entsprechende  Mittel.  Neben  eine  Reihe  von 
grundlegenden  Formen,  welche  man  heutzutage  wol  nicht  mehr 
wird  missen  wollen,  neben  eine  weitere  Reihe  von  Darstellungen, 
welche  den  hoheren  mathematischen  Unterricht  ganz  wesentlich 
zu  erleichtern  im  Stande  sind,  stellt  sich  noch  eine  Zahl  von 
Modellen,  welche  in  ihrer  Entstehung,  in  der  vom  Verfertiger  zu 
ihrer  Herstellung  aufgewendeten  Arbeit,  ihren  nachsten  Zweck 
und  ihre  Bedeutung  haben.  Hier  soil  die  Notwendigkeit,  eine  im 
Seminare  gestellte  Aufgabe  in  alien  ihren  Teilen  durchzudenken 
und  durchzurechnen  vor  Allem  zur  Geltung  gelangen.  Desshalb 
ist  kein  Bedenken  getragen,  auch  derartige  primitive,  mit  moglichst 
geringen  Mitteln  hergestellte  Modelle  vorzufuhren.  Gerade  solche 
gelegentlich  entstandene  Modelle  sind  in  ihrer  Einfachheit  geeignet, 
Veranlassung  zu  ahnlichen  Versuchen  fiir  die  Schiller  zu  geben ; 
und  weiter:  gerade  solche  Darstellungen,  in  ihrer  Ursprlinglich- 
keit,  in  ihrem  individuellen  Charakter,  werden  nicht  bios  ein 


DEUTSCHE    UNIVERSITATSAUSSTELLUNG.  51 

belebendes  Element  des  Unterrichtes  bilden,  sondern  sie  vermogen 
auch  der  Forschung  selbst  mannigfache  Anregung  zu  bieten. 

Die  Sammlung  der  Modelle  ist  noch  erganzt  durch  eine  Reihe 
mathematischer  Instrumente,  der  modemen  Hiilfsmittel  von 
Rechnung  (Rechenmaschinen,  Planimeter,  Integraphen)  und  Zeich- 
nung  (Teilungszirkel,  Pantographen).  Hier  haben  lediglich  solche 
Apparate  Aufnahme  gefunden,  welche  ein  specielles  mathematisches 
Interesse  bieten,  wahrend  beispielsweise  Pracisionsinstrumente  als 
solche,  bei  denen  die  besondere  technische  Anordnung  oder 
Vollendung  das  wesentliche  Merkmal  bildet,  ausgeschlossen 
wurden*. 

Bei  der  Zusammenstellung  der  Modelle  und  Apparate  war  es 
dem  Unterzeichneten  von  wesentlichem  Nutzen,  auf  die  Vorbereit- 
ungen  einer  im  Vorjahre  in  Ntirnberg  geplanten  mathematischen 
Ausstellung  (die  jetzt  in  Mtinchen  stattfinden  wird)  zurtickgreifen 
zu  konnen.  Insbesondere  konnte  auch  ein  grosser  Teil  der  zur 
Erlauterung  der  einzelnen  Modelle  etc.  dienenden  Aufsatze  und 
Noten  direct  dem  flir  jene  Ausstellung  verb'ffentlichten  Katalogef" 
entnommen  werden.  Fiir  eine  Reihe  neuer  Beitrage,  welche  die 
Vorflihrimg  der  an  unseren  deutschen  Hochschulen  entstandenen 
Lehrmittel  wesentlich  vervollstandigt  haben,  ist  der  Unterzeichnete 
den  einzelnen  Institutsvorstanden  zu  besonderem  Danke  ver- 
pflichtet. 

Moge  es  gelungen  sein,  in  der  gegenwartigen  Ausstellung  in 
grossen  Ziigen  von  der  mathematischen  Arbeit  in  Deutschland 
nach  Forschung  und  Lehre  berichtet  zu  haben — soweit  dies  durch 
Schrift  und  Bild  moglich  ist.  Moge  die  in  Verbindung  mit  der 
Ausstellung  geplante  Mathematiker-Versammlung  Gelegenheit 
geben,  das  Vorgeftihrte  durch  das  lebendige  Wort  zu  beleben ! 

MUNCHEN,  im  Mai  1893. 


*  Hierhergehbrige  Instrumente  finden  sich  in  der  von  der  Deutschen  Gesellschaft 
fur  Mecbanik  und  Optik  veranstalteten  Ausstellung. 

t  Katalog  mathematischer  und  mathematisch-physikalischer  Modelle,  Apparate 
und  Instrumente.  Im  Auftrag  des  Vorstandes  der  deutschen  Mathematiker-Ver- 
einigung  herausgegeben  v.  W.  Dyck,  Miinchen  1892. 


4—2 


ON    INTERPOLATION    FORMULAE   AND   THEIR 
RELATION    TO   INFINITE    SERIES. 

BY 
W.    H.   ECHOLS  OF   CHARLOTTESVILLE. 

I.     General  Forms. 

THE  general  problem  of  interpolation  may  be  stated  thus: 
Given  n  values  of  a  function  corresponding  to  n  given  values  of 
the  variable,  it  is  required  to  design  a  function  which  shall 
coincide  with  the  given  function  at  the  n  known  points,  and 
which  shall  be  such  that  it  shall  coincide  as  nearly  as  may  be  with 
the  function  at  all  intermediate  points. 

§  1.  The  formal  design  of  the  function  is  as  follows  :  Let  fa; 
be  the  function  whose  values  are  known  at  the  points  x0,  ^...a?,,, 
and  let  </><,#,  $!#...<£«#  be  n  chosen  known  functions.  Let  $  be  the 
symbol  of  operation  of  Substitutions,  so  that 


8  operating  on  the  variable   by  substitution,  as  shown  in  the 
change  of  subscript. 
The  function 

fx,      <j>0x ... 

(1) 


expresses  the  difference  between  the  function  fx  and  the  function 

n 

2  Ar<f>rx 

r=0 

at  any  point  x,  and  this  difference  vanishes  at  x0,  #!...#„.  Hence 
'ZArfyrX  is  the  required  form  of  the  function  to  be  designed,  since 
the  coefficients  Ar  are  completely  known  and  are  independent  of 
x,  and  the  <f>  functions  are  known. 


INTERPOLATION    FORMULAE.  53 

Without  changing  the  value  of  Fs  we  may  throw  the  member 
on  the  right  of  (1)  into  different  form,  as  follows. 
If  in  any  sequence  of  n  + 1  terms 

we  form  n  new  sequences  as  follows.  Subtract  each  term  from 
the  succeeding  term,  forming  the  new  sequence 

From  this  form  a  new  sequence  in  like  manner,  by  beginning 
with  the  third  term  and  subtracting  each  term  from  that  which 
follows  it,  and  so  on,  until  the  nth  new  sequence  has  been  formed 
whose  terms  are 

ar  —  Gn  ar_x  +...+(—  l)r  Grr  a0.        (r  =  0. .  .n). 

This  sequence  we  call  the  complete-difference  of  the  first  sequence. 
We  call 

fv    —  d     f<r        -u        -L  /_  1  \n  H      fT 
J*>n       ^nij^n—i  T  •••  *P\      *•)    ^nnj^o 

the  nth  generalized-difference  of  the  function  fa  at  x0,  and 
symbolize  it  by  Knfx0.  The  relation  between  K  and  8  may  be 
symbolically  expressed  by 

and  reciprocally 

gn  fx   __  /Jf  _|_  \\nfx  t 

In  the  member  on  the  right  of  (1),  begin  with  the  second  row 
in  the  numerator  and  the  first  row  in  the  denominator  and  regard 
the  elements  of  each  column  as  being  terms  of  a  sequence. 

Form  the  complete-difference  of  these  sequences  and  there 
results 

fa, 

"•(2), 


which  has  the  same  value  as  (1),  for  Fs  =  FK. 

Suppose  the  points  x0,  x^..xn  are  related  by  the  law 
acr+l  —  a;r=h,     (r  =  0...w  —  1). 

Then  S  is  identical  with  E,  the  symbol  of  operation  of  the 
Calculus  of  Enlargement,  and  K  is  identical  with  A,  the  symbol  of 
operation  of  the  Calculus  of  Finite  Differences,  in  which  the  scale 


54 


W.    H.    ECHOLS. 


unit  is  h.     Therefore  (1)  and  (2)  become,  respectively, 

J*f/  j  *Po^  *  *  *          T^tl 

E°fx0,  E°<f>0x0...E°<f>nx0 


(3) 


and 


fx,       fax  . . .     (f)nx 


.(4). 


And  as  before  we  have  FE  =  ^A,  which  vanish  when 
x  =  xr+rh.        (r  =  0...n). 

We  do  not  alter  the  value  of  F±  if  we  divide  the  numerator 
and  denominator  of  the  ratio  on  the  right  by  htn(n+l),  distributed 
so  that  the  row  Ar  is  divided  by  hr  (r  =  l...w).  Now  let  h  con- 
verge to  zero,  and  we  have 

fx, 
fxQ, 
D'fx0,   D'<f>0x0...D'<t>nx0 


...(5), 


wherein  D  =  d/dx,  the  symbol  of  operation  of  the   Differential 
Calculus. 

§2.  We  observe  in  (1)  or  (3),  if  x1...xn  converge  to  XQ,  then 
.FS  or  FE  takes  the  indeterminate  form  0/0  through  identity  of 
rows,  and  if  in  order  to  evaluate  the  true  value  of  this  vanishing 
ratio  we  apply  to  the  numerator  and  denominator  the  operator 

( d}' 

\OX-iJ  <f,—f 

we  obtain  (5)  at  once,  as  this  limit. 

From  these  five  general  forms  flow,  respectively,  all  interpola- 
tion formulae  for  regular  or  irregular  intervals,  all  the  serial 
formulae  of  the  Calculus  of  Enlargement  and  Finite  Differences, 
and  finally  all  of  the  infinite  series  of  the  Differential  Calculus. 


INTERPOLATION    FORMULAE.  55 

There  are  two  general  forms  to  be  derived  from  these  formulae, 
according  as  we  expand  with  respect  to  the  first  row  or  column, 


fx=       Ar<f>rx  +  F0  .....................  (6), 


r=0 


fx  =  S  BpO*fxt+F0 (7), 

p=Q 

wherein  the  operator  0  is  identical  with  8,  K,  E,  A  or  D  accord- 
ing to  the  formula  selected. 

In  general,  we  provide  an  absolute  term  by  making  fax  =  1. 
The  0  functions  are  such  that  their  law  of  formation  with  respect 
to  r  is  supposed  to  be  known,  fax  being  unity  we  must  have 


in  (1)  and  (3). 


•^7)      

p=0 


II.     Quantitative  Properties. 


§  3.  Nothing  has  been  said  about  the  character  of  the  func- 
tions represented  in  these  forms,  the  first  four  of  which  may  be 
regarded  as  simple  algebraical  identities  in  which  the  functions 
are  supposed  finite  ;  the  fifth  requires  that  the  functions  shall  be 
continuous  with  determinate  derivatives.  Nothing  in  the  forma- 
tion of  the  formulae  prohibits  the  argument  x  from  being  either 
real  or  complex.  Let  us  assume  that  the  functions  fx  and  fax 
can  be  expanded  in  a  converging  series  of  integral  powers  of 
x  —  x0  throughout  a  certain  region.  Let  Rf  and  R$r  represent  the 
remainders  after  the  nth  term  of  the  expansion  of  these  functions 
in  Taylor's  series.  In  (5)  multiply  the  row  of  pth  derivatives 
(p  =  l...ri)  by  (x  —  x0)P/pl,  in  the  numerator  and  denominator  of 
the  ratio.  This  will  not  alter  the  value  of  the  ratio.  In  the 
determinant  in  the  numerator  subtract  each  row  below  the  first 
from  the  first.  This  will  not  alter  the  value  of  the  determinant. 
Now  remove  the  common  factors  from  the  rows  in  the  numerator 
and  denominator  and  we  will  have  converted  (5)  into 


, 

•4-  11         - 

J  #o? 


56  W.    H.    ECHOLS. 

without  changing  its  value.     That  is  to  say,  we  have 

fas-fx0-  2  Ar<f>rx  =  Rf-  2  ArR,,*  .........  (8). 

r=l  r=l 

Let  R  be  the  maximum  modulus  of  JR0,,(r=l,  2,  ...).  If 
now 

00 

2  Ar 

r=l 

is  a  convergent  series,  the  member  on  the  right  of  (8) 

n 

Rf  —  R  2  AfRfa/R, 

r=l 

is  zero  when  n  =  oo  ,  and  we  have 

00 

fa**fot+  2  Ar$rx  .....................  (9) 

r=\ 

for  all  values  of  x  in  that  region  throughout  which  the  functions 
/  and  <f>  are  expansible  in  Taylor's  series,  regardless  of  whether  x 
be  real  or  complex. 

The  series  on  the  right  of  (9)  has  an  unlimited  number  of 
derivatives  formed  by  taking  the  sum  of  the  derivatives  of  its 
terms,  each  of  which  is  a  converging  series  and  equal  to  the 
corresponding  derivative  of  fx  for  all  values  of  x  throughout  the 
equality  region  of  (8). 

By  differentiating  (5)  m  times  we  obtain  in  the  same  way  as 
above 


fmx-  2  Ar<f>rmx  =  Rfm-  2  ArR^m, 

r=l  r=l 

wherein  Rf1  and  R^rm  are  the  remainders  after  n  —  r  terms  in  the 
expansions  of  /  and  (j>r  by  Taylor's  series.  But  these  remainders 
vanish  when  n  =  GO  in  the  region  for  which  Taylor's  series  holds 
good  for  the  functions,  and  we  have 

fmx=  2  Ar$rmx 

r=l 

under  the  same  circumstances  as  before. 

In  particular  if  (f>rac  be  a  rational  integral  function  of  degree  r, 
(8)  becomes 


r=l 


INTERPOLATION    FORMULAE.  57 

§  4.  Specific  forms  may  be  given  to  the  member  on  the  right 
of  (8)  as  follows. 

Let  FD  of  (5)  be  represented  by  Ffx,  and  let  F^x  be  the  same 
function  when  the  function  fx  is  replaced  by  some  other  function 
\lra;  of  similar  character. 

Consider  the  function 

J#  =  F^x'  Ffx  -  F^x  Ffx, 

wherein  x   is  some  arbitrarily  fixed  value  of  x  in  the  region  for 
which  /,  A/T  and  <£,.  are  expressible  in  Taylor's  series. 

Differentiating  n  +  1  times,  we  have 

Jn+lae  =  F^of  Ffn+lx  -  F+n+lx  Ffx. 

If  a;  is  a  complex  variable,  then  since  a  holomorphic  function 
must  take  any  assigned  value  at  least  once,  we  may  let  x  be  that 
value  u  for  which  Jn+lx  vanishes,  and  if  Fn+1u  be  not  zero,  we 
have 

T"*  .......  ............  (10), 


since  x'  is  any  value  of  x  in  the  region  considered. 

If  a;  is  a  real  variable,  then  Jx  and  its  first  n  derivatives 
having  the  common  zero  #0  and  Jx  also  having  the  zero  x  '  ,  the 
(w  +  l)th  derivative  of  Jx  must  vanish  for  some  value  u  of  x 
between  x  and  #0)  and  we  have  as  before 

';"1"  ..................  <">• 


provided  F^,n+lu  is  not  zero.  This  form,  when  #  is  real,  may  be 
employed  for  testing  the  convergency  of  series  when  n  is  infinite 
because  then  u  lies  in  a  certain  known  interval  x  and  a?0.  But 
when  x  is  complex  the  position  of  u  is  in  general  unknown,  and 
the  expression  is  to  be  regarded  merely  as  an  equivalent  form  for 
the  case  of  the  real  variable. 
In  general,  we  take  -fyx  = 


MODERN    GRAPHICAL    DEVELOPMENTS. 

BY 

HENRY  T.  EDDY  OF  TERRE  HAUTE. 

WE  may  find  the  germ  and  prototype  of  all  our  modern  graphical 
developments,  as  it  seems  to  me,  in  the  fruitful  methods  of  the 
ordinary  Cartesian  co-ordinates  in  analytical  geometry;  but  the 
aspect  and  special  point  of  view  which  have  given  vogue  to  graphical 
processes  would  be  entirely  missed  by  the  mathematician  and 
ordinary  student  of  analysis  were  this  statement  to  stand  without 
further  elucidation. 

It  is  my  desire  then,  in  the  few  minutes  at  my  disposal,  not  so 
much  to  give  a  historical  review  of  the  progress  of  graphical 
development  as  to  sketch  in  a  somewhat  hasty  manner  the  nature 
of  these  developments,  in  order  to  commend  this  branch  of  mathe- 
matics to  your  favourable  attention, — a  branch  which  has  possibly 
been  viewed  by  you  with  somewhat  less  interest  and  attention 
than  some  more  ancient  and  commonly  cultivated  branches. 

Graphics  has  both  its  theoretical  and  its  practical  side. 

It  is,  so  to  speak,  a  theory  and  an  art,  and  may  well  be 
compared  to  trigonometry  in  this  particular.  Want  of  recognition 
of  the  fact  that  there  is  a  considerable  and  growing  body  of 
theoretical  results  upon  which  its  special  applications  are  founded 
has  perhaps  prevented  those  capable  of  adding  largely  to  theory 
from  entering  upon  this  labour  with  the  enthusiasm  and  interest  it 
merits. 

Look  first  at  the  applied  side  of  graphics: — this  has  two 
distinct  aspects. 

One  is  the  pictorial  representation  of  tabulated  relations  be- 
tween variables,  such  as  the  temperature  during  a  given  period; 
the  fluctuations  in  the  price  of  silver,  wheat  or  other  commodity. 
These  graphical  representations  on  paper  ruled  in  squares  for 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.         59 

ready  estimation  are  becoming  so  common  and  popular  as  to  be 
inserted  in  our  daily  papers.  One  noticeable  characteristic  of 
these  graphical  statements  is  that  each  represents  a  particular 
numerical  example  and  does  not  express  general  relationships  at 
all.  By  abstraction  only  can  we  present  to  the  mind  by  its  aid 
the  general  relations  of  which  a  given  figure  is  a  particular  case. 
The  same  is  true  of  any  diagram  in  analytical  geometry,  though 
from  the  fact  that  it  is  not  usually  constructed  to  scale  as  graphical 
diagrams  are,  the  mind  is  unconsciously  occupied  with  the  general 
truths  connected  with  such  diagrams. 

But  dismissing  further  considerations  of  this  kind  of  graphical 
tabulation  as  of  slight  theoretic  interest,  it  is  evident  that  the  one 
thing  which  has  given  importance  to  graphics  in  recent  times  is 
its  convenience  as  a  means  of  calculation  in  various  parts  of  civil, 
mechanical  and  electrical  engineering  and  architecture. 

This  has  greatly  stimulated  interest  and  investigation  in  the 
theory  of  these  processes  which  are  so  helpful  and  expeditious,  and 
will,  no  doubt,  have  a  far  greater  effect  of  this  kind  in  the  future 
as  their  importance  becomes  more  appreciated. 

It  will  be  convenient  to  mention  four  principal  branches  of  this 
subject,  and  first  the  graphical  treatment  of  space  relations. 

The  foundations  of  this  branch  of  graphics  may  be  said  to  have 
been  laid  by  Monge  more  than  a  century  ago  in  his  development 
of  descriptive  geometry  as  a  scientific  process.  This  branch  of  the 
subject  may  not  be  at  first  recognized  as  distinctly  graphical  by 
some,  but  that  it  is  essentially  so  is  evident  when  we  consider  that 
all  lines  drawn  are  distinctly  understood  to  represent  on  an 
assumed  scale  lines  proportional  to  those  drawn  upon  the  paper. 

The  constructions  of  descriptive  geometry  have  met  ever- 
widening  applications  in  architecture,  stereotomy,  machinery,  and 
civil  construction  of  all  kinds.  In  all  these  its  use  is  indispensable, 
while  the  highest  degree  of  theoretic  interest  has  also  been  lent  to 
it  by  monumental  works  like  Poncelet's  Traite  des  Proprietes 
Protective  des  Figures,  Reye's  Geometric  der  Lage,  and  Fiedler's 
Darstellende  Geometric. 

As  might  be  expected,  the  representation  of  space  relations  by 
space  itself,  as  is  done  in  descriptive  geometry,  must  be  so  perfect 
and  so  like  the  thing  represented  as  to  give  rise  to  a  wider  range 
of  truth  than  any  other  branch  of  graphics. 


60  HENRY    T.    EDDY. 

It  is,  however,  a  part  of  my  subject  comparatively  well  known 
and  so  I  take  the  liberty  of  hastening  on  to  the  most  fruitful  and 
important  branch  of  graphics,  which  is  without  doubt  that  of 
graphical  statics,  in  which  forces  are  drawn  to  scale  as  in  the 
parallelogram  of  forces. 

Graphical  statics,  so  far  as  it  has  practical  application  in  the 
computation  of  engineering  structures  is  the  art  of  evaluating 
stresses  and  other  quantities  dependent  upon  stresses  by  geo- 
metrical or  so-called  mechanical  methods  instead  of  doing  this  by 
arithmetical  means.  Looked  at  as  a  branch  of  mathematics,  it 
consists  of  a  very  large  number  of  propositions  of  great  interest 
and  beauty,  geometrical  in  their  character  and  capable  of  highly 
refined  and  complex  relationships. 

The  manner  in  which  these  propositions  have  been  established 
is  of  special  interest  to  the  mathematician. 

Some  of  the  cultivators  of  this  field  have  employed  algebraic 
processes  such  as  are  employed  in  analytical  geometry  for  this 
purpose,  while  others  have  preferred  to  use  only  pure  geometry  to 
demonstrate  the  necessary  fundamental  propositions,  thus  creating 
a  branch  of  pure  mathematics  called  geometrical  statics.  These 
last  have  frequently,  but  wrongly,  assumed  that  they  alone  were 
the  true  cultivators  of  this  art  and  have  regarded  those  who  used 
algebraic  analysis  for  this  purpose  as  interlopers  and  trespassers, 
who  ought  to  leave  the  field  to  its  rightful  cultivators,  the  modern 
geometers. 

Among  those  who  have  written  upon  this  subject  in  America 
may  be  mentioned  the  names  of  Greene,  Du  Bois,  Eddy,  Burr, 
Merriman  and  Church.  Indeed,  most  of  our  recent  text-books 
upon  the  theory  of  civil  engineering  construction  have  contained 
as  much  graphical  statics  as  could  be  introduced  in  an  elementary 
manner  without  leading  the  student  too  far  from  the  problems 
immediately  under  consideration.  In  several  of  these  works  the 
authors  have  intentionally  put  graphical  methods  to  the  fore,  and, 
as  was  to  be  expected,  have  done  so  on  the  basis  of  algebraic 
analysis  rather  than  upon  that  of  modern  geometry.  None  of 
them,  however,  have  exhaustively  treated  the  entire  field  as  it 
exists  to-day  with  a  view  to  all  its  methods  and  applications  as 
has  been  done  in  the  great  work  of  Prof.  Maurice  Levy,  entitled, 
"  La  Statique  Graphique  et  ses  Applications  aux  Constructions," 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.        61 

second  edition,  Paris,  1888,  in  four  volumes  or  parts,  of  1700  pages 
all  told. 

Most  of  them  have  been  content  with  a  more  or  less  complete 
exposition  and  application  of  two  principal  methods:  to- wit,  the 
method  of  the  reciprocal  frame  and  force  diagrams,  and  that  of  the 
equilibrium  polygon  or  catenary. 

The  former  of  these  methods  is  due  to  Maxwell,  who  published 
his  first  paper  on  the  subject  in  1864.  It  is  based  upon  the 
parallelogram  of  forces  discovered  by  Newton  about  200  years  ago, 
and  consists  in  a  systematized  method  of  combining  in  one  figure 
all  the  parallelograms  representing  the  forces  acting  at  the  joints 
of  a  framework  in  such  a  manner  as  to  exhibit  its  reciprocal 
relationship  to  the  frame.  This  reciprocal  relationship  is  one 
specially  suited  to  modern  geometrical  thought,  and  so  was  taken 
up  with  enthusiasm  by  its  cultivators.  Its  possibilities  have  been 
greatly  developed  by  the  genius  of  Cremona. 

The  other  method  employs  the  catenary  or  equilibrium  polygon, 
which  is  a  figure  having  the  shape  which  a  perfectly  flexible  cord 
would  assume  if  it  should  hold  in  equilibrium  the  system  of  forces 
under  consideration.  Its  discovery  is  due  to  Varignon  more  than 
200  years  ago,  who  in  his  treatise  on  statics  reckoned  it  as  the 
seventh  among  simple  machines.  But  its  properties  as  a  moment 
curve,  and  the  importance  of  its  use  as  a  means  of  evaluation  in 
practical  designing,  cannot  be  said  to  have  been  effectively  brought 
to  the  attention  of  the  engineering  profession  until  Culmann 
published  the  first  edition  of  his  work  entitled  Graphische  Statik 
in  1866.  Culmann,  through  his  publications  and  his  pupils,  put 
himself  and  his  school  at  the  head  of  a  strong  movement  in  favour 
of  graphical  methods.  He  regarded  modern  geometry  as  an 
essential  prerequisite  to  all  such  work. 

Of  the  second  edition  of  his  book  only  the  first  volume  has 
appeared.  It  was  published  in  1875,  and  is  devoted  to  the 
theoretical  part  of  the  subject.  The  practical  applications  were  to 
have  been  contained  in  a  second  volume.  Without  detracting  in 
any  way  from  the  great  merit  of  this  learned  treatise,  it  can  be 
said  that  its  publication  in  English  is  not  a  matter  of  great 
importance  now.  It  is  too  learned  for  practical  use  by  busy  men. 

After  Culmann's  first  publication  in  1866,  numerous  important 
developments  and  applications  of  the  equilibrium  polygon  were 


62  HENRY   T.    EDDY. 

published,  among  which  we  may  mention  Mohr's  prime  discovery 
of  the  elastic  curve  as  a  so-called  second  equilibrium  polygon, 
and  his  graphical  solution  of  continuous  girders;  also  the  dis- 
covery by  the  present  writer  of  the  mutual  relationship  between 
the  neutral  axis  of  the  elastic  arch  and  the  equilibrium  polygon  of 
its  actual  horizontal  thrust  and  load.  These  and  other  discoveries 
led  to  graphical  processes  of  great  value  from  a  practical  stand- 
point. 

Besides  the  two  general  methods  of  which  we  have  been 
speaking  there  are  several  others  almost  equally  important.  In 
particular  we  may  mention  the  lines  of  influence  proposed  by 
Frankel  in  1876,  since  developed  by  Winckler,  and  extensively 
cultivated  abroad,  but  seemingly  almost  unknown  in  this  country. 
What  a  line  of  influence  is  may  be  readily  pictured  in  mind  by 
supposing  a  weight  to  traverse  a  span  of  a  girder  framework,  and 
as  it  does  so,  let  a  vertical  ordinate  be  laid  off  at  the  weight  and 
of  a  length  proportionate  to  the  effect  the  weight  has  in  causing 
either  bending  moment  or  shear  at  a  given  point  of  the  girder,  or 
in  causing  tension  in  a  given  bar  of  the  frame.  There  is  then  a 
different  line  of  influence  for  each  point  of  the  girder  and  for  each 
bar  of  the  frame.  The  geometry  of  these  lines  can  readily  be 
developed  by  analysis  or  otherwise,  and  the  method  is  one  of  great 
power  and  wide  application. 

The  present  writer  has  published  in  the  Trans.  Am.  Soc.  C.  E. 
still  another  method  for  treating  problems  of  the  same  character 
as  those  whose  solution  is  sought  by  lines  of  influence.  It  develops 
and  applies  the  properties  of  the  weight  line  or  line  of  shears  due 
to  a  train  of  wheel  weights  together  with  some  associated  lines 
called  reaction  polygons.  These  last  two  methods  both  have 
special  reference  to  the  question  of  maximum  stresses  due  to 
trains  of  moving  wheel  weights. 

Let  us  now  return  to  the  consideration  of  Levy's  great  work 
before  mentioned,  in  order  to  give  a  more  detailed  account  of  its 
scope  and  contents,  for  it  now  is  and  must  necessarily,  for  a  long 
time  to  come,  remain  the  great  compendium  upon  the  art  of 
graphical  statics.  This  author  is  a  savant  who  has  risen  by  the 
force  of  his  genius  to  a  foremost  position  among  the  scientific  men 
of  France.  It  is  a  sufficient  proof  of  this  to  mention  to  those 
cognizant  of  such  matters  that  he  is  a  member  of  the  Institut, 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.        63 

Engineer-in-Chief  of  the  Fonts  et  Chaussdes,  professor  at  the 
College  de  France,  and  at  the  Ecole  Centrale.  Any  of  these 
distinctions  would  stamp  his  writings  as  those  of  a  scientific 
authority. 

The  present  work  is  a  second  edition  and  contains  more  than 
three  times  as  much  matter  as  the  first  edition  published  in  1874. 

The  subject  is  treated  with  a  detail,  precision  and  elegance 
such  as  especially  distinguish  the  best  French  scientific  treatises. 
It  is  divided  into  short  sections  of  a  page  or  two  with  accurate 
headings  of  the  subject-matter  of  each,  making  it  singularly  easy 
for  reference  and  use.  In  short,  in  its  make  up  it  is  an  ideal  book 
for  use.  It  is  no  mere  compilation. 

Large  portions  of  the  book  are  entirely  new  creations,  or  ex- 
tensions by  the  author  to  new  fields  of  methods  already  known. 
There  is  nothing  however  old  to  which  the  author  has  not 
added  clearness,  breadth  and  system.  It  is  not  too  much  to  say 
that  it  is  a  work  of  such  magnitude  and  acumen  as  to  make  it  a 
monument  of  intellectual  and  mathematical  power,  comprising  as 
it  does  some  1700  pages  of  text  and  44  plates.  And  when  we 
consider  that  it  is  written  by  an  author  whose  interest  in  the 
theoretical  questions  involved  is  so  intense,  it  is  a  marvel  to  see 
the  numerous  practical  examples  worked  out  in  detail  to  illustrate 
the  methods  proposed.  By  careful  attention  to  this  part  of  the 
exposition  the  author  has  fully  justified  the  entire  title  of  the 
work,  'Graphical  Statics  and  its  Applications,'  for  he  evidently 
considers  the  applications  as  the  end  in  view  in  writing  the  book. 
It  is  due  to  the  fact  that  the  author  has  put  his  great  mathe- 
matical and  technical  abilities  unreservedly  at  the  service  of  the 
practical  constructor  that  he  has  made  the  work  of  indispensable 
importance  to  every  educated  engineer. 

Its  actual  contents  cannot  perhaps  be  more  clearly  summarised 
than  is  done  for  important  portions  of  it  in  Levy's  own  preface, 
from  which  we  venture  to  translate  the  following  extracts,  with  a 
few  unimportant  alterations  rendered  necessary  by  the  changes 
introduced  into  the  work  during  its  publication,  after  the  preface, 
which  is  prefixed  to  the  first  volume,  had  appeared. 

Volume  I.,  entitled,  '  Principles  and  Applications  of  Pure 
Graphical  Statics,'  containing  the  subjects  treated  in  the  first 
edition  (1874),  except  the  following  changes  and  additions: 


64  HENRY    T.    EDDY. 

1st.  In  the  first  edition  we  began  by  an  exposition  of  the 
properties  of  equilibrium  and  reciprocal  figures  starting  from  a 
point  of  view  wholly  geometrical.  This  procedure  still  seems  to 
us  to-day  the  more  satisfactory  when  we  have  regard  merely  to 
teaching;  but  as  it  is  important  to  get  to  the  applications  as 
quickly  as  possible,  we  have  thought  that  engineers  would  be  glad 
to  have  us  dispense  with  this  preliminary  study.  We  have, 
therefore,  entirely  omitted  the  geometrical  part  of  the  first  edition 
and  obtain  the  solution  of  problems  relating  to  equilibrium 
polygons  and  to  reciprocal  figures  from  their  mechanical  defini- 
tions alone. 

2nd.  We  have  added  a  complete  and  detailed  study  of  the 
important  problem  of  the  passage  of  a  train  over  a  simple  girder 
on  a  framework  supported  upon  two  piers.  We  explain  a  very 
exact  method  due  to  Weyrauch  for  finding  the  dangerous  portions 
as  respects  the  moments  of  flexure.  We  give  finally  not  only  a 
solution  of  this  problem  of  flexure,  but  also  that  of  shearing  tresses, 
which  is  new  and  complete  and  based  in  its  first  point  upon  an 
unpublished  theorem  of  M.  Ventre,  captain  of  engineers.  (In  note 
2,  Vol.  4,  is  a  new  theorem  due  to  Eddy,  which  completes  in  a 
manner  entirely  graphical  the  method  deduced  from  Ventre's 
theorem.) 

3rd.  In  Note  1  we  have  explained  the  new  method  of 
calculating  dimensions  of  pieces  used  in  construction  according  to 
the  experiments  of  Wohler  and  of  Spangenberg,  and  the  principal 
formulas  by  the  aid  of  which  they  have  been  summarized  by 
Launhardt,  Weyrauch,  etc. 

4th.  Note  2  is  devoted  to  Amsler's  planimeter,  to  his 
integrator  and  to  Deprez'  integrameter,  instruments  not  mentioned 
in  our  first  edition. 

5th.  Note  3  treats  of  catenary  curves,  especially  those  of 
equal  resistance,  and  in  Note  3  bis  we  have  reviewed  the  principal 
steps  in  constructing  the  parabolic  arcs  which  occur  so  frequently 
in  practice. 

6th.  In  Note  4  we  give,  in  the  case  of  plane  systems,  the 
important  theory  of  lines  of  the  principal  stresses  (isostatic)  and 
lines  of  maximum  shear,  and  apply  it  to  constructing  these  lines 
in  a  girder  resting  on  two  piers. 

7th.     As  to  arrangement,  instead  of  printing  all  the  figures  as 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.         65 

plates  separated  from  text,  as  was  done  in  the  first  edition,  we 
have  made  plates  of  only  the  larger  ones  and  have,  for  the 
convenience  of  the  reader,  interspersed  the  others  with  the  text. 
The  remaining  volumes  formed  no  part  of  the  first  edition. 

Volume  II.  containing  two  sections  and  one  note : 

Section  L,  entitled  '  General  Principles,'  contains  two  chapters, 
one  of  which  is  devoted  to  a  review  of  general  formulas  as  to 
plane  flexure.  We  give  not  only  the  expressions  for  elastic  dis- 
placements but  show  how  they  can  be  obtained  by  applying  the 
principles  of  kinematics  relating  to  the  composition  of  rotations,  a 
form  of  proof  certainly  very  expressive. 

We  give  the  general  formulas  also  a  form  which  we  think  is 
new  and  which  is  more  simple  and  as  exact  as  the  usual  form, 
especially  in  the  case  where  we  neglect  the  shear  without  neglect- 
ing the  compression  of  the  mean  fibre. 

In  the  second  chapter  we  have  attempted  to  give  a  summary 
of  what  can  be  said  in  general  upon  the  lines  of  influence  which 
are  so  convenient,  not  to  say  indispensable,  in  studying  the 
positions  of  danger  for  a  train  upon  a  girder  or  arch  which  is 
statically  indeterminate. 

As  to  these  lines,  introduced  to  science  by  Professor  Frankel, 
we  give  an  important  theorem  of  Winckler  for  the  case  where 
they  are  polygonal,  and  we  extend  it  to  the  case  where  the  sides 
are  formed  of  arcs  of  any  curves  whatever.  Finally  by  the  intro- 
duction of  a  fictitious  train  we  give  certain  new  tests  which  may 
be  useful  in  practice. 

Section  II.  of  this  volume  is  devoted  to  straight  girders. 
Omitting  girders  which  are  statically  determinate,  and  which 
have  been  treated  in  the  first  volume,  we  give  in  great  detail  the 
graphical  solutions  dealing  with  the  problems  of  the  girder  built 
in  at  one  end  and  simply  supported  at  the  other,  the  girder 
built  in  at  two  ends,  and  continuous  girders  built  in  and  not 
built  in. 

We  base  each  theory  which  has  to  do  with  girders  of  one 
span  or  more  upon  a  single  theorem,  which  we  call  fundamental, 
and  which  deserves  the  name,  for  it  furnishes  the  solution  of  all 
the  problems  which  can  be  proposed  in  the  domain  which  it 
includes,  a  solution  analytical  or  graphical  according  to  the  mode 
of  development  which  we  prefer  to  give  it.  For  continuous 
c.  P.  5 


66  HENRY   T.    EDDY. 

girders  the  fundamental  theorem  is  one  to  which  we  give  the 
name  of  two  moments;  it  is  a  generalization  of  one  which  we 
published  in  the  Comptes  Rendus  of  March  22nd,  1875. 

It  furnishes  Bresse's  fixed  points  at  once,  which  we  have 
named  foci,  as  well  as  the  moments  of  flexure  at  these  points. 

Our  graphical  solution  is  not  the  same  as  that  given  by  Mohr, 
which  is  so  justly  celebrated;  it  is  analogous  to  that  of  Fouret 
and  Colligon.  If  the  question  be  to  determine  the  moments  of 
flexure  in  a  continuous  girder  for  one  determinate  system  of  loads, 
that  of  Mohr  would  be  a  little  more  expeditious,  but  for  deter- 
mining the  maximum  moments  arising  from  various  possible 
combinations  of  loads  we  believe  the  solution  we  propose  to  be 
preferable. 

But  it  has  not  seemed  to  us  proper  in  a  treatise  so  compre- 
hensive as  this  to  pass  by  the  beautiful  work  of  Mohr  in  silence, 
a  work  which  in  some  sort  is  the  point  of  departure  of  the  graphical 
treatment  of  the  resistance  of  materials ;  accordingly  we  present 
it  in  Note  1,  at  the  end  of  this  volume. 

An  important  question  is  the  study  of  lines  of  influence  in  a 
girder  of  one  or  more  spans  not  statically  determinate,  because* 
when  these  lines  are  known,  the  dangerous  position  of  a  train 
follows  them.  We  discuss  the  forms  of  them  in  all  the  cases  ;  and 
as  a  result  of  the  discussion  we  notice,  as  we  believe  it  has  not 
been  done  before,  that  in  a  girder  of  constant  cross-section,  what- 
ever be  the  number  of  spans  the  line  of  influence  with  respect  to 
any  cross-section  whatever  is  always  a  catenary ;  1st,  of  a  unit 
load  situated  at  that  cross-section ;  2nd,  of  a  water  pressure,  that 
is  to  say,  load  extending  across  the  entire  span  in  which  this 
cross-section  is  situated,  and  varying  proportionally  to  the  distance 
of  its  point  of  application  to  a  fixed  point.  The  lines  of  this 
pressure-load  are  straight  and  pass  through  one  of  the  foci, 
when  the  cross-section  considered  coincides  with  the  pier  opposite 
to  that  focus.  This  theorem  allows  the  line  of  influence  to 
be  drawn  very  speedily,  whatever  be  the  number  of  spans, 
by  employing  the  very  convenient  and  common  properties  of 
catenaries. 

Volume  III.  contains  four  sections,  in  which  the  subjects 
treated  are : 

Section  I.     Metal  arches  :  1st,  arches  resting  on  hinges  ;  2nd, 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.         67 

arches  built  in  at  both  ends;  3rd,  with  one  built  in  and  one 
point  hinged ;  4th,  arches  with  intermediate  hinges. 

Section  II.  Action  of  forces  normal  to  the  plane  of  the 
neutral  axis,  including  torsion  and  flexure  in  general ;  and  the 
action  of  the  wind  against  frame  structures. 

Section  III.  Suspension  bridges,  with  and  without  shrouding, 
with  and  without  stiffening  truss. 

Section  IV.  Shells  symmetrically  loaded  including  domes, 
boilers  and  rings,  cylindrical,  conical,  spherical  and  plane. 

Note  1.     Direct  determination  of  arches  of  equal  resistance. 

Note  2.  Continuous  arches  and  arches  stiffened  with  con- 
tinuous girders,  such  as  the  bridge  over  the  Douro.  In  his 
admirable  study  of  the  Douro  bridge,  Seyrig  has  admitted  the 
fixity  of  certain  points  of  the  upper  girder.  This  supposition 
simplifies  the  calculations  by  allowing  the  arch  and  girder  to  be 
treated  separately,  but  it  is  perhaps  useful  to  study  the  structure 
as  a  whole  by  taking  account  of  the  connections  which  actually 
exist  between  the  arch  and  girder.  We  give  the  solution  of  this 
problem  which  is  hardly  more  complex  than  that  which  rests 
upon  the  hypothesis  of  the  fixity  of  the  points  of  junction.  The 
theory  of  every  system  of  arches,  like  that  of  every  system  of 
girders,  rests  likewise  upon  a  theorem  which  is  unique  and  fun- 
damental, and  which  can  be  developed  at  will  analytically  or 
graphically. 

Among  the  graphical  solutions  of  arches  we  have  given  pre- 
ference to  that  which  Eddy  has  set  forth  in  his  New  Construction 
in  Graphical  Statics.  We  give  a  rigorous  demonstration  of  it,  as 
has  also  been  done  by  engineer  Guide,  and  we  apply  it  not  only 
to  simple  arches  but  to  continuous  arches  also,  and  to  those  with 
straight  stiffening  girders. 

We  have  also  attempted  to  study  the  lines  of  influence  in 
arches,  and  consequently  the  dangerous  position  of  trains,  and  we 
have  reached  a  solution  that  we  believe  is  very  satisfactory. 

Whatever  be  the  arch,  built  in  or  not,  of  cross-sections  and  of 
•elasticity  constant  or  variable,  we  employ  a  line  which  we  name 
the  line  of  thrust  which  must  not  be  confounded  with  Winckler's 
Kampferdrucklinie. 

Suppose  that  we  lay  off  on  the  vertical  of  a  moving  weight  P, 
measuring  from  the  chord  of  an  arch,  an  ordinate  which  on  an 

5—2 


68  HENRY   T.    EDDY. 

assumed  scale  represents  the  arithmetical  value  of  the  quotient 
obtained  by  dividing  the  thrust  by  the  weight  P  which  causes  it. 

The  line  so  obtained  we  name  the  line  of  thrust.  Now  we 
show  that  this  line  coincides  with  one  of  the  catenary  curves,  to 
wit :  1st,  if  the  arch  is  of  constant  cross-sections  it  coincides  with 
a  catenary  due  to  fictitious  loads  yds  applied  at  each  element  ds 
of  the  neutral  axis,  y  being  the  ordinate  of  this  element  of  the 
neutral  axis  with  reference  to  the  chord ;  2nd,  if  the  moment  of 
inertia  /  of  the  cross-section  of  the  arch  is  variable,  the  fictitious 
loads  are  quotient  of  yds  divided  by  7.  The  line  of  thrust  can 
therefore  be  constructed  as  a  catenary  curve,  or  polygon  approxi- 
mately, due  to  known  loads. 

We  have  already  constructed  the  lines  of  influence  on  straight 
girders  by  this  same  method  and  we  discover  that  the  segments 
of  the  ordinates  comprised  between  the  line  of  thrust  (a  line 
drawn  once  for  all,  whatever  may  be  the  cross-section  with  respect 
to  which  the  line  of  influence  is  sought)  and  the  lines  of  influence 
of  the  arch  regarded  as  a  simple  straight  girder,  when  we  lay 
them  off  to  a  convenient  scale  and  one  varying  from  one  cross- 
section  to  another,  give  the  true  ordinates  of  the  lines  of  influence 
of  the  arch.  Thus  these  last  are  found  in  their  turn  to  be 
obtained  by  the  construction  of  equilibrium  polygons. 

The  line  of  thrust  by  reason  of  the  simplicity  of  its  geometri- 
cal definition  and  construction  may  be  regarded  as  the  basis  of  a 
new  and  general  graphical  solution  of  the  problem  of  arches 
requiring  operations  no  more  complex  than  Eddy's  method.  It 
consists  in  this  :  1st,  construct,  first  of  all,  the  line  of  thrust  which 
depends  solely  upon  the  geometrical  form  of  the  arch ;  2nd,  this 
line  being  known,  by  the  principles  of  superposition,  it  furnishes 
at  once  the  thrust  caused  by  any  loading  whatever,  continuous  or 
discontinuous;  3rd,  combining  this  force  with  those  directly 
applied,  it  is  sufficient  to  treat  the  arch  as  if  it  was  placed  upon 
its  supports  in  the  manner  of  a  straight  girder,  built  in  or  not 
according  as  the  arch  itself  is  built  in  or  not. 

In  the  last  chapter  of  Section  II.  we  have  treated  the  im- 
portant problem  of  the  action  of  the  wind  upon  large  frames.  In 
calculations  of  this  action  it  is  generally  taken  for  granted  that 
the  moment  of  flexure  which  the  wind  produced  at  the  top  of  an 
arch  is  independent  of  its  rise,  so  that  it  is  sufficient  in  this  way 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.         69 

of  looking  at  it  to  regard  the  arch  (or  rather  the  entire  structure, 
made  up  of  the  arches  which  constitute  the  bridge  or  viaduct)  as 
a  girder  built  in  at  its  two  ends.  This  rule  is  very  convenient, 
but  it  is  worth  while  to  find  out  how  far  it  is  admissible.  To 
this  end  we  begin  by  giving  the  exact  expressions  for  the  elastic 
forces  which  the  wind  produces.  It  is  then  seen  that  the  hypo- 
thesis of  which  we  have  just  been  speaking  supposes:  1st,  that 
we  take  as  constant,  not  the  moment  of  inertia  /  of  the  cross- 
section  of  the  arch,  but  its  product  by  the  cosine  of  the  inclina- 
tion of  that  section  to  the  vertical ;  2nd,  that  we  neglect  the 
shearing  and  the  compression  of  the  neutral  axis.  We  may,  in 
general,  begin  by  taking  this  hypothesis  for  granted  under  the 
head  of  a  first  approximation,  subject  to  subsequent  verification. 
But  this  verification  requires  that  we  have  at  our  disposal  the 
mathematically  exact  formulas  which  we  give. 

Volume  IV.  treats  three  principal  subjects  in  as  many  sections : 

Section  I.     Arches  and  domes  of  masonry. 

Section  II.  Pressure  of  earth  and  fluids,  retaining  walls, 
stability  of  chimneys. 

Section  III.  Framework  with  superfluous  members  or  other 
conditions  which  render  it  statically  indeterminate. 

In  this  it  is  shown  how  by  modifying  slightly  the  graphical 
process  given  for  pieces  of  solid  cross-section  we  obtain  the  solu- 
tion of  corresponding  problems  for  pieces  of  framework.  Note  1, 
at  the  end  of  the  volume,  is  the  republication  of  an  important 
original  memoir  upon  the  investigation  of  the  tensions  in  systems 
of  elastic  members,  and  systems  which  for  an  equal  volume  of 
material  offer  the  greatest  possible  resistance. 

We  now  leave  graphical  statics  and  pass  to  another  great 
branch  of  graphics  which  centres  in  a  practical  way  about  the 
steam-engine,  and  covers  such  various  matters  as  indicator  dia- 
grams, diagrams  for  slide  valve  motions ;  planimeters ;  mechanical 
integrators  of  various  kinds :  self-recording  instruments  to  measure 
power,  velocity,  etc. ;  slide  rules  for  logarithmic  computation ; 
various  constructions  for  the  extraction  of  roots,  for  the  solution  of 
equations,  for  the  description  of  curves  and  for  the  computation  of 
various  complex  functions. 

Some  of  these  are  in  daily  use  in  the  workshop  and  designing 
room.  Methods  without  number  yet  to  be  discovered  or  perfected 


70  HENRY   T.    EDDY. 

and  put  into  the  hands  of  the  over-driven  practitioner  afford 
opportunity  for  the  most  varied  mathematical  genius  to  exercise 
its  utmost  skill. 

For  a  survey  of  the  present  status  of  graphics  of  this  sort  in 
the  technical  literature  of  England,  I  take  pleasure  in  referring 
those  interested  to  the  Second  Report  (1892)  of  the  Committee  of 
the  British  Association  for  the  Advancement  of  Science  on  the 
Development  of  Graphic  Methods  in  Mechanical  Science,  by 
Professor  H.  S.  Hele-Shaw  of  Liverpool,  England,  Secretary  of 
the  Committee  and  author  of  the  little  work  on  Mechanical 
Integrators,  republished  in  this  country.  The  first  or  preliminary 
report  of  this  Committee  was  made  three  years  before  the  one  I 
am  now  describing  and  paid  considerable  attention  to  graphical 
statics;  but  this  second  report  is  devoted  principally  to  graphical 
methods  not  statical. 

The  report  contains  an  appendix  of  95  pages,  giving  a  classi- 
fied list  of  references  to  technical  papers  published  in  thirty  of 
the  principal  professional  periodicals  of  Transactions  and  Proceed- 
ings of  Engineering  and  Scientific  Societies,  in  which  graphical 
methods  are  employed.  I  estimate  that  these  95  pages  contain 
more  than  2000  references  to  graphical  representations  and  pro- 
cesses of  all  kinds  aside  from  graphical  statics  proper,  a  fact  which 
shows  how  widespread  is  the  professional  use  of  graphics  and 
how  it  has  come  into  use  as  a  common  medium  of  expression  in 
England,  where  conservatism  in  methods  is  more  persistent  than 
in  any  country  where  great  constructions  are  common,  except 
perhaps  in  Germany.  I  am  informed  by  Professor  Hele-Shaw 
that  a  third  report  of  this  Committee  is  to  be  made  at  the 
meeting  of  the  British  Association  this  fall  in  which  he  will 
attempt  among  other  things  to  sketch  the  present  status  of 
graphics  in  educational  and  professional  life  generally.  This 
renders  it  superfluous  for  me  to  attempt  anything  of  the  kind  at 
the  present  time. 

The  last  branch  of  the  subject  which  I  shall  mention  is  the 
graphical  treatment  of  electrical  currents,  electromotive  forces  and 
harmonic  motion  generally.  The  most  recent  extensive  applica- 
tion of  graphics  is  to  electricity,  but  it  has  already  reached  a 
point  where  its  use  may  be  regarded  as  indispensably  necessary, 
as  much  so  as  the  indicator  diagram  in  dealing  with  the  steam- 


MODERN  GRAPHICAL  DEVELOPMENTS.        71 

engine.  Indeed,  the  commonly  used  characteristic  curves  of  the 
dynamo  and  motor  may,  from  their  simplicity  and  usefulness,  well 
be  compared  to  indicator  diagrams.  But  the  geometrical  con- 
structions by  which  the  relation  between  the  impressed  and 
effective  electromotive  forces  are  computed  in  alternating  circuits 
when  the  currents  are  affected  by  self-induction  and  mutual 
induction  in  connection  with  condensers  concentrated  or  dis- 
tributed are  of  a  far  different  order  of  complexity,  and  such 
constructions  accomplish  a  work  in  solving  problems  of  design 
like  that  effected  by  the  constructions  used  in  graphical  statics. 
They  enable  the  designer  to  take  a  short  cut  to  important 
numerical  results  with  certainty,  and  permit  him  to  judge  how  a 
variation  in  any  of  the  various  factors  under  consideration  affects 
his  results  in  a  manner  so  marvellous  as  almost  to  endow  his 
brain  with  a  new  organ  of  vision  and  bring  within  its  view  things 
as  intangible  as  mathematical  functions.  It  enables  him,  as  it 
were,  to  handle  and  manipulate  them  at  will.  The  result  is  like 
that  accomplished  by  Lord  Kelvin's  harmonic  tidal  machine,  by 
which  the  tides  of  a  given  port  can,  on  the  basis  of  a  few  brief 
observations,  be  predicted  with  such  rapidity  that  a  very  short 
space  of  time  suffices  to  print  in  advance  the  tides  of  a  whole  year. 

So,  too,  the  diagram  of  a  proposed  network  of  resistances, 
inductions  and  condensers,  predicts  in  advance  the  distribution  of 
currents  resulting  from  the  application  of  a  given  periodic  electro- 
motive force  with  the  relative  lag  and  the  intensity  in  its  various 
branches  as  well  as  the  power  required  in  each. 

So  much  indeed  has  already  been  accomplished  graphically  in 
this  new  field  of  electro-technics  and  so  promising  is  the  outlook 
for  further  help  that  one  of  the  subjects  proposed  in  the  world 
competition  for  the  Elihu  Thompson  Prize  this  fall  at  Paris  is  a 
systematised  graphical'  treatment  of  electrical  problems  com- 
parable to  that  already  developed  for  problems  in  statics. 

This  occasion,  however,  affords  no  opportunity  for  an  exhaus- 
tive survey  of  this  field,  whose  many  ramifications  and  numerous 
practical  applications  ensure  its  rapid  enlargement. 

In  conclusion  permit  me  to  say  that  this  somewhat  hasty 
sketch  will  have  accomplished  its  object  if  it  has  given  you  a 
somewhat  enlarged  idea  of  the  scope  and  importance  of  modern 
graphics  in  relation  to  theory  as  well  as  practice. 


DIE    THEORIE    DER    AUTOMORPHEN     FUNC- 
TIONEN    UND    DIE   ARITHMETIK. 

VON 
ROBERT  FRIOKE   is  BRAUNSCHWEIG. 

DIE  nachfolgende  Darstellung  soil  eineii  summarischen  Bericht 
iiber  die  Beziehungen  geben,  welche  sich  zwischen  der  modernen 
Theorie  der  automorphen  Functionen  und  der  iiberlieferten  Zahlen- 
theorie  bislang  ergeben  haben. 

Es  kniipfen  sich  diese  Beziehungen  an  die  geometrischen  und 
gruppentheoretischen  Grundlagen,  welche  man  der  engeren 
Theorie  der  genannten  Functionen  vorauszusenden  pflegt.  Der 
einfache  Ausgangspunkt  ist  die  Lehre  von  den  Substitutionen  : 


und  r_ 

l    [  S-- 


wo  £  eine  complexe  Variabele  bedeutet  und  £  der  zu  £  conjugiert 
complexe  Wert  ist  ;  dabei  muss  man  auch  die  zweite  Substitution 
so  verstehen,  dass  sie  den  Ubergang  von  £  zu  %  darstellen  soil. 
Von  rein  geometrischer  Seite  her  sind  die  durch  Substitutionen 
(1)  vermittelten  conformen  Abbildungen  wohl  am  ausfuhrlichsten 
von  Moebius*  untersucht  worden  und  als  directe  und  indirecte 
Kreisverwandtschaften  unterschieden  worden,  je  nachdem  eine 
Substitution  von  der  ersten  oder  zweiten  Art  (1)  vorliegt.  Man 
gewinnt  aber  die  gedachten  Grundlagen  der  Theorie  der  auto- 
morphen Functionen,  indem  man  die  geometrische  Lehre  der 
Substitutionen  (1)  in  Beziehung  stellt  mit  dem  modernen 
Gruppenbegriff  und  die  dadurch  entspringenden  Consequenzen 
verfolgt. 

Es    hat   Interesse   festzustellen,    wo   die   zuletzt   bezeichnete 

*  Die  Theorie  der  Kreisverwandtschaft  in  rein  geometrischer  Darstellung,  Abhandl. 
der  Konigl.  Sachs.  Gesellschaft  der  Wiss.     Bd.  2,  (1855). 


AUTOMORPHE    FUNCTIONED   UND    ARITHMETIK.          73 

Wendung  in  ihrem  Keime  zu  finden  ist :  man  hat  als  ersten  und 
wichtigsten  Ansatz  zur  gruppentheoretischen  Behandlung  der 
Substitutionen  (1)  das  sogen.  Princip  der  Symmetric  anzusehen, 
welches  Riemann*  bei  verschiedenen  Gelegenheiten  aufgestellt 
und  zu  functionentheoretischen  Zwecken  verwendet  hat,  und 
welches  dann  spaterhin  von  Schwarzf  aufs  neue  in  Benutzung 
gezogen  wurde.  Schwarz'  Anknlipfungspunkte  an  Riemann 
liegen,  das  Symmetrieprincip  anlangend,  im  Gebiete  der  Minimal - 
flachen  und  damit  in  den  beiden  ersten  der  gerade  genannten 
Arbeiten  Riemann's.  Demgegeniiber  soil  hier  auf  die  zu  dritt 
genannte  hb'chst  merkwtirdige  Notiz  Riemann's  besonders  auf- 
merksam  gemacht  werden,  die  iibrigens  aus  hinterlassenen 
Papieren  desselben  durch  den  Herausgeber  seiner  Werke  zu- 
sammengestellt  wurde :  es  sind  in  dieser  Notiz  unter  freilich  sehr 
beschrankten  Voraussetzungen  fast  alle  wichtigen  Gedanken 
angedeutet,  welche  in  der  spateren  Theorie  der  automorphen 
Functionen  Geltung  gewonnen  haben. 

Um  auf  die  sachliche  Einfuhrung  des  Symmetrieprincips 
noch  ein  wenig  naher  einzugehen,  so  knlipfe  ich  an  die  Sub- 
stitutionen (1)  von  der  zweiten  Art  an,  die  eine  Abbildung  mit 
Umlegung  der  Winkel  vermitteln.  Die  wichtigsten  hierher 
gehb'rigen  Substitutionen  sind  diejenigen  von  der  Periode  zwei, 
die  also  ein  vertauschbares  Entsprechen  von  Punkten  £,  f 
darstellen.  Diese  Substitutionen  zweiter  Art  haben  die  Eigen- 
schaft,  die  Punkte  eines  gewissen  Kreises  der  £-Ebene  einzeln  in 
sich  selbst  zu  transfer mieren,  wahrend  die  librigen  Punkte  der  £- 
Ebene  durch  die  Transformation  vermoge  reciproker  Radien  an 
dem  genannten  Kreise  umgelegt  erscheinen.  Ist  dieser  Kreis 
reell,  so  spricht  man  von  einer  Spiegelung  oder  symmetrischen 
Umformung  an  demselben,  und  eben  hierauf  griindet  sich  das 
genannte  Symmetrieprincip. 


*  Uber  die  Flache  vom  kleinsten  Tnhalt  bei  gegebener  Begrenzung,  Ges.  Werke, 
pag.  283;  Beispiele  von  Flachen  kleinsten  Inhalts  bei  gegebener  Begrenzung,  Ges. 
Werke,  pag.  417;  Gleichgewicht  der  Electricitat  auf  Cylindern  mit  kreisformigem 
Querschnitt  und  parallelen  Axen,  Ges.  Werke,  pag.  413. 

t  Uber  einige  Abbildungsaufgaben,  Crelle's  Journal,  Bd.  70,  pag.  105  (1869) ; 
Uber  diejenigen  Falle,  in  welchen  die  Gauss'sche  hypergsometrische  Eeihe  eine 
algebraische  Function  ihres  vierten  Argumentes  ist,  Orelle's  Journal,  Bd.  75  (1872); 
weiter  sehe  man  Schwarz'  Abhandlungen  zur  Minimalflachentheorie. 


74  ROBERT   FRICKE. 

Man  denke  sich  in  der  That  einen  Bereich  B0  in  der  £-Ebene 
gezeichnet,  der  nur  von  Kreisen  oder  Kreisbogen  begrenzt  ist,  und 
wolle  auf  B0  die  Transformation  vermoge  reciproker  Radien  an 
semen  begrenzenden  Kreisen  anwenden.  Der  Erfolg  ist,  dass  B0 
rings  von  neuen  Bereichen  Blt  B2>...  umlagert  ist,  die  wieder  von 
Kreisen  begrenzt  sind,  und  auf  welche  man  demnach  aufs  neue 
den  bezeichneten  Process  der  Spiegelung  anwenden  kann.  Die 
Gruppentheorie  gewinnt  dann  dadurch  Eingang,  dass  man  den 
Spiegelungsprocess  ohne  Ende  fortsetzt  und  alle  Substitutionen  (1) 
sammelt,  welche  das  schliesslich  entspringende  Bereichnetz  in  sich 
selbst  transformieren* .  Dieser  an  und  fur  sich  an  keine  neue 
Bedingungen  gebundene  Ansatz  verlangt  indes  einige  Einschran- 
kungen  betreffs  der  Gestalt  des  Ausgangsbereiches  B0,  sobald 
man  die  Forderung  stellt,  dass  das  entspringende  Bereichnetz  die 
£-Ebene  nirgends  mehrfach  bedecken  soil.  Die  bekannteste 
dieser  Bedingungen  ist  die,  dass  in  etwaigen  Ecken  des  Bereiches 
B0  die  Winkel  aliquote  Teile  eines  gestreckten  Winkels  sein 
miissen. 

In  der  dritten  der  oben  genannten  Arbeiten  Riemann's  ist  der 
Spiegelungsprocess  auf  einen  Bereich  B0  angewandt,  der  nur  von 
Vollkreisen  begrenzt  ist,  und  hier  wird  das  schliesslich  entsprin- 
gende Netz  von  Bereichen  B  explicite  in  Betracht  gezogenf.  In 
den  Minimalflachenarbeiten  Riemann's  liegen  Kreisbogenpolygone 
vor,  die  auf  die  £-Kugel  stereographisch  projiciert  von  grossten 
Kugelkreisen  begrenzt  erscheinen.  Auf  das  schliessliche  Ergebnis 
des  Spiegelungsprocesses  wird  hier  nicht  ausfuhrlich  Bedacht 
genommen,  wie  denn  iiberhaupt  die  durchgebildeten  gruppen- 
theoretischen  Momente  Riemann  fern  liegen. 

Die  beschrankte  Gattung  der  bei  Riemann  zur  Verwendung 
kommendeu  Bereiche  B  hat  bewirkt,  dass  eine  beim  Princip  der 
symrnetrischen  Vervielfaltigung  auftretende  Erscheinung,  die  in 
der  Folge  die  allergrosste  Bedeutung  gewann,  wie  es  scheint 

*  Dyck  verwendet  in  den  "  Gruppentheoretischen  Studien"  (Math.  Ann.,  Bd.  20, 
1881)  das  Symmetrieprincip  und  die  Bereichnetze  zu  rein  gruppentheoretischen 
Zwecken,  bei  denen  die  Bedeutung  der  Figuren  nur  eine  schematische  ist. 

t  Dieser  Fall  ist  in  functionentheoretischem  Gedankenzusammenhang  aus- 
fuhrlich von  Schottky  untersucht  worden;  siehe  dessen  Abhandlung  "Uber 
conforme  Abbildung  mehrfach  zusammenhangender  ebener  Flactien,"  Crelle's 
Journal,  Bd.  83  (1877),  sowie  die  kurze  Notiz  in  Bd.  20  der  Mathem.  Annalen, 
pag.  299. 


AUTOMORPHE   FUNCTIONEN   UND   ARITHMETIK.         75 

Riemann  unbekannt  blieb:  ich  meine  den  Umstand,  dass  bei 
gewissen  Ausgangsbereichen  B0  der  Spiegelungsprocess  naturliche 
Grenzen  in  der  £-Ebene  antreffen  kann,  denen  man  zwar  durch 
hinreichend  weit  fortgesefczte  Spiegelung  beliebig  nahe  kommt, 
die  aber  nie  iiberschritten  werden  kb'nnen.  In  der  That  findet 
sich  das  Auftreten  einer  natlirlichen  Grenze  am  Beispiele  der 
Kreisbogendreiecke  zum  ersten  Male  in  der  zweiten  der  oben 
genannten  Arbeiten  von  Schwarz  erlautert,  der  iibrigens  von 
analytischer  Seite  her  bereits  vorher  auf  das  fragliche  Vor- 
kommnis  durch  Weierstrass  aufmerksam  gemacht  worden  war. 

In  letzterer  Hinsicht  haben  wir  aber  sehr  zu  betonen,  dass 
analytischerseits  bereits  in  zwei  alteren  Arbeiten  die  in  Rede 
stehenden  natiirlichen  Grenzen  eine  Rolle  spielen.  Einmal 
wurde  Riemann  bereits  sehr  friih  (1852)  auf  die  Untersuchung 
analytischer  Functionen  in  der  Nahe  ihrer  natlirlichen  Grenzen 
gefuhrt ;  ich  meine  hier  das  Fragment  liber  die  Grenzfalle  der 
elliptischen  Modulfunctionen,  das  pag.  427  ff.  der  gesammelten 
Werke  abgedruckt  ist.  Immerhin  sind  wir  trotz  der  nahen 
Beziehung,  welche  zwischen  den  letzteren  Functionen  und 
Riemann's  P-Function  besteht,  und  trotz  der  wichtigen  Rolle  der 
letzteren  in  den  Minimalflachenarbeiten  doch  nicht  zu  der 
Annahme  berechtigt,  dass  Riemann  eine  deutliche  Kenntnis  vom 
Zustandekommen  oder  auch  nur  von  der  Existenz  der  natlirlichen 
Grenze  bei  automorphen  Functionen  besessen  habe.  Sehr  geklart 
sind  demgegeniiber  die  Anschauungen,  welche  Hank  el*  1870  in 
der  unten  genannten  Arbeit  entwickelt  hat.  Am  Schlusse 
derselben  entwickelt  Hankel  die  Moglichkeit  analytischer  Func- 
tionen, deren  singulare  Punkte  ununterbrochene  Linien  flillen, 
und  giebt  in  einer  Note  das  Beispiel  einer  Function,  die  einen 
Kreis  als  natiirliche  Grenze  besitzt.  Hankel  hat  diese  Ideen 
unabhangig  von  Weierstrass  entwickelt,  welch  letzterer  freilich 
schon  vor  Mitte  der  sechziger  Jahre  in  seinen  Vorlesungen  den 
in  Rede  stehenden  Gegenstand  beriihrte. 

Die  obigen  Bereiche  B0  lie  fern  Gruppen,  welche  aus  den  beiden 
Arten  der  Substitutionen  (1)  bestehen,  und  welche  liberdies  aus 
einer  Reihe  von  Substitutionen  zweiter  Art  der  Petiode  zwei 


*   Untersuchungen  iiber  die  unendlich  oft  oscillierenden  und  unstctigen   Func- 
tionen (Tubingen,  1870),  abgedruckt  in  Bd.  20  der  Mathem.  Annalen. 


76  ROBERT    FRICKE. 

erzeugbar  sind.  In  den  Hauptarbeiten  zur  Theorie  der  auto- 
morphen  Functionen,  namlich  denjenigen  von  Poincare'*  und 
der  unmittelbar  vorher  erschienenen  Abhandlung  von  Klein*!* 
wird  der  Ansatz  so  gewahlt,  dass  zuvb'rderst  nur  Gruppen  von 
Substitutionen  (1)  der  ersten  Art  entspringen ;  und  es  wiirde  als- 
dann  der  Gegenstand  einer  weiteren  Untersuchung  sein,  ob  die 
einzelne  "  Gruppe  erster  Art "  durch  Zusatz  von  Operationen 
zweiter  Art  erweitert  werden  rnag.  Gegeniiber  der  grosseren 
Allgemeinheit  dieses  Ansatzes  hat  der  oben  bezeichnete  Gebrauch 
des  Symmetrieprincips  jedenfalls  den  Vorzug  grosserer  Anschau- 
lichkeit  fur  sich.  Um  sich  liber  die  ausserst  mannigfaltigen 
Gestaltungen  der  Grenzcurve  zu  unterrichten,  bietet  sogar  schon 
der  von  Riemann  in  der  Arbeit  liber  Elektricitatsverteiltmg 
betrachtete  Fall  vollauf  Gelegenheit,  wenn  wir  nur  noch  seine 
gleich  zu  bezeichnenden  Ausartungen  mit  in  Betracht  ziehen. 
Diese  letzteren  sollen  darin  bestehen,  dass  die  zuvorderst  getrennt 
liegenden  Vollkreise,  vvelche  die  Grenzen  des  (natlirlich  mehrfach 
zusammenhangenden)  Bereiches  £0  ausmachen,  in  eine  einfach  oder 
mehrfach  zusammengeschlossene  Kette  einander  berlihrender 
Kreise  libergehen  sollen.  Im  anfanglichen  Falle  strebt  der 
Spiegelungsprocess  keiner  zusammenhangenden  Grenzlinie  zu, 
sondern  vielmehr  unendlich  vielen  discret  liegenden  Punkten,  welche 
ein  Punktsystem  von  hochst  wunderbarer  Structur  bilden.  Hat 
man  eine  einfach  zusammengeschlossene  Kette  einander  berlih- 
render Kreise,  so  entspringt  eine  geschlossene  Grenzcurve  als 
natiirliche  Grenze ;  von  ihr  gilt  der  sehr  merkwlirdige  Satz,  dass 
sie  entweder  ein  Kreis  ist  oder  aber  eine  hochst  complicierte  Curve, 
die  sich  durch  eine  analytische  Oleichung  zwischen  den  Coordinates 
uberhaupt  nicht  mehr  darstellen  ldsst+.  Ist  endlich  der  Zu- 
sammenschluss  der  Kette  einander  berlihrender  Kreise  ein  mehr- 
facher,  so  entspringen  unendlich  viele  Grenzcurven§,  die  im 

*  In  erster  Linie  kommen  in  Betracht :  Theorie.  des  yroupes  fuclisiens,  Acta 
mathem.,  Bd.  1  (1882),  Memoire  sur  Us  groupes  kleineens,  Acta  mathem.,  Bd.  3 
(1883). 

t  Neue  Beitrage  zur  Rieniann'scJien  Functionentheorie,  Mathemat.  Annalen, 
Bd.  21  (1882). 

£  Die  erste  Mitteilung  iiber  diesen  Gegenstand  findet  sich  in  einem  Briefe 
Klein's  an  Poincare,  der  in  den  Comptes  rendus  von  1881,  Bd.  1,  pag.  1486  im 
Auszug  abgedruckt  ist. 

§  Vergl.  hierzu  die  oben  gen.  Arbeit  von  Klein  in  Bd.  21  der  Math.  Annalen. 


AUTOMORPHE    FUNCTIONEN    UND    AR1THMETIK.          77 

besonderen  sdmtlich  Kreise  sein  mogen,  im  allgemeinen  aber  nicht- 
analytische  Curven  darstellen. 

Die  fraglichen  Bereichnetze  sind  tibrigens  auch  nach  ihrer 
rein  georaetrischen  Seite  bin  nur  erst  sehr  wenig  ausfiihrlich 
untersucht.  Es  tritt  hier  moglicherweise  die  schon  oben  (pag.'  74) 
erwahnte  Sachlage  ein,  dass  das  Netz  der  Bereiche  B0,  JB1,.,.  bei 
fortgesetzter  Spiegelung  schliesslich  mit  sich  selbst  in  Collision 
gerat;  aber  es  sind  die  Bedingungen  dafiir,  dass  dies  nicht 
eintritt,  im  vollen  Umfange  noch  nicht  ausfiihrlich  untersucht.. 
Doch  muss  es  geniigen,  hierauf  hingewiesen  zu  haben ;  und  ich 
kann  auch  der  Einfiihrung  der  automorphen  Functionen,  als- 
eindeutiger  analytischer  Functionen  /(£),  welche  in  homologen 
Punkten  der  Bereiche  B0,  B1,...  entweder  gleiche  oder  conjugiert 
complexe  Werte  annehmen,  nur  im  Vorbeigehen  gedenken. 

Die  voraufgehenden  Auseinandersetzungen,  welche  ja  dem 
Kenner  der  automorphen  Functionen  sehr  gelaufig  sind,  mussten 
doch  gemacht  werden,  um  die  Stelle  aufweisen  zu  konnen,  wo  die 
Arithmetik  mit  der  Theorie  der  automorphen  Functionen  zu- 
sammenhangt.  Die  genannten,  durch  die  Bereiche  B0,  -Si,... 
gebildeten  Einteilungen  der  £-Ebene  oder  eines  Teiles  derselben 
und  damit  zugleich  die  zugehorigen  Gruppen  mit  ihrer  Structur 
und  specifischen  Darstellungsform  sind  in  der  That  nur  erst 
dadurch  einer  in  ihr  Wesen  dringenden  Untersuchung  zuganglich, 
dass  man  sich  arithmetischer  Hilfsmittel  und  Begriffsbestim- 
mungen  bedient.  Versucht  man  allein  mit  der  unmittelbaren 
Anschauung  sich  den  Verlauf  einer  Grenzcurve  klar  zu  machen, 
so  erkennt  man,  sofern  dieselbe  eine  nicht-analytische  Curve  ist, 
alsbald  die  vollige  Unmoglichkeit  zum  Ziele  zu  kommen.  Gleich- 
wohl  ist  naturlich  in  jedem  Falle  die  Grenzcurve  wohlbestimmt, 
und  es  muss  moglich  sein,  dieselbe  durch  Angabe  der  numerischen 
Werte  der  Coordinaten  ihrer  Punkte  arithmetisch  zu  begreifen. 
Es  liegen  hier  tibrigens  Curven  vor,  wie  sie  allgemein  und  in 
abstracterer  Form  durch  Hankel*,  P.  du  Bois-Reymondf  und 
viele  neuere  Autoren  in  Betracht  gezogen  wurden.  Auf  der 
andern  Seite  liefern  unsere  Figuren  die  mannigfaltigsten  Beispiele 
unendlicher  Punktsysteme,  wie  sie  gleichfalls  unter  allgemei- 


*  In  den  oben  (pag.  75)  ausfiihrlich  genannten  Abhandlung. 

t  Siehe  dessen  Werk  "Die  allgemeine  Functionentheorie,"  Tiibingen  1882. 


78  ROBERT   FRICKE. 

nerem  Ansatze  durch  G.  Cantor*  in  seiner  Mannigfaltigkeits- 
lehre  betrachtet  werden.  Man  denke  hier  einmal  an  jene 
unendlich  vielen  discret  liegenden  Punkte,  welche  in  dem 
mehrfach  genannten  Riemann'schen  Falle  die  Grenzpunkte  des 
Spiegehmgsprocesses  sind ;  aber  auch  in  den  iibrigen  Fallen  hat 
man  die  allgemeinen  Cantor'schen  Ansatze  haufig  zur  Verwendung 
zu  bringen. 

Der  gewiesene  Weg,  die  Kenntnis  der  Figuren  nach  der  bezeich- 
neten  arithmetischen  Seite  zu  vertiefen,  besteht  darin,  dass  man 
das  arithmetische  Bildungsgesetz  der  Substitutionscoefficienten  a, 
y8,  7,  8  aufzuweisen  sucht,  welche  im  Einzelfalle  bei  einer  Gruppe 
auftreten.  Die  Losung  dieses  im  Centrum  stehenden  Problems 
wlirde  einmal  das  Zustandekommen  der  Gruppe  aus  der  Gesetz- 
massigkeit  der  Coefficienten  unmittelbar  verstandlich  machen ; 
andrerseits  wiirden  sich  alle  eben  angeregten  Fragestellungen 
dann  einfach  dadurch  erledigen,  dass  man  die  bei  den  einzelnen 
Substitutionen  festbleibenden  Punkte  der  £-Ebene  berechnet. 
Als  Prototyp  fur  die  Behandlung  der  vorliegenden  Fragestel- 
lungen kann  man  etwa  die  Theorie  der  Modulgruppe  ansehen-f*. 
Das  Zustandekommen  dieser  Gruppe  ist  aus  der  ganzzahligen 
Natur  der  Substitutionscoefficienten  unmittelbar  klar;  die 
natiirliche  Grenze  ist  zwar  in  einfachster  Weise  die  reelle  £-Axe, 
aber  man  hat  doch  noch  eine  Reihe  besonderer  Punktsysteme  auf 
der  reellen  Axe  zu  betrachten,  wie  die  Systeme  aller  Fixpunkte 
gewisser  besonderer  Classen  von  Substitutionen  innerhalb  der 
fraglichen  Gruppe. 

Zur  Auflosung  des  aufgestellten  Problems  bietet  sich  nun 
zuvbrderst  ein  inductiver  Weg  dar.  Man  kann  aus  dem  gegebenen 
Bereiche  B0  die  erzeugenden  Substitutionen  der  Gruppe  berechnen 
und  mag  durch  Combination  derselben  weitere  Substitutionen  der 
Gruppe,  soviel  man  will,  herstellen.  Es  wlirde  dann  die  Aufgabe 
entspringen,  aus  einer  endlichen  Anzahl  dieser  Operationen  auf 


*  Man  vergl.  die  zahlreichen  kleineren  Aufsatze  G.  Cantor's  iiber  unendliche 
lineare  Punktmannigfaltigkeiten  in  den  Banden  15  bis  21  der  Mathem.  Annalen, 
sowie  eine  Keihe  weiterer  beziiglicher  Artikel  in  den  Banden  2,  4  und  7  der  Acta 
mathematica. 

t  Man  vergl.  die  vom  Verfasser  des  vorliegenden  Aufsatzes  gelieferte  Dar- 
stellung  der  fraglichen  Theorie  in  dem  Werke  "  F.  Klein,  Vorlesungen  iiber  die 
Theorie  der  elliptischen  Modulfunctionen,"  2  Bande,  Leipzig  1890  und  92. 


AUTOMORPHE   FUNCTIONEN    UND    ARITHMETIK.  79 

das  gemeinsame  arithmetische  Gesetz  zu  schliessen,  von  dera  die 
gesamten  Operationen  der  vorliegenden  Gruppe  beherrscht  sind*. 
Es  ware  das  eine  Art  inductiver  Forschung,  wie  sie  in  der 
Arithmetik  haufig,  zumal  auch  von  Gauss  in  Anwendung 
gebracht  wurde  und  zur  Erkenntnis  neuer  Gesetze  hinfuhrte. 
Aber  wie  es  scheinen  will,  ist  auch  der  Scharfsinn  eines  Gauss 
dazu  erfbrderlich,  urn  auf  dem  bezeichneten  inductiven  Wege  die 
Gesetzmassigkeiten  erkennen  zu  wollen,  welche  gegeniiber  der 
Combination  der  Substitutionen  den  Charakter  der  Invarianz 
besitzen.  Und  zudem  sind,  von  den  einfachsten  Fallen 
abgesehen,  die  Rechnungen  bei  Combination  der  erzeugenden 
Substitutionen  alsbald  so  schwierig  und  umstandlich,  dass  die 
bezeichnete  Methode  wenig  aussichtsreich  erscheinen  muss. 

Bei  dieser  Sachlage  kb'nnte  man  versucht  sein,  von  den 
Substitutionsgruppen  selbst  auszugehen  ;  und  hier  bietet  sich  sofort 
die  Moglichkeit,  beliebig  viele  Gruppen  aus  Substitutionen  (1) 
arithmetisch  zu  definieren.  Schreiben  wir  in  der  That  vor, 
dass  die  Substitutionscoefficienten  a,  /8,  7,  S  einem  bestimmten 
Rationaiitatsbereiche  angehoren,  so  ist  sofort  evident,  dass  damit 
etwas  gegeniiber  der  Combination  der  Substitutionen  Invariantes 
gewonnen  ist.  Aber  es  reicht  diese  Festsetzung  allein  im 
allgemeinen  keineswegs  aus,  um  Gruppen  zu  gewinnen,  wie  man 
sie  in  der  Theorie  der  eindeutigen  automorphen  Functionen 
braucht,  und  wie  sie  umgekehrt  von  den  oben  betrachteten 
Bereichnetzen  geliefert  werden.  Es  treten  hier  jene  wichtigen 
Einteilungsprincipien  unserer  Gruppen  in  continuirliche^,  un- 
eigentlich  discontinuirliche  und  endlich  eigentlich  discontinuirliche^ 
in  Geltung,  welche  nicht  nur  die  Structur,  sondern  auch  die 
specielle  Darstellungsform  betreffen.  Es  sind  die  "in  der  f- 
Ebene"  eigentlich  discontinuirlichen  Gruppen,  welche  von  den 

*  Fiir  eine  sehr  specielle  Classe  von  Gruppen  hat  Rausenberger  vor  langerer 
.Zeit  ohne  entschiedene  Kesultate  den  bezeichneten  Forschungsweg  betreten ;  siehe 
z.  B.  dessen  Abhandlung  "  Uber  eindeutige  periodische  Functionen"  Math.  Ann.,  Bd. 
20,  pag.  187  (1882). 

t  Deren  Theorie  von  S.  Lie  und  seinen  Schulern  ausgebildet  wird;  siehe  z.  B. 
das  mehrbandige  Werk  Lie-Engel,  Theorie  der  Transformationsgruppen,  Leipzig 
(Teubner). 

$  Man  vergl.  hierzu  speciell  die  zweite  der  oben  citierten  Abhandlungen 
Poincare's;  doch  ist  daselbst  der  Begriff  der  continuirlichen  Gruppen  weniger 
streng  gefasst. 


80  ROBERT    FRICKE. 

Bereichnetzen  geliefert  werden,  wahrend  man  auf  dem  eben 
zuletzt  erwahnten  Wege  zwar  discontinuirliche,  aber  im  allge- 
meinen  doch  nur  erst  uneigentlich  discontinuirliche  Gruppen 
gewinnt. 

Der  Anstoss  zur  Entdeckung  neuer  eigentlich  discontinuirlicher 
Gruppen  iiber  die  Modulgruppe  hinaus  kam  von  einem  nicht 
direct  zur  Sache  gehorigen  Gebiete,  namlich  aus  der  arithme- 
tischen  Theorie  der  indefiniten  ganzzahligen  quadratischen  Formen ; 
in  der  That  lieferte  diese  Theorie  arithmetisch  defmierte  Gruppen 
von  Substitutionen  (1),  von  denen  man  von  vornherein  wusste, 
dass  sie  eigentlich  discontinuirlich  sein  miissen.  Aber  freilich 
hat  auch  dieser  Ansatz  (auf  den  wir  gleich  noch  ausfuhrlicher  zu 
sprechen  kommen)  nur  eine  sehr  geringe  Ergiebigkeit  besessen ; 
in  der  That  lassen  sich  auf  diesem  Wege  nur  solche  Gruppen 
gewinnen,  bei  denen  die  naturliche  Grenze  ein  Kreis  ist. 

Von  der  Literatur  der  indefiniten  quadratischen  Formen 
kommen  fur  uns  in  erster  Linie  die  Arbeiten  von  Hermite*  und 
Selling^"  in  Frage.  Insbesondere  ist  es  die  eben  zuletzt  citierte 
Arbeit  Sellings,  welche  in  einer  merkwtirdig  weit  durchgebildeten 
Gestalt  genau  die  fur  uns  in  Betracht  kommenden  Frage- 
stellungen  behandelt.  Nur  ist  es  nattirlich,  dass  Selling  in  seiner 
vielseitigen,  auch  nach  mancher  anderen  Richtung  hin  wichtigen 
Arbeit  nicht  eben  jene  Gesichtspunkte  voranstellt,  welche  vom 
Standpunkte  der  Gruppentheorie  der  Substitutionen  (1)  die 
wichtigsten  sind.  Auch  ist  es  gar  nicht  wunderbar,  dass  Selling 
bei  der  geometrischen  Betrachtung  der  Bereichnetze  B0,  Bl}...  die 
letzteren  nicht  gerade  in  der  einfachsten  Gestalt  gewinnt,  welche 
uns  heute  zuganglich  ist.  Es  hat  daun  aber  spaterhin  Poincar^J 
einen  Teil  der  Selling'schen  Ansatze  in  moderner  Fassung 
bearbeitet  und  den  Conriex  mit  seiner  eigenen  Theorie  der 
automorphen  Functionen  explicite  hergestellt. 


*  Man  sehe  namentlich  die  Abhandlungeiifolge  in  Bd.  47  von  Crelle's  Journal, 
pag.  307  ff.  (1853). 

t  Uber  binare  und  temare  quadratische  Formen,  Crelle's  Journ.,  Bd.  77  (1874). 

J  Poincard  ist  wiederholt  auf  diesen  Gegenstand  zuruckgekommen  und  hat 
decselben  bereits  in  seinen  ersten  Notizen  iiber  "Fuchs'sche  Gruppen"  erwahnt; 
man  sehe  z.  B.  die  Comptes  rendus  von  1881,  Bd.  1,  pag.  335,  sowie  vor  allem  die 
ausfiihrliche  Arbeit  "Les  /auctions  fuchsiennes  et  I'arithmetique,"  Journal  de 
Mathe"matiques,  4te  Folge,  Bd.  3,  pag.  405  (1887). 


AUTOMORPHE   FUNCTIONED    UND    ARITHMETIK.          81 

Um  den  in  Rede  stehenden  Gegenstand  ein  wenig  naher  zu 
behandeln,  sei  unter  : 


(2), 

eine  indefinite  ganzzahlige  terndre  Form  verstanden,  die  ir- 
reducibel  sein  soil  und  also,  geometrisch  genommen,  einen  nicht- 
zerfallenden  Kegelschnitt  von  reellem  Curvenzuge  darstellt. 
Dieser  Kegelschnitt  gestattet  oo3  Collineationen  : 

x'i  —  &ii®i  +  a{2#2  +  &i3x3  .....................  (3), 

in  sich,  welche  eine  continuirliche  Gruppe  bilden.  Sondern  wir 
nun  aus  dieser  Gruppe  alle  ganzzahligen  Substitutionen  der 
Determinante  |ait|  =  1  aus,  so  haben  wir  die  gewunschte  Gruppe. 
Diese  Gruppe  ist  eigentlich  discontinuirlich,  well  sie  keine 
infinitesimale  Substitutionen  aufweist*.  Es  entspricht  ihr  eine 
Einteilung  des  Innern  des  Kegelschnitts  fxx  =  0  in  Bereiche  B0, 
B1,...,  d.  h.  desjenigen  Teiles  der  Coordinatenebene,  von  dem  aus 
keine  reelle  Tangenten  an  den  Kegelschnitt  gezogen  werden 
konnen.  Die  hiermit  gewonnene  Figur  subsumiert  sich  freilich 
noch  nicht  direct  unter  die  oben  allgemein  in  Ansatz  gebrachten 
Netze  von  Bereichen  ;  doch  brauchen  wir  nur  ein  gewisses  sehr 
einfaches  Projections  verfahren-j-  in  Anwendung  zu  bringen,  urn 
die  zuletzt  gemeinte  Gattung  von  Bereichen  der  f-Ebene  zu 
gewinnen.  Sollen  wir  analytisch  den  Zusammenhang  zwischen 
der  Coordinatenebene  der  xt  und  der  £-Ebene  angeben,  so  wiirde 
dies  geschehen  durch  die  Formel  : 


v  +  ijuw  —  v2 


in  welcher  u  =  0  und  w  =  0  zwei  Tangenten  des  Kegelschnitts 
darstellen  und  v  =  0  die  Verbindungslinie  ihrer  Beriihrungspunkte, 
wahrend  identisch  fxx  =  uw  —  v2  bestehen  muss.  Bei  der  Ableitung 
dieser  Formel  konnen  wir  uns  nicht  aufhalten  und  bemerken  nur 
noch,  dass  das  Kegelschnittinnere  auf  die  "  positive  "  £-Halbebene 
bezogen  ist,  sofern  wir  das  Vorzeichen  der  Quadratwurzel  in  (4) 
mit  dem  von  u  tibereinstimmend  wahlen. 


*  Man  vergl.  hierzu  die  zweite  der  pag.  76  genannten  Abhandlungen  von 
Poincare. 

t  Eine  ausfiihrliche  Behandlung  dieses  Gegenstandes  findet  man  im  Bde  1  der 
Vorlesungen  iiber  Modulfunctionen,  pag.  240. 

c.  P.  6 


82  ROBERT    FR1CKE. 

Es  sind  hier  gleich  die  ternaren  Formen  gebraucht  worden, 
weil  sie  am  unmittelbarsten  zu  Gruppen  unserer  Art  hinfiihren ; 
iiber  den  analogen  Gebrauch  der  binaren,  quaternaren  n.s.w. 
Formen  sollen  weiter  unten  noch  einige  Bemerkungen  angefugt 
werden.  Vorab  ist  indessen  iiber  die  thatsachliche  Berechnung 
der  Substitutionen  (3)  bei  vorgegebener  Form  fxx  zu  berichten. 
Hermite*  entwickelt  zur  Auflosung  dieses  Problems  einen 
allgemeinen  Ansatz,  bei  dessen  Durchfuhrung  er  indessen  eine 
gewissermassen  partikulare  Wendung  eintreten  lasst.  Um  das 
Sachverhaltnis  geometrisch  auszudriicken,  so  stelle  man  neben 
den  Kegelschnitt  fxx  =  0  eine  durch  eine  ganzzahlige  Gleichung 
gegebene  Gerade  der  Coordinatenebene.  Die  Arigabe  aller  ganz- 
zahligen  Substitutionen  (3),  welche  Kegelschnitt  und  Gerade 
zugleich  in  sich  iiberfuhren,  wird  alsdann  mit  Hilfe  der  gewohn- 
lichen  Pell'schen  Gleichung  geleistet.  Unter  den  beziiglichen 
Arbeiten  Cay  ley's  kommt  in  erster  Linie  eine  im  50.  Bande 
von  Crelle's  Journal  pag.  288  ff.-f-  abgedruckte  in  Betracht.  In 
derselben  wird  zuvorderst  im  Anschluss  an  Hermite  ein  ganz. 
allgemeiner  Ansatz,  quadratische  Formen  von  n  Veranderlichen 
in  sich  zu  transform ieren,  entwickelt,  und  Cayley  giebt  sodann 
besondere  Ausfuhrungen  u.  a.  fur  n  —  3,  welch  letztere  sich  auf  die 
Gleichungsform  xlxs  —  a;/  =  0  beziehen ;  inzwischen  wird  dabei 
kein  Nachdruck  auf  die  Aussonderung  ganzzahliger  Substitutionen 
gelegt. 

Das  Partikulare  an  der  Hermite'schen  Durchfuhrung  unserer 
Aufgabe  besteht  darin,  dass  man  keineswegs  zur  Gesamtgruppe 
der  ganzzahligen  Collineationen  direct  gefuhrt  wird,  sondern 
immer  nur  specielle  cyclische  Untergruppen  derselben  gewinnt,, 
die  durch  die  Auswahl  der  Geraden  im  eiuzelnen  Falle  fixiert 
sind.  Im  Vergleich  hiermit  erscheint  nun  die  von  Selling* 
gegebene  Auflosung  der  Aufgabe,  bei  vorgegebener  Form  fyx  alle 
ganzzahligen  Substitutionen  (3)  zu  bestimmen,  ungleich  prin- 
cipieller,  insofern  Selling's  Methode  dazu  fiihrt,  sogleich  die 
erzeugenden  Substitutionen  der  Gesamtgruppe  zu  berechnen.  Zu 
diesem  Ziele  gelangt  Selling  durch  eine  erschopfende  Theorie  der 

*  A.  a.  0.  Crelle's  Journal,  Bd.  47,  pag.  309. 

t  Sur  la  transformation  d'une  fonction  quadratique  en  elle-meme  par  des  substi- 
tutions lineaires. 

J  A.  a.  0.  Crelle's  Journal,  Bd.  77. 


AUTOMORPHE   FUNCTIONEN    UND    ARITHMETIK.  83 

ternaren  Formen  liberhaupt,  die  er  1.  c.  seiner  Behandlung  der 
binaren  Formen  atireiht.  Leider  ist  es  jedenfalls  unmbglich,  in 
Kiirze  mit  hinreichender  Deutlichkeit  die  ebenso  wichtigen  wie 
allgemeinen  Gesichtspunkte  der  Selling'schen  Entwicklung  dar- 
zulegen.  Nur  muss  erwahnt  werden,  dass  die  von  Selling 
gebrauchte  geometrische  Interpretation  der  definiten  Formen 
durch  Punktgitter  eben  jene  Vorstellungsweise  ist,  die  von 
Gauss*  eingefuhrt  wurde,  wahrend  Selling's  Zuordnung  un- 
endlich  vieler  definiter  Formen  zu  der  einzelnen  indefiniten  gerade 
diejenige  Massnahme  ist,  die  zuerst  durch  Hermite'f  in 
analytischer  Form  angesetzt  und  zu  mannigfachen  Zwecken 
verwendet  wurde.  Der  hier  in  Frage  kommende  Gegenstand 
kann,  fur  bindre  Formen  gedacht,  als  eine  in  geometrischer 
Gestalt  durchgefuhrte  Theorie  der  PelVschen  Gleichung  bezeichnet 
werden  £  Die  geometrischen  Entwicklungen,  welche  zu  diesem 
Ende  an  der  eben  citierten  Stelle  der  "  Vorlesungen  liber 
Modulfunctiouen"  Vervvendung  finden,  sind  nicht  principiell 
verschieden  von  den  Vorstellungsweisen  ira  ersten  Teile  der  b'fter 
genannten  Selling'schen  Arbeit.  Um  so  interessanter  ist  es,  dass 
die  Untersuchungen  von  Stephen  Smith§,  welche  der  Behand- 
lung der  indefiniten  binareu  Formen  in  den  gen.  Vorlesungen  zu 
Grunde  liegen,  aus  dem  gleichen  Jahre  stammen,  wie  die 
Selling'sche  Arbeit. 

Zu  weiteren,  fur  die  Theorie  der  automorphen  Functionen 
bedeutungsvollen  Ergebnissen  gelangt  man  dadurch,  dass  man 
die  quaterndren  ganzzahligen  quadratischen  Formen  in  gleicher 
Weise  in  Ansatz  bringt,  wie  vorhin  die  ternaren.  In  dieser 
Hinsicht  sei  vorab  erwahnt,  dass  die  Untersuchungen  von  Selling 
in  das  quaternare  Gebiet  hinein  durch  Charvejl  fortgesetzt 

*  In  den  Gottingischen  gelehrten  Anzeigen  vom  9.  Juli  1831,  bei  Gelegenheit 
der  Anzeige  der  Seeber'schen  Untersuchungen  iiber  ternare  positive  Formen ;  siehe 
auch  Bd.  2  der  gesammelten  Werke,  pag.  188  ff. 

t  Ausser  den  schon  citierten  Stellen  sehe  man  etwa  noch  Hermite's  Abhand- 
lung  "  Sur  V introduction  des  variables  continues  dans  la  theorie  des  nombres," 
Crelle's  Journal,  Bd.  41. 

J  Siehe  die  "  Vorlesungen  iiber  Modulfunctionen,"  Bd.  1,  pag.  250  ff. 

§  Die  betreffende  Arbeit  "  Sur  les  equations  modulaires  "  ist  1874  geschrieben, 
wenn  auch  erst  1877  in  den  Atti  dell'  Accademia  Beale  dei  Lincei  (Bd.  1)  gedruckt. 

||  De  la  reduction  des  formes  quadratiques  quoternaires  positives,  Annales  de 
l'6cole  Normale,  Folge  n.  Bd.  11  (1882) ;  cf.  auch  Comptes  rendus  1883,  pag.  773. 

6—2 


84  ROBERT    FRICKE. 

wurden.  Doch  konnen  wir  hier  vor  alien  Dingen  die  inhaltreichen 
modernen  Untersuchungen  von  Bianchi  iiber  Polyedergruppen 
einordnen.  Es  nehmen  freilich  diese  Untersuchungen  erst  in 
neuester  Zeit  die  Wendung  zu  den  quaternaren  Formen*,  wahrend 
Bianchi  in  den  ersten  beziiglichen  Arbeiten  an  das  directe 
Bildungsgesetz  der  £-Substitutionen  ankniipft'f;  doch  kann  man 
alle  diese  Gruppen  von  den  quaternaren  Formen  aus  gewinnen. 

Zur  naheren  Erlauterung  des  eben  genannten  Ansatzes 
nehmen  wir  an,  es  liege  in  fxx  eine  ganzzahlige  quaternare 
quadratische  Form  vor,  die,  gleich  Null  gesetzt,  unter  geeigneter 
Auswahl  des  Coordinatensystems  ein  Ellipsoid  darstelle.  Dem 
oben  betrachteten  Ubergange  vom  Kegelschnittinnern  zur  f- 
Halbebene  entspricht  alsdann  hier  der  Ubergang  vom  Innern 
des  Ellipsoids  zum  %-Halbraum,  d.  h.  demjenigen  Teile  des 
gewohnlichen  dreidimensionalen  Raumes,  der  oberhalb  der  Ebene 
der  complexen  Veranderlichen  £  liegt.  Der  ganzzahligen  quater- 
naren Substitutionsgruppe  der  Formfxx  in  sich  entspricht  nunmehr 
eine  ebenftdchige  Polyedereinteilung  im  Innern  der  Fldche  fxx  =  0, 
und  bei  dem  schon  genannten  Ubergange  zum  f-Halbraume 
gewinnen  wir  eine  der  Gruppe  entsprechende  Einteilung  des 
letzteren  in  Kugelschalenpolyeder  von  der  Art,  wie  sie  Poincare| 
in  seiner  Theorie  der  Klein'schen  Gruppen  zu  Grunde  legt.  Die 
von  Bianchi  betrachteten  Beispiele  hierher  gehoriger  Gruppen 
sind  in  der  That  noch  nicht  in  der  £-Ebene,  wohl  aber  im  Halb- 
raum  "  eigentlich "  discontinuirlich.  Ubrigens  sollen  betreffs 
des  directen  Bildungsgesetzes  der  in  den  Bianchi'schen  Gruppen 
enthaltenen  £-Substitutionen  weiter  unten  noch  einige  Bemer- 
kungen  angefugt  werden. 

Die  eben  besprochenen  Gruppen,  die  man  als  "  Polyeder- 
gruppen" bezeichnet,  sind  in  der  Theorie  der  automorphen 
Functionen  einer  Veranderlichen  £  nicht  unmittelbar  brauchbar ; 
hier  kommen  ja  nur  die  als  "  Polygongruppen "  zu  benennenden 
Gruppen  der  oben  besprochenen  Art  in  Frage.  Es  giebt  aber 

*  Sui  gruppi  di  sostituzioni  lineari,  Math.  Ann.,  Bd.  42,  pag.  30  (18,12). 

t  Lineare  Substitutionen  mit  ganzzahligen  complexen  Coefficienten,  zwei  Abhand- 
lungen  in  den  Mathemat.  Annalen,  Bd.  38,  pag.  313  und  Bd.  40,  pag.  332  (1890 
und  91). 

J  Man  sehe  die  zweite  unter  den  oben  (pag.  76)  genannten  Abhandlungen 
Poincar6's. 


ATJTOMORPHE   FUNCTIONEN   UND   ARITHMETIK.          85 

eine  sehr  interessante  Wendung  in  der  Theorie  der  Polyeder- 
gruppen,  welche  uns  Polygongruppen  als  Untergruppen  in 
denselben  kennen  lehrt.  Indem  man  den  oben  schon  beriihrten 
Gedanken  generalisiert,  innerhalb  der  Collineationsgruppe  eines 
Kegelschnitts  in  sich  diejenige  cyclische  Untergruppe  zu  be- 
trachten,  welche  eine  vorgegebene  Gerade  in  sich  tiberfiihrt, 
werden  wir  die  Aufgabe  im  quaternaren  Gebiet  entsprechend  so 
formulieren:  Man  schneide  die  Flache  zweiten  Grades  fxx  =  0 
vermoge  einer  durch  eine  ganzzahlige  Gleichung  gegebenen 
Ebene ;  diejenigen  quaternaren  Substitutionen  der  Gruppe,  welche 
diese  Ebene  in  sich  selbst  iiberfuhren,  liefern  eine  Untergruppe 
vom  Typus  der  Polygongruppen.  Dabei  fiihrt  die  geometrische 
Untersuchung  des  Schnittes  der  Ebene  init  der  Polyederteilung 
direct  zur  Polygoneinteilung  dieser  Untergruppe  vermoge  einer 
Theorie,  die  das  genaue  Analogon  der  oben  citierten  geometrischen 
Theorie  der  PelFschen  Gleichung  ist,  und  die  sich  den  Selling'schen 
Betrachtungen  im  ternaren  Gebiete  an  die  Seite  stellt*. 

Der  hiermit  besprochene  Ansatz,  sowie  auch  seine  nahe 
liegende  Verallgemeinerung  auf  Formen  mit  einer  noch  grosseren 
Variabelenzahl,  fiihrt  indessen  zu  keinen  neuen  Resultaten ;  man 
wird  vielmehr  immer  wieder  zu  jenen  Polygongruppen  zuriick- 
gefuhrt,  welche  auch  schon  durch  die  Selling'sche  Theorie  geliefert 
wurden. 

Nebenher  sei  auch  noch  auf  die  folgende  Moglichkeit 
hingewiesen,  den  an  die  ternaren  Formen  ankniipfenden  gruppen- 
theoretischen  Ansatz  zu  verallgemeinern.  In  der  Curventheorie 
gilt  ein  Kegelschnitt  als  Normalcurve  des  Geschlechtes  p  =  0  in  der 
Ebene,  d.  i.  im  Raume  JK2  v°n  zwei  Dimensionen.  Es  reiht  sich 
im  R3  als  Normalcurve  p  =  0  die  Raumcurve  dritter  Ordnung  Cs 
an,  allgemein  aber  im  Rn  die  Curve  Cn,  die  nicht  schon  in  einem 
linearen  Raume  .#„_!  gelegen  ist.  Die  "  ganzzahligen "  Kegel- 
schnitte  werden  wir  in  solche  rationale  Curven  Cn  verallgemeinern, 
welche  durch  ganzzahlige  Gleichungen  darstellbar  sind.  Es  ist 
nun  schon  vor  langerer  Zeit  von  F.  Klein  das  Problem  gestellt, 
gerade  so  wie  bei  der  C2  auch  bei  der  Cn  die  Gruppe  der 
ganzzahligen  Raumcollineationeu  des  Rn  aufzustellen,  welche  die 


*  Man  sehe  das  Nahere  in  der  vorhin  genannten  Arbeit  von  Bianchiin  Bd.  38 
der  Mathem.  Annalen,  pag.  331  ff. 


86  ROBERT   FRICKE. 

Cn  in  sich  iiberfuhren.  Sie  werden  eine  eigentlich  discontinuir- 
liche  Untergruppe  in  der  Gesamtgruppe  der  oo 3  Collineationen 
der  Cn  in  sich  bilden  und  werden  insbesondere  fur  den  "Parameter" 
£  der  rationalen  Cn  eine  Polygongruppe  zur  Folge  haben.  EsSst 
kaum  zweifelhaft,  dass  dieser  Ansatz  iiber  den  Bereich  der 
Selling'schen  Gruppen  hinausfuhrt ;  indessen  ist  die  nahere 
Untersuchung  noch  nicht  ausgefiihrt. 

Es  ist  numnehr  Bericht  zu  erstatten  liber  eine  Reihe  von 
Arbeiten,  deren  geraeinsamer  Charakter  dahin  formuliert  werden 
kann,  dass  sie  von  einem  directen  Bildungsgesetz  arithmetischer  Art 
fur  die  ^-Substitutionscoefficienten  a,  /8,  7,  8  ausgingen.  Der  hier 
am  nachsten  liegende  Gedanke  wtirde  der  sein,  dass  man  nach  der 
bezeichneten  Richtung  bin  die  ternaren  Gruppen  Selling's  und 
Poincar^'s  in  ihrer  Gestalt  als  f-Gruppen  in  Betracht  zieht.  Doch 
sei  es  gestattet,  vorab  iiber  zwei  andere  Reihen  von  Untersu- 
chungen  zu  berichten,  welche  hierher  gehoren.  Zusammenfassend 
mb'ge  vorher  noch  betont  werden,  dass  auch  die  weiterhin  zur 
Besprechung  kommenden  Gruppen,  soweit  sie  Polygongruppen 
sind,  stets  nur  wieder  einen  Kreis  als  natlirliche  Grenze  ihres 
Polygonnetzes  darbieten.  In  der  That  hat  sich  die  Aufgabe,  auch 
Polygongruppen  in  it  nicht-analytischen  Grenzcurven  arithmetisch 
zuganglich  zu  machen,  bisher  noch  stets  als  zu  schwierig  erwiesen. 

Hier  ist  nun  erstlich  der  Ort,  iiber  die  gruppentheoretischen 
Arbeiten  von  X.  Stouff*  zu  berichten.  Dieselben  kommen 
einem  Teile  nach  auf  diejenigen  Gruppen  zuriick,  welche  von 
Selling  und  Poincare'  aufgestellt  sind.  Indessen  geht  Stouff  in 
der  ersten  der  genannten  Arbeiten  hieriiber  hinaus,  indem  er 
eine  allgemeine  Classe  eigentlich  discontinuirlicher  Gruppen 
arithmetisch  mit  Hilfe  gewisser  Zahlkorperf  hoheren  Grades 
definiert.  Es  ist  ja  ein  Princip,  welches  sich  hier  gleich  auf- 
drangt,  dass  man  die  Substitutionscoefficienten  mit  ganzen 
algebraischen  Zahlen  eines  gewissen  Korpers  identificiert.  Stouff 
benutzt  nun  decjenigen  reellen  Korper  des  Grades  ^(p  —  1),  der 
in  der  Kreisteilung  vom  Primzahlgrade  p  auftritt.  Die  For- 

*  Sur  certains  groupes  fuchsiens,  Sur  des  fonctions  voisines  des  fonctions  modu- 
laires,  Sur  la  composition  des  formes  quadratiques  quaternaires,  in  den  Jahrgangen 
1891  und  92  der  Annales  de  la  faculte  des  sciences  de  Toulouse. 

t  Wegen  der  hier  benutzten  Terminologie  sehe  man  Dirichlet-Dedekind, 
Vorlesungen  iiber  Zahlentheorie,  Supplement  xi. 


AUTOMORPHE    FUNCTIONEN   UND   ARITHMETIK.          87 

derung,  dass  die  Substitutionsdeterminante  1  sei,  ist  fur  die 
eigentliche  Discontinuitat  noch  nicht  ausreichend;  es  gilt  viel- 
mehr,  neue  Einschrankungen  zu  treffen,  uud  der  von  Stouff 
ausgefuhrte  Gedanke  ist  der  folgende :  Sind  e  und  e'  zwei 
bestimmte  primitive  pte  Einheitswurzeln,  und  sei  Se  eine  f- 
Substitution  der  gedachten  Art,  die  bei  Ersatz  von  e  durch  e  in 
Se'  iibergeht ;  es  soil  alsdann,  unter  T  eine  fest  definierte 
Substitution  verstanden,  die  Relation  : 

T->StT  =  St. 

bestehen.  Dass  alle,  diese  Relation  befriedigenden,  Substitutionen 
8f  eine  Gruppe  bilden,  ist  evident;  Stouff  zeigt,  dass  dieselbe 
eigentlich  discontinuirlich  ist,  und  betrachtet  eine  Reihe  von 
Beispielen,  ohne  indes  die  geometrische  Seite  des  Gegenstandes 
hinreichend  zu  verfolgen. 

Des  ferneren  mtissen  wir  hier  nochmals  auf  die  schon 
genannten  Arbeiten  von  Bianchi  zurlickkommen.  Sein  ur- 
spriinglicher  Ansatz  lasst  sich  jetzt  kurz  dahin  charakterisieren, 
dass  er  die  Substitutionscoefficienten  a,  y8,  7,  8  mit  ganzen 
complexen  Zahlen  der  Gestalt  (a  +  ib)  identificiert  und  iibrigens 
die  Determinante  a.8  —  /3y  =  l  verlangt*.  Der  so  entspringenden 
Gruppe  entsprach  dann  eine  Einteilung  des  £-Halbraums  in 
Kugelschalenpentaeder  von  leicht  angebbarer  Gestalt,  und  man 
konnte  die  ganze  Einteilung  aus  einem  ersten  Pentaeder  nach 
dem  Princip  der  Symmetrie  entstanden  denken^.  Bianchi  hat 
dann  weiter  statt  des  quadratischen  Zahlkorpers  von  der  Basis 
[1,  i]  auch  die  librigen  imaginaren  quadratischen  Korper  in 
entsprechender  Weise  zur  Gruppenbildung  herangezogen.  Stets 
sind  diese  Gruppen  im  £-Halbraum  eigentlich  discontinuirlich, 
und  Bianchi  betrachtet  in  mannigfachen  Beispielen  die  fertige 
Gestalt  der  zugehorigen  Polyederteilungen. 

Wir  kommen  nun  auf  die  schon  oben  angedeutete  Aufgabe 
zurlick,  die  ternaren  Gruppen  von  Selling  und  Poincare  in  die 
Gestalt  von  ^-Gruppen  umzusetzen.  Es  ist  dies  fur  die  besonders 
einfache  Gestalt  /^  =  qxi2  —  xf  —  x./  der  ternaren  Form  vom  Ver- 

*  Man  sehe  ausser  den  scbon  oben  genannten  Annalenarbeiten  Biancbi's 
beziiglicbe  Noten  in  den  Atti  dell'  Accademia  dei  Lincei,  zumal  die  erste  vom  20. 
April  1890,  " Sui  gruppi  di  sostituzioni  lineari  a  coejficienti  interi  complessi." 

t  Schon  friiher  wurden  zu  dieser  Raumeinteilung  von  anderer  Seite  gefiihrt 
Hurwitz  (in  Bd.  11  der  Acta  math.)  und  Picard  (siehe  dessen  Notiz  in  Bd.  38  der 
Math.  Annalen). 


88  ROBERT   FRICKE. 

fasser  des  vorliegenden  Aufsatzes*  durchgefuhrt.    Als  bemerkens- 
werter  Typus  von  £-Substitutionen  ergab  sich  hierbei  : 


Y'  (5) 

-c  +  d^q.,     a-b^q 

~2~~  ~2~ 

wobei  a,  b,  c,  d  rationale  ganze  Zahlen  bedeuten  und  die 
Determinante  der  Substitution  gleich  1  sein  muss.  Der  Vorteil 
dieses  Resultats  war  darin  begriindet,  dass  die  gruppenbildende 
Eigenschaft  der  Substitutionscoefficienten  unmittelbar  evident 
war  ;  und  ich  habe  dieserhalb  den  Typus  (5)  von  £-Substitutionen 
in  einigen  weiteren  Untersuchungen-f-  zum  Ausgangspunkt  ge- 
macht. 

Der  Selling'sche  Ansatz  lieferte  solchergestalt  £-Substitutionen, 
welche  mit  Hilfe  quadratischer  Irrationalitdten  aufgebaut  wareri  ; 
und  es  entsprang  nun  die  Frage,  wie  man  die  hiermit  gezogenen 
Grenzen  iiberschreiten  konne.  Dabei  ergab  die  Untersuchung 
der  zu  den  s-Functionen  : 

/I     1     1 

>*  —  of  _  • 

*''; 


gehbrenden  Gruppen  die  Richtung  an,  welche  dann  spater  zur 
Aufstellung  eines  ziemlich  allgemeinen  Princips  fiihrte,  mit  Hilfe 
von  Zahlkb'rpern  nten  Grades  eigentlich  discontinuirliche  ^-Gruppen 
aufzubauen^:.  An  Stelle  allgemeiner  Angaben  ist  es  vielleicht 
zweckmassig,  durch  Mitteilung  eines  besonderen  Beispiels  den 
Charakter  der  hier  in  Betracht  kommenden  Gruppen  darzuthun. 
Durch  die  algebraische  Gleichung  : 


wird  ein  reeller  Zahlenkbrper  funften  Grades  definiert,  der  in  der 
Kreisteilung  elften  Grades  auftritt,  und  der  iibrigens  ein  soge- 
nannter  Normalkorper  oder  Galois'scher  Korper  ist.  Ganze 

*  fiber  eine  besondere  Classe  discontinuirlicher  Gruppen  reeller  linearer  Substi- 
tutionen,  Math.  Annalen,  Bd.  38,  pag.  50  (1890). 

t  Uber  eine  besondere  Classe  discontinuirlicher  Gruppen  ect.,  zweite  Abhand- 
lung,  Math.  Annalen,  Bd.  38,  pag.  461  (1891),  Specielle  automorphe  Gruppen  und 
quadratische  Formen,  Math.  Ann.,  Bd.  39,  pag.  62  (1891). 

J  Arithmetische  Theorie  der  Dreiecksfunctionen  (2,  3,  7)  und  (2,  4,  7),  Math. 
Annalen,  Bd.  41  (1892)  ;  Zur  gruppentheoretischen  Grundlegung  der  automorphen 
Functionen,  Math.  Annalen,  Bd.  42  (1892). 


AUTOMORPHE   FUNCTIONEN    UND    ARITHMETIK.          89 

Zahlen  dieses  Korpers  bezeichnen  wir  allgemein  durch  A,  B,  C,  D, 
und  wir  verstehen  weiterhin  im  speciellen  unter  j  die  grosste 
positive  Wurzel  von  (6).  Dann  bilde  man  alle  Substitutionen  : 


., 
* 

r= 


-C+D\/j-l       A-B^/j-l 
2   '  2 

der  Determinante  1,  bei  denen  die  ganzen  algebraischen  Zahlen 
A,  B,  C,  D  den  beiden  Congruenzen  geniigen  : 


Alle  diese  Substitutionen  bilden  eine  Gruppe,  und  dabei  ist  es 
die  Wirkungsweise  der  Congruenzen  (8),  dass  sich  der  bei  der 
Combination  zweier  Substitutionen  zunachst  einstellende  Nenner 
4  auf  2  zuriickhebt.  —  Die  vorliegende  Gruppe  lasst  sich  func- 
tionentheoretisch  als  diejenige  der  Function, 

£(*)=«(*,  i.i1*;*)  ........  .............  (9), 

definieren.  Man  kann  demnach,  wenn  es  Interesse  hat,  das 
ausgesprochene  Resultat  auch  in  die  folgende  Gestalt  kleiden  : 
Die  lineare  homogene  Differentialgleichung  zweiter  Ordnung  : 

d*y      dy  1  '  y 


habe  yl  und  y2  als  Fundamentalsystem  von  Integralen,  und 
man  setze  f  (z)  gleich  dem  Quotienten  von  T/J  und  y.2.  Hat  man 
diese  Integrate  zweckmassig  ausgewahlt,  so  wird  %(z)  eine  un- 
endlich  vieldeutige  analytische  Function  von  z,  deren  samtliche 
Zweige  f'  '  (z)  sich  in  einem  Ausgangszweige  ^(z)  gerade  in  der 
Gestalt  (7)  darstellen. 

Die  bisher  genannten  Arbeiten  waren  von  der  gemeinsamen 
Tendenz  beherrscht,  mit  arithmetischen  Hilfsmitteln  in  der 
Theorie  der  automorphen  Functionen  Boden  zu  gewinnen.  Zum 
Schluss  sollen  wenigstens  noch  kurz  einige  Untersuchungen 
namhaft  gemacht  werden,  welche  das  Umgekehrte  zum  Ziele 
haben,  namlich  die  geometrisch-gruppentheoretischen  Principien 
der  Theorie  der  automorphen  Functionen  auf  iiberkommene 
Entwicklungen  und  Fragestellungen  der  Zahlentheorie  in  An- 
wendung  zu  bringen.  Diese  letzteren  betreffen  die  arithmetische 


90  ROBERT    FRICKE. 

Theorie  der  bindren  quadratischen  Formen,  welche  ja  schon  oben 
wiederholt  bertihrt  wurde. 

Die  Anwendung  der  Modulgruppe  auf  die  Theorie  der  ge- 
wohnlichen  ganzzahligen  binaren  quadratischen  Formen  wurde 
dem  elementaren  Teile  nach  durch  Dedekind*  und  Stephen 
Smith^  geleistet,  und  zwar  kommen  bei  ersterem  die  definiten, 
bei  letzterem  die  indefiniten  Formen  zur  Geltung.  Uber  beides 
ist  im  ersten  Bande  der  Vorlesungen  iiber  Modulfunctionen  pag. 
^43  ff.  berichtet.  Eine  Reihe  tiefer  gehender  Untersuchungen, 
welche  insbesondere  das  Problem  der  Classenanzahlbestimmung 
bei  gegebener  Determinante  betreffen,  wurden  mit  den  geo- 
metrisch-gruppentheoretischen  Hilfsmitteln  der  Modulfunctionen 
zum  ersten  Male  im  zweiten  Bande  der  genannten  Vorlesungen 
durchgefiihrtf.  Es  stehen  diese  Entwicklungen  in  engster 
Beziehung  zur  Transformation  hoherer  Ordnung  der  elliptischen 
Functionen,  und  sie  finden,  soweit  die  definiten  Formen  in  Frage 
kommen,  ihr  analytisches  Gegenbild  und  ihre  weitere  Ausfuhrung 
in  der  bekannten  Theorie  der  singuldren  Moduln  und  der  Classen- 
zahlrelationen,  liber  welche  hier  indessen  nicht  weiter  berichtet 
werden  kann§. 

Dieses  bei  der  Modulgruppe  angetroffene  Sachverhaltnis 
iibertragt  sich  nun  in  alien  wesentlichen  Punkten  iiberhaupt  auf 
jede  eigentlich  discontinuirliche  Polygongruppe.  Filr  jede  solche 
Oruppe  konnen  wir  eine  arithmetische  Theorie  gewisser  zugehoriger 
bindrer  quadratischer  Formen  auf  stolen,  wobei  sich  die  Problem  e 
der  Aequivalenz,  der  Reduction,  der  Classenanzahlen  ect.  gerade 
in  derselben  Weise  erledigen  lassen,  wie  im  Falle  der  Modul- 
gruppe und  der  gewohnlicheu  ganzzahligen  quadratischen  For- 
men ||.  Die  zu  einer  Gruppe  gehorenden  Formen  wird  man  aber 
aus  deren  Substitutionen  einfach  in  der  Gestalt : 

yxz  +  (8-<*)xy-@yn-  (11), 

gewinnen    konnen.       Doch    muss     der    Vollstandigkeit     halber 

*  Man  sehe  den  Brief  Dedekind's  an  Borchardt  iiber  die  Theorie  der  ellip- 
tischen Modulfunctionen  in  Bd.  83  von  Crelle's  Journal  (1877). 

f  In  der  oben  (pag.  83)  genannten  Arbeit  "Sur  les  equations  niodttlaires." 

£  Man  sehe  z.  B.  pag.  161  ff.  pag.  170  ff.  sowie  namentlich  pag.  189. 

§  Die  Literatur  dieser  Gegenstande,  welche  sich  in  erster  Linie  aus  Arbeiten  von 
Kronecker,  Gierster  und  Hurwitz  zusammensetzt,  fiudet  man  des  niiheren  im 
zweiten  Bande  der  Modulfunctionen  nachgewiesen. 

||  Fur  die  "Selling'schen"  Gruppen  ist  dies  durch  den  Verfasser  in  Bd.  39  der 
Annalen  pag.  73  ff.  zur  naheren  Durchfiihrung  gebracht. 


AUTOMORPHE   FUNCTIONEN    UND    ARITHMETIK.          91 

gesagt  werden,  dass  der  Ansatz  (11)  nach  Seite  der  definiten 
Formen  noch  zu  eng  ist ;  es  ist  im  Einzelfall  in  der  Regel  nicht 
schwer,  die  in  (11)  vorliegende  specifische  Bauart  der  Coeffi- 
cienten  in  richtiger  Allgemeinheit  aufzufassen*.  Zu  besonders 
klaren  Verhaltnissen  wird  man  bei  den  oben  besprochenen 
Gruppen  mit  ganzen  algebraischen  Coefficienten  gefiihrt. 

Auch  die  Polyedergruppen  sind  einer  analogen  Anwendung 
auf  die  Zahlentheorie  fahig;  es  koinmt  hier  die  arithmetisejie 
Theorie  der  zuerst  von  Hermite^  betrachteten  quadratischen 
Formen, 

axx  +  bxy  +  bxy  +  cyy (12), 

in  Betracht,  wobei  a  und  c  reell,  b  und  b,  x  und  x,  y  und  y  aber 
conjugiert  complex  sein  sollen.  Es  seien  bei  dieser  Gelegenheit 
auch  noch  die  mannigfachen  Arbeiten  Picard'sJ  iiber  derartige 
Formen  mit  conjugiert  complexen  Coefficienten  bez.  Variabelen 
erwahnt.  Es  ist  besonders  interessant,  dass  Picard  bei  der 
Behandlung  der  binaren  Forraen  (12)  genau  mit  den  Selling'schen 
Gesichtspunkten  arbeitet,  und  dass  er  daher  von  dieser  Seite  aus 
bei  den  indefmiten  Formen  zu  Gruppen  gelangt,  welche  nichts 
anderes  als  besondere  Beispiele  der  oben  ausfuhrlich  betrachteten 
Selling'schen  Gruppen  sind.  Zu  grosser  Eleganz  konnte  dann 
spaterhin  Bianchi  diese  Theorie  der  Hermite'schen  Formen 
dadurch  ausbilden,  dass  er  sie  auf  die  oben  (pag.  87)  besprochene 
Pentaederteilung  des  £-Halbraums  basierte§.  Die  einzelne  in- 
definite Form  (12)  wurde  dabei  geometrisch  durch  eine  die 
£-Ebene  orthogonal  treffende  Halbkugel  reprasentiert,  und  der 
Schnitt  dieser  Halbkugel  mit  der  Polyederteilung  ergab  direct, 
wie  wir  sagen  konnen,  die  "  Pell'sche  Theorie  "  der  einzelnen  Form 
(12).  Entsprechende  Betrachtungen  fur  andere  Polyedergruppen 
hat  Bianchi  in  seinen  spateren  Arbeiten  durchgefuhrt. 

GOTTINGEN,  den  20.  Juli  1893. 

*  Ubrigens  hat  diesen  Weg,  die  Theorie  der  gewohnlichen  ganzzahligen  quadra- 
tischen Formen  auf  Formen  mit  irrationalen  oder  complexen  Coefficienten  auszu- 
dehnen,  wohl  zuerst  Dirichlet  beschritten;  siehe  dessen  Abhandlung  " Recherches 
sur  les  formes  quadratiques  a  coefficients  et  a  indeterminees  complexes"  Crelle's 
Journal,  Bd.  24. 

t  Siehe  die  schon  oben  genannten  Arbeiten  in  Bd.  47  des  Crelle'schen  Journals. 

J  Siehe  z.  B.  die  Comptes  rendus  Bd.  96,  pag.  1567  und  1779,  und  Bd.  97, 
pag.  745  und  845. 

§  Siehe  Bd.  38  der  Mathem.  Annalen,  pag.  329  ff. 


SOME    SALIENT   POINTS   IN    THE    HISTORY   OF 
NON-EUCLIDEAN    AND    HYPER-SPACES. 

BY 
GEORGE   BRUCE   HALSTED   OF  AUSTIN. 

IN  1793,  just  a  century  ago  this  very  year,  there  was  born  in 
Russia  one  destined  to  take  rank  with  the  few  foremost  minds  of 
all  time.  This  hero  of  pure  science,  Lobatcheffsky,  is  inseparably 
connected  with  an  advance  so  fundamental  as  actually  to  change 
the  accepted  conception  of  the  universe. 

His  father,  an  architect,  died  in  1797,  leaving  his  wife  and  two 
young  sons  in  straitened  circumstances.  Lobatcheffsky's  mother, 
soon  after  her  husband's  death,  settled  at  Kasan,  where  she 
succeeded  in  getting  her  boys  admitted  as  free  pupils  to  the 
gymnasium.  The  gymnasium  course  was  then  four  years. 

In  February,  1807,  Lobatcheffsky  passed  his  entrance  exami- 
nation and  was  admitted  to  the  University  as  a  free  student. 

Soon  the  Inspector  attests  his  preeminence  above  his  fellows 
in  all  the  sciences.  But  his  disobedience  and  contempt  for  orders 
often  drew  down  upon  him  the  displeasure  of  the  rulers  in  the 
University. 

He  was  a  born  leader  in  thought,  not  to  be  overawed  by 
authority.  In  fact  Lobatcheffsky  was  threatened  with  exclusion 
from  the  University,  and  it  was  only  the  protection  of  the  Professor 
of  Mathematics  which  enabled  him  to  complete  his  course.  Toward 
this  man  Lobatcheffsky  showed  throughout  life  feelings  of  the 
highest  esteem  and  gratitude. 

In  1810  Lobatcheffsky  took  his  Bachelor's  degree,  and  shortly 
after  was  admitted  to  the  grade  of  licentiate.  The  licentiates 
were  then  the  assistants  of  the  professors. 

During  the  sickness  or  absence  of  the  professors  they  carried 
on  the  courses.  They  also  aided  the  professors  in  the  matter  of 
the  students'  practical  exercises,  and  explained  to  the  students 
difficulties  met  with  in  the  professors'  lectures. 

But  their  highest  duty  was  to  perfect  themselves  in  their 
chosen  sciences. 


NON-EUCLIDEAN   AND    HYPER-SPACES.  93 

The  relation  of  a  licentiate  to  his  professor  was  a  very  intimate 
one.  In  1814  Lobatcheffsky  himself  became  professor.  At 
present  the  world  has  no  account  of  his  mental  development  in 
elaborating  his  extraordinary  discovery  up  to  the  reading  in  1826 
of  a  discourse  in  which  it  appears  already  complete.  In  1829  he 
published  in  the  '  Kasan  Messenger'  a  paper  in  Russian,  entitled 
"On  the  Principles  of  Geometry,"  and  this  was  the  first  printed 
exposition  of  the  new  doctrine  now  recognized  as  the  most  impor- 
tant and  fundamental  development  of  mathematics  in  our  century. 

Though  this  first  publication  attracted  at  the  time  no  attention 
whatever,  yet  the  author  had  the  perception  given  to  genius  of 
the  importance  of  its  own  work,  and  beginning  with  1835  he 
published  in  Russian  an  extended  treatise  under  the  title  "  New 
Principles  of  Geometry  with  the  Theory  of  Parallels."  This  is  his 
great  work.  It  is  preceded  by  a  careful  critique  of  the  so-called 
demonstrations  of  the  Postulatum  of  Euclid  and  is  wholly  syn- 
thetic. 

Transcendently  important  and  interesting  as  is  this  great 
treatise,  no  part  of  it  has  ever  yet  appeared  in  any  language  but 
Russian.  It  is  therefore  wholly  inaccessible  to  the  rest  of  Europe 
and  America.  I  may  mention  that  I  intend  soon  to  issue  an 
English  translation  of  this  great  monument  of  genius,  encouraged 
to  complete  the  undertaking  by  the  exceptional  success  of  my 
translation  of  his  later  and  smaller  work,  "  Geometrical  Researches 
on  the  Theory  of  Parallels,"  which  translation  has  passed  through 
four  editions  and  been  reprinted  in  Japan  at  the  Imperial  Uni- 
versity of  Tokio. 

Lobatcheffsky  had  now  fairly  presented  his  results  to  his 
countrymen,  but  the  only  notice  they  gave  was  to  ridicule  him. 
Among  these  ironical  contemporary  authorities  Ostrogradsky  is 
particularly  mentioned.  Without  blaming  his  countrymen,  with- 
out the  slightest  bitterness,  our  hero  turned  his  hopes  and 
endeavours  toward  a  foreign  audience. 

In  1837  he  published  a  paper  in  French  in  Crelles  Journal, 
and  in  1840  a  little  book  in  German  in  Berlin.  Finally  he  became 
blind,  but  lost  none  of  his  unconquerable  hope  and  heroism. 

Though  blind,  he  dictated  a  completely  new  exposition  of  his 
whole  system  and  published  it  in  1855  in  French  and  in  Russian 
under  the  title  '  Pangeometry,'  which  title  Felix  Klein  now 


94  GEORGE   BRUCE   HALSTED. 

recommends  as  the  best  and  most  suggestive  for  the  whole  wide 
subject. 

But  all  efforts  to  enlighten  the  world  seemed  vain.  Lobat- 
cheffsky  died  in  February  1856  without  having  produced  the 
least  visible  result  on  the  world  of  thought  by  his  extraordinary 
achievements  and  lifelong  endeavour  to  make  them  known.  The 
Russian  editors  of  the  great  edition  of  his  works  issued  by  the 
University  of  Kasan  1886  say : 

"  For  the  contemporaries  of  Lobatcheffsky  his  theory  was 
incomprehensible  and  appeared  to  contradict  an  axiom,  of  which 
the  inevitability  is  indeed  only  founded  on  a  prejudice,  but  on  a 
prejudice  consecrated  by  thousands  of  years.  The  force  of  the 
conviction  of  the  necessity  of  this  axiom  was  so  great  that  Gauss 
himself  expressed  his  assent  to  the  views  of  Lobatcheffsky  only  in 
a  private  correspondence." 

Gauss  expressed  himself  as  fearing  to  publish  anything  on  this 
subject  because  he  dreaded  "  the  outcry  of  the  Boeotians."  I  think 
this  a  lasting  reproach  to  Gauss's  character  as  a  man  and  a 
scientist,  and  another  link  in  the  chain  of  evidence  that  Gauss's 
ideas  on  this  subject  were  not  fundamentally  his  own  but  were 
due  to  his  old  friend  of  his  student  period,  the  Hungarian, 
Wolfgang  Bolyai. 

But  a  word  of  exposition  before  taking  up  the  Bolyai's. 

Whatever  elementary  geometry  it  was  your  fortune  to  study, 
be  assured  it  was  only  a  more  or  less  exact  reproduction  of  that 
imperishable  model,  already  in  dim  antiquity  a  classic,  regarded  as 
absolutely  perfect,  valid  without  restriction,  the  immortal  Elements 
of  Euclid. 

And  this  very  acceptance  of  the  infallible  necessity  of  Euclid's 
system  may  account  for  the  form  in  which  appeared  the  first 
precursor  of  our  non-Euclidean  systems. 

A  priest,  Saccheri,  who  died  October  5,  1733,  published  in  the 
year  of  his  death  at  Milan  a  book  which  contains  an  extended  and 
systematic  statement  of  propositions  in  Lobatcheffsky's  non- 
Euclidean  geometry  with  their  synthetic  proof  in  pure  geometric 
style. 

Saccheri's  book  bears  the  approbation  of  the  Provincial  of  the 
Company  of  Jesus,  dated  August  16,  1733,  and  that  of  the 
Inquisitor-General  and  Senate  of  Milan,  July  3,  1733. 


NON-EUCLIDEAN    AND    HYPER-SPACES.  95 

We  quote  a  few  of  its  propositions. 

I.  In  a  quadrilateral  A  BCD,  right-angled  at  A  and  at  B  and 
with  opposite  sides  AC,  BD  equal,  the  angles  at  C  and  D  are 
equal. 

We  have  then  three  distinct  geometries,  according  as  we  take 
the  hypothesis  that  the  angle  C  is  right,  is  obtuse,  is  acute. 

If  two  straights  having  crossed  never  recur,  then  these  geo- 
metries are  reduced  to  two,  the  right  Euclid's,  and  the  acute,  now 
called  Lobatcheffsky's. 

VIII. — XVI.  According  as  the  sum  of  the  three  angles  of  a 
triangle  is  equal  to,  greater  than,  or  less  than  a  straight  angle,  we 
have  the  hypothesis  of  the  right,  obtuse,  or  acute. 

XVII.  In  the  hypothesis  of  the  acute  angle,  we  can  find  a  per- 
pendicular and  an  oblique  to  the  same  straight  which  never  meet. 

[Two  procedures  given.] 

Methods  for  testing  which  geometry  rules  the  space  of  our 
experience. 

1.  Try  if  in  our  original  quadrilateral  any  third  perpendicular 
equals  the  two  equal  sides. 

2.  Try  if  the  angle  inscribed  in  a  semicircle  is  right. 

3.  Try  to  inscribe  in  a  semi-circumference  a  half-hexagon 
with  sides  equal  to  the  radius. 

A  historical  discussion  is  given  particularly  of  Proclus,  Borelli, 
Nassareddin  and  Wallis. 

Wallis  to  prove  Euclid's  parallel  postulate  would  not  have 
needed  two  unequal  similar  figures.  Two  unequal  triangles  of 
the  same  angle-sum  would  suffice. 

This  work  was  noticed  in  the  Acta  Eruditorum,  1736. 

It  is  marked  with  an  asterisk  in  the  Biblotheca  Mathematica 
of  Murhard  and  spoken  of  on  p.  43  of  Vol.  iv. 

It  has  lately  been  discovered  that  Lambert  developed  and 
wrote  upon  the  non-Euclidean  Geometry. 

Philip  Kelland  in  1846  began  to  give  exercises  to  his  classes 
which  were  virtually  propositions  in  the  non-Euclidean  geometry, 
and  continued  to  teach  it  for  more  than  17  years. 

Without  any  knowledge  of  his  many  predecessors,  Young  of 
Canada  rediscovered  and  published  the  non-Euclidean  geometry 
in  1860.  Thus  we  see  it  arise  in  Italy,  Russia,  Hungary,  Germany, 
Scotland,  Canada.  All  paths  lead  to  it. 


DIE  NEUEREN  FORTSCHRITTE  IN  DER 

THEORIE    DER   LINEAREN    DIFFERENTIAL- 

GLEICHUNGEN. 

VON 
L.   HEFFTER   IN  GIESSEK 

DIE  moderue  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  ver- 
dankt  ihren  Ursprung  den  beiden  Abhandlungen  von  Fuchs 
im  66.  und  68.  Band  von  Crelles  Journal.  Die  formale  Eleganz 
ihrer  Entwicklungen  und  Resultate  und  das  dadurch  ermoglichte 
tiefere  Eindringen  in  die  Natur  der  durch  solche  Differential- 
gleichungen definierten  Functionen  diirften  den  Grund  bilden,  der 
seitdem  zahlreiche  Mathematiker  aller  Lander  zur  eifrigen  Arbeit 
an  der  weiteren  Aus-  und  Fortbildung  dieser  Theorie  veranlasst 
hat.  Die  so  entstandene  Literatur  ist  eine  derartig  umfangreiche 
und  mannigfaltige,  dass,  wenn  es  hier  auch  nur  den  Anteil 
Deutschlands  an  dieser  Arbeit  in  den  letzten  Jahren  zu  skizzieren 
gilt,  das  folgende  Referat  bei  der  vorgeschriebenen  Ktirze  weder  in 
Hinsicht  der  Aufzahlung  aller  in  Frage  komraenden  Richtungen 
und  ihrer  Vertreter,  noch  auch  in  der  Charakterisierung  der 
einzelnen  Probleme  und  dabei  angewandten  Methoden  auf  er- 
schopfende  Vollstandigkeit  Anspruch  erheben  kann  und  will.  Es 
muss  sich  vielmehr  eine  gedrangte  Ubersicht  iiber  die  neueren 
Bestrebungen  auf  dem  Gebiete  der  linearen  Differentialglei- 
chungen zum  Ziel  setzen. 

Zeitlich  diirfen  wir  uns  dabei  auf  die  Ergebnisse  der  aller- 
letzten  Jahre  beschranken,  da  im  Jahre  1889  viele  fur  die  Theorie 
der  linearen  Differentialgleichungen  grundlegende  Abhandlungen 
nebst  zahlreichen  auf  Spezialfalle  gerichteten  Untersuchungen  in 
dem  Lehrbuch  von  Th.  Craig,  A  treatise  on  linear  differential 
equations,  Vol.  I. :  Equations  with  uniform  coefficients,  ihrem 
Hauptinhalt  nach  zusammengefasst  wurden  und  damit  als  in 
weiteren  Kreisen  bekannt  vorausgesetzt  werden  konnen. 


DIE    LINEAREN   DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.  97 

Bezeichnen  wir  als  die  urspriingliche,  grundlegende  allgemeine 
Theorie  die  der  linearen  homog&nen  Differentialgleichungen  mit 
eindeutigen  Coefficienten,  so  lasst  sich  das  gesamte  Wachstum, 
welches  auf  diesem  geraeinsamen  Stamm  in  dem  gedachten 
Zeitraum  entsprosst  ist,  etwa  in  die  Gruppen  sondern:  Ausbildung 
der  ursprunglichen  allgemeinen  Theorie, — Behandlung  spezieller 
Probleme, — Anwendungen  der  Theorie, — Ausdehnung  der  ursprung- 
lichen allgemeinen  Theorie. 

Als  fur  DIE  AUSBILDUNG  DER  ALLGEMEINEN  THEORIE  beson- 
ders  verdienstvoll  miissen  bei  der  Wichtigkeit  der  Fundamental- 
gleichung fur  die  Untersuchung  der  Integrale  bei  den  singularen 
Stellen  und  ihrer  Unentbehrlichkeit,  falls  sich  nicht  samtliche  In- 
tegrale bestimmt  verhalten,  Methoden  bezeichnet  werden,  die  eine 
Berechnung  der  von  den  Parametern  der  Differentialgleichung 
transcendent  abhangigen  Coefficienten  der  Fundamentalgleichung 
gestatten  unter  Vermeidung  des  praktisch  umstandlichen  Kreis- 
fortsetzungsverfahrens.  Dies  Ziel  verfolgen  Arbeiten  von  Ham- 
burger und  insbesondere  des  der  Wissenschaft  allzu  friih  entris- 
senen  Paul  Giinther,  der  solche  Methoden  durch  Benutzung 
der  von  Fuchs  herriihrenden  Darstellungsart  der  Integrale 
linearer  Differentialgleichungen  durch  iterierte  Integration  fand. 

Auf  einem  ganz  anderen  Wege  gelangte  Fuchs  selbst  zu 
einem  neuen  Aufschluss  liber  die  Coefficienten  der  Fundamental- 
substitutionen,  aus  denen  ja  die  Fundamentalgleichung  entsteht. 
In  einer  alteren  Arbeit  hatte  er  Relationen  fur  die  zwischen  je 
zwei  singularen  Punkten  erstreckten  Integrale  der  Losungen 
linearer  Differentialgleichungen  abgeleitet,  welche  eine  Verall- 
gemeinerung  der  Legendre'schen  Gleichung  zwischen  den  Perio- 
dicitatsmoduln  der  Integrale  erster  und  zweiter  Gattung  dar- 
stellen.  Mit  dieser  Untersuchung  wird  nun  eine  erfolgreiche 
Anwendung  des  schon  von  Riemann  herriihrenden  Begriffs  der 
Klasse  von  linearen  Differentialgleichungen  verkniipft,  eines  Be- 
griffs, der  in  gewissem  Sinne  eine  tjbertragung  des  Kronecker'- 
schen  Gattungsbegriffs  algebraischer  Functionen  auf  die  Integrale 
linearer  Differentialgleichungen  bildet.  Da  namlich  die  eine 
Seite  jener  Relationen  nur  von  den  Coefficienten  der  Funda- 
mentalsubstitutionen  abhangt,  diese  aber  fur  die  Differential- 
gleichungen derselben  Klasse  invariant  sind,  ergiebt  sich  zunachst, 
dass  man  an  Stelle  der  vorgelegten  Differentialgleichung  eine 

c.  P.  7 


98  L.    HEFFTER. 

andere  derselben  Klasse  setzen  kann,  fur  welche  gewisse  bei  jener 
eventuell  noch  nicht  besteheude  Bedingungen  erfullt  sind,  die 
die  Aufstellung  jener  Relationen  gestatten.  Die  letzteren  lehren 
aber  weiter,  dass  die  Coefficienten  der  Fundamentalsubstitutionen 
algebraisch  von  den  Parametern  der  Differentialgleichung  und 
jenen  bestimmten  Integralen  abhangen,  die  man  wohl  "die  zu 
der  Differentialgleichung  gehorigen  Periodicitatsmoduln"  nen- 
nen  konnte,  wie  man  von  den  zu  einer  algebraischen  Gleichung 
oder  Irrationalitat  gehorigen  Periodicitatsmoduln  spricht. 

Den  hier  beriihrten  Analogieen  mit  der  Theorie  der  alge- 
braischen Gleichungen  reiht  sich  insbesondere  der  von  Frobenius 
begrtindete  und  neuerdings  vielfach  benutzte  Begriff  der  Redukti- 
bilitdt  einer  linearen  Differentialgleichung  an,  der  einer  solchen 
zukommt,  wenn  sie  mit  einer  anderen  von  niedrigerer  Ordnung 
und  gleicher  Coefficientenbeschaffenheit  Integrate  gemein  hat. 
Es  sind  hier  die  Namen  Fuchs,  Konigsberger,  Hamburger 
zu  nennen,  welch  letzterer  einen  wichtigen  Satz  von  Frobenius 
auf  direktem  Wege  bewies  und  gleichzeitig  die  Differential- 
gleichungen  niedrigerer  Ordnung  herstellte,  mit  welchen  die  re- 
duktible  Integrale  gemein  hat. 

Fur  die  Darstellung  der  Integrale  sind  bekanntlich  die  von 
Poincare'  so  bezeichneten  Fuchs' schen  Fitnctionen  von  erheblicher 
Bedeutung.  Als  eine  Bereicherung  der  allgemeinen  Theorie  der 
linearen  Differentialgleichungen  ist  daher  auch  eine  von  Lu. 
Schlesinger  auf  von  den  sonst  gegebenen  verschiedener  Grund- 
lage  entwickelte  Theorie  jener  Functionen  zu  bezeichnen. 

Eine  Reihe  von  Untersuchungen  bezieht  sich  auf  die  Form  der 
Integrale  bei  den  singuldren  Stellen,  insbesondere  bei  denen,  wo 
sich  samtliche  Integrale  bestimmt  verhalten,  und  stellt  die  Bedin- 
gungen dafiir  auf,  dass  einzelne  oder  alle  der  im  Allgemeinen 
vorhandenen  Logarithmen  ausfallen.  Diese  Frage  hangt  aufs 
Innigste  mit  der  Zerlegung  der  Integralgruppen  in  Untergruppen 
zusammen.  Den  friiheren  Behandlungen  dieses  Gegenstandes 
(Fuchs,  Frobenius,  Thome1  u.  a.)  folgen  die  neueren  von  Heun 
und  Heffter. 

Weiter  ist  hier  neben  der  franzosischerseits  vielfach  gepfleg- 
ten  Theorie  der  Differentialinvarianten  der  linearen  Differen- 
tialgleichungen (Dietrichkeit,  Stackel)  eine  Behandlung  dieser 
Differentialgleichungen  zu  nennen,  welche  durch  die  von  F.  Klein 


DIE   LINEAREN   DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.  99 

angeregte  Einfuhrung  homogener  Variabeln  fur  die  unabhangige 
Veranderliche  die  Integrale  als  bindre  Formen  im  Sinne  der 
Invariantentheorie  der  linearen  Transformationen  auffasst  (Pick, 
Hirsch,  Schellenberg).  Gleichzeitig  sei  der  mit  geometrischen 
Hulfsmitteln  arbeitenden  eleganten  Methoden  (Kreisbogendreiecke 
u.  s.  w.)  von  F.  Klein  gedacht. 

Endlich  sei  erwahnt,  dass  die  namentlich  in  England  beliebten 
symbolischen  Methoden  neuerdings  auch  eine  deutsche  Behandlung 
und  strenge  Begrlindung  erfahren  haben  (Tschopp)  neben  alteren 
Arbeiten  von  Frobenius,  Thorns',  Griinfeld. 

Unter  den  SPEZIELLEN  PROBLEMEN,  welche  die  Theorie  der  line- 
aren Differentialgleichungen  in  Angriff  nahm,  figuriert  schon 
friihzeitig  die  von  Fuchs  zuerst  unter  Benutzung  gewisser 
Primformen  behandelte  Frage  nach  Kriterien  dafiir,  dass  die 
Integrale  algebraisch  sind.  Diese  Untersuchung  hat  ktirzlich 
durch  Lu.  Schlesinger  eine  Ausdehnung  auf  solche  Differential- 
gleichungen zweiter  Ordnung  gefunden,  die  eine  discontinuierliche 
Gruppe  besitzen,  wobei  namentlich  eine  interessante  Ubertragung 
der  Theorie  jener  Primformen  moglich  war.  Die  Analogic  mit 
den  algebraisch  integrierbaren  Differentialgleichungen  tritt  be- 
sonders  deutlich  bei  denjenigen  Differentialgleichungen  mit  dis- 
continuieiiicher  Gruppe  hervor,  bei  welchen  die  unabhangige 
Variable  als  Function  des  Integralquotienten  aufgefasst  von 
endlicher  Vieldeutigkeit  ist. 

Verwandt  mit  dem  vorerwahnten  Ausgangsproblem  ist  das- 
jenige,  welches  nach  der  Natur  der  Integrale  fragt,  wenn  die 
Elemente  eines  Fundamentalsystems  homogene  Relationen  er- 
fiillen,  indem  hieraus  im  Allgemeinen  die  algebraische  Inte- 
grierbarkeit  folgte,  wahrend  umgekehrt  bei  algebraisch  inte- 
grierbaren Differentialgleichungen  stets  solche  Relationen  be- 
stehen.  An  altere  Arbeiten  des  auch  hier  vorangehenden  Fuchs, 
•der  denselben  kiirzlich  noch  eine  neue  Methode  hinzufugte, 
schliessen  sich  Untersuchungen  von  Lu.  Schlesinger,  Rosen- 
kranz,  Wallenberg,  Li.  Schlesinger.  Eine  grosse  Rolle  spielt 
dieses  Problem  und  noch  allgemeinere  in  den  Forschungen  von 
Konigsberger.  S.  Lie  fiihrte  die  Frage  auf  die  Integration 
einer  linearen  partiellen  Differentialgleichung  zurtick,  die  eine 
bekannte  Transformationsgruppe  gestattet. 

Fiir  eine  grosse  Zahl  von  Spezialuntersuchungen  war  Vorbild 

7—2 


100  L.    HEFFTER. 

die  Differentialgleichung  der  Gauss'schen  Reihe,  der  ja  mannig- 
fache  ausgezeichnete  Eigenschaften  zukommen,  und  deren  Bedeu- 
tung  sich  schon  dadurch  charakterisiert,  dass  die  Riemann'sche 
Abhandlung  liber  die  ihr  geniigenden  Functionen  seinerzeit  fiir 
Fuchs  die  Anregung  zur  Entwicklung  seiner  Theorie  gab.  Man 
suchte  Eigenschaften  dieser  Differentialgleichung  wiederzufinden, 
indeni  man  zu  Verallgemeinerungen  schritt,  teils  die  Ordnung  der 
Differentialgleichung,  teils  die  Zahl  der  singularen  Punkte  erhohte 
(letztere  auch  erniedrigte)  oder  beides  zugleich  that  oder  indem 
man  auf  die  Forderung  verzichtete,  dass  sich  die  Integrale  allent- 
halben  bestimmt  verhalten.  Solche  Differentialgleichungen  fiihrten 
Pochhammer  zu  den  hypergeometrischen  Reihen  von  hoherer 
Ordnung,  welche  mehr  Parameter  enthalten  als  die  Gauss'sche. 
Es  bleibt  bei  diesen  Differentialgleichungen  die  Eigenschaft 
bestehen,  dass  aus  einem  Integral  in  Reihenform  die  samtlichen 
andern  solchen  durch  einfache  Veranderung  der  Parameter  hervor- 
gehen  und  dass  den  Losungen  auch  die  Form  bestimmter  Integrale 
gegeben  werden  kann.  Die  letztere  Gestalt  erhalt  durch  die  Wahl 
des  Integrationsweges  noch  eine  besondere  Bedeutung. — Ferner 
sind  hier  zu  nennen  Arbeitenvon  Heun,  Schafheitlin,  Schrent- 
zel,  Heffter,  u.  a. 

Unmittelbar  an  die  Differentialgleichung  der  Gauss'schen 
Reihe  selbst  kniipft  eine  Untersuchung  von  F.  Klein  an,  welche 
nach  den  reellen  Nullstellen  der  hypergeometrischen  Reihe  fragt, 
eine  Fragestellung,  die  abgesehen  von  den  interessanten  geometri- 
schen  Hlilfsmitteln,  deren  sich  die  Lbsung  bedient,  auch  fur  die 
angewandte  Wissenschaft  von  Bedeutung  ist.  Das  gleiche  Pro- 
blem erfuhr  eine  andere  Behandlung  durch  Hurwitz,  wahrend 
ganz  neuerdings  Kneser  dasselbe  fur  ganze  Klassen  von  linearen 
Differentialgleichungen  durchfuhrte. 

Endlich  sei  noch  auf  die  Differentialgleichungen  mit  doppelt- 
periodischen  Coefficienten  hingewiesen  und  auf  die  an  die  grosse 
Literatur  liber  Lame"sche  und  ahnliche  Differentialgleichungen 
sich  anreihenden  neueren  Arbeiten  von  F.  Klein,  Siemon, 
Bremer,  Bocher,  bei  welchem  letzteren  das  von  F.  Klein  so 
bezeichnete  Oscillationstheorem  eine  fruchtbare  Verwendung  fur 
die  Untersuchung  der  Lam^'schen  Differentialgleichung  findet. 

Die  Theorie  der  linearen  Differentialgleichungen  hat  ihre 
Fruchtbarkeit  aber  nicht  nur  durch  schone  Resultate  innerhalb 


DIE   LINEAREN    DIFFERENTIALGLEICHUNGEN.          101 

ihrer  eigenen  Grenzen  erhartet  sondern  auch  dadurch,  dass  sie  zu 
mannigfachen  ANWENDUNGEN  IN  ANDEREN  DISCIPLINEN  geeignet 
war.  So  konnte  Gundelfinger  die  Lehre  von  den  Uberschiebungen 
zweier  bindren  Fornien  auf  ganz  elementare  Betrachtungen  aus 
unserer  Theorie  stiitzen,  eine  Methode,  die  noch  weiterer  Ausbeu- 
tung  fahig  sein  diirfte.  Die  Differentialgleichung,  an  die  jene 
Untersuchung  ankniipft,  besitzt  dabei  die  Eigenschaft,  dass  ihre 
Integrate  sich  iiberall  bestimmt  verhalten,  und  andere  bemerkens- 
werte  Eigentlimlichkeiten. 

Auch  die  Untersuchung  algebraischer  Functionen,  die  voll- 
standige  Darstellung  ihrer  Zweige  in  der  Umgebung  der  Verzwei- 
gungspunkte,  die  Fortsetzungsweise  der  Zweige  und  die  Bestim- 
mung  des  Geschlechts  ist  nach  Thome  mit  Htilfe  einer  aus  der 
algebraischen  Gleichung  herstellbaren  linearen  Differentialgleichung 
moglich,  deren  Ordnung  mit  der  Anzahl  der  linear  unabhangigen 
Zweige  der  algebraischen  Function  ubereinstimmt. 

Das  eigentliche  Gebiet  fur  die  Anwendungen  der  Theorie  ist 
jedoch  naturgeinass  dasjenige  der  transcendenten  Functionen. 
Wir  nennen  hier  zuerst  das  von  Fuchs  angeregte  und  frliher 
behandelte  Problem,  welches  eine  Verallgemeinerung  des  Problems 
der  Abel'schen  Functionen  darstellt,  namlich  die  Untersuchung 
derjenigen  Functionen,  die  durch  Umkehrung  der  Integrate  von 
Losungen  linearer  Differentialgleichungen  entstehen,  und  haben  als 
neueren  Bearbeiter  desselben  R.  Lohnsteinzu  erwahnen. 

Im  Anschluss  an  das  soeben  bertihrte  Problem  ist  einer 
Abhandlung  von  Burkhardt  zu  gedenken.  Gestiitzt  auf  die 
Eigenschaft  der  Periodicitatsmoduln  von  Abel'schen  Integralen 
erster  Gattung,  einer  linearen  homogenen  Differentialgleichung  zu 
gentigen,  gelangt  derselbe  bei  den  einfachsten  Fallen  binomischer 
Integrate  zu  dem  Resultat,  dass  die  zugehorigen  Thetareihen 
analytische  Ausdrucke  fur  gewisse  Form  en  liefern,  die  von 
H  alp  hen  aus  den  an  Stelle  der  unabhangigen  Variabeln  der 
Differentialgleichung  eingefiihrten  homogenen  Veranderlichen 
gebildet  wurden. 

Wenn  wir  sodann  an  dieser  Stelle  um  der  Anwendungen 
willen,  zu  denen  dieselben  schliesslich  fiihren,  einer  Reihe  unter 
einander  zusammenhangender  Arbeiten  von  Fuchs  gedenken,  so 
ist  jedoch  von  vornherein  zu  bemerken,  dass  die  Bedeutung 
derselben  in  Hinsicht  der  Resultate  und  der  benutzten  Hiilfs- 


102  L.    HEFFTER 

mittel  weit  liber  jene  speziellen  Anwendungen  hinausreicht. 
Dieser  Hlilfsmittel  sind  im  Wesentlichen  drei :  die  Lehre  von  der 
Reduktibilitat,  der  Begriff  von  Differentialgleichungen,  die  in 
dieselbe  Klasse  gehoren,  und  die  Eigenschaften  linearer  Differen- 
tialgleichungen, deren  Coefficienten  von  einem  Parameter  abhan- 
gen,  wahrend  die  Fundamentalsubstitutionen  oder  die  Gruppe 
von  diesem  unabhangig  sind.  Das  Hauptergebnis  aber  des 
allgemeinen  Teils  der  Untersuchung  kann  man  etwa  folgender- 
massen  aussprechen :  Wenn  die  Coeffitienten  einer  linearen  Diffe- 
r&ntialgleichung  von  gerader  Ordnungszahl  von  einem  Parameter 
abhdngen,  die  Fundamentalsubstitutionen  aber  von  diesem  unabhan- 
gig sind,  so  wird  eine  Differ entialgleichung,  der  gewisse  aus  den 
Elementen  eines  Fundamentals y stems  und  ihren  Ableitungen  gebil- 
dete  Determinanten  genilgen,  reduktibel.  Die  Anwendung  dieses 
Satzes  auf  die  von  Fuchs  schon  friiher  aufgestellten  Differential- 
gleichungen fur  die  Periodicitatsmoduln  der  hyperelliptischen 
Integrate  als  Functionen  eines  Parameters  ergiebt  als  unmittelbare 
Folge  jener  Reduktibilitat  die  zwischen  den  Periodicitatsmoduln 
bestehenden  Selationen.  Diese  fliessen  also  hier  aus  der  Theorie 
der  linearen  Differentialgleichungen,  wahrend  sie  zuerst  Weier- 
s trass  aus  dem  Satz  von  der  Vertauschung  von  Parameter  und 
Argument  abgeleitet  hatte. 

Weiter  stellt  sich  hier  in  der  Theorie  der  hyperelliptischen 
Integrale  vom  Rang  2  ein  hochst  interessantes  Analogon  zu  der 
bekannten  functionalen  Beziehung  zwischen  dem  Modul  K  und 
dem  Quotienten  der  Periodicitatsmoduln  der  elliptischen  Integrale 
erster  Gattung  heraus.  Man  gelangt  zur  Betrachtung  einer 
functionalen  Beziehung  zwischen  drei  unbestimmt  bleibenden 
Nullstellen  des  Radicanden  der  hyperelliptischen  Irrationalitat 
einerseits  und  drei  Determinanten-Quotienten  andererseits,  welche 
aus  Fundamentalsystemen  der  beiden  derselben  Klasse  ange- 
horigen  Differentialgleichungen  gebildet  sind,  denen  die  Periodici- 
tatsmoduln der  zwei  verschiedenen  Integrale  erster  Gattung 
geniigen.  Die  Untersuchung  der  drei  letzteren  Variabeln  als 
Functionen  der  unbeschrankten  ersteren  ergiebt  eine  Begrenzung 
des  Wertvorrates,  welche  derjenigen  in  dem  Vorbild,  dass  der 
Periodenquotient  mit  seinen  Werten  nur  die  eine  Halbebene 
aniullt,  entspricht.  Die  inversen  Functionen  existiei'en  also  nur 
innerhalb  des  so  begrenzten  Bereichs,  erweisen  sich  aber  daselbst 
als  EINDEUTIGE  Functionen  ihrer  drei  Variabeln. 


DIE    LINEAREN    DIFFEBENTIALGLEICHUNGEN.          103 

Aus  der  Art  jener  Wertbeschrankung  der  drei  Quotienten 
ergiebt  sich  noch,  davss  der  reale  Teil  der  in  den  Exponenten  der 
0- Reihe  mit  zwei  Variabeln  auftretenden  quadratischen  Form  eine 
definite  Form  mit  negativem  Wert  ist.  Wiederum  also  eine  sehr 
bemerkenswerte  Anwendung  der  Theorie  der  linearen  Differential- 
gleichungen. 

Eine  weitere  Arbeit  von  Fuchs,  welche  sich  an  die  vorstehend 
erwahnten  noch  anreiht,  mag  uns  zu  dem  letzten  Teile  dieses 
Referates,  zu  den  AUSDEHNUNGEN  DER  URSPRUNGLICHEN  THEORIE 
hinuberfiihren.  Es  hatte  sich  gezeigt,  dass  die  oben  beriihrte 
Eigenschaffc  gewohnlicher  linearer  DifFerentialgleichungen,  deren 
Coefficienten  von  einem  Parameter  abhangen,  wahrend  die  Funda- 
mentalsubstitutionen  von  diesem  unabhangig  sind,  mit  der  Be- 
friedigung  gewisser  partieller  linearer  Differentialgleichungen 
durch  die  Integrale  der  ersteren  zusammenfallt.  Dies  gab  die 
Anregung  zu  dem  Problem,  umgekehrt  solche  Systeme  partieller 
linearer  homogener  Differentialgleichungen  zu  kennzeichnen,  deren 
Untersuchung  auf  diejenige  gewohnlicher  linearer  Differential- 
gleichungen zuriickgefuhrt  werden  kann.  Dies  gelingt  fur  gewisse 
partielle  Differentialgleichungen,  deren  Coefficienten  eindeutige 
Functionen  einer  Reihe  von  unabhangigen  Veranderlichen  und 
einer  zweiten  mit  jener  algebraisch  verknlipften  Reihe  von 
Veranderlichen  sind.  Hierzu  war  es  nb'tig,  den  Begriff  der 
Klasse  von  Differentialgleichungen  und  den  Satz  von  der  Unab- 
hangigkeit  der  Gruppe  der  Differentialgleichung  von  einem  in  den 
Coefficienten  enthaltenen  Parameter  auf  gewohnliche  Differential- 
gleichungen auszudehnen,  deren  Coefficienten  eindeutige  Functio- 
nen zweier  algebraisch  mit  einander  verknlipften  Reihen  von 
Variabeln  sind ;  eine  von  diesen  Veranderlichen  spielt  die  Rolle  der 
unabhangigen  Variabeln  der  Differentialgleichung,  alle  anderen 
derselben  Reihe  die  von  Parametern. — Die  partiellen  Differential- 
gleichungen, welche  eine  derartige  Behandlung  gestatten,  erhalten 
noch  ein  besonderes  Interesse  dadurch,  dass  zu  ihnen  als  Spezial- 
falle  Differentialgleichungen  gehoren,  auf  welche  Appell  und 
Pi  card  bei  Verallgemeinerung  der  Gauss'schen  Reihe  auf  zwei 
Variabeln  gefuhrt  wurden,  und  die  auch  von  Horn  untersucht 
worden  sind. 

Dem  zuletzt  genannten  Autor  gebiihrt  namlich  das  Verdienst, 
neben  der  Ubertragung  der  Fuchsschen  Theorie  auf  Systeme 


104  L.    HEFFTER. 

gewohnlicher  linearer  Differentialgleichungen  (Kbnigsberger, 
Griinfeld)  dieselbe  auf  partielle  lineare  Differentialgleichungen 
ausgedehnt  zu  haben.  Es  liegt  in  der  Natur  der  Sache,  dass 
hierbei  die  Feststellung  der  Singularitaten  und  des  Verhaltens 
der  Integrale  daselbst  die  Hauptschwierigkeit  bietet. 

Unter  deu  Ausdehnungen  der  Theorie  erwahnen  wir  schliess- 
lich  noch  die  speziellere  Untersuchung  nicht  homogener  linearer 
Differentialgleichungen,  wie  sie  unter  verschiedenen  Gesichts- 
punkten  von  Konigsberger,  Kohler,  Thorns',  Heymann  ange- 
stellt  worden  ist. 

Das  vorliegende  Referat  soil  nicht  geschlossen  werden,  ohne 
auf  die  bisber  nur  fllichtig  gestreifte  Theorie  der  Transformations- 
gruppen  von  S.  Lie  und  seiner  Schiller  und  ihre  Anwendung  in 
der  Theorie  der  Differentialgleichungen  im  Allgemeinen  und  der 
linearen  im  Besonderen  wenigstens  hingewiesen  zu  haben.  Die 
Fruchtbarkeit  derselben  fur  die  hier  in  Rede  stehende  Theorie 
tritt  namentlich  in  einer  neueren  franzosischen  Arbeit  von 
Vessiot  zu  Tage. 


GIESSEN,  den  18.  Juni  1893. 


SUR     QUELQUES     PROPOSITIONS     FONDAMEN 

TALES   DE    LA   THEORIE    DES   FONCTIONS 

ELLIPTIQUES. 

PAR 
CH.  HERMITE   A   PARIS. 


SOIT  en  general,  R  (x)  =  Ax*  +  Bo?  +  Cx2  +  Da;  +  E,  et  £  =  tf>  (x),  la 
fonction  de*fmie  par  1'egalite", 


f 
J 


ou  je  laisse  la  limite  infe"rieure  entierernent  arbitraire.  Je  me 
propose  de  montrer  comment  on  peut  obtenir  le  theoreme  de 
1'addition  des  arguments  dans  cette  fonction,  sous  une  forme 
simple,  ou  n'apparaissent  pas  explicitement  les  coefficients  du 
polynome  R  (x),  et  qui  conduit  aisement  aux  formules  concernant 

sn  x,    en  x,    dn  x  et  p  {x). 

En  de"signant  par  a  une  constante  quelconque,  je  pose  a  =  <f>  (a), 
et  je  considere  1'expression, 


que  je  diffe'rentie  deux  fois  par  rapport  a  x.     II  vient  ainsi  : 


da?  2  (|-  a)2 

et  Ton  aurait  pareillement 


da?  ~  2  (£  -  a)a 

Retranchons  membre  a  membre,  on  obtient 

d?y     d>y     (g  -  g)  [R  (|)  +  R  (a)]  -  2  \R  (g)  -  JZ  («)] 
cfe2     da8 


106  CH.    HERMITE. 

d'ou  apres  une  reduction  facile  liquation  suivante, 


dont  je  vais  £crire  1'integrale. 
Soit  a  cet  effet, 


on  aura  cette  expression,  ou  f(x)  et  /i  (x)  sont  deux  fonctions 
arbitraires  : 


rx  fa 

y  —f(x  —  a)  +/i  (*+<*)+  I    ^(«)  <fe-H  I    ^  (a)  da. 

J  z0  J  *o 

Diflferentions  maintenant  par  rapport  a  a;  et  par  rapport  a  a  ; 
en  posant  pour  simplifier  1'^criture, 


on  parvient  a  ces  relations  : 


f(»)-*(a)- 

Elles  montrent  en  permutant  x  et  a,  que  la  fonction  F(x)  change 
de  signe  avec  la  variable,  et  de  la  decoule  une  consequence  im- 
portante. 

Soit  pour  abreger, 

<b'(d) 
<£ (as, a)  =       \_1(  \> 

on  forme  aisement  1'egalite 

/,a)-<&(x  —  y,a)  =  F(x  +  y  —  a')-  F(x  —  y  —  a) 


dont  le  second  membre  se  trouve  d'apres  cette  remarque  syme- 
trique  en  x  et  a ;  il  en  resulte  que  nous  pouvons  e'crire : 

4>  (x  +  y,  a)  —  4>  (x  —  y,  a)  =  <£  (a  +  y,  x)  —  <3>  (a  —  y,  x). 

Changeons  maintenant  dans  la  relation, 

<£  (x,  a)  =  F(x  -  a)  -  Fl  (x  +  a)  -  ty  (a), 

a  en  a  +  y,  puis  en  a  —  y,  et  ajoutons  membre  a  membre,  on 
trouve  ainsi: 


FONCT1ONS    ELLIPTIQUES.  107 

<I>  (x,  a  +  y)  +  4>  (x,  a  -  y)  =  F  (x  -  y  -  a)  -  Fl  (x  +  y  +  a) 

+  F(x  +  y-a)-Fl(a;-y  +  a) 

Nous  aurons  encore  en  remplaqant  x  successivement  par  x  +  y 
et  a;  —  y,  et  ajoutant : 


F(x  -y-a)-Fl(x-y  +  a) 


Ces  deux  e'galite's  conduisent  a  une  troisieme  ou  n'entrent  plus 
les  fonctions  F  et  Flt  a  savoir  : 

<I>  (x  4-  y,  a) 


C'est  un  theoreme  sur  1'addition  des  arguments  dans  1'integrale 
de  seconde  espece  qui  est  represented  par  la  fonction  A|T  (y).  ^lli- 
minons  cette  quantit^,  en  supposant  x  =  a,  et  retranchant  les 
deux  egalite's  membre  a  merabre,  nous  obtenons  ainsi 

®  (x  +  y,  a)  +  O  (x  -  y,  a)  =  4>  (x,  a  +  y)  +  <t>  (x,  a  -  y) 


-<&(a,a  +  y)-®(a,a-  y). 
Ayant  done  deja  1'expression  de  la  difference 
$>(x  +  y,  a)-3>(x-y,  a), 

nous   en  concluons  la  relation  que   nous   nous  sommes   propos6 
d'etablir,  a  savoir: 

2^>  (x  +  y,  a)  =  <I>  (x,  a  4-  y}  +  <£  (x,  a  —  y) 
+  <I>  (a  +  y,  x)  -  <£  (a  —  y,  x) 
+  <&(a-y,  a) 
-<E>(a,  a-y), 
et  sous  une  forme  entierement  explicite, 

f  (a  -  y)  +  #  (a) 


C'est   1'expression  nouvelle   que  j'ai   annoncee   du   theoreme 


108  CH.    HERMITE. 

pour  1'addition  des  arguments  dans  la  fonction  <f>  (x)  qui  est 
1'inverse  de  1'integrale  elliptique  la  plus  g6neYale;  j'en  ferai  en 
premier  lieu  1'application  aux  quantites 

sn  x,  en  x,  dn  x. 
Remarquons  a  cet  effet  qu'en  admettant  la  condition 

et  prenant  a  =  0,  les  deux  premiers  termes  se  detruisent,  il  vient 
done 


=  2 


On  a  encore  la  formule  suivante, 


=£  } 

g 


»  (y) 


)  -  *  (y)  <£  (*) 

mais  sans  m'y  arreter,  je  vais  supposer  successivement 

,  ,  •.  sn  #         sn  a; 

</>  (a;)  =  sn  x,  -  ,       -  - 

en  a;          dn  a; 

quantites  pour  lesquelles  on  a  les  relations, 


Cela  etant,  un  calcul  facile  nous  donne 

sn2  x  —  sn2  y 

sn  (x  +  ?/)  =  —  -  •£  -  ,  —  , 

sn  a;  en  y  dn  y  —  sn  y  en  #  dn  x 

sn  (a;  +  y)  _  sn2  a;  —  sn2  y 

en  (#  +  y)     sn  #  en  x  dn  y  —  sn  y  en  y  dn  #  ' 


dn  (x  +  y)     sn  a?  dn  x  en  y  —  sn  y  dn  y  en  x  ' 
et  Ton  en  d^duit  immediatement 

,      sn  a;  en  x  dn  ?/  —  sn  y  en  y  dn  x 
en  (#  +  ?/)=-  -  , 

sn  #  en  y  dn  y  —  sn  y  en  x  dn  a; 

v      sn  x  dn  #  en  i/  —  sn  y  dn  v  en  x 
dn  (#  +  y)  =  -  ,    y       ^^~ 

sn  a;  en  y  dn  y  —  sn  y  en  x  an  # 


FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  109 

Qu'on  multiplie  ensuite  les  deux  termes  de  chaque  fraction  par 

sn  x  en  y  dn  y  +  sn  y  en  x  dn  x, 

on  obtiendra  les  expressions  habituelles  apres  avoir  supprim6  dans 
les  numerateurs  et  le  denominateur  commun,  le  facteur 

sn2  x  —  sn2  y. 

En  passant  maintenant  a  la  fonction  p  (x)  de  M.  Weierstrass, 
je  supposerai  le  constante  a  non  plus  nulle,  mais  infiniment  petite, 
et  je  developperai  les  divers  termes  qui  entrent  dans  le  th^oreme 
general  d'addition,  suivant  les  puissances  croissantes  de  cette 
quantite  en  negligeant  les  infiniment  petits  du  second  ordre.  A 
cet  effet  j  'observe  qu'on  pent  ecrire 


sous  la  forme  suivante, 

3>  (x,  a)  =  -Da  log  [  p  (a)  -  p  (x)}, 
et  Ton  obtient  de  meme 


=  -Dy  log  [p  (a)-p(a 
Cela  etant,  nous  savons  qu'en  negligeant  le  carre  et  les  puis- 

sances superieures  de  a,  on  a  p  (a)  =  —  ,  il  vient  par  consequent, 

Cv 

.  ,      1  —a?x 


\JU 


Prenons  seulement  le  premier  terme  du  developpement  en  sdrie 
du  logarithme  et  Ton  trouve  : 

2 

<E>  (x,  a)  =  -  +  2ap  (x). 

CL 

J'emploierai  dans  les  deux  equations  suivantes  le  developpe- 
ment borne  a  ses  deux  premiers  termes  de 

log[p(x)-p(a+y)], 
j'aurai  ainsi  : 

<£  (a  +  y,  x)  =  -  Dx  log  [  p  (x}  -  p  (y)} 

-aDlv\og[p(x)-p(y)], 


110  CH.    HERMITE. 

4>  (x,  a  +  y)  =  -  Dy  log  [p  (x)  -p(y)] 

-aD2ylog[p 
J'6cris  pour  la  troisieme, 

D\o\- 


et  Ton  voit  qu'en  ne"gligeant  a2,  on  obtient 

3>  (a,  a  +  y}  =  0. 
Nous  avons  enfin 

p'  (a) 


2 
=  - 

Chaugeons  inaintenant  y  en  —  y,  et  observant  que  _p  (y)  est  une 
fonction  paire  de  la  variable,  on  trouve  immediatement 

4>  (a  -  y,  x)  =  -  Dx  log  [p  (x)-p  (y)} 


<$>(x,a-y}  =  +  Dy  log  [p  (x)- 

-aDl\og[p(x)-p(y)], 

4>  (a,  a  +  y}  =  0, 
2 


Le  theoreme  d'addition  nous  donne  au  moyen  de  ces  re'sultats, 
I'^galite  suivante, 

4 

-  +  4>ap  (x  +  y)  =  -  2aDJ  log  [p  (x)  -p  (y)] 


d'ou  nous  tirons  : 

p(x  +  y)=-  \D\  log  [p  (x)  -p  (y)]  -  ±Dl,,  log  [p(x)  -p  (y)]+p(y\ 

puis  en  pel-mutant  x  et  y, 

^  (x  +  y)  =  -  £  D|  log  |>(a?)  -. 


FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  Ill 

Ajoutons   membre   a   membre  et  divisons  par  2,  on  aura  la 
relation, 

p(x  +  y)  =  -  ±D2X  log  [p  (x)  -p  (y)]  -  ID^  log  [p  (x)-p(y}] 

-m,  log  [p  0)  -  p  (y}]  +  bp(x)  +  $p  (y), 

qu'on  peut  mettre  sous  cette  forme  symbolique : 

p(x  +  y)  =  -  i(Dx  +  Dyf  log  [p  (x}  -  p  (y)]  +  %p(x)  +  $p  (y). 

Elle  se  ramene  comme  il  suit   a   1'expression   qu'a   obtenue 
M.  Weierstrass.     Nous  avons  en  differentiant, 

Dl  log  [p  (x}  -p  (y)]  +  Dl  log  [p  (x)  -p(y)] 

_  [p"  (x)  -  p"  (y)]  [p(as)-p  (y)]  -  p">  (x}  -  p">  (y) 
[p(x)-p(y)J 

on  tire  ensuite  de  liquation  differentielle, 

p'2  (x)  =  4p3  (x)  -  g,p  (x}  -  g3 
la  relation, 

P"  (x}  ~  P"  (y)  —  ^  [p2  (x)  —  p2  (y)] ; 
il  vient  par  consequent 

Dl  log  [p  (x)  -  p  (y)]  +  Dl  log  [p  (x}  -  p  (y)} 


En  ajoutant  membre  a  membre  avec  I'egalit6  : 


nous  trouvons 
Dl  log  [p  (*)-p(y)]+  2Dyog  [p  (x)  -  p  (y)]  +  Dl  log  [p  (x)  -p(y)] 


_ 

et  c'est  de  la  que  resulte  immediatement  la  formule, 


qu'il  s'agissait  d'etablir. 


Aux  resultats  qui  precedent  j'ajouterai  encore  le  theoreme  sur 
1'addition  des  arguments  dans  1'integrale  de  troisieme  espece  que 


112  CH.    HERMITE. 


Jacobi  a  ddfinie  dans  les  Fundamenta,  en  posant 

f*  A;2  sn  a  en  a  dn  a  sn2  x 
o      j.  —  k*  sn2  a  sn2  # 


=/' 

Jo 


On  y  parvient  comme  consequence  de  la  relation  etablie  plus 
haut, 


-  <£  (a) 


ou  je  supposerai  </>  (a;)  =  sn  a;. 
Nous  avons  ainsi 

en  a  dn  a  en  a  dn  a  „   ,      sn  x  —  sn  (a  —  y) 

sn(x  +  y)  —  sna     sn  (x  —  y)  —  sn  a  °  sn  a;  —  sn  (a  -f  y) ' 

et  nous  en  tirons  en  remplacant  x  par  x  +  iK' 

k  en  a  dn  a  sn  (x  +  y)     kcnadna  sn  (a;  —  y) 
l—ksnasn(x  +  y)        1  —  ksnasn(x  —  y) 

^  ,      1  —  k  sn  x  sn  (a  —  y) 
=  Dx  log        .  ;       y( . 

0  1  —  k  sn  x  sn  (a  +  y) 

Changeons  a  en  —  a,  on  aura  par  suite 

k  en  a  dn  a  sn  (x  +  y)     kcnadnasn(x  —  y) 
1  +  k  sn  a  sn  (x  +  y)       l  +  ksnasn(x  —  y) 

r.  .      1  +  k  sn  x  sn  (a  +  y) 

=  Jjx  log —  ' 

8  1  +  k  sn  x  sn  (a  —  y) ' 

j'ajoute  membre  a  membre  ces  deux  e"galit6s,  et  Ton  trouvera  apres 
avoir  divise  par  2, 

1&  sn  a  en  a  dn  a  sn2  (x  +y)     &2  sn  a  en  a  dn  a  sn2  (a;  —  y) 
1  -  k2  sn2  a  sn2  (a;  +  y)  1  -  &2  sn2  a  sn2  (#  -  y) 


Cela  etant,  1'int^gration  nous  donne 

k2  sn  a  en  a  dn  a  sn2  (x  +  y)  . 

y> 


Jo 


.. 
o       1  —  k-  sn2  a  sn2  (x  +  y) 

puis  si  Ton  observe  que 


FONCTIONS    ELLIPTIQUES.  113 

n(-y,  a)  =  -n(t/,a), 

[Xk?snacnasn2(x-y)  , 

I    ,      ,,  -^  aa?  =  II  (a?  —  y,  a)  +  II  (y,  a). 

Jo  l-&asn2asn2(#-y) 

Nous  avons  done  la  relation, 


\      «TT  /       x      11  2x  sn2  (a  —  y) 

II  (x  +  y,  a)  -  II  (x  -  y.  a)  -  211  (y,  a)  =  \  log^  -  j—          —  ;  -  &  ; 

Wl-&2sn2a?sn2(a+i/)' 

en  permutant  x  et  y,  on  en  tire 

.      TT  /  C.T-T  /       N      11      1  —  A;2  sn2  v  sn2  (a  —  x) 

II  (#  +  y,  a)  +  II  (a;  -  y,  a)  -  211  («,  a)  =  A  log  -  -  ^—  —  ^—  —  )  --  (  , 

&  1  -  &2  sn2  y  sn2  (a  +  #) 


et  il  suffit  d'ajouter  membre  a  membre  pour  obtenir,  apres  avoir 
divis6  par  2,  1'egalit^  cherchde 

IT  (x  +  y,  a)  —  Q  (x,  a)  —  IT  (y,  a) 

,       [1  -  fc2  sn2  ;r  sn2  (a  -  y)]  [1  —  jfc"  sn2  y  sn2  (a  -  #)] 
""*  °g  [1  -  A;2  sn2  x  sn2  (a  +  y)]  [1  -  A^  sn2  y  sn2  (a  +  a?)]  ' 

On  remarquera  que  le  second  membre  se  presente  sous  une 
forme  bien  differente  de  1'expression  donnee  par  Legendre,  a  savoir, 

.  ,      1  4-  k2  sn  a  sn  x  sn  y  sn  (x  +  y  +  a) 
°  1  —  k'2  sn  a  sn  a;  sn  y  sn  (x  +  y  —  a)  ' 

et  de  celles  qu'a  ensuite  obtenues  Jacobi,  dans  le  §  55  des  Funda- 
menta, 


et 


[1  -  fc8  sn2  (a;  -  a)  sn2  (y  -  a)]  [1  -  jfc*  sn2  a  sn2  (a;  +  y  +  a)] 
*  °g-22  2  ]  [1  -  A;2sn2a  sn2(a;  +  y-  a)] 


Sans  m'arreter  a  leur  comparaison  je  reviens  a  1'egalite, 


pour  en  indiquer  encore  une  consequence. 

Supposons  comme  tout-a-1'heure  <f>  (x)  =  sn  x,  et  prenons 

F* 

ilr  (x)  —\    k2  sn2  xdx, 
Jo 

on  en  conclura,  apres  avoir  mis  x  +  iK'  an  lieu  de  x, 


c.  P. 


114  CH.    HERMITE. 

k  en  a  dn  a  sn  x     7T  . 


puis  en  changeant  a  en  —  a, 

&cnadnasn#      _,  .„,.      ,,  . 

=  F(x  +  a  +  iK  ')  -  .Pj  (x  -  a  +  iK  ')  -  ^  (a). 
1  4-  fc  sn  a  sn  x 

Retranchons  ces  deux  egalites  membre  a  membre,  et  posons  pour 
un  moment 

^0  (a;)  =  F(x  +  iK')  +  F1(x  +  iK'\ 

on  aura  cette  relation, 

2&2  sn  a  en  a  dn  a  sn2  a;      „  , 


ou  il  est  aise  de  determiner  la  fonction  F0  (#). 
La  supposition  de  x  =  0,  nous  donne  en  effet, 


on  trouve  ensuite  en  prenant  la  d^riv^e  par  rapport  a  #  et  fatsant 
encore  x  =  0,  la  condition, 


Nous  avons  done 

F0(-  a)  =  C-F0  (a), 
C  d^signant  une  constante,  et  par  consequent, 

F0(a)  =  ^G-^  (a), 
ce  qui  conduit  a  1'egalite, 

2A^  sn  a  en  a  dn  a  sn2  a; 

l-^sn2asn^       =^(*  +  «)  -  +  (*-a)-2+  (a)  ; 

on  en  conclut  en  permutant  x  et  a,  si  Ton  observe  que 
change  de  signe  avec  x, 

2&2  sn  x  en  x  dn  x  sn2  a 


puis  en  ajoutant  membre  a  membre,  et  divisant  par  2, 
en  a  dn  a  sn  a;  +  sn  a  en  #  dn  x 


2&2  sn  a  sn  x  . 


1  —  k2  sn2  a  sn2  # 

=  ty  (x  +  a)  —  ty  (x)  — -fy  (a). 


FONCTIONS   ELLIPTIQUES.  115 

C'est  le  theorems  pour  1'addition  des  arguments  dans  la  fonction 
de  seconde  espece,  qn'on  peut  ecrire  plus  simplement  sous  cette 
forme, 

A^  sn  a  sn  x  sn  (x  +  a)  =  i|r  (#  +  a)  —  ty  (x)  —  *fr  (a). 

Enfin  je  remarque  que  la  reduction  a  des  fonctions  d'un  seul 
argument  de  1'intdgrale  de  3me  espece,  est  imme'diatement  mise 
en  Evidence.  Qu'on  integre  en  efFet  par  rapport  a  x,  depuis  la 
limite  x  =  0,  les  deux  membres  de  la  relation 

2^  sn  a  en  a  dn  a  sn2  x 


on  trouvera  en  posant 

t* 

X(x)=      ^  (x)  dx, 

Jo 

U  (x,  a)  =  fa  (x  +  a)  ~  ix  (x  ~  a)  ~ 


8—2 


UEBER   DIE   THEORIE    DER   ALGEBRAISCHEN 
INVARIANTEN. 

VON 
DAVID  HILBERT   IN  KONIGSBERG   IN   PR. 

UNTER  den  algebraischen  Functionen  von  mehreren  Verander- 
lichen  nehmen  die  sogenannten  algebraischen  Invarianten  wegen 
ihrer  merkwlirdigen  Eigenschaffcen  eine  ausgezeichnete  Stellung 
ein.  Die  Theorie  dieser  Gebilde  erhob  sich,  von  speciellen  Auf- 
gaben  ausgehend,  rasch  zu  grosser  Allgemeinheit* — dank  vor 
Allem  dem  Umstande,  dass  es  gelang,  eine  Reihe  von  besonderen 
der  Invariantentheorie  eigenthiimlichen  Prozessen  zu  entdecken, 
deren  Anwendung  die  Aufstellung  und  Behandlung  invarianter 
Bildungen  betrachtlich  erleichterte.  Seit  dieser  Entdeckung  ist 
die  mathematische  Litteratur  reich  an  Abhandlungen,  welche 
vorzugsweise  die  technische  Vervollkommnung  dieser  Prozesse  und 
der  auf  denselben  begrtindeten  sogenannten  symbolischen  Metho- 
den  bezwecken.  Ich  habe  nun  in  einer  Reihe  von  Abhandlungen  "f* 
die  Invariantentheorie  nach  neuen,  von  den  genannten  Methoden 
wesentlich  verschie.denen  Principien  entwickelt.  Das  Nach- 
folgende  enthalt  eine  kurze  Uebersicht  iiber  die  hauptsachlichsten 
Resultate,  zu  welchen  ich  mit  Hilfe  dieser  neuen  Principien' 
gelangt  bin. 

*  Vergl.  den  umfassenden  von  Franz  Meyer  im  Jahresbericht  der  Deutschen 
Mathematiker-Vereinigung  (Berlin,  1893)  veroffentlichten  Bericht  "Ueber  den  gegen- 
wartigen  Stand  der  Invariantentheorie." 

t  Vergl.  die  beiden  zusammenfassenden  Arbeiten  des  Verfassers  "  Ueber  die 
Theorie  der  algebraischen  Formen,"  Mathematische  Annalen,  Bd.  36  und  "  Ueber 
die  vollen  Invariantensysteme,"  Bd.  42,  sowie  die  kiirzeren  Mittheilungen  "  Zur 
Theorie  der  algebraischen  Gebilde, "Nachrichten  der  kgl.  Ges.  d.  Wiss.  zu  Giittinyen, 
1888  (erste  Note)  und  1889  (zweite  und  dritte  Note),  und  "Ueber  die  Theorie  der 
algebraischen  Invarianten,"  dieselben  Nachrichten,  1891  (erste  Note),  und  1892 
(zweite  und  dritte  Note). 


ALGEBRAISCHE    INVARIENTENTHEORIE.  117 

Obwohl  die  mitzutheilenden  Principien  fur  Grundformen  und 
Grundformensysteme  mit  beliebig  vielen  Veranderlichen  und 
Veranderlichenreihen  ausreichen,  so  werde  ich  doch  der  Kiirze 
und  des  leichteren  Verstandnisses  wegen  zunachst  nur  eine 
einzige  binare  Grundform  f  von  der  wten  Ordnung  mit  den 
Veranderlichen  xlt  x.z  und  mit  den  Coefficienten  a  zu  Grunde 
legen.  In  dieser  Grundform  werde 


#2  =  821  yi  +  022^2 

(8  =  a11a22  —  ai2a2i) 

eingesetzt  ;  die  Coefficienten  6  der  transformirten  Form  g  sind 
dann  ganze  rationale  Functionen  vom  ersten  Grade  in  den  a  und 
vom  nten  Grade  in  den  au,  a12,  a2J,  a^.  Unter  "Invariante"  ohne 
weiteren  Zusatz  verstehen  wir  stets  eine  solche  ganze  rationale 
homogene  Function  der  Coefficienten  a  der  Grundform  f,  welche 
sich  nur  mit  einer  Potenz  der  Substitutionsdeterminante  8  multi- 
plicirt,  wenn  man  die  Coefficienten  a  durch  die  entsprechenden 
Coefficienten  b  der  transformirten  Grundform  g  ersetzt.  Die 
wichtigsten  bekannten  Eigenschaften  der  Invarianten  sind  : 

1.  Die   Invarianten    lassen    die    linearen    Transformationen 
einer  gewissen  continuirlichen  Gruppe  zu. 

2.  Die    Invarianten   gentigen   gewissen    partiellen    linearen 
Differentialgleichungen. 

3.  Jede  algebraische  und  insbesondere  jede  rationale  Function 
von  beliebig  vielen  Invarianten,  welche  in  den  Coefficienten  a  der 
Grundformen  ganz,  rational  und  homogen  wird,  ist  wiederum  eine 
Invariante. 

Das  System  aller  Invarianten  bildet  diesem  Satze  zufolge 
einen  in  sich  abgeschlossenen  Bereich  von  ganzen  Functionen, 
welcher  durch  algebraische  Bildungen  nicht  mehr  erweitert 
werden  kann. 

4.  Wenn  das  Product  zweier  ganzen  rationalen  Functionen 
der  Coefficienten  a  eine   Invariante  ist,  so  ist  jeder  der  beiden 
Factoren  eine  Invariante. 

Dieser  Satz  sagt  aus,  dass  im  Bereiche  der  Invarianten  die 
gewb'hnlichen  Theilbarkeitsgesetze  gultig  sind,  d.  h.  jede  Invari- 
ante lasst  sich  auf  eine  und  nur  auf  eine  Weise  als  Product  von 
unzerlegbaren  Invarianten  darstellen. 


118  DAVID    HILBERT, 

5.  Wenn  man  auf  irgend  eine  ganze  rationale  Function  der 
Coefficienten  6  der  transformirten  Grundform  g  den  Differen- 
tiationsprozess 


so  oft  anwendet,  bis  sich  ein  von  den  Substitutionscoefficienten  a 
freier  Ausdruck  ergiebt,  so  1st  der  so  entstehende  Ausdruck  eine 
Invariante. 

Von  tieferer  Bedeutung  als  diese  elementaren  Satze  ist  der 
Satz  iiber  die  Endlichkeit*  des  Invariantensystems  ;  derselbe 
lautet  : 

6.  Es  giebt  eine  endliche  Anzahl  von  Invarianten  i1}  i2,...,  im, 
durch  welche  sich  jede  andere  Invariante  in  ganzer  rationaler 
Weise  ausdrucken  Idsst. 

Zum  Beweise  dieses  Satzes  bedarf  es  des  folgenden  Hilfs- 
theoremsf: 

Ist  irgend  eine  nicht  abbrechende  Reihe  von  Formen  der 
N  Veranderlichen  alt  a2,...,  a^  vorgelegt,  etwa  F?,  F2,  Fs,...,  so 
giebt  es  stets  eine  Zahl  m  von  der  Art,  dass  eine  jede  Form  jener 
Reihe  sich  in  die  Gestalt 


bringen  lasst,  wo  Alt  A2,...Am  geeignete  Formen  der  namlichen 
N  Veranderlichen  sind. 

Wenden  wir  dieses  Hilfstheorem  auf  das  System  aller  Invari- 
anten der  Grundform  /  an,  so  folgt  unmittelbar  die  Existenz  einer 
endlichen  Anzahl  in  von  Invarianten  ilt  i»,...,  im  von  der  Beschaf- 
fenheit,  dass  eine  jede  andere  Invariante  i  der  Grundform  /"in  der 
Gestalt 

A2iz  +  .  .  .  +  Amim 


*  Fur  binare  Grundformen  mit  einer  Veranderlichenreihe  ist  dieser  Endlich- 
keitssatz  zuerst  von  P.  Gordau  mit  Hilfe  der  symbolischen  Methode  bewiesen 
worden,  vergl.  Vorlesungen  iiber  Invariantentheorie,  Bd.  2,  S.  231.  Weitere 
Beweise  vergl.  F.  Mertens,  Crelles  Journal,  Bd.  100,  S.  223,  und  die  Note  des 
Verfassers,  Mathematische  Annalen,  Bd.  33,  S.  224.  —  Der  oben  skizzirte  Beweis  des 
Verfassers  ist  von  allgemeinster  Giiltigkeit,  vergl.  Mathematische  Annalen,  Bd.  36, 
S.  521  und  Nachrichten  d.  kgl.  G.  d.  W.  zu  Gottingen,  Nov.  1888  und  1892. 

t  Neuerdings  hat  P.  Gordan  dieses  Hilfstheorem  einer  weiteren  Behandlung 
unterworfen,  vergl.  Mathematische  Annalen,  Bd.  42,  S.  132. 


ALGEBRAISCHE   TNVARIENTENTHEORIE.  119 

ausgedrlickt  werderi  kann,  wo  Alt  A2,...,  Am  ganze  homogene 
Functionen  der  Coefficienten  a  der  Grundform  f  sind.  Der  zweite 
Schritt  des  Beweises  besteht  nun  darin,  zu  zeigen,  dass  in  dem 
Ausdrucke  rechter  Hand  die  Functionen  Alt  A^,...,  Am  stets 
durch  Invarianten  t/,  4',...,  im'  ersetzt  werden  konnen,  ohne  dass 
sich  dabei  der  Werth  i  jenes  Ausdrucks  andert.  Dieser  Nachweis 
wird  gefuhrt,  indem  man  in  jene  Relation  an  Stelle  der  Coefficien- 
ten a  die  Coefficienten  b  der  transformirten  Grundform  eintragt 
und  dann  den  Satz  5  anwendet*. 

An  den  Endlichkeitssatz  6  schliessen  sich  zunachst  zwei 
weitere  Endlichkeitssatze  an,  deren  Beweise  ebenfalls  auf  der 
Anwendung  des  obigen  Hilfstheorems  beruhen.  Verstehen  wir  in 
der  iiblichen  Ausdruckweise  unter  einer  irreduciblen  Syzygie  eine 
solche  Relation  zwischen  den  Invarianten  ilt  t'2,...tm,  deren  linke 
Seite  nicht  durch  lineare  Combination  von  Syzygien  niederer 
Grade  erhalten  werden  kaun,  so  gilt  der  Satz : 

7.  Es  giebt  nur  eine  endliche  Anzahl   von  irreduciblen  Sy- 
zygien. 

Als  Beispiel  diene  das  voile  Invariantensystem  von  3  binaren 
quadratischen  Grundformen,  welches  bekanntlich  aus  7  Invarian- 
ten und  6  Covarianten  besteht.  Es  lasst  sich  zeigen,  dass  es  fur 
dieses  Invariantensystem  14  irreducible  Syzygien  giebt,  aus  denen 
jede  andere  Syzygie  durch  lineare  Combination  erhalten  werden 
kann. 

Zwischen  den  Syzygien  ihrerseits  bestehen  gleichfalls  im  Allge- 
meinen  lineare  Relationen,  sogenannte  Syzygien  zweiter  Art, 
deren  Coefficienten  Invarianten  sind  und  welche  wiederum  selber 
durch  lineare  Relationen,  sogenannte  Syzygien  dritter  Art,  ver- 
bunden  sind.  Von  dem  hierdurch  eingeleiteten  Verfahren  gilt 
der  Satz: 

8.  Die  Systeme  der  irreduciblen  Syzygien  erster  Art,  zweiter 
Art,  u.  s.f.  bilden  eine  Kette,  welche  stets  im  Endlichen  abbricht  und 
zwar  giebt  es  keinenfalls  Syzygien  von  hoherer   als   der  m  +  Iten 
Art,  wenn  m  die  Zahl  der  Invarianten  bezeichnet. 

*  Story  hat  in  den  Mathematischen  Annalen  Bd.  41,  S.  469  einen  Differentiations- 
prozess  [  ]  angegeben,  welcher  den  Prozess  0  zu  ersetzen  im  Stande  ist ;  derselbe 
entsteht  durch  Verallgemeinerung  des  in  meiner  Inauguraldissertation  fur  binare 
Formen  aufgestellten  Prozesses  [  ],  vergl.  Hathematische  Annalen  Bd.  30,  S.  20. 


120  DAVID   HILBEBT. 

Der  Endlichkeitssatz  6  bildet  den  Ausgangspunkt  und  die 
Grundlage  fur  die  weiteren  Entwicklungen.  Die  Invarianten 
*i>  *2.---»  im  heissen  das  voile  Invariantensystem.  Zunachst  erkennt 
man  ohne  besondere  Schwierigkeit  die  folgenden  Thatsachen : 

9.  Man  kann  stets  eine  gewisse  Zahl  K  von  Invarianten 
/!,...,  IK  bestimmen,  zwischen  denen  keine  algebraische  Relation 
stattfindet  und  durch  welche  jede  andere  Invariante  i  ganz  und 
algebraisch  ausgedruckt  werden  kann,  d.  h.  so  dass  i  einer  Glei- 
chung  von  der  Oestalt 

&+Gl#-1+...  +  Gt  =  0 

genugt,  wo  G1}...,  Gk  ganze  und  rationale  Functionen  vonll,...)  IK 
sind.  Man  kann  ferner  zu  diesen  Invarianten  /i,...,  IK  stets  eine 
Invariante  I  hinzufugen,  derart,  dass  eine  jede  andere  Invariante  i 
der  Grundform  f  sich  rational  durch  die  Invarianten  I,  /!,...,  IK 
ausdriicken  Idsst. 

Will  man  umgekehrt  aus  den  Invarianten  /,  /),...,  IK  wieder 
das  voile  Invariantensystem  il}...,  im  zuriick  gewinnen,  so  hat  man 
nur  nothig,  alle  Functionen  aufzustellen,  welche  rational  durch 
/,/!,...,  IK  und  ganz  und  algebraisch  durch  II,...,  IK  ausdriickbar 
sind,  und  dies  ist  eine  bekannte  elementare  Aufgabe  aus  der 
arithmetischen  Theorie  der  algebraischen  Functionen. 

Fur  den  vorliegenden  Fall  einer  einzigen  binaren  Grundform 
hat  die  Zahl  K  den  Werth  n  —  2. 

In  Uebereinstimmung  mit  dem  Gesagten  besteht  das  voile 
Invariantensystem  einer  binaren  Form  oter  Ordnung  aus  den  3 
geraden  Invarianten  A,  B,  0  von  den  Graden  beziiglich  4,  8,  12 
und  der  schiefen  Invariante  R,  und  da  J^2  eine  ganze  rationale 
Function  von  A,  B,  C  ist,  so  sind  alle  Invarianten  der  Grundform 
ganz  und  algebraisch  durch  A,  B,  C  ausdriickbar.  In  gleicher 
Weise  erkennt  man,  dass  alle  Invarianten  einer  binaren  Form  6ter 
Ordnung  durch  die  4  geraden  Invarianten  A,  B,  C,  D  von  den 
Graden  beziiglich  2,  4,  6,  10  ganz  und  algebraisch  ausdriickbar 
sind. 

Die  Zahl  k,  welche  den  Grad  der  Gleichung  fur  eine  beliebige 
Invariante  i  angiebt,  lasst  sich  fur  den  vorliegenden  Fall  einer 
binaren  Form  nter  Ordnung  allgemein  bestimmen.  Es  ist  nam- 
lich,  wenn  man  mit  N  das  Product  der  Grade  der  K  =  n  —  2  Invari- 
anten /...  IK  bezeichnet 


ALGEBRAISCHE   INVARIENTENTHEORIE.  121 

If  1     »  /n\  f<n          \n—  3 

A»  1      •*•     <O  /          1  \i  /  •*  1   I  "  •  1 


i-O  1   2 

1  —  U,   1,   ^,..., 

\ 

beztiglich 


jenachdem  n  ungerade  oder  gerade  1st.  Diese  Formel  liefert  in 
der  That  fur  n  =  5  und  n  =  6  den  Werth  &  =  2.  . 

Die  Zahl  &  bedeutet  zugleich  im  Allgemeinen  die  Zahl  der 
durch  lineare  Transformation  nicht  auseinander  hervorgehenden 
Grundformen,  deren  Invarianten  I1,...,  IK  gleich  gegebenen  Grb's- 
sen  sind. 

Da  eine  jede  Invariante  i  einer  Gleichung  von  der  Gestalt 

ik+G1ik~1+...+  Gk  =  0 

geniigt,  so  folgt  unmittelbar  die  weitere  Thatsache  :  Wenn  man 
den  Coefficienten  der  Grundform  /  solche  besonderen  Werthe 
ertheilt,  dass  die  K  Invarianten  I1}...,  IK  gleich  Null  werden,  so 
verschwinden  zugleich  auch  sammtliche  tibrige  Invarianten  der 
Grundform.  Es  ist  nun  von  grosster  Bedeutung  fur  die  ganze 
Theorie,  dass  die  in  diesem  Satze  ausgesprochene  Eigenschaft  des 
Invariantensystems  Il}...,  IK  auch  umgekehrt  die  urspriingliche 
diese  Invarianten  definirende  Eigenschaft  bedingt,  wie  der  fol- 
gende  Satz  lehrt: 

10.  Wenn  irgend  /*  Invarianten  /i,...,  1^  die  Eigenschaft 
besitzen,  dass  das  Verschwinden  derselben  stets  nothwendig  das 
Verschwinden  aller  ubrigen  Invarianten  der  Grundform  zur  Folge 
hat,  so  sind  alle  Invarianten  ganze  algebraische  Functionen  jener  p 
Invarianten  /1}...,  1^. 

Der  Beweis  dieses  Satzes  verursacht  erhebliche  Schwierigkeiten. 
Die  Zahl  /*  ist  nothwendig  ^  K.  Um  die  Fruchtbarkeit  des  Satzes 
zu  erschopfen,  bedarf  es  der  Kenntniss  der  Bedingungen,  welche 
erfullt  sein  miissen,  damit  die  Invarianten  der  Grundform  sammt- 
lich  0  sind.  Wir  nehmen  die  Grundform  mit  bestimmten  nume- 
rischen  Coefficienten  an.  Die  Frage,  ob  diese  Grundform  eine 


122  DAVID     HILBERT. 

Invariante  besitzt,  welche  von  0  verschieden  1st,  wird  dann  durch 
den  folgenden  Satz  beantwortet : 

1 1.  Eine  Grundformf  mit  bestimmten  numerischen  Coefficienten 
a  besitzt  dann  und  nur  dann  eine  von  0  verschiedene  Invariante, 
wenn  die  Substitutionsdeterminante  B  eine  ganze  algebraische 
Function  der  Coefficienten  b  der  linear  transformirten  Form  g  ist. 

Fur  den  vorliegenden  Fall  der  binaren  Grundform  gelangt 
man  ohne  bemerkenswerthe  Schwierigkeit  zu  der  weiteren  That- 
sache :  Wenn  alle  Invarianten  einer  binaren  Grundform  von  der 
Ordnung  n  =  2h  +  1  bezliglich  n  =  2/i  gleich  Null  sind,  so  besitzt 
die  Grundform .  einen  A+lfachen  Linearfactor  und  umgekehrt, 
wenn  dieselbe  einen  h  4-  Ifachen  Linearfactor  besitzt,  so  sind 
sammtliche  Invarianten  gleich  Null.  Beispielsweise  hat,  wie 
man  leicht  erkennt,  das  gleichzeitige  Verschwinden  der  3  Invari- 
anten A,  B,  0  einer  binaren  Grundform  f  oter  Ordnung  noth- 
wendig  das  Auftreten  eines  Sfachen  Linearfactors  in  /  zur  Folge 
und  daher  wegen  der  eben  angeflihrten  Thatsache  zugleich  auch 
das  Verschwinden  aller  Invarianten  vony!  Folglich  miissen  nach 
Satz  10  alle  Invarianten  von  y  ganze  algebraische  Functionen  von 
A,  B,  C  sein  und  in  der  That  enthalt  das  voile  Invariantensystem 
nur  noch  eine  weitere  Invariante,  namlich  die  schiefe  Invariante 
-R,  deren  Quadrat  bekanntlich  eine  ganze  rationale  Function  von 
A,  B,  C  ist.  Was  die  binare  Form/"  Gter  Ordnung  betrifft,  so  hat 
das  gleichzeitige  Verschwinden  der  4  Invarianten  A,  B,  G,  D 
nothwendig  das  Auftreten  eines  4fachen  Linearfactors  in  f  zur 
Folge,  und  dieser  Umstand  bedingt  wiederum  das  Verschwinden 
aller  Invarianten.  Folglich  miissen  nach  Satz  10  alle  Invarianten 
von  f  ganz  und  algebraisch  durch  A,  B,  C,  D  ausdriickbar  sein, 
und  in  der  That  ist  die  allein  iibrige  schiefe  Invariante  R  gleich 
der  Quadrat wurzel  aus  einer  ganzen  Function  von  A,  B,  C,  D. 

Auch  erkennt  man  zugleich  fur  den  Fall  der  binaren  Grund- 
form, dass  es  lediglich  geeigneter  Resultantenbildungen  bedarf, 
um  ein  solches  System  /i,...,  /^  von  Invarianten  aufzustellen, 
deren  Verschwinden  das  Verschwinden  aller  Invarianten  bedingt. 

Um  jedoch  zu  einer  allgemein  giiltigen,  liber  den  besonderen 
vorliegenden  Fall  der  binaren  Grundform  hinausreichenden  Theorie 
zu  gelangen,  bedarf  es  der  Einfuhrung  der  Begriffe  "  Nullform  " 
und  "kanonische  Nullform."  Eine  Grundform  wird  eine  Null- 


ALGEBRAISCHE   INVARIENTENTHEORIE.  123 

form  genannt,  wenn  ihre  Coefficienten  solche  besonderen  nume- 
rischen  Werthe  besitzen,  dass  alle  Invarianten  fur  dieselbe  gleich 
Null  sind.  Was  die  Definition  der  kanonischen  Nullform  betrifft, 
so  heisst  eine  binare  Grundform  von  der  Ordnung  n  =  2h  +  1 
beziiglich  n  =  2h  eine  kanonische  Nullform,  wenn  die  Coefficienten 
a0,  «!,...,  ah  sammtlich  gleich  Null  sind.  Eine  ternare  Form 

«i,n«»  n, 

/=     2     an^nx^x.^x^ 

von  der  Ordnung  n  wird  eine  kanonische  Nullform  genannt,  wenn 
sich  3  ganze  Zahlen  x^,  oc2,  xs,  deren  Summe  negativ  ist,  finden 
lassen  von  der  Art,  dass  jeder  Coefficient  anini2n3  den  Werth  0  hat, 
fur  welchen  die  Zahl  x^n^  +  x^n^  +  oc3n3  negativ  ausfallt,  wahrend 
die  iibrigen  Coefficienten  beliebige  numerische  Werthe  besitzen. 
Man  erhalt  die  folgende  Tabelle  der  temaren  kanonischen  Null- 
formen  bis  zur  6ten  Ordnung,  worin  a  eine  willktirliche  Grosse 
und  (xy)8  den  allgemeinen  homogenen  Ausdruck  sten  Grades  in 
x,  y  bezeichnet. 

7i  =  2.     (1)  ax-\-x(xy\, 

(2)  (xy\. 
n  =  3.  ay2  +  (xy)3. 


(2)  x  [ax  +  x  (xy\ 
n  =  5.     (1)  ax3  +  (xy\  +  (xy\, 

(2)  x  {x  (xy\  +  x  (xy\  +  (xy\\, 

(3)  a?  [a  +  (xy\  +  (xy\  +  (xy}3}. 
n  =  6.     (1)  x3  (xy\  +  (xy)5  +  (xy\, 

(2)  x  [ax*  +  a?  (xy\  +  a;  (xy)3  +  (xy\\. 

Wahrend  somit  die  Aufstellung  der  kanonischen  Nullformen  eine 
leichte  Aufgabe  ist,  bietet  es  ganz  erhebliche  principielle  Schwie- 
rigkeiten  den  Nachweis  zu  fiihren,  dass  mit  den  kanonischen 
Nullformen  im  wesentlichen  d.  h.  abgesehn  von  linearen  Trans- 
formationen  mit  willkiiiiichen  Substitutionscoefficienten  zugleich 
sammtliche  Nullformen  gegeben  sind.  Es  gilt  namlich  der  Satz  : 

12.  Eine  jede  Nullform  kann  mittelst  einer  ge&igneten  linearen 
Substitution  von  der  Determinante  1  in  eine  kan&nische  Nullform 
transformirt  werden. 


124  DAVID   HILBERT. 

Durch  diesen  Satz  1st  man  irn  Stande,  auch  fur  Grundformen 
von  hoherer  Ordnung  und  mit  mehreren  Veranderlichen  leicht  zu 
entscheiden,  ob  ein  vorgelegtes  System  von  Invarianten  /1(...,  /M 
die  Eigenschaffc  besitzt,  dass  durch  dieselben  alle  iibrigen  Invari- 
anten der  Grundform  ganz  und  algebraisch  ausdriickbar  sind ; 
man  hat  zu  dem  Zweck  nur  nothig,  zu  untersuchen,  ob  das  Null- 
setzen  der  Invarianten  /i,...,  /M  hinreicht,  um  die  Grundform  als 
Nullform  zu  charakterisiren.  Unter  den  mannichfachen  sich 
ankniipfenden  Folgerungen  sei  hier  nur  noch  auf  einen  Satz  von 
principieller  Bedeutung  hingewiesen,  welcher  fur  den  Fall  einer 
ternaren  Grundform,  wie  folgt,  lautet: 

Sammtliche  Invarianten  einer  ternaren  Grundform  nter  Ord- 
nung lassen  sich  als  ganze  algebraische  Functionen  derjenigen 
Invarianten  ausdriicken,  deren  Gewicht  <  9n  (3n  +  I)8  ist. 

Auf  Grund  dieses  Satzes  findet  die  fundamentale  Aufgabe  der 
Invariantentheorie  ihre  Erledigimg,  namlich  die  Aufstellung  des 
vollen  Invariantensystems,  vermoge  einer  endlichen  Rechnung; 
ich  spreche  diese  Thatsache  in  folgendem  Satze  aus: 

13.  Die  Aufstellung  des  vollen  Invariantensystems  ii,...,  im 
erfordert  lediglich  rationale  Operationen,  deren  Anzahl  endlich  ist 
und  unterhalb  einer  vor  der  Rechnung  angebbaren  Grenze  liegt. 

In  der  Geschichte  einer  mathematischen  Theorie  lassen  sich 
meist  3  Entwickelungsperioden  leicht  und  deutlich  unterscheiden : 
Die  naive,  die  formale  und  die  kritische.  Was  die  Theorie  der 
algebraischen  Invarianten  anbetrifft  so  sind  die  ersten  Begriinder 
derselben,  Cay  ley  und  Sylvester,  zugleich  auch  als  die  Vertreter 
der  naiven  Periode  anzusehen:  an  der  Aufstellung  der  einfachsten 
Invariantenbildungen  und  an  den  eleganten  Anwendungen  auf 
die  Auflosung  der  Gleichungeri  der  ersten  4  Grade  hatten  sie  die 
unmittelbare  Freude  der  ersten  Entdeckung.  Die  Erfinder  und 
Vervollkommner  der  symbolischen  Rechnung  Clebsch  und 
G  or  dan  sind  die  Vertreter  der  zweiten  Periode,  wahrend  die 
kritische  Periode  in  den  oben  genannten  Satzen  6 — 13  ihreii 
Ausdruck  findet. 

OSTSEEBAD  CRANZ,  9  Juni,  1893. 


UBER   DIE    REDUCTION    DER   BINAREN    QUAD- 
RATISCHEN    FORMEN. 

VON 
A.    HURWITZ   IN   ZURICH. 

DIE  Methode,  durch  welche  ich  in  den  folgenden  Zeilen  die 
Theorie  der  Reduction  der  quadratischen  Formen  mit  zwei 
Unbestimmten  begrlinde,  beruht  auf  dem  Princip,  die  "  ausgear- 
teten"  Formen,  d.  h.  die  Formen  mit  verschwindender  Deter- 
minante  zu  untersuchen  und  von  diesen  einen  Riickschluss  auf  die 
"allgemeinen"  Formen,  d,  h.  die  Formen  mit  nicht  verschwindender 
Determinante  zu  machen.  Dieses  Princip  erweist  sich  von  grosser 
Fruchtbarkeit :  es  fiihrt  nicht  nur  in  dem  hier  betrachteten  Falle 
der  binaren  Formen  mit  reellen  Coefficienten  mit  grosser  Leich- 
tigkeit  zum  Ziele,  sondern  es  ist  auch  auf  Formen  von  beliebig 
vielen  Unbestimmten  anwendbar,  sei  es  dass  die  Coefficienten  reell 
oder  complex  vorausgesetzt  werden. 

Um  den  Kern  der  Untersuchung  klar  hervortreten  zu  lassen, 
und  zugleich  eine  moglichst  grosse  Anschaulichkeit  zu  erzielen, 
kleide  ich  die  anzustellenden  Betrachtungen  in  eine  specielle 
geometrische  Form.  Es  bietet  keine  Schwierigkeit,  die  geome- 
trische  Darstellung  allgemeiner  zu  halten  (indem  man  projective 
Verallgemeinerung  eintreten  lasst)  oder  auch  die  geometrische 
Darstellung  durch  eine  rein  analytische  zu  ersetzen. 

1. 

Es  sei  ABC  ein  gleichseitiges  Dreieck,  K  der  einbeschriebene 
Kreis,  welcher  die  Seiten  des  Dreiecks  in  den  Punkten  M,  N,  L 
beruhrt*.  Durch  diese  Punkte  wird  die  Kreisperipherie  in  drei 
gleiche  Bogen  MN,  NL,  LM  zerlegt,  die  ich  die  "  Theilbogen" 
nennen  will.  Ich  wahle  nun  CNM  als  Coordinatendreieck  und  L 

*  Siehe  Figur  1. 


126 


A.    HURWITZ. 


als  Einheitspunkt.     Dann  beschreibt  der  Punkt 

ac:y:z=I:  X  :  X-' (1) 

den  Kreis  K,  wenn  der  Parameter  X  alle  reellen  Zahlen  durchlauft. 
Im  Anschluss  an  diese  Thatsache  werde  ich  weiterhin  jeden  Punkt 


=0 


von  K  durch  den  entsprechenden  Werth  des  Parameters  bezeichnen, 
so  dass  z.  B.  die  Punkte  M,  N,  L  die  Bezeichnung  x> ,  0,  1  bez. 
erhalten.  Es  bedeute  ferner  T  diejenige  Drehung  der  Ebene  um 
den  Mittelpunkt  0  des  Kreises  K,  bei  welcher  der  Punkt  0  in  1, 
1  in  x  ,  oo  in  0  iibergeht,  T-  diejenige  Drehung,  bei  welcher  0  in  GO  , 
GO  in  1,  1  in  0  iibergeht. 

Bezeichnen  dann  X1}  X2,  X3  entsprechend  gelegene  Punkte  auf 
den  drei  Theilbogen  NL,  LM,  MN,  so  geht  bei  der  Drehung  T  \ 
in  Xa,  Xa  in  X3,  Xs  in  Xj  iiber.  Da  bei  der  Drehung  T  das  Doppel- 
verhaltniss  von  vier  Punkten  des  Kreises  sich  nicht  andert,  so 
findet  man  leicht,  dass 

1  >-l       l  (2\ 

A^  —  ^          —  ,          A3 —  1  —  — \A) 

i.  ~~  Aj  A/i 

ist. — In  der  Folge  werden  nun  in's  besondere  die  Punkte  mit 
rationalen  Parametern  eine  wichtige  Rolle  spielen.  Auf  diese 
Punkte  beziehen  sich  die  nachstehenden  Satze  und  Definitionen. 
Eine  Sehne  s  =pq  des  Kreises  K  heisse  eine  Elementarsehne, 


BINARE    QUADRAT1SCHE   FORMEN.  127 

a  g 

wenn   p  =  -  ,  q=-  rationale   Zahlen   sind,  fur  welche  die   Glei- 
a           7 

chung  a8  -  fty  =  ±  1  gilt.  Auf  Grund  der  Gleichungen  (2)  beweist 
man  leicht,  dass  eine  Elementarsehne  durch  die  Drehung  T  (und 
ebenso  durch  die  Drehung  T2)  wieder  in  eine  Elementarsehne 
libergeht. 

Von  hervorragender  Wichtigkeit  ist  aber  der  folgende  Satz  : 

(I)     Die  Endpunkte  p  und  q  einer  Elementarsehne  s  liegen 
stets  auf  demselben  Theilbogen. 

Ich  zeige,  dass  die  Annahme,  p  und  q  lagen  auf  verschiedenen 
Theilbogen,  auf  einen  Widerspruch  fiihrt.  Wenn  man  diese 
Annahme  macht,  so  sind  eigentlich  —  den  drei  Combinationen  der 
Theilbogen  zu  je  zweien  entsprechend  —  drei  Falle  zu  unter- 
scheiden.  Man  darf  sich  indessen  auf  den  Fall  beschranken,  in 
welchem  man  p  auf  dem  Bogen  MN,  also  die  Zahl  p  <  0,  und  q  auf 
dem  Bogen  LM,  also  die  Zahl  q  =  l,  annimmt.  Denn  jeder  der 
beiden  anderen  Falle  lasst  sich  durch  eine  der  Drehungen  T  und 
T2  auf  jenen  Fall  zurtickflihren.  Ist  nun  p  ^  0,  q  =  1,  so  folgt 
1  =  q  —  p  <  oo  .  Die  einzige  Combination  p  =  0,  q  =  1,  fur  welche 
q  —  p  —  1  wird,  ist  aber  auszuschliessen,  well  fur  dieselbe  p  und  q 
auf  demselben  Theilbogen,  namlich  auf  dem  Bogen  LN,  liegen. 
Ebenso  wenig  kann  q  —  p=ao,  d.  h.  eine  der  beiden  Zahlen  p  und 
q  gleich  GO  sein,  weil  sonst  p  und  q  beide  auf  dem  Bogen  ML 
oder  beide  auf  dem  Bogen  MN  liegen  wiirden.  Folglich  liegt 

q  —  p  =  H  --  zivischen  1  und  oo  ,  also  ±  ay  zwischen  0  und  1.     Dies 

~  ay 

ist  aber  widersinnig,  da  a  und  7  game  Zahlen  sind. 

Ich  werde  nun  ferner  ein  dem  Kreise  K  einbeschriebenes 
Dreieck,  dessen  Seiten  Elementarsehnen  sind,  ein  "  Elementar- 
dreieck"  nennen.  Nach  dieser  Definition  ist  beispielsweise  das 
Dreieck  01  oc  ein  Elementardreieck.  Jede  Elementarsehne  s  =  pq 
ist  Seite  von  zwei  Elementardreiecken. 

OS  f 

Denn  sei   »  =  -  ,  a  =  -  und  r  =  -  irgend  eine  dritte  rationale 
ay  e 

Zahl.     Bestimmt  man  dann  #  und  y  aus  den  Gleichungen 


e  =  xa+  2/7  j  ' 
so  erkennt  man,  dass  p,  q,  r  dann  und  nur  dann  ein  Elemental1- 


128  A.    HURWITZ. 

dreieck  bilden,  wenn  a?  =  +  1,  y=  ±  1  wird.     Die  Sehne  s  1st  also 
Seite  der  beiden  Elementardreiecke 

{3  +  8  ,     0-B 

p,  q,r=   -    -  ,  und  p,  q,  r  = 


a-7 

Da  die  Punkte  p,  q  durch  die  Punkte  r,  r'  harmonisch  getrennt 
werden,  so  kann  man  das  Dreieck  pqr'  durch  eine  sehr  einfache 
Construction  erhalten,  wenn  das  Dreieck  pqr  gezeichnet  vorliegt*. 
Uberdies  geht  aus  derselben  Thatsache  hervor,  dass  die  beiden 
Elementardreiecke,  welche  sich  iiber  einer  Elementarsehne  s=pq 
construiren  lassen,  auf  verschiedenen  Seiten  dieser  Sehne  s  liegen. 

Nach  dem  Satze  (I)  befinden  sich  die  Ecken  eines  von  dem 
Dreieck  Oloo  verschiedenen  Elementardreiecks  nothwendig  auf 
demselben  Theilbogen.  Daherkann  das  Dreieck  Oloo  mit  keinem 
anderen  Elernentardreieck  ein  Stiick  gemein  haben.  Es  besteht 
also  der  Satz  : 

(II)     Kein  Punkt,  der  im   Innern  des  Dreiecks  01  oo    liegt,  liegt 
zugleich  im  Innern  eines  anderen  Elementardreiecks. 

2. 

Es  moge  nun  jeder  quadratischen  Form 

/=  an?  +  *2buv  +  cv2  ......................  (3) 

derjenige  Punkt  zugeordnet  werden,  dessen  Coordinaten 

x  :  y  :  z  =  a  :  b  :  c  ........................  (4) 


Figur  2. 

sind.     Einer  Form/entspricht  dann  ein  Punkt  im  Innern,  auf  der 

*  Vergleiche  Figur  2. 


BINARE   QUADRATISCHE    FORMEN.  129 

Peripherie  oder  ausserhalb  des  Kreises  K,  je  nachdem 

D  =  b*-ac  =  0  .......................  (5) 

ist.  Umgekehrt  entsprechen  jedem  Punkte  a  :  b  :  c  unendlich 
viele  Formen  f,  namlich  die  Formen 

/  =  p  (aw2  +  Ibuv  4-  cv2)  .....................  (6), 

wo  p  jeden  reellen  Werth  erhalten  kann.  Um  nun  die  Beziehung 
zwischen  den  Punkten  der  Ebene  und  den  Formen  f  zu  einer 
eindeutigen  zu  machen,  werde  ich  zwei  Formen,  deren  Coefficienten 
zu  einander  proportional  sind,  als  nicht  verschieden  ansehen.  Man 
bemerke  noch,  dass  dem  Punkte  X  des  Kreises  K  die  Form 

f=p(u*  +  2\uv  +  W)  =  p(u  +  \v)'>  ............  (7) 

entspricht. 

Ich  betrachte  jetzt  irgend  eine  ganzzahlige  lineare  Transforma- 
tion 


/  ,   *  >       -  ...............  (8). 

V  =  yu  +  OV,\ 

Durch  dieselbe  geht  die  Form  (6)  iiber  in 

f  =  p  (a'u*  +  2bW  +  cV2)  .....  .............  (9), 


wo 

a'  =  aa? 


(10). 


Der  Transformation  S  entspricht  also  eine  (durch  die  Formeln 
(10)  definirte)  Collineation  der  Ebene,  die  ebenfalls  mit  S  be- 
zeichnet  werde. 

Der  Kreis  K  geht  bei  der  Collineation  8  in  sich  liber.  Denn 
dem  Punkte  X  des  Kreises  K  entspricht  die  Form  (7),  welche  bei 

(5^-v      j     /j       \  2 
u'+  —,  -  v'\    tibergeht,  so 
7\  +  ct    / 

dass  der  Punkt  X  durch  die  Collineation  S  in  den  Punkt 


(11) 


libergefiihrt   wird.     Da   hiernach   die   Punkte  0,    oo,  1  resp.   in 
p  =-  ,  q  =  -,  r  =  -  tibergehen,  so  entsprechen  den  Punkten, 

die  im  Innern  des  Dreiecks  01  oo  liegen,  die  Punkte  im  Innern  des 

Elementardreiecks  pqr.     Nennt  man  also  eine  Form  f  von  nega- 

c.  P.  9 


130  A.    HURWITZ. 

tiver  Determinante  "  reducirt,"  wenn  der  ihr  entsprechende  Punkt 
im  Innern  des  Dreiecks  01  oo  liegt,  so  folgt  aus  dem  Satze  II.  in 
No.  1: 

"Eine  reducirte  Form  kann  durch  die  Transformation  8  nur 
dann  wieder  in  eine  reducirte  Form  iibergehen,  wenn  die  Punkte 
0,  1,  oo  durch  die  entsprechende  Collineation  S  (oder  durch  die 
Transformation  (11))  sich  nur  untereinander  vertauschen." 

Offenbar  giebt  es,  abgesehen  von  der  identischen,  zwei  solche 
Transformationen  S,  namlich  diejenigen,  deren  entsprechende  Col- 
lineationen  die  Drehungen  T  und  T2  sind.  Man  hat  also  den 
Satz: 

Zwei  reducirte  Formen,  den  en  die  Punkte  P  und  Q  entsprechen, 
sind  dann  und  nur  dann  aequivalent,  wenn  der  Punkt  P  durch 
eine  der  Drehungen  T  und  T2  in  den  Punkt  Q  ubergeht. 

Abgesehen  vom  Mittelpunkt  0  des  Kreises  K,  gruppiren  sich 
die  Punkte  des  Dreiecks  01  oo,  und  dem  entsprechend  die 
reducirten  Formen,  vermb'ge  der  Drehungen  T  und  T2  zu  je  dreien, 
so  dass  die  drei  Formen  einer  Gruppe  zu  einander  aequivalent, 
dagegen  je  zwei  Formeu  aus  verschiedenen  Gruppen  inaequivalent 
sind. 

Stellt  man  die  Bedingungen  dafiir  auf,  dass  der  Punkt  a  :  b  :  c 
im  Innern  des  Dreiecks  01  oo  liegt,  so  erkennt  man,  dass  die 
Form 


reducirt  ist,  wenn  die  Ungleichungen 

6>0,     a-b>0,     c-b>0 

erfullt  sind*. 

Was  die  Formen  angeht,  die  durch  Punkte  auf  den  Seiten  des 
Dreiecks  01  oo  reprasentirt  werden,  so  sollen  dieselben  fortan 
ebenfalls  zu  den  reducirten  gezahlt  werden.  Man  zeigt  leicht, 
dass  diese  Formen  sich  in  Gruppen  von  je  sechs  anordnen,  so  dass 
jede  Form  den  Formen  derselben  Gruppe  aber  keiner  andern 
reducirten  Form  aequivalent  ist. 

*  Die  Definition  der  reducirten  Formen,  zu  welcher  die  Untersuchung  gefiihrt 
hat,  stimmt  hiernach  mit  der  von  E.  Selling  (Crelle's  Journal,  Bd.  77)  gegebenen 
iiberein. 


BINARE    QUADRATISCHE    FORMEN.  131 


3. 

Ich  bringe  jetzt  die  Theorie  der  Reduction  quadratischer 
Formen  mit  negativer  Determinante  zum  Abschluss,  indem  ich 
zeige,  dass  jede  Form  von  negativer  Determinante  einer  reducirten 
Form  aequivalent  ist,  oder — was  offenbar  dasselbe  ist — dass  jeder 
beliebig  im  Innern  des  Kreises  K  angenommene  Punkt  P  auf 
einer  Seite  oder  im  Innern  eines  Elementardreiecks  liegt.  Dabei 
werde  ich  zur  Abklirzung  von  einem  Punkte  P  sagen  "  er  liege 
liber  der  Seite  pq  des  Dreiecks  pqr,"  wenn  die  Punkte  P  und  r 
auf  verschiedenen  Seiten  von  pq  liegen.  Es  sei  jetzt  s0  diejenige 
Seite  des  Dreiecks  A0  =  01  oc ,  iiber  welcher  P  liegt.  Man  con- 
struire  dann  iiber  s0  das  von  A0  verschiedene  Elementardreieck 
Aj.  Liegt  nun  P  ausserhalb  des  Dreiecks  A1}  so  sei  Sj  diejenige 
Seite  von  A1}  iiber  welcher  P  liegt.  Man  construire  dann  iiber  Sj 
das  von  A!  verschiedene  Elementardreieck  A2  u.  s.  f.  Diese 
Construction  muss  nothwendig  zu  einem  Abschluss  fiihren,  d.  h. 
man  gelangt  schliesslich  nothwendig  zu  einem  Elementardreieck 
An,  auf  dessen  Begrenzung  oder  in  dessen  Innerem  der  Punkt  P 
liegt.  Denn  andernfalls  wiirde  den  Endpunkten  der  Seiten 
SQ,  «!,... sn,...  eine  unbegrenzte  Reihe  von  rationalen  Werthen 
TO,  ro'>  ri>  ri>--rn,  fn,-"  entsprechen  (so  dass  die  Seite  sn  die 
Verbindungslinie  rnrn'  ist). 

R  ?)  1 

Ist  nun  etwa  rn—~,  rn'  =  - ,  so  wird  rn'  —  rn=±  —  und  diese 
a  y  ay 

Differenz  sinkt  mit  wachsendem  n  unter  alle  Grenzen,  da   die 
Nenner  der  Zahlen  r0,  r0',  rly  r/,...  bestandig  zunehmen. 

Die  Lange  der  Sehne  sn  =  rnrn'  wiirde  also  mit  wachsendem  n 
unter  alle  Grenzen  sinken,  was  unmoglich  ist,  da  der  Punkt  P 
immer  zwischen  sn  und  dem  Kreise  K  liegt  und  von  dem  Kreise 
eine  endliche  Entfernung  besitzt. 


4. 

An  die  vorstehenden  Betrachtungen  kniipfe  ich  noch  einige 
Bemerkungen.  Da  jeder  Punkt,  der  im  Kreise  K  liegt,  in's  Innere 
oder  auf  eine  Seite  eines  Elementardreiecks  fallt  und  da  kein 
Elementardreieck  mit  dem  Dreieck  01  oo  und  folglich  auch  keine 

9—2 


132  A.    HURWITZ. 

zwei  Elementardreiecke  mit  einander  ein  Stuck  gemein  haben,  so 
folgt : 

"  Die  Elementardreiecke  erfullen  in  ihrer  Gesammtheit  gerade 
das  Innere  des  Kreises  K,  welches  sie  einfach  und  liickenlos 
bedecken." 

Denkt  man  sich  alle  Elementardreiecke  construirt,  so  hat  man 
dieselbe  Figur  vor  sich,  welche  Herr  Klein  gelegentlich  aus  der 
bekannten  Eintheilung  der  complexen  Zahlenebene,  die  der 
Theorie  der  Modulfunctionen  zu  Grunde  liegt,  hergeleitet  hat*. 
Aus  den  oben  entwickelten  Resultaten  lassen  sich  offenbar 
umgekehrt  die  wesentlichen  Eigenschaften  jener  Eintheilung  der 
complexen  Zahlenebene  ableiten. 

Was  die  Reduktion  der  Formen  von  positiver  Determinante 
angeht,  so  lasst  sich  dieselbe  nach  einer  von  Herrn  Hermite 
herriihrenden  Idee  auf  die  der  Formen  mit  negativer  Determinante 
zuriickfiihren.  Man  gelangt  dabei  zu  dieser  Definition : 

"  Eine  Form  mit  positiver  Determinante  heisst  reducirt,  wenn 
die  Polare  des  der  Form  entsprechenden  Punktes  in  das  Innere 
des  Dreiecks  01  oo  eintritt." 

Im  Anschluss  an  diese  Definition  kann  man  dann,  wie  ich 
hier  jedoch  nicht  weiter  ausfuhren  will,  die  Theorie  der  Formen 
mit  positiver  Determinante  (Pell'sche  Gleichung  etc.)  vollstandig 
entwickeln.  Dabei  tritt  dann  auch  die  grundlegende  Bedeutung 
der  Farey'schen  Reihen  hervor,  von  deren  Betrachtung  ich  bei 
dieser  ganzen  Untersuchung  urspriinglich  ausgegangen  bin. 

*  Klein-Fricke,  "Vorlesungen  iiber  die  Theorie  der  elliptischen  Modulfunc- 
tionen" (Leipzig,  1890)  Bd.  1,  pag.  239-242. 

ZURICH,  im  Mai  1893. 


THE    PRESENT    STATE    OF    MATHEMATICS*. 

BY 

FELIX  KLEIN  OF  GOTTINGEK 

THE  German  Government  has  commissioned  me  to  communicate  to 
this  Congress  the  assurances  of  its  good  will,  and  to  participate  in 
your  transactions.  In  this  official  capacity,  allow  me  to  repeat 
here  the  invitation  given  already  in  the  general  session,  to  visit 
at  some  convenient  time  the  German  University  exhibit  in  the 
Liberal  Arts  Building. 

I  have  also  the  honour  to  lay  before  you  a  considerable  number 
of  mathematical  papers,  which  give  collectively  a  fairly  complete 
account  of  contemporaneous  mathematical  activity  in  Germany. 
Reserving  for  the  mathematical  section  a  detailed  summary  of 
these  papers,  I  mention  here  only  certain  points  of  more  general 
interest. 

When  we  contemplate  the  development  of  mathematics  in  this 
nineteenth  century,  we  find  something  similar  to  what  has  taken 
place  in  other  sciences.  The  famous  investigators  of  the  preceding 
period,  Lagrange,  Laplace,  Gauss,  were  each  great  enough  to 
embrace  all  branches  of  mathematics  and  its  applications.  In 
particular,  astronomy  and  mathematics  were  in  their  time  regarded 
as  inseparable. 

With  the  succeeding  generation,  however,  the  tendency  to 
specialisation  manifests  itself.  Not  unworthy  are  the  names  of  its 
early  representatives :  Abel,  Jacobi,  Galois  and  the  great  geometers 
from  Poncelet  on,  and  not  inconsiderable  are  their  individual 
achievements.  But  the  developing  science  departs  at  the  same 
time  more  and  more  from  its  original  scope  and  purpose  and 
threatens  to  sacrifice  its  earlier  unity  and  to  split  into  diverse 
branches.  In  the  same  proportion  the  attention  bestowed  upon  it 
by  the  general  scientific  public  diminishes.  It  became  almost  the 
custom  to  regard  modern  mathematical  speculation  as  something 

*  Remarks  made  at  the  opening  of  the  Congress  on  Mathematics  and  Astronomy. 


134  FELIX   KLEIN. 

having  no  general  interest  or  importance,  and  the  proposal  has 
often  been  made  that,  at  least  for  purpose  of  instruction,  all  results 
be  formulated  from  the  same  standpoints  as  in  the  earlier  period. 
Such  conditions  were  unquestionably  to  be  regretted. 

This  is  a  picture  of  the  past.  I  wish  on  the  present  occasion 
to  state  and  to  emphasise  that  in  the  last  two  decades  a  marked 
improvement  from  within  has  asserted  itself  in  our  science,  with 
constantly  increasing  success. 

The  matter  has  been  found  simpler  than  was  at  first  believed. 
It  appears  indeed  that  the  different  branches  of  mathematics  have 
actually  developed  not  in  opposite,  but  in  parallel  directions,  that 
it  is  possible  to  combine  their  results  into  certain  general  concep- 
tions. Such  a  general  conception  is  that  of  the  function,  in  par- 
ticular that  of  the  analytical  function  of  the  complex  variable. 
Another  conception  of  perhaps  the  same  range  is  that  of  the 
Group,  which  just  now  stands  in  the  foreground  of  mathematical 
progress.  Proceeding  from  this  idea  of  groups,  we  learn  more  and 
more  to  coordinate  different  mathematical  sciences.  So,  for  ex- 
ample, geometry  and  the  theory  of  numbers,  which  long  seemed 
to  represent  antagonistic  tendencies,  no  longer  form  an  antithesis, 
but  have  come  in  many  ways  to  appear  as  different  aspects  of  one 
and  the  same  theory. 

This  unifying  tendency,  originally  purely  theoretical,  comes 
inevitably  to  extend  to  the  applications  of  mathematics  in  other 
sciences,  and  on  the  other  hand  is  sustained  and  reinforced  in 
the  development  and  extension  of  these  latter.  I  assume  that 
detailed  examples  of  this  interchange  of  influence  maybe  not  without 
various  interest  for  the  members  of  this  general  session,  and  on 
this  account  have  selected  for  brief  preliminary  mention  two  of 
the  papers  which  I  have  later  to  present  to  the  mathematical 
section. 

The  first  of  these  papers  (from  Dr.  Schonflies)  presents  a  review 
of  the  progress  of  mathematical  crystallography.  Sohncke,  about 
1877,  treated  crystals  as  aggregates  of  congruent  molecules  of  any 
shape  whatever,  regularly  arranged  in  space.  In  1884  Fedorow 
made  further  progress  by  admitting  the  hypothesis  that  the 
molecules  might  be  in  part  inversely  instead  of  directly  congruent. 
In  the  light  of  our  modern  mathematical  developments  this  pro- 
blem is  one  of  the  theory  of  groups,  and  we  have  thus  a  convenient 
starting-point  for  the  solution  of  the  entire  question.  It  is  simply 


PRESENT    STATE    OF   MATHEMATICS.  135 

necessary  to  enumerate  all  discontinuous  groups  which  are  con- 
tained in  the  so-called  chief  group  of  space-transformations. 
Dr.  Schb'nflies  has  thus  treated  the  subject  in  a  text-book  (1891) 
while  in  the  present  paper  he  discusses  the  details  of  the  historical 
development. 

In  the  second  place,  I  will  mention  a  paper  which  has  more 
immediate  interest  for  astronomers,  namely,  a  resumi  by  Dr. 
Burkhardt  of  "The  Relations  between  Astronomical  Problems  and 
the  Theory  of  Linear  Differential  Equations."  This  deals  with 
those  new  methods  of  computing  perturbations,  which  were 
brought  out  first  in  your  country  by  Newcomb  and  Hill ;  in 
Europe,  by  Gylden  and  others.  Here  the  mathematician  can  be 
of  use,  since  he  is  already  familiar  with  linear  differential  equations 
and  is  trained  in  the  deduction  of  strict  proofs ;  but  even  the 
professional  mathematician  finds  here  much  to  be  learned.  Hill's 
researches  involve  indeed, — a  fact  not  yet  sufficiently  recognised, — 
a  distinct  advance  upon  the  current  theory  of  linear  differential 
equations.  To  be  more  precise,  the  interest  centres  in  the  repre- 
sentation of  the  integrals  of  a  differential  equation  in  the  vicinity 
of  an  essentially  singular  point.  Hill  furnishes  a  practical  solution 
of  this  problem  by  the  aid  of  an  instrument  new  to  mathematical 
analysis, — the  admissibility  of  which  is,  however,  confirmed  by 
subsequent  writers, — the  infinitely  extended,  but  still  convergent, 
determinant. 

Speaking,  as  I  do,  under  the  influence  of  our  Gb'ttingen  tradi- 
tions, and  dominated  somewhat,  perhaps,  by  the  great  name  of 
Gauss,  I  may  be  pardoned  if  I  characterise  the  tendency  that  has 
been  outlined  in  these  remarks  as  a  return  to  the  general  Gaussian 
programme.  A  distinction  between  the  present  and  the  earlier 
period  lies  evidently  in  this :  that  what  was  formerly  begun  by  a 
single  master-mind,  we  now  must  seek  to  accomplish  by  united 
efforts  and  cooperation.  A  movement  in  this  direction  was  started 
in  France  some  time  since  by  the  powerful  influence  of  Poincare'. 
For  similar  purposes  we  three  years  ago  founded  in  Germany  a 
mathematical  society,  and  I  greet  the  young  society  in  New  York 
and  its  Bulletin  as  being  in  harmony  with  our  aspirations.  But 
our  mathematicians  must  go  further  still.  They  must  form 
international  unions,  and  I  trust  that  this  present  World's  Con- 
gress at  Chicago  will  be  a  step  in  that  direction. 


UBER   DIE   ENTWICKLUNG   DER   GRUPPEN- 

THEORIE    WAHREND  DER    LETZTEN 

ZWANZIG  JAHRE. 

VON 

FELIX  KLEIN  IN  GOTTINGEN. 
Referat. 

REDNER  gab  in  der  Hauptsache  ein  Referat  iiber  die  von  ihm 
im  vergangenen  Sommer  in  Gb'ttingen  gehaltene  Vorlesung ;  diese 
Vorlesung  wird  in  derselben  Weise,  wie  in  frliheren  Fallen 
geschehen,  in  autographirter  Form  publicirt  werden.  Des  Fer- 
neren  schilderte  derselbe  mit  einigen  Worten  das  in  Gottingen 
angenommene  System  des  mathematischen  Unterrichts.  Soweit 
die  Ausbildung  der  kiinftigen  Lehrer  in  Betracht  kommt,  wird 
aller  Nachdruck  auf  die  physikalischen  und  astronomischen 
Anwendungen  der  Mathematik  gelegt.  Es  besteht  die  Absicht, 
im  gleichen  Sinne  spaterhin  auch  noch  die  technischen  Anwend- 
ungen heranzuziehen.  Aus  allgemeinen  Griinden  wiirde  Redner 
eine  Vereinigung  der  Polytechnika  mit  den  Universitaten  wiin- 
schen.  Da  aber  die  Durchfiihrung  einer  solchen  Massregel  wegen 
praktischer  Schwierigkeiten  kaum  zu  erhoffen  ist,  so  sollte  man 
zum  Mindesten  Einrichtungen  treffen,  vermoge  deren  der  gelernte 
Techniker  seine  mathematisch-physikalische  Bildung  vervoll- 
standigen  kann,  wahrend  gleichzeitig  der  Mathematiker  oder 
Physiker  Anleitung  erhalt,  in  die  technischen  Probleme  einzu- 
dringen.  Denn  es  ist  keine  Frage,  dass  bei  der  fortschreitenden 
Entwicklung  unserer  Cultur  immer  mehr  solche  Manner  gebraucht 
werden,  welche  gleichzeitig  nach  technischer  Seite  wie  nach 
mathematisch-physikalischer  Seite  im  Vollbesitz  der  wissen- 
schaftlichen  Pramissen  sind. 


ZUR  TRANSFORMATION  FUNFTEN  GRADES 

DER  HYPERELLIPTISCHEN  FUNCTIONEN 

ERSTER  ORDNUNG. 

VON 
M.  KRAUSE  IN  DRESDEN. 

DAS  Problem  Transformationsgleichungen  aufzustellen  hat  im 
Falle  der  hyperelliptischen  Functionen  erster  Ordnung  bisher  nur 
in  wenigen  Fallen  gelb'st  werden  kb'nnen.  Im  folgenden  soil 
gezeigt  werden,  wie  auf  Grund  von  Additionstheoremen  von  der 
Art,  wie  sie  in  §  50  meines  Lehrbuchs  liber  die  Transformation 
der  hyperelliptischen  Functionen  erster  Ordnung  (Leipzig,  1886) 
sich  finden,  mit  leichter  Mlihe  Transformationsgleichungen  in 
irrationaler  Form  aufgestellt  werden  konnen  und  zwar  beschran- 
ken  wir  uns  hierbei  auf  den  Fall  des  Grades  n  =  5.  Setzt  man  : 


9*r*>  nru,  nrl2,  nra 

wtvflriTjr+ftiv  -     o 

W  =  e    n  .        r-1,2 

so   ergiebt  die   Verbindung   von    Gleichung   (5)   pag.    233   und 
Gleichung  (14)  pag.  235  im  citierten  Werke  das  Theorem  : 


r«'e)~l 

g. 

L   Z   J 


...  (1), 


wobei  die  Beziehungen  stattfinden  : 


2wrw  =  ael  .  vrv  +  ae2  .  vr(2}  +  .  .  .  aem  .  vr™  +  oel  .  a^1'  +  ...atm.  OT™, 
grw  =  afl  .  mi  .  Sr(1)  +  ae2  .  m2  .  Sr®  +...atm.mm.  Sr(n}  mod  2n«. 

Die  Grossen  /S  sind  willktirliche  ganze  Zahlen,  die  Grossen  a 
konnen  die  Werte  0  und  1  annehmen,  die  Grossen  a  sind  ganze 
Zahlen,  die  den  Gleichungen  Geniige  leisten  : 


138  M.    KRAUSE. 


ml  .  ael  +  m2  .  at.2  +  .  .  .  mm  .  aem  =  nt, 

ml  .  ael  .  aKl  +  m.2  .  ae2  .  a«  +  .  .  .  mm  .  atm  .aKm  =  0,         e  ^  K. 

€  =  1,  2,  ...  m,         K  =  1,  2,  ...  m. 

Es  gentigt  hiernach  zur  Aufstellung  des  Additionstheoremes 
die  Kenntnis  der  Grossen  me,  ne  und  der  Zahlen  a.  In  der 
Bestimmung  der  letzteren  Hegt  die  Schwierigkeit  des  Problems. 
Konnen  wir  dieselben  so  bestimmen,  dass  die  Grossen  mf  und  ne 
entweder  gleich  1  oder  gleich  n  sind,  so  erhalten  wir  durch 
Nullsetzen  der  Argumente  unmittelbar  Transformationsgleichun- 
gen.  Wir  konnen  aber  noch  weiter  gehen.  Die  Transformation 
2ten,  4ten  allgemein  2pten  Grades  kann  im  wesentlichen  als 
gelost  angenommen  werden,  da  hier  ein  bekannter  Algorithmus 
zum  Ziele  fiihrt.  Unter  solchen  Umstanden  werden  wir  auch 
dann  durch  Nullsetzen  der  Argumente  zu  Transformationsglei- 
chungen  gelangen,  wenn  die  Grossen  me  und  ne  die  Werte 

2?  und  2'n 

besitzen.  Gerade  hierfiir  sollen  einige  Beispiele  angegeben  wer- 
den und  zwar  beschranken  wir  uns  auf  Modulargleichungen. 
Die  Formen,  welche  diese  Gleichungen  annehmen,  sind,  vollig 
ausgefuhrt,  teilweise  umstandlicher  Natur.  Es  lassen  sich  aus 
ihnen,  vor  allem  mit  Hiilfe  von  Substitution  halber  Perioden, 
elegantere  Darstellungen  von  Modulargleichungen  fiuden.  Es 
soil  das  an  anderem  Orte  durchgefiihrt  werden,  nur  an  einem 
Beispiel  soil  gezeigt  werden,  wie  die  Untersuchung  anzustellen  ist. 
Die  Theoreme  lauten  nun  : 


wobei  die  Grossen  m  und  n  die  Werte  besitzen  : 

m1  =  1,  m2  =  2,  w3  =  5  ;  nx  =  2,  n2  =  4,  n3  =  20, 

und  die  Grossen  w  und  g  aus  dem  Schema  der  Grossen  a  bestimmt 

sind  : 

111 

31-1 
5-5         1. 


,wer))  ......  (3), 

=  !,  m2  =  5,  m3  =  10  ;  nx  =  4,  n2  =  10,  n3  =  20. 


HYPERELLIPTISCHE   FUNCTIONED  139 

Das  Schema  der  Grbssen  a  lautet  : 
111 
5         1-1 
5     -3         1. 


j  =  1,  7n2  =  2,  w3  =  5,  m4  =  10  ;  Wi  =  2,  r?2  =  4,  n3  =  10,  n4  =  20. 
Das  Schema  der  Grossen  a  lautet  : 

1110 
2-1  0-1 
5  0-1  1 
0-5  2  1. 

((W.,».T))  ......  (5), 


m1  =  m2  —  m3=  m4  =  1,  m5  =  ra6  =  1 ; 
n  =n  =2  n  =n  =  4,  n5  =  w6  =  20. 
Das  Schema  der  Grossen  a  lautet : 

011110 
-101-101 
0311-10 
3  0  1-1  0-1 
0  5-5-5  1  0 
5  0-5  5  0  1. 

Mit  diesem  Additionstheorern  hangt  aufs  engste  das  folgende 
zusammen : 

46 .  n^5  ((v(f},  mfrj)  =  2IIS-5    -=r-    ((w(e),  ner 

L  2  J 

wij  =  mz  =  m3  =  m4  =  5,  ms  =  m6  =  1, 
7^  =  712  =  10,  w3  =  nt  =  20,  ns  =  w6  =  4. 
Das  Schema  der  Grossen  a  lautet : 


0 

1 

1 

1 

5 

0 

1 

0 

1 

-1 

0 

5 

0 

3 

1 

1 

-5 

0 

3 

0 

1 

-1 

0 

-5 

0 

1 

-1 

-1 

1 

0 

1 

0 

-1 

1 

0 

1. 

140  M.    KRAUSE. 


,  mer))  =  2I1*6  ((«,<•>,  n,r))  ......  (7), 


ml  =  m2  =  m3  =  ra4  =  1,  w5  =  m9  =  m7  =  ms  =  5, 
H!  =  n2  —  2,  ns  =  w4  =  4,  rc5  =  na  =  10,  n7  =  ns  =  20. 

Die  Zahlen  a  sind  aus  dera  Schema  bekannt  : 


0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

0 

1 

0 

1 

-1 

0 

1 

0 

0 

0 

2 

-1 

-1 

0 

0 

-1 

-1 

2 

0 

-1 

1 

0 

0 

1 

-1 

5 

0 

0 

0 

0 

1 

-1 

1 

.0 

5 

0 

0 

-1 

0 

1 

1 

0 

0 

-5 

-5 

2 

0 

1 

1 

0 

0 

—  5 

5 

0 

2 

-1 

1. 

So  kb'nnten  wir  welter  gehen,  indessen  mogen  diese  Beispiele 
genligen,  um  die  Fruchtbarkeit  der  Methode  klar  zu  legen. 
Setzen  wir  in  den  Theoremen  die  Argumente  gleich  Null,  so 
erhalten  wir  Modulargleichungen,  aus  denen  nach  bekannten 
Prinzipien  neue  Gleichungen  abgeleitet  werden  konnen. 

Es  soil  nun  an  dem  ersten  Additionstheorem  gezeigt  werden, 
wie  mit  Hiilfe  der  Substitution  halber  Perioden  wesentlich 
einfachere  Formen  erhalten  werden  konnen. 

In  der  That  ausfuhrlicher  geschrieben  lautet  das  Additions- 
theorem  : 


2«  .  11^  ((vw,  TO.T))  = 

mi  =1,  m2  =  2,  ms  =  5  ;  ^  =  2,  na  —  4,  n3  =  20, 


2wr<2>  =  3wrw  +  vr(2)  -  -yr<3>  +  3ar<» 
2wr<3>  =  5vr(1>  -  5ur<2)  +*v(3)  +  5ar(1»  -  5ar<2>  +ar(3), 
2wr<3>  =  5t>r«  -  5flr<2>  +  vr<3>  +  5ar<J>  -  5ar<2>  +  c^*3*, 
^r<])  =  «rc)  +  2sr'2>  +  5sr<3>  mod  4, 
^r(2»  =  3sr«  -I-  2sr<2'  -  5«r<3>  mod  8, 
#r<3>  =  5sr<a>  -  10sr<2>  +  55r<3'  mod  40. 

Aus  den  letzten  Congruenzen  folgt  : 

a  <3>  3tf  <3> 

^rrw  =     -  mod  4,  #r<2>  =       -  mod  6,  gr®  =  0  mod  5. 


HYPERELLIPTISCHE   FUNCTIONEN.  141 

Setzen  wir  an  Stelle  von  : 

Vlw}  Vl(3)  resp. 

Vi(1)  +  £,  V'-i- 
so  erhalten  wir  : 


Genau  so  wird  : 


Setzen  wir  daher  : 

/,  =  *5  ((w<2>,  2r))  2*«  ((»«  ,  r))  X  ((v®,  5r)),  a  =  5,  12,  34,  0, 

a 

so  wird  : 


(8), 


wobei  die  Grossen  <je  ganze  Zahlen  sind,  die  den  Congruenzen 
Geniige  leisten: 

a  <3>  a  <3> 

^w  =  %-  mod  2,  gr<2>  +  ^-  =  0  mod  4,  gr<3>  =  0  mod  5. 
o  o 

Diese  Form  ist  schon  bedeutend  einfacher,  wie  die  urspriing- 
liche,  wir  kb'nnen  aber  noch  einen  Schritt  weiter  gehen.  Wir 
setzen  an  Stelle  von  : 

Vi(1),  *>i(2),  Vi(3),  v2(1),  *V2>,  w2<3'  resp. 

V  W    +  li.1      7)  (2)  4-  T        7.  (3)  +  §ZS      7,  W  4-  —       W  <2>  4-  T,       W  (3)  4-  —  ? 
"l          T^     O     >    "l  «     Tll  >    Ul  O        )    "2  r     f\      i    V2          T^    '12  >    U2  I         o       ' 

so  andern  sich  wx(1),  w2(1)  resp.  um  2rn,  2r12. 
Unter  solchen  Umstanden  erhalten  wir  : 

2^  ./2  =  2,-^™+-  w+-«w  ro5  [flw]  ((«,<•>,  n.T))  ......  (9), 

wobei  gesetzt  ist  : 
/,  =  *«  ((^(2),  2r))  2  ±  ^  ((««,  r))  %  ((»»,  5r)),    ax  =  01,  02,  2,  1, 

und  das  negative  Zeichen  fur  «j  =  02,  1,  das  positive  fur  c^  =  01,  2 
zu  wahlen  ist. 


142  M.    KRAUSE. 

Genau  so  wird  : 

2^/3  =  S(_^(1)^(3)^(3)  II*.[fl«]((wM,»,T))  ...  (10), 
wobei  gesetzt  ist  : 
/.  =  *4  ((v®,  2r))  2  ±  *„  ((««,  r))  V  ((z;<3>,  5r)),    a,  =  4,  03,  3,  04, 

und  das  negative  Zeichen  fur  a2  =  3,  04,  das  positive  fur  o^  =  4,  03 
zu  setzen  ist. 

Ebenso  folgt  : 

2*./4  =  2(_1)-.0)+«iw+«iw+«.a)+-.(2)+«.w>  n^5  [0M]  ((ww,  W.T))  ...  (11), 
wobei  gesetzt  ist  : 
/«  =  ^23  ((^(2),  2r))  2  ±  ^  ((«(1),  T))  ^  ((«<3»,  or)),    a3  =  23,  13,  24,  14, 

und  das   negative   Zeichen   fiir  as=13,  24,  das   positive  fur  as 
=  23,  14  zu  nehmen  ist. 

Aus  den  erhaltenen  Gleichungen  folgt  : 

4  (/i  -/,  -/•  +/«)  =  2'n^5  bfW]  ((«,«,  «,T))  ......  (12), 

wobei  der  Strich  an  der  Summe  bedeutet,  dass  nur  liber  diejeni- 
gen  a  zu  summieren  ist,  fiir  welche  sowohl  : 

a^'+a 
als  auch  : 


ungerade  Zahlen  sind.  Es  ist  dieses  die  Schlussform,  die  wir 
erhalten  wollten.  Setzen  wir  die  Argumente  gleich  Null,  so 
erhalten  wir  eine  Modulargleichung,  welche  das  Analogon  zu  der 
bekannten  Modulargleichung  der  elliptischen  Functionen  ist  : 


DRESDEN,  Juli,  1893. 


CONSIDERATIONS  GENERALES  SUR  LA  MESURE 

DE    LA    SIMPLICITE     DANS    LES    SCIENCES 

MATHEMATIQUES     ET     APPLICATION     A 

L'EVALUATION    THEORIQUE    DE   LA 

SIMPLICITE    DES   TRACES 

GEOMETRIQUES,      OU 

GEOMETROGRAPHIE. 

PAR 
EMILE   LEMOINE  A  PARIS. 

I.  UNE  verite  mathematique  n'est  ni  simple  ni  compliquee  en 
soi,  elle  est.  Ce  qui  nous  fait  la  regarder  comme  simple  ou  comme 
compliquee,  c'est  le  chemin  court  ou  long  que  notre  esprit,  en 
partant  de  verites  experimentales,  de  notions  e'lementaires  ou 
d'axiomes  admis — denominations  qui,  au  fond,  a  mon  avis,  repre- 
sentent  exactement  la  meme  chose — a  dii  parcourir  pour  y  arriver. 
II  me  semble  qu'il  serait  fort  interessant  d'etudier  ces  voies  et 
d'6valuer  la  longueur  de  celle  qui  est  necessaire,  a  un  moment  du 
developpement  scientifique  de  1'esprit  humain,  pour  arriver  a  la 
connaissance  d'une  verite  mathematique  quelconque.  Le  moyen 
que  nous  allons  indiquer  pour  cela,  est  facile  a  employer,  mais 
Fceuvre  exigerait  un  travail  considerable,  si  Ton  voulait  qu'elle 
soit  achevee ;  nous  nous  proposons,  dans  ce  travail,  d'appliquer 
1'idee  theorique  qui  nous  guide  a  un  petit  domaine  de  la  con- 
naissance :  I' etude  des  traces  geometriques  et  de  montrer  1'importance 
et  I'inattendu  des  resultats  pratiques  qui  sortiront  d'une  etude 
toute  speculative.  Avant  d'aborder  notre  sujet  nous  voulons 
cependant  exposer  brievement  quelques  considerations  gdnerales. 

Soient  A,  B,  C,  etc.  les  verites  experimentales  ou  notions  ele'men- 
taires  admises  comme  base  d'une  science  mathe'matique  de'terminee, 
laquelle  doit  s'en  deduire  ensuite  par  raisonnements.  Tous  les 
theoremes  qui  constituent  cette  science  se  deduiront  de  A,B,C,  ... 
par  voie  syllogistique,  voie  qui,  debarrassee  de  1'appareil  de  la 
logique  scolastique  du  moyen  age,  est  la  seule  admise  dans  une 
science  mathematique. 


144  EMILE  LEMOINE. 

Les  th^oremes  qui  dependent  imme'diatement  de  A,  B,  C  ... 
seront  dits  du  premier  ordre ;  ceux  qui  ne  dependent  que  de 
A, By  G ...  et  de  ceux  du  premier  ordre  seront  dits  du  second  ordre 
etc.  Ceux  qui  ne  dependent  que  de  A,  B,  C  ...  et  de  ceux  d'ordre 
n  et  d'ordre  plus  petit  que  n,  seront  dits  du  (n  +  l)me  ordre. 

Dans  le  tableau  general  d'une  science  matMmatique,  nous 
dirons  que  la  simplicite  absolue  d'une  proposition  ne  depend  que 
de  son  ordre,  et  que  la  simplicite  relative  ne  depend,  quel  que  soit 
son  ordre,  que  du  nombre  d'e'le'ments  syllogistiques — elements  que 
nous  definirons  plus  loin — qu'il  a  fallu  pour  I'e'tablir,  en  comptant 
alors  tout  thdoreme  pre'cedemment  de'montre'  comme  s'il  etait  une 
notion  elementaire.  II  est  Evident  que  Ton  peut  de'duire  de  la  un 
moyen  d'apprecier  la  valeur  didactique  des  me'thodes  employees 
pour  1'exposition  d'une  science  mathematique  et,  jusqu'a  un  cer- 
tain point,  une  sorte  d'echelle  d'avancernent  de  cette  science. 
Tout  cela  est,  comme  Ton  voit,  fort  simple  en  theorie,  mais  se 
complique  singulierement  des  qu'on  veut  1'appliquer.  II  faut 
d'abord  re'duire  la  demonstration  de  chaque  theoreme  a  une 
deduction  n'employant  que  des  syllogismes  simples,  des  sorites, 
des  poly  syllogismes  et  ce  n'est  pas  ainsi,  du  moms  dans  la  forme, 
que  precede  le  langage  mathematique. 

Prenons  pour  exemple  le  premier  theoreme  de  la  Geom6trie, 
(ordre  d'exposition  adopte"  par  Legendre). 

Voici  la  demonstration  textuelle  que  nous  trouvons  dans  le 
Traite  de  gdometrie  Elementaire  de  MM.  Rouch^  et  de  Combe  - 
rousse  (6me  edition,  1891,  page  7),  trait^  tres  universellement 
suivi  en  France. 

"Par  un  point  A,  pris  sur  une  droite  DC,  on  peut  toujours 
Clever  une  perpendiculaire  AB  sur  cette  droite  et  on  ne  peut  en  Clever 
qu'une. 


\ 


A 

Fig.  1. 


En  effet  supposons  qu'une  droite  AE  fig.  (1)  d'abord  appliquee 
sur  AC,  tourne  autour  du  point  A   dans  le  sens  de  la  fleche. 


GEOMETROGRAPH1E.  145 

L'arigle  EAC,  nul  au  debut,  croitra  constamment,  tandis  que 
Tangle  adjacent  EAD  diminuera  sans  cesse  et  finira  par  s'annuler 
lorsque  la  droite  viendra  s'appliquer  sur  AD.  Done  Tangle  EAC, 
d'abord  inferieur  a  Tangle  EAD,  differera  de  moins  en  moins  de 
cet  angle,  lui  deviendra  egal,  puis  le  surpassera  de  plus  en  plus. 
D'apres  cela,  parmi  les  positions  successives  de  la  droite  AE,  il 
y  en  aura  une,  et  une  seule,  AB,  pour  laquelle  les  angles  adja- 
cents  BAG,  BAD  seront  dgaux,  c'est-a-dire  pour  laquelle  cette 
droite  sera  perpendiculaire  sur  DC" 

Voici  maintenant  cette  demonstration  raise  sous  forrne  syllogis- 
tique. 

J'imagine  une  droite  AE  d'abord  appliqude  sur  AC  et  je 
suppose  que  cette  droite  tourne  autour  du  point  A  dans  le  sens 
de  la  fleche;  je  considere  a  chaque  instant  du  mouvement  les 
deux  angles  EAC,  EAD. 

lre  PREMISSE. 

Lorsque  deux  quantites  ou  grandeurs  qui  varient  en  meme 
temps  d'unefapon  continue,  sont  telles  que  la  premiere,  partant  de 
zero,  croit  constamment,  tandis  que  la  seconde  de'croit  constam- 
ment et  arrive  a  zero,  il  y  a  toujours  une  valeur  et  une  seule  pour 
laquelle  les  deux  quantite's  sont  egales. 

2me  PREMISSE. 

Les  angles  EAC,  EAD  sont  deux  grandeurs  remplissant  ces 
conditions. 

CONCLUSION. 

Done:  II  y  a  toujours  une  position  AB  de  AE  pour  laquelle 
les  deux  angles  sont  egaux  et  cette  position  est  unique.  C.  q.  f.  d. 

La  demonstration  pre'cedente  comprend,  comme  toutes  les 
demonstrations  ge'ometriques  raises  sous  la  forme  syllogistique, 
deux  parties  bien  distinctes,  que  j'appelle  P  et  P'. 

Dans  P,  on  constate  ou  Ton  verifie  que  les  donnees  se  trouvent 
dans  certaines  conditions,  apres  avoir  fait  certaines  hypotheses  ou 
certaines  constructions  auxiliaires. 

Dans  P',  ces  conditions  constatees,  Ton  se  sert  de  premisses 
desquelles  on  conclut  le  theoreme  cherche,  soit  par  un  syllogisme 
simple,  soit  par  une  suite  de  syllogismes. 

En  ramenant  ainsi  les  demonstrations  a  la  forme  syllogis- 
C.P.  10 


146  EMILE   LEMOINE. 

tique,  on  voit  d'une  fa9on  tres  claire  quels  sont  les  objets  mathe'- 
matiques  dont  il  faut  avoir  les  definitions  et  quelles  sont  les 
notions  dUmentaires  que  Ton  admet,  definitions  et  notions  qui 
forment  la  base  de  la  science. 

Dans  1'exemple  que  nous  venons  de  traiter,  la  partie  P  montre 
que  Ton  admet  une  definition  du  point,  de  la  ligne  droite,  de 
I'angle  et  que  Ton  accepte  comme  notion  elementaire  1'idde  de 
mouvement  et  celle  de  continuity. 

La  partie  P'  est  un  simple  syllogisme  dont  le  premier  terme 
est  la  notion  elementaire :  "  Lorsque  deux  quantites  ou  grandeurs 
etc." 

La  simplicite  absolue  ou  I'ordre  de  la  proposition  de'montree 
est  evidemment  1 ;  cherchons  sa  simplicite'  relative. 

Nous  avons  dit  que  la  simplicite  relative  d'une  proposition 
depend  du  nombre  d' elements  syllogistiques  qu'il  a  fallu  pour 
1'etablir,  mais  nous  n'avons  pas  defini  ce  que  nous  appelons  un 
element  syllogistique. 

J'appelle  element  syllogistique  une  quelconque  des  parties  con- 
stitutives  d'un  syllogisme  simple  ou  compose  et  aussi  chaque 
constatation  necessaire  pour  ramener  les  donnees  a  entrer  dans  le 
syllogisme. 

Dans  1'exemple  que  nous  venons  de  donner  la  partie  P  \ 
"J'imagine  une  droite  AE  d'abord  appliquee  etc."  comptera 
pour  un  element  syllogistique  puisque  c'est  une  simple  constatation. 
La  partie  P',  qui  est  un  syllogisme  simple,  comptera  pour  3, 
puisque  le  syllogisme  simple  comprend  trois  elements  savoir: 
deux  premisses  et  une  conclusion. 

La  simplicite  relative  de  la  proposition  de'montree  est  done  4. 
Ce  qui  precede  est  fort  simple  mais,  quoique  le  deVeloppemeut  de 
1'idee  que  nous  avons  emise  complique  rapidement  les  choses,  cela 
suflfit  pour  montrer  clairement  la  marche  a  suivre  et  c'est  tout  ce 
que  nous  voulons  faire  ici. 

GEOME"TROGRAPHIE  ou  ART  DES  CONSTRUCTIONS  GEOME"TRIQUES. 

II.  Une  idee  analogue  a  celle  que  nous  venons  de  resumer 
pour  I'e'tude  des  raisonnements  dans  les  sciences  mathe'matiques, 
donne  lieu  a  un  moyen  tres  simple  de  comparer  entre  eux,  a  un 
point  de  vue  spe'culatif,  les  trace's  geome'triques,  et  conduit  a  une 


GEOMETROGRAPHIE.  147 

sorte  devaluation  de  leur  simplicite  et  de  la  probabilite  de  leur 
exactitude  dont  la  pratique  peut  profiter  d'une  fa9on  certainement 
inattendue,  puisque  nous  allons  montrer  par  son  intermediate  que 
les  trace's  donne's  seculairement  dans  toutes  les  geometries  elemen- 
taires  depuis  les  Grecs,  sont  trop  compliques  et  que  nous  en 
donnerons  de  plus  simples,  meme  pour  mener  par  un  point  une 
parallele  a  une  droite. 

Pour  etablir  notre  theorie  nous  nous  pla9ons  a  un  point  de  vue 
tout  a  fait  speculatif;  nous  n'avons  nullement  la  pensde — que 
nous  croyons  du  reste  impossible  a  realiser — de  suivre  la  pratique 
manuelle  du  trace,  nous  faisons  des  conventions  particulieres,  nous 
admettons  des  hypotheses  avec  lesquelles  nous  ^difions  la  Geome- 
trographie.  De  meme  que  des  conventions  et  des  hypotheses  ont 
permis  de  creer  la  Mecanique  rationnelle  qui,  quoique  toute  specu- 
lative par  rapport  a  1'art  de  1'ingenieur,  vient  cependant  souvent 
guider  le  praticien,  de  meme — si  parva  licet  componere  magnis — 
la  Geometrographie  speculative  guidera  utilement  celui  qui  trace 
une  epure. 

Jusqu'ici  en  Geometric  on  ne  s'est  occupe  que  de  la  simplicite 
de  I'enonce  d'une  construction ;  au  point  de  vue  de  1'exposition  de 
la  Geome'trie  c'est  ce  qu'il  faut  evidemment  continuer  a  faire; 
nous  n'avons  point  d'autre  ideal  a  proposer,  et  si  par  exemple, 
etant  donne  une  figure  dans  laquelle  il  existe  deux  points  A  et  B 
(determines  thdoriquement  quand  la  figure  a  laquelle  ils  appar- 
tiennent  est  donnde,  mais  qui  soient  compliques  a  fixer  le  compas 
a  la  main),  Ton  cherche  un  certain  point  inconnu  N  nous  dirons 
bien  que  la  solution  est  simple  didactiquement  si  le  g^ometre 
nous  demontre  que  N  est  au  milieu  de  AB,  mais  la  fixation  de  ce 
point  N  en  partant  des  donnees,  peut  etre  fort  compliquee  s'il 
faut  d'abord  laborieusement  placer  les  points  A  et  B  considered 
comme  donnes  parce  que  Ton  sait  qu'il  est  possible  de  les  determiner. 
L'on  s'est  toujours  occupe  de  ce  genre  de  simplicite,  jamais  de  celle 
du  trace  reel  et  c'est  elle  que  nous  envisageons  exclusivement  ici. 
Nous  la  conside'rons,  d'ailleurs,  avons-nous  dit,  a  un  point  de 
vue  tout  speculatif  puisque  nous  supposons  tous  les  traces  de 
droites  et  de  cercles  egalement  faciles,  c'est  notre  hypothese 
fondamentale  et  elle  implique  que  les  instruments  sont  aussi 
petits  ou  aussi  grands  qu'il  est  necessaire,  que  la  feuille  d  'epure 
a  aussi  toujours  les  dimensions  qui  sont  utiles,  que  les  points 

10—2 


148  EMILE  LEMOINE. 

determines  par  1'intersection  de  deux  lignes  sont  aussi  bien 
d^termin^s  lorsque  Tangle  de  ces  deux  lignes  est  tres  aigu  que 
lorsqu'il  est  droit ;  nous  ne  compterons  pas  diffe'remment  une  tres 
petite  portion  traced  de  droite  ou  une  tres  grande,  un  petit  arc 
ou  le  cercle  tout  entier.  Donnons  maintenant  le  tres  court 
expose  de  notre  thdorie. 

Avec  une  regie,  au  point  de  vue  du  trace,  on  ne  peut  faire  que 
deux  operations  elementaires: 

1°  Faire  passer  le  bord  de  la  regie  par  un  point ;  c'est  une 
operation  que  je  de"signerai  par  j^;  faire  passer  le  bord  de  la 
regie  par  deux  points  donnes  sera  alors:  2Rl. 

2°   Tracer  la  droite,  ce  sera  1'operation  :  R.2. 

De  meme  avec  un  compas  on  ne  peut  faire  que  trois  operations 
elementaires : 

1°  Mettre  une  pointe  en  un  point  donne,  operation  que  nous 
appelons  Cl. 

2°  Mettre  une  pointe  en  un  point  indetermine'  d'une  ligne 
tracee,  operation :  C2. 

3°   Tracer  le  cercle,  operation  :  Cz, 

II  suit  de  la  que  toute  construction  de  la  Geometric  canonique 
des  Grecs,  c'est-a-dire  de  la  droite  et  du  cercle  ou  de  la  regie  et 
du  compas  se  re'sumera  par  le  symbole  : 

op.  (Jifij  +  12R2  + 1&  +  l<Ca  +  15C3), 

op.  designant,  pour  abreger,  le  mot  operation. 

Les  operations  Rlt  Ci,  C2  sont  les  operations  de  preparation, 
R»,  C3  les  operations  de  trace. 

Cela  pose :  le  nombre  h  + 12  +  13  +  lt+  15,  ou  le  nombre  total 
d 'operations  elementaires,  sera  ce  que  nous  appelons  le  coefficient 
de  simplicite,  ou  pour  abreger:  la  simplicity. 

Nous  appuyons  encore  sur  ce  point,  qu'il  ne  s'agit  que  d'une 
appreciation  particuliere  et  speculative,  car  les  operations  Rl,  R.2, 
d,  C2,  C3  sont  des  unites  differentes  et  irreductibles  entre  elles, 
non  susceptibles  d'etre  evaluees  en  fonction  d'une  d'entre  elles ;  et 
il  est  inutile,  a  notre  point  de  vue,  de  savoir  si  R2  est  pratiquement 
plus  simple  ou  moins  simple  que  Cs :  cela,  au  fond,  n'a  meme  pas 
de  sens,  car  la  chose  depend,  le  compas  et  la  regie  a  la  main,  des 
conditions  particulieres  de  chaque  trace.  Le  nombre  ^  +  £3  + 1± 
sera  dit :  coefficient  d' exactitude,  ou  pour  abreger:  exactitude,  car  on 


GEOM&TROGR  APHIE.  149 

voit  facilement,  en  y  refle'chissant  un  peu,  que  1'exactitude  du 
trace  ne  depend  en  realite  que  des  operations  de  preparation 
RI>  C/j,  (72. 

L,  15  seront  respectivement  le  nombre  de  droites  et  le  nombre 
de  cercles  traces. 

II  serait  pent  etre  plus  logique  de  dire  que  ^  + 12  +  13  + 14  +  15 
et  Ii+l3  +  l4  sont  les  coefficients  de  complication  et  d' inexactitude: 
mais  comme  il  ne  s'agit  que  de  mots,  que  d'ailleurs  les  re'sultats 
cherches  sont  la  simplicite  et  1'exactitude,  nous  avons  pre'fe're  le 
rappeler  par  les  denominations. 

Pour  appliquer  facilement  et  rapidement  ces  considerations  a 
1'analyse  d'une  construction,  on  etudie,  une  fois  pour  toutes,  les 
qiielques  constructions  fondamentales  de  la  Geometric  qui  se 
repetent  constamment  dans  les  constructions,  et  Ton  determine 
leur  symbole.  Ce  sont  ces  symboles,  simplifies  frequemment  par 
1'emploi  de  lignes  deja  tracees  sur  1'epure,  qui  servent  a  determiner 
le  symbole  total  d'une  construction  donnee. 

La  pratique  de  la  Geometrographie  m'a  fait  reconnaitre  avec  la 
plus  grande  surprise  que  les  constructions  fondamentales  univer- 
sellement  adoptees  depuis  les  Grecs  dans  tous  les  ouvrages  didac- 
tiques  etaient  trop  compliquees.  Je  les  ai  reprises  et  j'en  ai 
trouve  de  plus  simples,  quelques-unes  de  peu,  d'autres  de  plus  de 
moitie.  Je  ne  pourrais,  sans  augmenter  d'une  fa9on  demesuree 
1'etendue  de  ce  memoire,  faire  ici  1'etude  complete  de  la  question, 
mais  je  vais  donner  quelques  exemples  qui  permettront  au  lecteur 
de  fixer  son  opinion. 

I.  Tracer  une  droite  quelconque  op.  (Ri). 

II.  Tracer  une  droite  par  un  point  donne op.  (  R!  +  R.2). 

III.  Tracer  une  droite  par  deux  points  donnes. .  .op.  (2Rj_  +  R2). 

IV.  Tracer  un  cercle  quelconque  op.  ((73). 

V.      Tracer  un  cercle  quelconque  de  centre  donne  op.  (Cl  +  C3). 

VI.  Prendre  avec  le  compas  une  longueur  donnee  AB  op.  (26^) 
puisque  c'est  mettre  une  pointe  en  A,  1'autre  en  B;  nous  ferons 
remarquer  a  ce  propos  que  ce  n'est  pas  la  me'me  chose  pratique- 
ment  de  mettre  une  pointe  en  A  et  1'autre  pointe  en  B  lorsque  la 
premiere  est  maintenue  en  A,  mais  a  notre  point  de  vue  speculatif 
c'est  toujours  dans  les  deux  cas  1'operation  qui  consiste  a  mettre 


150  EMILE   LEMOINE. 

une  pointe  sur  un  point  donne,  nous  ne  nous  occupons  pas  de  la 
realisation  manuelle. 

VII.  Porter  sur  une  droite  donne'e  a  partir  d'un  point  in- 
determine  de  cette  droite  ou  a  partir  d'un  point  determine'  de  cette 

droite  la  longueur  comprise  entre  les  branches  du  compas 

op.  ((72  +  (73)  ou  op.  (C,  +  (7,). 

VIII.  Porter  une  longueur  donne'e  (qu'il  faut  prendre  avec  le 
compas)  sur  une  droite  donnee  d  partir  d'un  point  inddtermine  de 

cette  droite  ou  a  partir  d'un  point  determine  de  cette  droite 

op.  (2^  +  (7,  +  C3)  ou  op.  (3^  +  (73). 

IX.  D'un  point  donne  comme  centre  de'crire  un  cercle  de  rayon 
donnd op.  (3^  +  (73). 

Donnons  maintenant  deux  exemples  d'une  etude  de  construc- 
tions fondamentales  et  de  leur  simplification  possible. 

1°.  Mener  par  un  point  A  pris  hors  d'une  droite  BC  une 
parallele  d  cette  droite*. 

ME"THODE   CLASSIQUE. 

a.  Je  decris  le  cercle  A  (R)  qui  coupe  BC  en  C ...  op.  (C^  +  (73); 

je  ddcris  le  cercle  C(R)  qui  coupe  BC  en  B op.  (Cl  +  C3); 

je  prends  B  A  op.  (ZC^; 

je  decris  C (BA)  qui  coupe  A  (R)  en  D  du  ineme  cotd  de  BC 

que  A op.  (C±  +  C3); 

je  trace  AD  qui  est  la  parallele  cherchee op.  (2^  +  R2). 

En  tout :  op.  (2^  +  R.2+  5C,  +  3(7,). 

Simplicity  11 ;  exactitude  7  ;  1  droite,  3  cercles. 

AUTRE  METHODE   PLUS  SIMPLE. 

b.  Posant  une  pointe  du  compas,  en  n'importe  quel  point  0  du  plan, 
1'autre  en  A,  je  trace  0  (OA) op.  (Cl  +  <73); 

0(0 A}  coupe  BC  en  B  et  en  (7,  je  prends  BA  ...op.  (2(7X); 

je  trace  C(BA)  qui  coupe  0  (OA)  en  D  du  meme  cot4  de  BC 

que  A op.  (C'j  +  C's); 

je  trace  AD  qui  est  la  parallele  cherchee op.  (2^+  -&>)• 

En  tout :  op.  (2^  +  R2  +  4^  +  2<73). 

*  Le  lecteur  est  pri6  de  faire,  suivant  le  texte,  les  figures  tres  simples  d'ailleurs 
que  nous  considerons.  Pour  abreger  1'ecriture  nous  designerons  par  A  (R)  ou 
A  (BC)  la  circonference  de  centre  A  et  de  rayon  E  ou  de  rayon  BC. 


GEOMETROGRAPHIE.  151 

Simplicite  9  ;  exactitude  6  ;  1  droite,  2  cercles  : 
et  ce  n'est  pas,  pour  ce  probleme,  la  seule  construction  qui  existe 
et  qui  soit  plus  simple  que  la  construction  classique. 

2°.  Construire  la  moyenne  proportionnelle  entre  deux  droites 
donndes  M  et  N. 

METHODE   CLASSIQUE. 

a.  II  y  en  a  plusieurs,  mais  je  choisis  la  plus  simple  qui  est  fonde'e 
sur  cette  proposition  : 

Dans  un  triangle  rectangle  la  perpendiculaire  abaissde  du 
sommet  de  I  'angle  droit  sur  I'  hypotenuse  est  moyenne  proportionnelle 
entre  les  deuce  segments  de  V  hypotenuse. 

Je  trace  une  ligne  AB  sur  laquelle  je  prends  AB  =  M,  BC  =  N 
les  points  A,  B,  C  se  succedant  dans  1'ordre  A,  B,  C  ...... 


je  ddcris  un  cercle  sur  AC  diametre  en  utilisant,  pour  prendre  le 
milieu  0  de  AC,  la  circonfe'rence  A  (M)  tracee  pour  fixer  le  point 
B.  Cela  fait  sur  la  construction  generate  une  e'conomie  de 
Ci  +  <78  ..........................................  op.  (2£1  +  £2  +  301+203). 

Au  point  B  j'eleve  une  perpendiculaire  sur  AC  qui  coupe 
0  (0(7)  en  D:  pour  elever  cette  perpendiculaire  economiquement 
j'ai  eu  soin  en  tra9ant  B(N)  pour  placer  C  de  marquer  le  second 
point  C'  ou  B  (N)  coupe  AC  ;  la  perpendiculaire  est  alors  obtenue 
par  le  symbole  ..............................  op.  (2^  +  ,R2+  20j  +  2(73); 

et  la  moyenne  proportionnelle  cherchee  BD  est  obtenue,  en  tout 
par  le  symbole  :  op.  (4>Rl  +  3.R2  +  lOC^  +  02  +  60S). 

Simplicity  24;  exactitude  15;  3  droites,  6  cercles. 

II  y  a  de  nombreuses  constructions  plus  simples  que  la  con- 
struction classique  ;  nous  donnons  seulement  ici  la  plus  simple  de 
celles  que  nous  connaissons. 

AUTRE  METHODE   BEAUCOUP   PLUS  SIMPLE. 

b.     Soit  M  la  plus  grande  des  deux  lignes  M  et  N. 

Je  trace  une  droite  quelconque  AB  .........  op.  (-R2)> 

A  e'tant  un  point  quelconque  sur  AB,  je  trace  A  (M)  qui 
coupe  AB  en  B  .......................................  op.  (20a  +  02  +  0,); 

je  trace  B(N)  qui  coupe  BA  en  C  entre  B  et  A  op.  (30i  +  03); 

je  trace  C(N)  qui  coupe  B(N)enP  et  Q...op.  (C,  +  0,); 

je  trace  PQ  qui  coupe  A  (Jf)  en  H  .........  op.  (2^  +  JR2); 


152  EMILE   LEMOINE. 

BH,  qu'il  n'y  a  pas  besoin  de  tracer,  est,  comme  on  le  voit 
facilement,  la  longueur  cherche"e ; 

Elle  est  obtenue  par  le  symbole  : 

op.  (2Rt  +  2R2  +  60,  +  C2  +  30,). 

Simplicity  14 ;  exactitude  9 ;  2  droites,  3  cercles. 

II  y  a  encore,  comme  je  1'ai  dit,  une  foule  d'autres  constructions 
beaucoup  plus  simples  que  les  constructions  classiques.  Elles  n'a- 
vaient  pas  e'te'  remarque'es  parce  qu'elles  ne  sont  pas  plus  simples 
a  exposer,  que  les  geometres  n'avaient  jamais  pense"  a  s'occuper 
de  la  simplicity  reelle  des  traces,  et  qu'il  n'y  avait  d'ailleurs  aucun 
criterium  pour  1'apprecier.  Nous  ne  citerons  plus  qu'un  exemple; 
mais  constatons  que  tons  les  traces  des  constructions  fondamentales 
de  la  Geometric  ont  e'te  simplifies  par  notre  me'thode. 

Si  Ton  veut  diviser  une  droite  en  moyenne  et  extreme  raison,  il 
faut  en  employant  la  me'thode  classique  (encore  je  la  suppose 
conduite  economiquement  suivant  les  principes  de  la  Geometro- 
graphie)  il  faut,  dis-je,  pour  obtenir  les  deux  solutions,  une 
construction  dont  le  symbole  a  pour  simplicite :  27,  et  qui  exige 
le  trace"  de  3  droites  et  de  8  cercles;  nous  en  avons  un  grand 
nombre  de  plus  simples  que  la  construction  classique;  la  plus 
simple  de  celles-ci  a  un  symbole  dont  la  simplicite  est  13  et  qui 
n'exige  que  le  trace  d'une  droite  et  de  4  cercles ! 

Ces  considerations  m'ont  conduit  a  la  creation  d'un  art 
veritable  des  constructions  geometriques  qui  a  ses  regies,  son 
elegance  propre,  et  presente  un  grand  int^ret  pratique ;  c'est  son 
etude  qui  forme  en  rdalite  la  Ge'ometrographie,  mais  le  ddveloppe- 
ment  de  la  question  serait  trop  long  a  exposer  ici. 

Pour  bien  montrer  la  difference  essentielle  qu'il  y  a  entre  la 
simplicite  de  1'exposition  et  la  simplicity  du  trace,  nous  citerons 
encore  le  fait  suivant.  Nous  avons  e'tudie',  a  ce  nouveau  point  de 
vue,  quelques  solutions  du  celebre  probleme  d'Apollonius: 
Construire  une  circonference  tangente  a  trois  circonferences 
donnees.  Parmi  elles  il  y  a  une  magnifique  solution  due  a 
Bobillier  et  Gergonne,  partout  cite'e  avec  raison  pour  son 
extreme  elegance  et  son  ingeniosite' ;  il  y  en  a  une  autre — c'est 
la  premiere,  je  crois,  qui  fut  donnee  de  ce  probleme  par  F.  Viete, 
mais  elle  est  eVidemment  beaucoup  moins  belle  que  celle  de 
Bobillier  et  Gergonne.  Eh  bien!  au  point  de  vue  du  trace', 
c'est  celle  de  Viete  qui,  de  beaucoup,  d'une  fa9on  generale,  est  la 


GEOMETROGRAPHIE.  153 

plus  simple  et  par  consequent  la  plus  exacte  quand  on  a  le  cotnpas 
a  la  main.  Je  les  ai  compare'es  d'abord  dans  le  journal  Mathesis 
1888,  pages  217 — 222;  241 — 244.  J'etais  alors  au  commencement 
de  mes  Etudes  sur  ce  sujet,  et  je  ne  me  doutais  pas  que  toutes  les 
constructions  fondamentales  de  la  Geometric  e'taient  largement  a 
simplifier,  je  n'avais  pas,  non  plus,  encore  pose  les  regies  de  1'art 
des  constructions;  voici  les  chiffres  que  j'avais  trouves. 

Solution  de  Bobillier  et  Gergonne :  simplicite,  ou  nombre  de 
constructions  e'lementaires :  500;  85  droites,  112  cercles  a  tracer. 

Solution  de  Viete :  simplicite,  335  ;  55  droites,  84  cercles  a 
tracer. 

Je  suis  revenu  depuis  sur  le  sujet  dans  les  Nouvelles  Annales 
de  Mathe'matiques  1892,  pages  453  et  suivantes,  et  j'ai  obtenu 

Solution  de  Bobillier  et  Gergonne:  simplicite,  356;  60 
droites,  72  cercles  a  tracer. 

Solution  de  Viete :  simplicite,  234 ;  26  droites,  58  cercles  a 
tracer :  nombres  diminues  tous  deux  par  1'application  raisonnee  de 
la  Geometrographie,  mais  tous  deux  restant  a  peu  pres  dans  le 
meme  rapport  que  les  deux  premiers. 

La  theorie  des  nombres  s'introduit  a  chaque  instant  dans  la 
Geometrographie]  et,  comrne  la  chose  peut  paraitre  assez  siuguliere, 
a  priori,  je  vais  en  donner  un  exemple,  que  Ton  rencontre  tout  au 
commencement. 

Si,  n  etant  un  nombre  quelconque  determine,  37  par  exemple, 
Ton  se  propose  de  tracer  une  longueur  qui  soit  37  fois  une  longueur 
donnee,  on  voit  immediatement  une  solution  et  Ton  trouvera 
facilement  des  simplifications  a  la  methode  generale  lesquelles 
ameneront  a  trouver  cette  longueur  le  plus  simplement  possible 
dans  le  cas  de  37,  mais  qui  ne  conviendront  nullement  a  resoudre 
le  meme  probleme  le  plus  simplement  possible  si  n  n'est  plus  37. 
Ainsi  nous  ne  connaissons  pas  de  solution  generale  du  probleme 
suivant : 

Etant  donnd  une  longueur  AB,  trouver  le  plus  simplement 
possible  une  longueur  qui  soit  n  fois  AB. 

Ce  probleme  revient  a  un  probleme  sur  les  nombres  du  meme 
genre,  mais  plus  complique  que  le  suivant  pose  par  M.  Del  lac  et 
qui  n'est  pas  resolu.  Quel  est  le  nombre  minimum  de  multiplica- 
tions necessaires  pour  elever  le  nombre  A  a  la  puissance  n  ? 

Nous   avons   suppose   que  1'emploi   de   1'equerre   n'etait   pas 


154  EMILE  LEMOINE. 

admis ;  si  on  veut  1'employer  c'est  une  nouvelle  etude  a  faire,  qui, 
outre  les  operations  elementaires  de  la  regie  et  du  compas 
R!,  R2,  C1}  C2,  C3,  exigera  2  nouveaux  symboles,  savoir:  2R\ 
mettre,  pour  I' usage  de  I'dquerre,  un  bord  en  coincidence  avec  une 
droite ;  E  faire  glisser  1'equerre  sur  la  regie  jusqu'a  ce  qu'un  de 
ses  cdtes  passe  par  un  point  donne\ 

La  Geometrographie  comprendra  dans  son  ensemble  les  divisions 
suivantes,  qui  permettront  de  1'utiliser  dans  toutes  les  branches  de 
1'art  graphique. 

1.  Celle  de  la  regie  et  du  compas  qui  correspond  a  la  geome- 
tric canonique  des  Grecs. 

2.  Celle   ou  Ton   ajoute   1'emploi   de   1'equerre,  elle   servira 
surtout  a  la  Geometrie  descriptive. 

3.  Celle  de  la  regie  seule. 

4.  Celle  du  compas  seul. 

5.  Celle  enfin  ou  Ton  se  permettra  1'usage  des  regies  divisees 
(pour  eviter  1'introduction  de  questions  de  nombres)  indispensables 
dans  les  questions  de  statique  graphique,  par  exemple. 

REFERT  : 

Association  franchise  pour  I'avancement  des  sciences,  1888,  Congres 
d'Oran,  page  75 — 95. 

Mathesis,  1888,  pages  217—222 ;  241—244. 

Comptes-rendus  des  seances  de  V  Academic  des  sciences,  16  Juillet, 
1888. 

Journal  de  Mathematiques  elementaires,  redige  par  M.  G.  de  Long- 
champs,  1889,  pages  10—14  ;  33—38. 

Bulletin  de  la  Societe  mathematique.de  France,  T.  xvi.  1888,  pages 
162—172;  T.  xx.  1892,  pages  132—150. 

Nouvelles  Annales  de  MatJiematiques,  1892,  pages  453 — 474. 

Depuis  que  cette  communication  a  ete  faite,  il  a  paru  divers 
memoires  sur  le  sujet,  parmi  lesquels  je  citerai : 

A  1'association  fran^aise  pour  I'avancement  des  sciences,  ou  chez 
Gauthier-Villars  libraire  ^diteur  a  Paris  : 

1892.  Congres  de  Pau  :    la  Geometrographie. 

1893.  Congres  de  BesanQon :    Complements  de  Geometrographie. 

1894.  Congres  de  Caen  :  Le  rapport  anharmonique  etudie"  au  point 
de  vue  de  la  Geometrographie  et  application  de  la  Geometrographie  a  la 
Geometrie  descriptive.     Enfin, 

Proceedings  of  the  Edinburgh  Mathematical  Society,  £tude  sur  le 
triangle  et  sur  certains  points  de  Geometrographie. 


REGLE  DES  ANALOGIES  DANS  LE  TRIANGLE 
ET  TRANSFORMATION  CONTINUE. 

PAR 

EMILE  LEMOINE  A  PARIS. 

Tous  les  geometres  ont  pu  remarquer  que,  dans  un  tres  grand 
nombre  de  cas,  un  theoreme,  une  formule,  se  rapportant  au  triangle, 
etant  donnes,  il  y  avait  des  theoremes,  des  formules  analogues 
paraissant  se  relier  aux  premieres;  il  me  semble  done  etonnant 
que  Ton  n'ait  jamais  songe  a  chercher  si  des  lois  permettaient  de 
deduire  ces  theoremes  ou  ces  formules  les  uns  des  autres. 

C'est  une  de  ces  lois  fort  simple,  la  seule  qui  nous  ait  paru 
avoir  vraiment  de  1'importance,  que  nous  allons  donner  ici  sous  le 
nom  de  regie  des  analogies  ou  de  transformation  continue. 

Expliquons  d'abord  les  notations  dont  nous  ferons  usage. 

A,  B,  C;  a,  b,  c  designeront  les  angles  et  les  cotes  d'un 
triangle  ABC;  r,  ra,  rb,  rc  les  rayons  des  quatre  cercles  tangents 
aux  trois  cdtes;  2p,  S,  R,  le  perimetre,  la  surface,  le  rayon  du 
cercle  circonscrit  ;  o>  Tangle  de  Brocard  ;  8,  &a,  Sb,  8C  les  quantites 
,  4>R-ra,  4tR-rb,  4>R-rc. 


THEOR^ME. 

Si  Von  a  de'montre'  une  formule  entre  les  elements  du  triangle, 
par  exemple, 

f(a,b,c,A,B,C,  r,ra,rb,rc,  2p,S,R,8,Sa,Sb,8c,  »...)  =  0...(1), 
la  formule  suivante 

f(a,  —  b,  —  c,  —A,  7T  —  B,  TT  —  C,  ra,  r,  —  rc,  —rb,  —2(p  —  a), 

-  8,  -  R,  -  Sa,  -  S,  -  8C,  -  Bb  .  .  .)  =  0.  .  .(2) 
sera  egalement  vraie. 

C'est  la  formule  (2)  que  nous  appellerons  la  transformee 
continue  en  A  de  la  formule  (1).  II  est  evident  qu'il  y  a  aussi  des 
transformees  continues  en  B  et  en  C. 


156  EMILE  LEMOINE. 

Demonstration. 

Toute  formule  (1)  entre  les  elements  d'un  triangle  revient 
evidemment  a  une  identity  <f>(A,  B,  (7)  =  0  entre  les  trois  angles 
de  ce  triangle,  car  si  Ton  exprime  tous  les  elements  du  triangle 
que  contient  (1)  en  fonction  de  a  et  des  angles  A,  B,  C,  puis  que 
Ton  remplace  dans  (1)  chaque  element  par  sa  valeur  ainsi  exprimee, 
a  disparaitra  a  cause  de  1'homogeneite  et  il  restera  une  formule 
d'identite  <f>  (A,B,  (7)  =  0  ne  contenant  que  A,  B,  C. 

Cela  pose  il  est  clair  que  <£  (A,B,  C)  =  0  restera  une  identity  si 
Ton  remplace  A,B,C  par  trois  angles  quelconques  A',  B',  C',  pourvu 
que  Ton  ait  A'  +  B'  +  C'  =  TT.  Si  Ton  suppose  que  A',  B',  C'  sont 
des  fonctions  de  A,  B,  C  on  peut  en  tirer 

A=MA',B',C'} 
B=MA',B',C') 
C=fs(A',B',C') 

et  en  rempla9ant  dans  1'expression  des  elements  du  triangle  qui 
entrent  dans  (1)  A,B,  C  par  ces  valeurs,  ils  deviendront  d'autres 
elements  d'un  triangle  dont  les  angles  seront  A',  B',  (7;  (1)  se 
transformera  done  en  une  formule  ou  entreront  les  elements  d'un 
triangle  general  dont  les  angles  seront  A',  B',  C' ;  on  aura  ainsi 
une  nouvelle  formule  entre  les  elements  d'un  triangle  quelconque. 
II  est  clair  que  cette  methode  donne  lieu  a  une  varie'te  infinie 
de  transformations,  mais  nous  n'en  avons  trouve  jusqu'ici  qu'une 
qui  soit  pratiquement  feconde,  simple  et  utile,  c'est  celle  que  nous 

obtenons  en  posant 

A=-A' 

B  =  7T-B' 

C=7T-C' 

et  c'est  elle  que  nous  appelons  la  transformation  continue  en  A. 
Si  Ton  posait 

A=7T-A' 

B  =  -B' 

C  =  7T  —  C/ 

on  aurait  la  transformation  continue  en  B,  etc. 

II  reste  a  e'tablir  que  les  elements  a,b,c,  r,ra,rb,rc>  2p, 
2(p-d),2(p-b),2(p-c),  S,  R,  8,8a>8b,8c>  «,  etc.  de  ABO 
deviennent  alors  respectivement  a,  —b,  —c,ra,  r,  —rc,  —rb,  —  2(p— a), 
-2p,2(p-c),2(p-b),-S,  -R,-Sa,  -8,  -8C,  -8b>  -  to,  etc. 


REGLE   DES    ANALOGIES    DANS   LE   TRIANGLE.         157 

La  chose  est  aisee ;  en  effet,  en  designant  par  X  ce  que  devient  x 
apres   transformation,   la    formule    - — -j  =  2R  (puisque  a  est  la 

quantit^  lineaire  invariable  qui  disparait)  devient  - — -; — -p-  =  2^; 

b  c 

done  R  devient  —  R:  les  formules  - — ~  =  - — ~  =  2 R  deviennent 

sin  B     sin  U 
»i  <* 

done  -j — 7 ~.  =  — — 7 7=r-  =  —  222 ;    done    6    et   c   deviennent 

sin  (TT  —  5)      sin  (TT  —  (7) 

—  6  et  —  c. 

S  =  ^bcsinA  donne  $  =  £  (—  6).  (—  c)sin(—  A);  done  $  de- 
vient —  S ;  les  formules  8  =  pr  =  (p  —  a)  ra  =  (p  —  b)  r^  =  (p  —  c)  rc 
montrent  que  r,  ra,  r^,  rc  deviennent  ra,  r,  —  rc,  —  r^,  puisque 
p, p  —  a, p  —  b, p  —  c  deviennent  evidemment  —(p  —  a),  —p, p  —  c, 
p  —  b. 

On  a  cotg  co  =  cotg  A  +  cotg  B  +  cotg  C 

d'ou         COfcj  co  =  cotg  (—  A)  +  cotg  (TT  —  J5)  +  cotg  (TT  —  C); 

done  G>  devient  —  eo  etc.,  etc. 

Notre  theoreme  se  trouve  ainsi  etabli. 

On  peut  arriver  a  la  transformation  continue  par  voie  geome- 
trique,  c'est  meme  ainsi  que  nous  y  sommes  parvenus  et  c'est 
aussi  de  la  que  nous  avons  tire  son  nom  de  transformation  con- 
tinue. Nous  allons  indiquer  la  methode. 


Fig.  (l).  Fig.  (2). 

Considerons  un  triangle  ABC  fig.  (1)  et  une  propriete  generale 
quelconque  de  ce  triangle ;  elle  aura  evidemment  lieu  quelle  que 
soit  la  position  de  A  sur  BA  en  supposant  B,  C  fixes  ainsi  que  la 
droite  sur  laquelle  est  le  point  A.  Si  la  droite  CA  se  meut  dans 
le  sens  CBA  en  tournant  autour  du  point  C,  apres  que  CA  sera 


158  EMILE  LEMOINE. 

de  venue  parallele  a  BA,  A  se  trouvera  au-dessous  de  CB  comme 
dans  la  figure  (2)  et  la  propriete  generale  du  triangle  ABC 
fig.  (1)  appartiendra  certainement  aussi  au  triangle  ABC  fig.  (2). 
Seulement  les  noras  des  elements  considered  par  rapport  a  la 
figure  (1)  pourront  etre  changes  dans  la  figure  (2).  Cela  devient 
evident  par  continuite.  Ainsi,  par  exemple,  ce  qui  est  Tangle  C  du 
triangle  de  la  figure  (1)  sera  par  continuite  TT  —  C  du  triangle  de  la 
figure  (2),  ce  qui  est  Tangle  B  du  triangle  de  la  figure  (1)  sera 
TT  —  B  du  triangle  de  la  figure  (2),  le  rayon  r  du  cercle  inscrit  du 
triangle  de  la  figure  (1)  deviendra  par  continuite  le  rayon  ra  du 
cercle  exinscrit  tangent  au  c6te  BC  et  au  prolongement  des 
deux  autres,  du  triangle  de  la  figure  (2)  etc.,  etc. 

II  suit  de  la  qu'une  propriete  generale  de  la  figure  (1)  qui 
est  egalement  une  propriete  generale  de  la  figure  (2),  puisque 
c'est  une  propriete  generale  du  triangle,  pourra  avoir  un  autre 
enonce  dans  le  cas  de  la  figure  (1)  que  dans  le  cas  de  la  figure  (2). 

II  serait  tres  facile  d'etablir  que  la  loi  de  derivation  ainsi 
obtenue  est  precisement  celle  que  nous  venons  d'etablir  analyti- 
quement  sous  le  nom  de  transformation  continue.  Nous  n'avons 
parle  d'abord  que  de  transformation  de  formules,  mais  il  est 
evident  par  tout  ce  qui  precede,  que  les  enonces  des  theoremes 
non  reduits  en  formules  peuvent  subir  une  transformation  iden- 
tique.  II  n'y  a  pas  a  insister  la-dessus. 

Nous  allons  donner  quelques  exemples  qui  montreront  Tusage 
et  la  fecondite  de  notre  transformation  :  nous  ferons  remarquer 
aussi  qu'une  formule  a  laquelle  on  fait  subir  la  transformation 
continue  se  reproduit  quelquefois  identiquement  ;  ainsi  : 

a  =  b  cos  C  +  c  cos  B  ;   -:  —  r  =  —  —  ~  =  -^—^  =  2R  etc.,  etc. 
sm  A      sm  B     sin  C 

Les  formules  ci-dessous  donnent  par  transformation  continue 
en  A  respectivement  les  formules  : 

(b  -c)(c-a)(a-b)  =  -  (rb  -  rc)  (rc  -  ra)  (ra  -  rb) 

(b  -c)(c  +  a)(a  +  b)  =  ^-(rb-rc)  (rb  +  r)  (rc+r) 
w  ~~  a 


ara  +  brb  +  crc  =  1p  (2R  -r)         ar+  brc  +  crb  =  2(p-  a)  (2R  +  ra) 
arbre  +  brcra  +  crarb  =288  arbrc  +  brrb  +  crrc  = 


REGLE    DES   ANALOGIES    DANS    LE    TRIANGLE.         159 

ara2  +  6r62  +  crc2  =  2p  (2R8  -p*) 

-  ara*  +  6rc2  +  cr&2  =  2  (p  -  a)  [2£Sa  -  (p  -  a)2] 
a3ra2  +  &V  +  cV  =  8^3  [8JK2  -  2Rr  +  3r2  -^2] 

-  a¥a2  +  63rc2  +  c¥62  =  8  (  j)  -  a)3  [8R*  +  2Rra  +  3ra2  -  (p  -  a)2] 
ra3  +  rb3  +  rc3  =  S3  -  12Ep2  -  r3  +  rb3  +  rcs  =  Ba3  -  I2R  (p  -  a)2 

rcra  +  rarb  =p*  rbrc  —  rrb  —  rrc  =  (p  —  of 

A  +  ^  =  |          .  JL+A  +  i  =  |(2B+r<i) 

rcra     rarb     b^  rbra     rrb     rrc     S^ 

a3  +  63  +  c3  =  2p  [p2  +  6Rr  -  3rS] 

_  ^  +  bs  +  c3  =  2  (p  -  a)  [(p  -  a)2  -  QRra  +  3r  A] 
2a  (p  -  a)  =  2rS  ap  +  6  (^>  -  c)  +  c  (p  -  &)  =  2yaSa 


a2^2  +  &  (p  -  c)2  +  c2(p-  6)2  =  2ra2  [Sa2  -(p-  a)2] 

7*  7* 

cos  A  +  cos  £  +  cos  (7  =  1  +  -p       cos  J.  —  cos  B  —  cos  (7=1—^ 

li  si 

V 

2  (p  -  b)  (p  -  c)  cos  A  =  ^  (^?2  -  ^8) 
(p-b)(p-c)cosA+p(p-b)cosB+c(p-c)cosC=j3R$a-(p-a)2]. 

Ces  formules,  prises  au  hasard  parmi  un  tres  grand  nombre 
d'autres  que  nous  avons  donnees  dans  de  precedents  memoires, 
suffisent  pour  montrer  la  facilit6  avec  laquelle  notre  transforma- 
tion donne  de  nouveaux  resultats  dont  beaucoup  auraient  ete,  sans 
elle,  bien  difficiles  a  prevoir. 

Ce  que  nous  avons  dit  suppose  impliciteraent  que  les  elements 
de  la  formule  que  Ton  traite  par  transformation  continue,  sont 
determines  sans  ambiguite  possible,  c'est-a-dire  qu'ils  ne  contien- 
nent  point  de  radicaux,  car  ces  radicaux  entrainent  analytique- 
ment  un  double  signe  ;  s'il  y  a  des  radicaux  dans  1'expression 
consideree  il  faut  discuter  le  cas  particulier  qui  se  presente  ;  ainsi, 


la 


formule   sin  —  =  \l  -^  --  j-±±-  --  '-  semble  donner  par  trans- 


formation continue  en  A  :  —  sin  -^  =  */  —  --  j^*-  --  -  ,  ce  qui  serait 
inexact,  mais  le  radical  comportant  implicitement  le  double  signe, 


160  EMILE  LEMOINE. 

la  transformation  continue  en  A  correspond  ici  au  signe  —  et  Ton 


A\  /( 

-^   =  —  A  / 
2  /         V 


a    effectivement  sin  ,          .  —     »  , 

V     2  /         V  be 

Par  rapport  a  la  transformation  continue  les  points  remar- 
quables,  droites,  courbes,  formules,  theoremes  relatifs  au  triangle 
se  divisent  en  quatre  categories : 

1°.  La  transformation  continue  faite  en  A,  en  B  et  en  C  les 
reproduit  sans  modification,  comrne  nous  1'avons  deja  remarque. 

Exemples:  le  point  de  Lemoine*,  la  formule 

a  =  b  cos  C  +  c  cos  B,  etc. 

2°.  La  transformation  faite  en  A,  en  B  ou  en  C  donne  des 
resultats  differents  entre  eux  et  differents  du  premier. 

Exemples :  le  point  dont  les  coordonnees  normales  sont  b  +  c, 
c  +  a,  a  +  b  donne  ainsi  que  nous  le  verrons  plus  loin  respective- 
ment  les  points  dont  les  coordonnees  normales  sont  b  +  c,  a  —  c, 
a  —  b;b  —  c,a+c,b  —  a',c  —  b,c—a,a  +  b.  Ce  sont  les  trans- 
formes  continus  en  A,  en  B  et  en  C  du  point  donne  b  +  c,  c  +  a, 
a+b. 

ara  +  brb  +  crc  =  2p  (2R  —  r),  qui  donne  respectivement : 
ar  +  brc  +  crb=2(p  —  a)  (2R  +  ra) 
arc  +  br  +  cra  —  2  (p  —  6)  (2r  -t-  rb) 
arb  +  bra  +  cr=<2(p-c)(2R  +  rc). 

Les  13  formules  citees  plus  haut  comrne  exemples  donnent  aussi 
chacune  trois  autres  formules  par  transformation  continue. 

3°.  La  transformation  continue  faite  soit  en  A,  soit  en  B,  soit 
en  C  reproduit  une  fois  sans  modification  le  point,  la  formule  etc. 
Les  deux  autres  donnent  toutes  deux  un  resultat  pareil,  mais 
different  du  point,  de  la  formule  etc.  sur  lesquels  on  opere  la 
transformation. 

Exemple :  la  formule  (b  —  c)  rbrc  =  S  (rb  —  rc)  se  reproduit  par 
transformation  continue  en  A  et,  par  transformation  continue  soit 
en  B,  soit  en  C,  elle  donne : 


*  On  appelle  point  de  Lemoine  le  point  dont  IQS  distances  aux  trois  cotes  d'lm 
triangle  sont  proportionnelles  a  ces  cot6s. 


REGLE    DBS   ANALOGIES    DANS    LE   TRIANGLE.          161 

4°.  La  transformation  continue  faite  soit  en  A,  soit  en  B,  soit 
en  C  donne  un  m^me  re"sultat  mais  different  de  celui  que  Ton 
transforme. 

Exemple :  le  point  dont  les  coordonnees  normales  sont 
sin  (.4  +  60),  sin  (B  +  60),  sin  (C+  60)  devient  par  les  trois  trans- 
formations continues  en  A,  en  B,  en  (71e  point  dont  les  coordonnees 
normales  sont  sin  (A  —  60),  8^(5  —  60),  sin  (C  —  60).  (Voir 
plus  loin  la  definition  du  point  transforme'  continu  d'un  point 
donne.) 

Je  n'ai  point  rencontre  de  cas  ou  la  transformation  continue 
donne  des  combinaisons  autres  de  resultats,  comme  serait  celle-ci 
par  exemple : 

La  formule  se  reproduit  par  une  des  transformations  et  par 
les  deux  autres  donne  des  resultats  differents  et  differents  entre 
eux. 

NOUVELLE  TRANSFORMATION   ANALYTIQUE   DEDUITE   DE  LA 
TRANSFORMATION   CONTINUE. 

Supposons  que  les  coordonnees  normales  absolues  d'un  point 
M  soient  exprimees  par  les  fonctions  fa,  fa,  fa,  ABC  etant  le 
triangle  de  reference.  On  aura : 

afa  +  bfa  +  cfa  =  28 (3). 

Appelons  faa,  <£2a,  </>M  ce  que  deviennent  respectivement  fa, 
fa2,  fa  par  transformation  continue  en  A.  Appliquons  maintenant 
la  transformation  continue  en  A  a  1'egalite  precedente  (3),  on  aura: 

a  faa  -  bfaa  -  C(j>.M  =  -  28. 

Cette  egalite  prouve  qu'il  y  a  un  point  dont  les  coordonnees 
normales  absolues  sont  —  faa,  faa,  faa-  Ce  point  Ma  est  ce  que 
nous  appelons  le  point  transforme  continu  en  A  de  M. 

On  deduit  de  ce  qui  precede  : 

Si  Ton  a  une  equation  en  coordonnees  normales : 

$(x,y,z,  a,b,c,...)  =  (\ 
sa  transformee  continue  en  A  sera : 

<£  (—  x,  y,  z,  a,  —  b,  —  c, . . . )  =  0. 

Si  des  calculs  operes  avec  diverses  equations  ont  conduit  a  un 
certain  theoreme,  les  diverses  equations  de  ce  calcul  transformees 
G.  P.  11 


162  EMILE  LEMOINE. 

en  A  conduiront  directement  a  la  demonstration  de  ce  theoreme 
transform^  en  A.  II  est  clair  qu'il  n'est  nullement  besoin  de 
passer  par  ces  transformations  successives  et  qu'il  suffit  d'operer 
la  transformation  sur  le  resultat  final. 

Si  Ton  emploie  les  coordonnees  barycentriques  on  verra  facile- 
ment  que  Ma,  transform^  continu  en  A  du  point  M,  qui  a  pour 
coordonnees  barycentriques  fa,  fa,  fa,  aura  pour  coordonnees 
^la)  ^m,  faa  en  designant  par  faa,  faa,  ^^  ce  que  deviennent 
fa,  "^2,  ^s  par  transformation  continue  en  A  et  aussi  que  1'equa- 
tion 

^(«,y3,  7,  a,b,  c,  ...)  =  0 

aura  pour  transformee  continue  en  A 

^r(a,&7,  a,-b,-c,  ...)  =  0. 

En  coordonnees  cartesiennes  (CB  axe  des  so,  CA  axe  des  y) 
le  point  transform^  continu  Ma  du  point  M  dont  les  coor- 
donnees sont  X,  Y  aura  pour  coordonnees  Xa,  —  Ta  en  designant 
par  Xa,  Ya  ce  que  deviennent  les  fonctions  X,  Y  en  y  faisant  la 
transformation  continue  en  A. 

L'equation 

F(X,Y,a,b,c,...)  =  0  devient  ^  (Z,  -  F,  a,  -  6,  -c)  =  0. 

Remarquons  encore  qu'un  point  M  simplement  marque  sur  le 
plan  n'a  pas  de  transforms  continu,  cela  n'a  pas  de  sens,  il  faut  que 
Ton  donne  ses  coordonnees  en  fonction  des  elements  du  triangle ; 
il  ne  peut  done  y  avoir  de  construction  generale  pour  deduire  Ma 
de  M ;  la  construction  depend,  dans  chaque  cas,  exclusivement  des 
fonctions  qui  definissent  les  coordonnees  de  M. 

Voici  les  principales  proprietes  generales,  faciles  a  demontrer, 
de  la  transformation  continue',  quelques-unes  rentrent  1'une  dans 
1'autre. 

1.  La  droite  de  1'infini  a  pour  transformee  la  droite  de  1'infini. 

2.  Les  ombilics  du  plan  se  transforment  1'un  dans  1'autre. 

3.  Le  degre  d'une  courbe  ainsi  que  sa  classe  se  conservent. 

4.  Un  cercle,  une  parabole  ont  pour  transformes  un  cercle, 
une  parabole. 

5.  Les  transformees  des  tangentes   a   une   courbe   sont   les 
tangentes  a  la  courbe  transformee  au  point  transforme  du  point 
de  contact ;  d'ou  les  droites  qui  enveloppent  une  courbe  se  trans- 
forment en  droites  qui  enveloppent  la  transformee  de  la  courbe. 


REGLE   DES    ANALOGIES   DANS    LE   TRIANGLE.         163 

6.  Si  n  droites  concourent  en  V  leurs  transformers  concourent 
en  Va  transform  e  de  V. 

7.  Si  n  points  sont  sur  une  droite  L  les  transformed  de  ces 
n  points  sont  sur  La  transformee  de  L. 

8.  Si    les   longueurs   de    deux   droites   ou    les   valeurs    des 
tangentes  de  deux  angles  sont  dans  un  rapport  numerique  in- 
dependant  des  elements  du  triangle  de  reference,  ce  rapport  se 
conservera  dans  la  transformation. 

9.  Les    divisions    harmoniques,   l'homographie,    1'homologie, 
Tin  volution,  1'orthologie  se  conservent. 

10.  Des    droites    paralleles   ou    perpendiculaires    se    trans- 
forment  en  droites  paralleles  ou  perpendiculaires. 

11.  Les  foyers  ou  les  sommets  d'une  courbe  se  transforment 
en  les  foyers  ou  en  les  sommets  de  la  transformee. 

12.  Les  valeurs  des  rapports   anharmoniques   des   divisions 
transformees  se  deduisent  par  transformation  continue  des  valeurs 
des  rapports  anharmoniques  des  divisions  donnees. 

13.  La  polaire  d'un  point  par  rapport  a  une  conique  se  trans- 
forme  en  la  polaire  du  point  transforme  par  rapport  a  la  conique 
transformee. 

14.  La  distance  de  deux  points  transformed,  la  distance  d'un 
point  transforme  a  une  droite  transformee  se  deduisent  par  trans- 
formation continue  de  la  distance  des  deux  points  donnes  ou  de  la 
distance  du  point  donne  a  la  droite  donnee,  etc. 

Nous  concluons  de  ce  qui  precede  que  toutes  les  fois  qu'un 
geometre  fera  un  travail  sur  le  triangle  et  qu'il  aura  trouve  un 
resultat,  il  devra  y  appliquer  la  transformation  continue  car  il  y 
trouvera  souvent  1'avantage  d'arriver,  sans  aucune  peine,  a  de 
nouvelles  proprietes,  quelquefois  assez  difficiles  a  prevoir. 

Exemples  :  1°.  M.  Fuhrmann  a  donne  dans  le  journal  Mathesis 
1890,  p.  105  un  tres  interessant  travail  sur  un  cercle  associe  a  un 
triangle  ou  il  enonce  de  nombreuses  proprietes  fort  curieuses  de 
ce  nouveau  cercle  ;  la  transformation  continue  montre  immediate- 
ment  qu'il  y  a  trois  autres  cercles  qui  jouissent  de  proprietes 
analogues  et  auxquels  le  niemoire  en  entier  peut  etre  applique 
avec  les  modifications  indiquees  par  la  transformation  continue. 

2°.  Par  un  point  0  du  plan  d'un  triangle  ABC  je  mene  les 
antiparalleles  a  BC,  CA,  AB  qui  coupent  respectivement  BC,  CA, 
AB  en  3  points  et  les  autres  cotes  en  6  points.  On  a  ce  theoreme: 

11—2 


164  EMILE  LEMOINE. 

Si  0  est  le  point  dont  les  coordonndes  normales  sont 
ara  (2R  -  r0),  brb  (2/2  -  rb\  crc  (2R  -  rc\ 

les  6  points  considerds  forment  un  hexagone  dont  les  cdtis  sont 
tangents  au  cercle  inscrit  de  ABC.  (Voir  Bulletin  de  la  Societe 
mathdmatique  de  France,  Tome  xiv.,  page  122,  Probleme  viii.) 
Par  transformation  continue  en  A  on  voit  immediatement  que : 

Si  0  est  le  point  dont  les  coordonnees  normales  sont 

-  ar  (2R  +  r),  brc  (2R  -  rc),  crb  (*2R  -  rb\ 

les  6  points  forment  un  hexagone  dont  les  cdte's  sont  tangents  au 
cercle  ex-inscrit  de  ABC  qui  est  tangent  a  BG  et  au  prolong ement 
des  deux  autres  cotds. 

3°.     Si  Ton  suppose  demontree  la  formule 

p  (2a  -p)  =  rarb  +  rarc  -  rbrc, 

on  en  tire  immediatement  par  transformation  continue  en  A  la 
formule 

p*  —  az  =  rrb  +  rrc  +  rbrc  etc.,  etc. 

La  transformation  continue  s'applique  au  tetraedre,  nous 
n'indiquerons  que  la  transformation  fondamentale  dont  tout 
derive. 

Si  dans  une  formule  quelconque  representant  une  propriete 
generale  d'un  tetraedre  dont  nous  appellerons  a,  a' ;  b,  b' ;  c,  c 
les  trois  couples  d'aretes  opposees,  on  laisse  a,  b,  c,  aretes  d'une 
memeface,  invariables,  et  que  I' on  change  a',  b',  c'  respectivement  en 
—  a',  —b',  —c',  la  nouvelle  formule  sera  encore  exacte. 

REFERT  : 

E.    Lemoine,    Congres    de   Marseille,    association  frangaise  pour 

Vavancement   des   sciences,   1891,    pages    118 — 130. 

Congres  de  Besanqon,  association  frangaise  etc.  1893, 

Application  au  tetraedre  de  la  transformation  continue. 

„  Mathesis,  1892,  pages  58—64,  81—92. 

,,  Nouvelles  Annales  de  Mathematiques,  pages  20 — 36, 

1893. 
,,  Journal  de  Mathematiques  elementaires,  public  par 

M.  de  Longchamps,  1892,  pages  62,  91,  103. 
A.  Poulain,  Journal  de  Mathematiques  elementaires,  public  par 

M.  de  Longchamps,  1892,  pages  110,  136,  151. 
Ch.     Michel,   Journal  de  Mathematiques  elementaires,  public"  par 
M.  de  Longchamps,  1893,  pages  29 — 33. 


SUR    UNE    INTEGRALE    DEFINIE    QUI    REPRE- 
SENTE    LA    FONCTION    £  («)    DE    RIEMANN. 

PAR 
M.   LERCH  A   PRAGUE-YINOHRADY. 

LA  serie  infinie 


convergente  lorsque  la  partie  reelle  de  s  est  superieure  a  un,  est 
I'&dment  d'une  fonction  uniforme  £(s)  qui  existe  dans  tout  le  plan 
de  la  variable  s.  Pour  1'obtenir  sous  la  forme  d'une  integrale 
toujours  convergente  observons  d'abord  que  Ton  a 


ou  bien 


ou  Ton  a  pose',  pour  abrdger, 

1111 

Cela  e'tant,  il  suffit  evidemment  d'exprimer  la  fonction  \  (s) 
sous  la  forme  voulue  pour  parvenir  a  notre  but ;  on  y  parvient  a 
1'aide  de  la  formule 

e-xz  ^z  _  W7ri)~s  dz 


que  nous  avons  donnee  dans  un  memoire  tcheque  public  dans  les 
Memoires  de  1'acade'mie  tcheque  1892.  En  y  prenant  #  =  0  et 
w  =  ^,  le  premier  membre  devient  2s\(s)  et  Ton  a,  par  conse- 
quent, 

La  convergence  de  1'integrale  exige  que  la  partie  re'elle  de  s 
soit  supe'rieure  a  un,  mais  il  est  aise  d'en  tirer  une  mte'grale 


166  M.    LERCH. 

toujours  convergente.  De'composons  en  effet  1'intervalle  de  1'inte- 
gration  (—  oo  . . .  oo  )  en  deux  autres  (—  oo  . . .  0)  et  (0  . . .  oo  )  et 
observons  que  Ton  a 

°  iri\-» 

-      dz 


l+ie~z  Jo        1  + 

I*  (z  -  —  }     dz 
\Z  —    ^    |        (LZ 
\ 
^ 


s  —  1  0         1  —  te2 

En   substituant   la   somme   de   ces   deux   integrates  dans   la 
formule  (c)  il  vient 


ZTT 

ou  en  changeant  ^  en  -^-  : 


/• 

i 

J 


f00 
Or  1'integrale  I  qui  figure  au  second  membre  pouvant  s'^crire 

s  /  pizarctgz         ,,—  igarctgz 

- 


1-ie 

_8 

+  1)  §  (sin  (sarctgz)  -  d**z  cos  (sarctgz)} 

I+e*" 
ou  de  meme,  apres  la  substitution  z  =  tg<f>, 

IT 

_  .  f  2  sin  sd>  -  e^o*  cos  s 
2tJ0        ~iT^^~ 

liquation  (rf)  deviendra 

/  \     ^  /  \      2*~2      «« 
(6)     X(S)  =   --2 


ce  qui  est  la  formule  a  laquelle  nous  voulions  parvenir. 


ON    THE    DEFINITIONS   OF   THE   TRIGONO- 
METRIC  FUNCTIONS. 


THE    PRINCIPLES   OF   THE    ELLIPTIC   AND 
HYPERBOLIC   ANALYSIS. 

BY 
ALEXANDER   MACFARLANE   OF   AUSTIN. 

[These  two  papers  have  since  been  published  as  separate 
pamphlets  by  the  author.  No  abstracts  have  been  furnished  for 
publication  here.  Editors.] 


ON    FIFTH-POWER    NUMBERS    WHOSE    SUM    IS 
A   FIFTH    POWER. 

BY 

ARTEMAS  MARTIN   OF  WASHINGTON. 

IT  is  known  that  the  sum  of  two  fifth-power  numbers  cannot  be 
a  rational  fifth  power,  but,  so  far  as  the  present  writer  knows,  it 
has  not  been  proved  that  the  sum  of  three,  of  four,  and  of  five 
fifth-power  numbers  cannot  be  a  fifth  power.  The  writer,  however, 
has  not  been  able  to  discover  fewer  than  six  fifth-power  numbers 
whose  sum  is  a  fifth  power,  and  thus  far  has  succeeded  in  finding 
only  two  such  sets,  although  probably  many  exist. 

In  the  present  state  of  algebraic  science,  fifth -power  numbers 
whose  sum  is  a  fifth  power  can  be  most  easily  found  by  resorting 
to  some  artifice  or  some  tentative  process,  two  of  which  methods 
it  is  the  object  of  this  paper  to  present. 

1.  Take  any  two  numbers  p  and  q  and  put  ps  —  q5  =  d;  then, 
by  transposition 

qs  +  d=p5 (A). 

Now  if  d  can  in  any  way  be  separated  into  fifth-power 
numbers,  all  different  and  p5  not  among  them,  we  shall  obviously 
have 

q5  +  (these  fifth-power  numbers)  =  p5 (B). 

Examples.     1.     In  (A),  take  p  =  12,  #  =  11 ;  then  we  have 

d  =  87781  =  95  +  75  +  65  +  55  +  45 ; 
therefore  by  (B),  45  +  55  +  65  +  75  +  95  +  II5  =  125, 
six  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a  fifth  power. 

2.  Take  p  =  30,  q  =  29  ;  then 

d  =  3788851  =  193  +  163  +  II5  +  105  +  53 ; 
therefore  o5  +  105  +  II5  +  165  + 195  +  295  =  305, 

another  set  of  six  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a  fifth  power. 


ON    FIFTH-POWER   NUMBERS.  169 

3.  Take_p  =  32,  ?  =  31,  then 

d  =  4925281  =  185  +  165  +  15s  +  145  +  135  +  II5 

+  105  +  8s  +  75  +  65  +  35; 
therefore 

35  4-  65  +  75  4-  85  4- 105  +  II5  + 135  4- 145  4- 155  +  165  +  185  +  31"  =  32s, 
twelve  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a  fifth  power. 

4.  Take_p  =  20,  q  =  l9;  then 

d  =  723901  =  135  + 125  +  95  +  85  +  65  +  55  4-  43  +  25  +  I5  +  I5 ; 
therefore 

1«  +  IB  -f  25  +  45  4-  55  +  65  4-  8"  +  95  +  12"  +  13"  +  195  =  205, 
in  which  I5  appears  twice,  a  remarkable  set. 

5.  Take  p  =  22,  q  =  21 ;  then 

d  =  1069531  =  165  +  75  +  55  4  43  -  I5 ; 
therefore  45  +  55  +  75  +  165  4-  215  =  I5  +  225. 

6.  Take  p  =  36,  q  =  33  ;  then 

d  =  21330783  =  275  +  215  +  185  +  155  +  IP  4-  95  +  73  +  63  +  55  +  45 ; 
therefore 

45  +  55  +  63  4-  73  4-  95  +  II5  +  153  + 185  +  215  +  275  +  335  =  365. 

7.  Take  p  =  40,  q  =  39  ;  then 

d  =12175801  =  255  + 175  + 135  4- 125  +  IP  +  105 

+  95  +  S5  +  75  +  35  +  35  4-  25  +  I5 ; 
therefore 

1»  +  25  4-  35  +  35  4-  75  4-  85  4-  95  4- 105  4-  II5  +  125 

4- 135  4- 175  4-  255  4-  395  =  405, 
in  which  35  appears  twice. 

8.  Take  p  =  51,  q  -  50 ;  then 

d  =  32525251  =  30s  4-  235  4- 165  +  135  + 125  4- 105  +  75  4-  55  +  ¥  4-  25 ; 
...   25  +  35  4-  55  4-  75  4- 103  + 125  +  135  +  165  4-  235  4-  305  4-  505  =  515. 

Also,  32525251  =  303  4-  203  4- 195  4-  1 73  4- 155  4-  II5  4- 105  4-  9s  4-  85 

4-75+354-334-l54-l5; 

...     p  +  l»  +  3»  4-  73  +  8s  4-  9s  4-  10s  4-  IP  4-  lo5  4- 175  4- 195 

4-203  +  3054-505=515, 
another  set  in  which  I5  appears  twice. 


170  ARTEMAS    MARTIN. 

II.     Put  8  (a?)  =  P  +  25  +  3"  +  4s  +  55  +  .  .  .  +  of, 

=  ^a?(a?  +  l)»  (2^  +  2^-1)  .........  (C). 

Assume  b5  less  than  8  (a?)  and  put  r  for  their  difference,  and  we 

have 

S(a?)-b*  =  r, 

or  by  transposition  of  b5  and  r, 


r  =  fr  ........................  (D). 

If  r  can  be  separated  into  fifth-power  numbers,  all  different 
and  none  of  them  greater  than  of,  we  shall  evidently  have 

8  (a?)  —  (these  fifth-power  numbers)  =  b5  .........  (E). 

I  devised  this  formula  in  1887,  and  have  used  it  in  finding 
square  numbers  whose  sum  is  a  square  ;  cube  numbers  whose  sum 
is  a  cube  ;  biquadrate  numbers  whose  sum  is  a  biquadrate  ;  fifth- 
power  numbers  whose  sum  is  a  fifth  power,  and  sixth-power 
numbers  whose  sum  is  a  sixth  power.  See  the  Mathematical 
Magazine,  Vol.  n.,  No.  6,  pp.  89  —  96  ;  Quarterly  Journal  of 
Mathematics,  No.  103,  pp.  225—227. 

Examples.     9.     In  (D),  take  x  =  11  ;  then  S  (ar5)  =  381876. 
Take  6  =  12,  then 

r  =  133044  =  105  +  85  +  3"  +  25  +  15  ; 
therefore,  by  (E), 

I5  +  25  +  35  +  .  .  .  +  1  15  -  (I5  +  25  +  35  +  85  +  105)  =  125, 
or  45+55  +  65  +  75+95  +  ll5  =  125, 

the  same  as  found  in  Ex.  1  by  the  first  method. 

10.     Take  x  =  22,  then  8  (of)  =  2157103.     Take  6  =  24,  then 

r  =  13608409  =  215  +  205  +  195  +  175  +  165  +  lo5  +  13" 

+  125  +  35  +  25  +  l5; 
therefore,  by  (E), 

45  +  55  +  6.5  +  75  +  85  +  95  +  io»  +  1  1«  +  145  +  185  +  225  =  245. 


11.     Take  x  =  35,  then  8(xs)  =  333263700.     Take  b  =  50,  then 
r  =  20763700  =  265  +  245  +  14s  +  II5  +  105  +  95+  ...  +  I5  ; 

125+135  +  155  +  165  +  175+...  +  235  +  255  +  275  +  285 

+  295  +  .  .  .  +  35s  =  505. 


ON   FIFTH-POWER   NUMBERS.  171 

Also,  20763700  =  265  +  245  +  145  +  125  +  10s  +  85  +  35  +  25  +  15  ; 
...    45  +  55+65+75+95  +  ll5  +  135+155  +  165+l75+...  +  235 

+  255+276+285+295+... 


Again, 

20763700  =  266  +  225  +  1  95  +  165+  105  +  95  +  85+  65+  55+  45+  35+  2s; 


+  235  +  245  +  255  +  275  +  285  +  295  +  .  .  .  +  355  =  505. 

12.     Take  a?  =  46,   then   S(a?)  =  1683896401.     Take   &  =  70, 
then 

r  =  3196401  =  175  +  155  +  145  +  135  +  105  +  65  +  35  +  25  +  15  ; 

.  -.     45  +  55  +  75  +  8s  +  95  +  115  +  12s  +  i(j6  +  is5  +  195  +  205 


It  may  be  well  to  remind  those  who  would  object  to  these 
methods  on  the  ground  that  they  are  tentative  and  not  rigorous 
because  d  and  r  have  to  be  separated  into  fifth-power  numbers 
by  trial,  that  all  inverse  methods  in  arithmetic  and  the  higher 
branches  of  mathematics  are  tentative  and  depend  upon  trial  — 
division,  extraction  of  the  square  and  cube  roots  are  tentative 
processes  and  depend  upon  trial. 

"The  process  of  Integration  is  of  a  tentative  nature,  de- 
pending on  a  previous  knowledge  of  differentiation,  as  explained 
in  Chapter  I.;  just  as  Division  in  Arithmetic  is  a  tentative 
process,  depending  on  a  knowledge  of  Multiplication  and  the 
Multiplication  Table."  GREENHILL'S  Differential  and  Integral 
Calculus,  Second  Edition,  page  84. 

In  finding  these  sets  of  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a 
fifth  power  I  have  used  Barlow's  Tables,  edition  of  1814,  which 
contains  on  pp.  170-173  a  table  of  the  first  ten  powers  of  all 
numbers  from  1  to  100,  and  on  pp.  176-194  a  table  of  the  fourth 
and  fifth  powers  of  all  numbers  from  100  to  1000.  The  use  of 
these  tables  very  materially  facilitates  the  work. 

To  further  facilitate  the  work  I  have  formed  the  appended 
table  of  the  values  of  S  (x5)  for  all  values  of  #  from  1  to  60  by 
means  of  the  formula 


checking  the  work  at  intervals  by  the  formula 

8  (a?}  =  JL  a?  (x  +  I)2  (2#2  +  2x  -  1). 


172 


ARTEMAS    MARTIN. 


X 

S{«") 

X 

8(afi] 

X 

aw 

I 

1 

21 

16417401 

41 

850789401 

2 

33 

22 

21571033 

42 

981480633 

3 

276 

23 

28007376 

43 

1128489076 

4 

1300 

24 

35970000 

44 

1293405300 

5 

4425 

25 

45735625 

45 

1477933425 

6 

12201 

26 

57617001 

46 

1683896401 

7 

29008 

27 

71965908 

47 

1913241408 

8 

61776 

28 

89176276 

48 

2168045376 

9 

120825 

29 

109687425 

49 

2450520625 

10 

220825 

30 

133987425 

50 

2763020625 

11 

381876 

31 

162616576 

51 

3108045876 

12 

630708 

32 

196171008 

52 

3488249908 

13 

1002001 

33 

235306401 

53 

3906445401 

14 

1539825 

34 

280741825 

54 

4365610425 

15 

2299200 

35 

333263700 

55 

4868894800 

16 

3347776 

36 

393729876 

56 

5419626576 

17 

4767633 

37 

463073833 

57 

6021318633 

18 

6657201 

38 

542309001 

58 

6677675401 

19 

9133300 

39 

632533200 

59 

7392599700 

20 

12333300 

40 

734933200 

60 

8170199700 

III.  When  we  have  found  one  set  of  numbers  the  sum  of 
whose  fifth  powers  is  a  fifth  power  other  sets  may  be  deduced 
from  it. 


If  e5+f5  +  g*  +  h5  +  .....................  =w5  .........  (F), 

we  have  obviously 

(me)5  +  (mfj  +  (mg)5  +  (mlif  +  .........  =  (mw)5  ......  (G). 

Now  if  m  be  so  taken  that  w  =  me,  mf,  mg,  mh,  or  some  other 
one  of  the  numbers  in  (G),  we  can  substitute  e5  +f5  +  g5  +  h5  +  ... 
for  the  fifth  power  of  that  number  and  thus  obtain  another  set  of 
fifth  powers  whose  sum  is  a  fifth  power,  if  all  the  numbers  in  the 
left-hand  member  of  (F)  are  different  from  those  in  the  left-hand 
member  of  (G)  —  except  the  one  substituted  for. 

Examples.  13.  Multiply  the  set  in  Ex.  1  by  25,  and  substitute 
the  value  of  125,  and  we  have 


45  +  55  +  65  +  75  +  8s  +  95  +  10 
which  is  the  set  found  in  Ex.  10. 


145  +  185  +  22*  =  245, 


ON    FIFTH-POWER   NUMBERS.  173 

14.     In  Ex.  1,  take  m  =  5  and  substitute  the  value  of  305  from 
Ex.  2,  and  we  have 
55  +  10*  +  us  +  165  +  195  +  20'  +  255  +  295  +  355  +  458  +  555  =  605. 


15.  In  Ex.  3,  take  m  =  4  and  substitute  the  value  of  125  from 
Ex.  1  and  we  have 

45  +  o5  +  65  +  7s  +  95  +  II8  +  248  +  28s  +  325  +  405 

+  445  +  525  +  o65  +  605  +  64-5  +  725  +  1245  =  1285. 

16.  In  Ex.  1,  take  m  =  5,  and  in  Ex.  3,  take  m  =  4  ;  substitute 
the  value  of  605  thus  obtained  from  Ex.  1,  in  the  set  obtained 
from  Ex.  3  and  we  have 

128  +  205  +  245  +  258  +  285  +  305  +  325  +  3o8  +  405  +  445 

+  455  +  525  +  555  +  565  +  645  +  725  +  1245  =  1285. 

17.  In  Ex.  16,  substitute  the  value  of  305  from  Ex.  2,  and  we 
have 

55  +  iQs  +  11*  +  125  +  i6s  +  195  +  2Q5  +  245  +  255  +  285  +  295  +  325 
+  35"  +  406  +  445  +  455  +  525  +  555  +  566  +  645  +  725  +  1245  =  1285. 

18.  In  Ex.  10,  take  m  =  2  and  substitute  the  value  of  125  from 
Ex.  1  and  we  have 

45  +  o5  +  65  +  75  +  85  +  95  +  1()5  +  1  15  +  145  +  185  +  206 

+  225  +  286  +  365  +  445  =  485. 

19.  In  Ex.  10,  take  m  =  3  and  substitute  the  value  of  30s  from 
Ex.  2  and  we  have 

55  +  1Q6  +  us  +  12«  +  155  +  166  +  185  +  195  +  2F 

+  245  +  275  +  295  +  335  +  425  +  545  +  665  =  725. 

20.  In  the  second  set  of  Ex.  11,  take  m  =  2,  and  substitute 
the  value  of  125  from  Ex.  1  and  we  have 

45  +  55  +  65  +  75  +  85  +  95  +  1Q5  +  H5  +  145  +  JgS  +  225  +  265 

+  305  +  325  +  34s  +  365  +  385  +  405  +  425  +  445  +  465  +  505  +  545 
+  565  +  585  +  605  +  625  +  645  +  665  +  685  +  705  =  1005. 

In  this  way  may  be  found  an  infinite  number  of  sets  of  fifth- 
power  numbers  whose  sum  is  a  fifth  power. 

I  am  not  aware  that  any  other  person  than  myself  has  ever 


174  ARTEMAS    MARTIN. 

discovered  any  sets  of  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a  fifth 
power. 

In  my  search  for  fifth-power  numbers  whose  sum  is  a  fifth 
power  I  have  discovered  the  following  equalities : 

I5  +  65  +  95  +  II5  +  225  =  125  +  165  +  215, 
I5  +  o5  + 105  +  135  +  145  =  85  +  95  +  II5  +  lo5, 
105  +  II5  +  125  +  135  +  175  +  255  =  I5  +  55  +  75  +  215  +  24s, 
95  +  11s  + 125  +  135  + 165  +  185  =  I5  +  65  +  85  + 145  +  208, 

105  +  225  +  325  +  385  +  585  =  25s  +  305  +  3o6  +  455  +  55B, 
2s  +  45  +  o5  +  65  + 145  +  205  +  245  =  35  +  75  +  105  +  II5  +  128 


THE   INVARIANTS  OF  A  GROUP  OF  2-168  LINEAR 
QUATERNARY    SUBSTITUTIONS. 

BY 

HEINRICH    MASCHKE   OP  CHICAGO. 


IN  the  theory  of  Jacobian  modular  equations  of  the  8th  degree 
there  is  of  paramount  interest  a  group  G  of  2'168  linear  quaternary 
substitutions  which  is  isomorphic  with  the  Galois-group  of  the 
modular  equation.  This  group  occurs  again  as  a  subgroup  of  a 
group  derived  by  Prof.  Klein  from  line-geometry*  and  consisting 
of  7  !  linear  quaternary  substitutions. 

The  paper  which  I  have  the  honor  to  present  to  the  Congress 
is  devoted  to  the  investigation  of  the  invariants  of  this  quaternary 
group  G. 

Throughout  the  following  pages  an  "  invariant  of  a  group  "  is 
always  understood  to  be  an  integral  function  which  remains 
absolutely  unchanged  when  operated  upon  by  the  substitutions 
of  the  group.  We  have  to  deal  with  only  homogeneous  integral 
functions.  The  word  "  function "  without  any  further  attribute 
will  therefore  always  denote  a  homogeneous  integral  function  of 
the  variables. 

§  1.     The  group  G. 

The  group  G  is  defined  by  the  three  following  substitutions 
8,  T,  Q  which,  in  all  possible  combinations,  generate  the  2' 168 
substitutions  of  G. 


*  Klein:    "  Ueber  Gleichungen  6.  und  7.  Grades."    Math.  Annalen,  vol.  28, 
pag.  499. 


176  H.    MASCHKE. 

t '  —  t 
LI  —  tj , 

J  t2'  =  yt2, 

o  :   i 

'3'  =  7%> 

t;=j%, 


V-7.t,'  =   t,  +  t2  +t3  +tt, 

V  -~7  .  t/  =  2^  +(72  +  T5)  ^  +  (T3  +  T4)  *3  +  (7  +  76)  <4, 


v 


...ax 


where  7  =  e7 (2). 

The  determinant  of  each  of  these  substitutions  is  unity. 
The  above  substitutions  become  identical  with  Prof.  Klein's 
formulas  given  in  Math.  Ann.  vol.  xv.  p.  269,  by  taking: 

It  is  one  of  the  most  essential  features  of  the  group  G,  as  Prof. 
Klein  has  shown  *,  that  the  3  quadratic  expressions : 

yield  the  well-known  group  of  168  ternary  linear  substitutions,  if 
the  4  quantities  t  are  substituted  by  the  2168  formulae  of  G. 

For  further  investigation  we  have  to  direct  our  attention 
especially  to  two  subgroups  of  G. 

The  first — let  us  call  it  Gj, — consists  of  21  substitutions  and  is 
generated  by  S  and  T  (see  formulae  1).  This  group  leaves  ^  abso- 
lutely unchanged  and  is  therefore  a  ternary  group. 

The  second  subgroup,  G2,  is  generated  by  T  and  Q  (I)  only, 
and  can  be  resolved  as  we  shall  see  in  §  3  into  a  binary  group. 

The  plan  of  investigation  is  now  based  upon  the  idea  that 
every  invariant  of  G  must  also  be  an  invariant  with  regard  to 
G!  and  G2.  Combining  then  the  properties  of  the  invariants  of  Gl 
with  those  of  the  invariants  of  (?2  we  obtain  the  invariants  of  the 
main-group  G. 

*  Cf.  Math.  Annalen,  vol.  15,  pag.  271. 


A    LINEAR   QUATERNARY    SUBSTITUTIONGROUP.        177 


§  2.     Invariants  of  G^. 

The  following  functions  remain  evidently  unchanged  by  S  and 
T  (1)  and  therefore  by  all  the  21  substitutions  of  GI  : 

1  2*3*4  =   fl, 
*2  '3     r  ^3^4    T  *4  "2    ==  /•*> 


(4). 


^2    ~T~  t*3    "r   ^4    ^~    ^y 

But  moreover:  These  5  quantities  (4)  constitute  the  complete 
system  of  invariants  of  the  ternary  group  G1}  i.e.  every  invariant  of 
G!  is  an  integral  function  of  a,  /?,  7,  8,  e*.  As  to  the  proof  I  must 
refer  to  a  paper  which  will  appear  very  soon  in  the  American 
Journal  of  Math,  concerning  ternary  groups  which  leave  the 
product  £2^4  unchanged +.  I  shall  give  there  a  complete  investi- 
gation of  the  invariants  of  the  groups  in  question. 

There  exist  two  relations  between  the  5  quantities  (4)  viz. : 


J3>  +  S2 


-  7e  +  9a4  =  0, 


.(5). 


§  3.     The  subgroup  G* 

In  order  to  reduce  the  substitutions  of  this  group  to  a  simpler 
form  we  put  : 


7/2= 


2/4= 


where 

and  accordingly 


=  -  -    2/1  +  2/ 


*  There  will  be  no  confusion,  I  think,  if  y  and  e  are  used  for  different  notations 
in  (2),  (7)  and  (4). 

t  Am.  Journ.  of  Math.  Vol.  17,  No.  2. 

c.  P.  12 


178  H.    MASCHKE. 

The  effect  of  T  and  Q  (1)  on  the  4  quantities  y  is  now  this  : 


,'  =  <?y» 


-y  =  7/22/3 
where  t  =  V  —  1  and 


There  is 

=  +  7...  (11). 


Tand  Q  (9)  have  therefore  the  peculiar  feature  that  y1}  y.2  as 
well  as  ys,  yt  are  substituted  binarily.  Owing  to  this  there  is  no 
difficulty  in  finding  the  invariants  of  G2.  These  invariants  contain 
either  only  ys  and  y4)  or  only  yt  and  y2,  or  they  contain  ylt  yz  and 
2/3,  2/4,  in  which  case  they  are  homogeneous  in  either  set  of  the 
two  variables.  Let  us  denote  them  for  shortness  by 


V(yi,y^=v      ..................  (12). 

W(yltya;  y3,yt)=  W,) 

For  our  purpose  it  is  only  necessary  to  determine  the  invariants 
U  in  full,  that  is,  the  invariants  of  that  group  whose  generating 
substitutions  are 

yi  =  €^>      and      ^-I'*;-**'L        ..(13). 
2/4  =  ey4,  V-  7.  T//  =  7722/3,' 

This  is  a  dihedron-group  for  n  =  3  and  its  complete  system  of 
invariants  is  given  by  the  three  functions 


i)jrt          .........  (14) 

"  =  y&*  L(3e  +  i)  y36  +  (36>  +  1)  y/],  ) 

with  the  relation 

v2  =  X  (^2  +  28X3)  .....................  (15). 

Every  invariant  Z7  (12)  is  therefore  an  integral  function  of 
X,  ft,  v.  With  regard  to  U,  V,  W  it  may  be  remarked  that  either 
function  must  be  of  an  even  degree  in  the  variables  y  and  therefore 


A    LINEAR    QUATERNARY   SUBSTITUTIONGROUP.        179 

also  in  the  variables  t  (8).    This  follows  immediately  from  the  fact 
that  the  second  power  of  the  substitution  Q  (9)  is  simply : 


§  4.     Brioschi's  formulae. 

Before  trying  to  derive  conclusions  about  the  nature  of  the 
invariants  of  the  principal  group  G  from  the  results  of  §§  2  and  3 
it  will  be  advantageous  to  avail  ourselves  of  some  results  bearing 
on  the  connection  between  our  group  G  and  the  theory  of  Jacobian 
equations. 

A  Jacobian  equation  of  degree  n  + 1  taken  in  the  general  sense, 
that  is,  independent  of  the  theory  of  elliptic  functions,  is  an 
equation  the  square  roots  of  the  n  + 1  roots  of  which  are  ex- 

n  + 1 
pressible  linearly  in  terms  of  — <,—  quantities  tlt  tz, ...  tn+i  and  co- 

2  ~T 

efficients  which  are  merely  numerical  irrational  numbers,  viz.,  in 
essence,  rath  roots  of  unity*.  Let  us  denote  in  the  case  n  =  7  the 
8  roots  of  the  Jacobian  equation  by  xx>  as0i  xl}  x2,  ...  #8,  and  the 
square  roots  of  these  quantities  by  P&,  P0,  P1,...P6  respectively. 
We  have  then  in  this  case  the  formulae 


-Poo   =   V   —  7   .  £1; 

Pv=  *i  +  7r 

where  7  is  again  defined  by  (2). 

The  following  theorem  due  to  Prof.  Klein  -f-  is  of  fundamental 
importance  in  the  theory  of  Jacobian  equations : 

"  Those  permutations  of  the  quantities  P  =  *Jx  which  constitute 
the  Galois  group  of  the  Jacobian  equation  are  produced  by  a  group 

n  -t- 1 
•of  linear  substitutions  of  the  — » —  quantities  tly  t2, ...  tn+i" 

*  ~2~ 

This  group  of  linear  substitutions  is  now  in  the  case  n  =•  7 
precisely  our  group  G  given  by  formulae  (1).  Thus  we  see  that 
the  8  quantities  P — or  more  exactly  ±  P — are  only  permuted 


*  Jacobi,  Ges.  Werke,  vol.  i.,  pag.  261. 

t  Klein,  "  Ueber  das  Icosaeder."    Math.  Annalen,  vol.  12,  pag.  519. 

12—2 


180 


H.    MASCHKE. 


among  themselves  if  the  t's  are  operated  upon  by  the  substitutions 
of  G.     The  formulae  corresponding  to  8,  T,  Q  in  (1)  are  these  :* 

S-.   P;=P,+I, 

T:     PJ  =  PV, 
(P  '  -  P 

I  •*    00     —  -••    0, 

P'      —  —    P 

I  -*  0      '  J   oo, 

p,  /*S 

-A     i.          ^— 


Q: 


•(17). 


for  v  =  l,  2,  ...6. 

It  follows  at  once  that  every  symmetrical  combination  of  the 
8  quantities  P2  (16)  is  certainly  an  invariant  of  our  group  G. 

Also  the  product  of  the  first  powers  of  the  8  P's  is  an  in- 
variant as  can  be  seen  directly  from  formulae  (17).  The  product 
Px'P0'Pi...P6',  when  Q  is  applied,  contains  4  negative  signs,  viz. : 

P  '  —      P        P  '  —  -  P       P'  —  -  P       P'  —  —  P 

•LO  —  — -L  oo,      -t  3   -        •*»»      -LS  -       -*4,      *i  ~        -LI- 

Let  us  denote  this  invariant  of  the  8th  degree  by  \f  —  7  -Ts,  so 
that  we  have 

1 


.(18). 


p  _     * p  p  p       p 

,  •   T^f       -    V" 

As  to  symmetrical  combinations  of  the  P2  we  see  that  they  are 
determined  completely  by  the  coefficients  of  the  Jacobian  equation, 
the  roots  being  just  our  quantities  P.  These  coefficients  have 
been  calculated  in  full  length  by  Brioschif  in  terms  of  ^  and  the 
following  functions  of  ta,  t3,  t4 : 


(19). 


«£V 

3  +  t? 

J&4  =  a  • 

%  =  b 

+  tytf  + 

1     **4 

n      .        ** 

a  =  d 

i 

Taking  up  the  notation  (4)  of  §  2  we  have 


,     e  = 


e  ...  (20), 


*  Cf.  Math.  Annalen,  vol.  15,  pag.  269. 

t  Brioschi,    "Jacobische    Gleichungen   achten   Grades."      Math.    Annalen, 
vol.  15,  pag.  241. 


A   LINEAR   QUATERNARY   SUBSTITUTIONGROUP.       181 
and  the  2  relations  (5)  are  now  transformed  into 

^     '' 


We  see  that  Brioschi's  result  agrees  precisely  with  our  state- 
ment laid  down  in  §  2  that  every  invariant  of  G  must  be  an  integral 
function  of  tlt  a,  /3,  7,  S,  e. 

Brioschi  writes  the  Jacobian  equation  in  this  form: 

a?  -  HAx6  + l^Bo?  -  7(7#4  +  14ZV  -  7Ea? 

-f  (49^  -  H2)  x  -  ItfH*  =  0 (22), 

and  he  finds  for  the  coefficients  the  following  expressions : 
A  =  2V  +  Gat!  +  b,  ^ 

C  =  30^8  -  252a^5  +  14&V  +  140c^3  +  42  (2a2  +  d)  t? 

+  2(14a6  +  eK  +  7(8ac- 

-  4  (14a6  +  3e)  ^3  + 1 4  (b2  -  12ac)  tf  +  14  (be  -  \ 

+  nd  -  14c2  -  2ae,  [  (23). 
E  =  20^12  -  I72a^9  + 1906^8  -  SGOc^7  +  28  (38a2  -  d)  if 

-  4  (126a6  -  19e)  t,5  +  14  (962  -  32ac)  tf 

-  28  (56c  -  Wad)  tf  -  2  (496d  -  TOc2  -  2Qae)  tf 
+  2  (Ucd  -  3be)  ^  +  4ce  -  7d2, 

From  these  formula3  we  derive  directly  a  number  of  invariants 
of  G.  A  and  B  are  the  only  invariants  of  their  respective  degrees. 
Instead  of  C  a  combination  of  C,  A2  and  F8  (18)  can  be  taken  and 
similarly  the  higher  invariants  can  be  replaced  by  suitable  combi- 
nations. In  the  formulae  (25)  these  combinations  are  so  taken  as 
to  render  the  coefficient  of  ti°  as  simple  as  possible ;  this  proves  to 
be  convenient  for  further  calculations.  The  term  —  ItiH*  is  evi- 
dently IV  (18)  and  we  have  therefore  in  full  length : 

—  /  8  _L  1  4</7/  5 *7/)/  4  -l- 1  Art  3 *7rJt  2  4-  pf  (94i\ 

g  ^~   C/i       |^    JL TCc/C'i     ^^        t/l/i      ^^  J- TvC/i  I  W/c/j     T^  Dl/j     ••••••    \^j:l, 

For  the  other  6  invariants  we  put  down  the  following  expres- 
sions given  in  terms  of  £1}  a,  b,  c,  d  (19)  and  also  in  terms  of 
Brioschi's  expressions  (23) : 


182  H.    MASCHKE. 


=  A  =  2^4  +  6a^  +  6, 

^3  -  lOfc^2  -  10c^  -  14a2 


ac, 


+  7  (16a2  -  d)  V  +  (42a&  -  e)  t,3  +  7  (62  +  Sac)  t? 
+  7  (7a3  H-  be)  tt  +  ae, 
cl>12  =  ^[7(&-  +  AC  +  35A3)  -  VIE]  =  26^12  +  202<> 

-  336^  +  120c^7  +  14  (13a2  +  d)  tf  +  (378a6  -  23e)  if 
+  7  (35ac  -  262)  tf  +  14  (49a3  -  lOad  +  5bc)  tf 

+  2a(10e  +  49ai)^2+(49a2c  +  49a62-  "ted  +  2be)t,  +  ce, 
3>M  =  49^2F-  Hz  =  48^14  +  7  .  24a^n  +  7  .  446^° 

-  28  .  57cV  +  63  (21a2  +  22rf)  ^8  -  8  (37e  +  490a6)  t,7 
+  4  .  49  (12ac  +  562)  ^6  +  196  (load  -  136c)  ^5 

+  14  (13  .  14c2  -  86ae  -  7bd)  tf  +  28  (llbe  -  4,2cd)  tf 
-  16ce)  £a2  +  14^  -  e2. 


§  5.     Construction  of  the  invariants  of  G. 

Using  the  letter  M*  to  denote  any  invariant  of  G,  we  know  from 
the  results  of  §§  2  and  3  that  : 

(1)  Every  invariant  M*  is  an  integral  function  of  tlf  a,  /?,  7, 
«,  e  (4). 

(2)  Every  invariant  ^  is  an  integral  function  of  the  functions 
U,  V,  W  (12),  where  in  particular  the  U's  are  integral  functions 
of  \,  p,  v  (14). 

Let  us  put  now  ^  =  0  in  M^  and  accordingly  also  yx  =  0  (8),  and 
let  us  call  "^o  the  corresponding  value  of  ^P.  Then  ^0  will  be  a 
function  of  a,  y3,  7,  8,  e,  or,  if  written  in  the  y's,  of  the  functions  U0, 
F0,  W0  derived  from  U,  V,  W  by  putting  y^  =  0.  (There  is  evi- 
dently UQ  =  U.) 

The  problem  is  now,  to  find  those  combinations  of  a,  /3,  7,  S,  e 

which  are  at  the  same  time  functions  of  U,  V0,  W0.     But  it  has 

been  shown  at  the  end  of  §  3  that  M*  must  be  of  an  even  degree, 

Therefore  only  these  combinations  of  a,  @,  7,  8,  e  can  be  admitted  : 

a2,  /3,  8,  ay,  oe,  7e,  e2  ..................  (26). 

The  quantity  7*  which  is  also  even  can  be  omitted  because,  owing 
to  (5),  72  is  expressible  in  terms  of  the  other  quantities. 


A    LINEAR   QUATERNARY   SUBSTITUTIONGROUP.       183 
The  invariants  <!><  (25)  have  the  following  values  for  ^  =  0 : 

<E>6<o)  =  _  (i4a»  +  d)  =  -  (15a2  +  5)  =  -  A, 

'  (27). 

>12«»  =ce=y  (7a/3  +  e), 

>       (0)    _2    /*7/v/9    _1_    c\2 

V '  —  —  e  —  —  (tap  +  ey, 

Now  it  is  obvious  that  the  quantities  (26)  are  expressible  as 
integral  functions  of 

a2,  b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2 (28), 

and  conversely,  where  A  stands  for 

14a2  +  d  =  15a2  +  8. 
Thus  we  may  say : 

The  leading  term  of  any  invariant  W — that  is  that  term  of  M* 
which  does  not  contain  ^ — is  an  integral  function  of  the  quantities 
(28). 

If  we  write  the  2  relations  (5)  or  (21)  in  a,  b,  c,  A,  e,  we  find : 

c2+ae  +  7a26-6A  =  0  j 

/ 

Since  now  the  leading  terms  (27)  of  our  invariants  <I>;  are  given 
exactly  by  the  quantities  (28)  except  a2,  it  will  be  possible  to  make 
any  combination  of  b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2  a  leading  term  of  some  in- 
variant M?  which  will  be  given  by  a  proper  integral  combination  of 
the  invariants  3>t-. 

Combining  this  result  with  what  was  stated  at  the  beginning 
of  this  paragraph,  we  may  say  : 

Every  integral  function  of  b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2  is  a  function  of  U, 
Fo,  W0. 

We  have  now  to  find  the  condition  under  which  an  integral 
function  of  the  preceding  quantities  b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2  and  of  a2 
can  be  a  function  of  U,  VQ,  W0.  But  according  to  (29)  a4  can  be 
reduced  to  a2  and  the  other  quantities  and  therefore  any  integral 
function  of  the  quantities  (28)  can  be  reduced  to 

a2f(b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2)  +  g  (b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2), 

where  the  second  part  g  not  containing  a2  is  a  function  of  U,  F0,  W0 
owing  to  the  above  given  theorem. 


184  H.    MASCHKE. 

The  problem  is  now  reduced  to  the  examination  of  the 
equation : 

a*.f(b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2)  =  F(U,  F0,  TT0) (30). 

Let  us  expand  /  according  to  powers  of  e2.  We  notice  that  all 
those  terms  which  contain  e2  and  its  higher  powers  are  functions  of 
b,  A,  ac,  ae,  ce,  &  only,  since  a2 .  e2*  =  (ae)2 . (e2)A~2.  Hence  all  these 
terms  are  functions  of  U,  F0,  W0,  and  we  have  now  an  equation 

a\<f>(b,  A,  ac,  ce,  ae)=G(U,  F0,  TF0) (31). 

In  this  function  <£  we  may  suppose  that  ae,  ce,  ae  occur  only  in  the 
first  power  because  all  the  higher  powers  of  c  and  those  powers  of 
a  which  are  higher  than  a3  can  be  reduced  by  formula  (29).  Equa- 
tion (31)  can  then  be  written 

a?  [^  (b,  A)  +  acfa  (b,  A)  +  ce<j>3  (b,  A) 

+  ae^(b,^)]  =  G(U,V0,W0) (32). 

But  a2 .  ce  =  (ac)  (ae)  and  from  (29)  we  find 

27a3e  =  64  +  262ac  -  bee  +  6A2  -  27  (ac)2 (33). 

The  3rd  and  4th  term  of  the  left  side  of  (32)  are  therefore  again 
expressible  in  terms  of  U,  F0,  W0,  and  we  obtain 

a»[fc(6,  A)  +  ac02(6,  *)]  =  H(U,  F.,  W0) (34). 

In  this  equation  let  us  put  now  y2  =  0 ;  that  is,  we  have  to  put 
in  a,  b,  c,  A,  which  are  given  as  functions  of  tz,  t3,  tt: 

3£2  =  2/3  +  2/4, 
3£3  =  e22/3  +  63/4, 
3£4  =  62/3  +  e22/4, 

according  to  (8).  Thus  we  find  that,  save  a  non-vanishing  nu- 
merical factor,  the  values  of  a,  b,  A  for  2/2  =  0  are  given  by 

«o  =  2/s3  +  2/43,         b0  =  X, 
A0  =  fi,  (ac\  =  X2  -  v, 

where  X,  p,  v  are  the  quantities  defined  by  (14)  and  (15). 

In  the  term  H  (U,  F0,  W0)  in  (34)  F0  and  W0  vanish  for  y,  =  0 
since  they  are  homogeneous  in  y^  and  t/2  as  shown  in  §  3,  while  U 
is  not  affected  at  all.  But  U  is  itself  an  integral  function  of  \,  /z, 
v,  and  so  we  obtain  the  equation  : 

i  (X,  /*)  +  (X2  -  i,)  02  (X,  /*)]  =  f  (X,  /*,!/)..  .(35). 


A    LINEAR   QUATERNARY   SUBSTITUTIONGROUP.        185 

The  left  side  of  this  equation  cannot  vanish  identically  except  when 
0!  and  $2  are  both  zero,  because  the  only  relation  between  \,  p,  v 
is  given  by  (15) 

i/2  =  X  (/i2  +  28\3). 

It  should  be  noticed  that  in  order  to  make  this  conclusion  it 
was  necessary  to  dispose  of  the  quantity  e  in  equation  (30)  and  the 
following  equations  on  account  of  e  =  0  for  y2  =  0. 

Now  it  can  be  shown  at  once  that  equation  (35)  cannot  subsist, 
for,  applying  the  substitution 


-    .  y>  =  wjt, 
^  -  7  .  yi  =  1722/3, 

all  terms  remain  unchanged  except  the  factor  ys3  +  yt3. 

By  this  the  following  theorem  has  been  proved :  The  leading 
term  of  any  invariant  ^  of  our  group  G  is  an  integral  function  of 
the  quantities  b,  A,  ac,  ce,  ae,  e2. 

§  6.     The  complete  system  of  invariants  of  G. 

Let  us  denote  by  <£  any  integral  function  of  the  6  expressions 
3>i  (25) ;  let  <f>0  be  that  value  of  <£  which  is  obtained  by  putting 
ti  =  0.  Then  we  know  that  <£0  will  be  some  function  of  b,  A,  ac,  ae, 
ce,  ez.  Let  now  any  invariant  ^  of  G  be 

^  =  ¥«  +  t, .  F. 

There  will  exist  some  function  <j>  whose  term  <£0  will  be  pre- 
cisely ^Po  since,  owing  to  the  result  of  §  5  ^o,  as  the  leading  term 
of  the  invariant  ^,  is  also  expressible  in  terms  of  b,  A,  ac,  ae,  ce,  e2. 
We  have  then 

<j>^^0  +  tl.G. 

Hence  V  -  <j>  =  t1(F  -  G). 

But  the  appearance  of  ^  as  a  factor  of  an  invariant  involves  at 
once  the  appearance  of  the  whole  function  F8  (24)  as  a  factor,  this 
function  being  the  product  of  all  those  terms  into  which  ^  is  trans- 
formed by  the  substitutions  of  G.  Thus  it  follows 

^-0  =  r8.^', 

and  in  this  equation  W  must  again  be  an  invariant  of  G.     Apply- 


186  H.    MASCHKE. 

ing   the   same   method   again   to   ^',  etc.,   we    obtain   a   set   of 
equations 


¥"  =  <f>"  +  W",  etc., 
and  finally          ¥  =  0  +  T^'  +  r82<£"  +  r83<£"  '  +  .  .  .  , 

where  <£,  <£',  0",  <f>"  are  integral  functions  of  the  6  invariants 
3>;  (25). 

So  we  have  reached  the  following  result  : 

Every  invariant  of  G  is  an  integral  function  ofT8,  3>4,  3>6,  3>8, 
3V  ^m  3>i4,  defined  by  (24)  and  (25). 

These  7  functions  constitute  therefore  the  complete  system  of 
invariants  of  G. 

§  7.     Relations  between  the  forms  of  the  complete  system. 

There  must  exist  3  relations  between  the  7  invariants  of  the 
system,  the  number  of  independent  variables  being  4.  These 
relations  are  of  the  20th,  22nd  and  24th  degrees  in  the  4  variables 
t  ;  they  are  given  by  these  3  equations  : 

(1)  73V  (3>43  +  3>62  -  3>12)  +  273>10  (3>43>6  +  3>10) 

+  3>8  (143V  -  7  .  273>43>8  +  273>12) 

+  (133V  -  293>43>8  -  3V  +  3>12)  T8  -  23>4F82  =  0, 

(2)  3>103>12  +  3>83>14  +  7  (<1V  3>6  -h  3>63>8  +  3>43>10)  T8  -  3>6r82  =  0, 

(3)  3>122  +  7  <J>43>102  -  3>14  (3>10  +  3>43>6)  -  (63>63>10  -  63>43>12 

+  73>82  4-  2103>42  3>8  +  73>4  3>62  +  73>44)  T8  +  (223>8 

-  133>42)  r82  +  r83  =  o. 

UNIVERSITY  OF  CHICAGO. 


TABELLEN  VON  ENDLICHEN  CONTINUIR- 
LICHEN  TRANSFORMATIONSGRUPPEN. 

VON 

FRANZ  MEYER   IN   CLAUSTHAL. 

I.    DIE  PROJECTIVEN  GRUPPEN  DER  EBENE*. 

DIE  erste  Tabelle  enthalt  die  Typen  von  projectiven  Gruppen  der 
Ebene.  Jede  existirende  projective  Gruppe  der  Ebene  lasst  sich 
durch  projective  Transformation  in  einen  und  nur  einen  der  auf- 
gestellten  Typen  iiberfuhren. 

Diese  Typen  werden  in  der  zweiten  Tabelle  unter  Beniitzung 
der  bei  ihnen  invariant  bleibenden  geometrischen  Gebilde  einzeln 
characterisirt. 

Die  dritte  Tabelle  giebt  fur  jeden  Typus  eine  characteristische 
invariante  Differentialgleichung  an,  in  dem  Sinne,  dass  der 
jeweils  vorliegende  Typus  die  umfassendste  projective  Gruppe 
der  Ebene  darstellt,  welche  die  zugehorige  Differentialgleichung 
invariant  lasst. 

*  In  dem  in  Balde  erscheinenden — unter  Mitwirkung  von  Herrn  Engel  von 
Herrn  Lie  bearbeiteten — dritten  Bande  der  "  Transformationsgruppen"  finden 
sich  die  infinitesimalen  Tramformationen  fur  die  Gruppen  der  ersten  und  vierten 
Tabelle  aufgezahlt.  Der  Verfasser  hat  dieselben  hier  "  integrirt,"  theils  direct, 
theils  mittels  geometrischer  Uberlegungen. 

Die  infinitesimalen  Transformationen  der  ersten  Tabelle  finden  sich  auch  in 
dem,  ebenfalls  demnachst  erscheinenden — unter  Mitwirkung  von  Herrn  Scheffers 
von  Herrn  Lie  bearbeiteten — zweiten  Bande  iiber  Anwendungen  der  Transfor- 
mationsgruppen ;  daselbst  wird  auch  die  geometrische  Characterisirung  des  Theiles 
A.  unserer  zweiten  Tabelle  hinzugefiigt. 

Endlich  enthalt  "Lie-Scheffers"  auch  bereits  einige  der  Differential- 
gleichungen  unserer  dritten  Tabelle,  so  vor  Allem  (1)  und  (2  a). 

Die  Bedeutung  der  hier  in  endlicher  Form  geschriebenen  Gruppen  erhellt  unter 
Anderem  gerade  aus  der  dritten  Tabelle,  die  aus  der  ersten  durch  alleinige  Zuhulfe- 
nahme  von  Differentiationen  und  Eliminationen  abgeleitet  wurde. 


188  FRANZ    MEYER. 

Mit  einigen  Ausnahmen  ist  fur  die  Differentialgleichungen 
mit  Absicht  nicht  die  einfachste  Form  gewahlt,  sondern  eine 
solche,  dass  sich  aus  ihr  unmittelbar  die  beiden  unabhangigen 
Differentialinvarianten  der  Gruppe  ablesen  lassen. 

In  unmittelbarem  Anschluss  an  die  erste  Tabelle  sind  endlich 
in  einer  vierten  die  Typen  fur  die  homogenen,  projectiven  Gruppen 
in  drei  Veranderlichen  vereinigt. 

Im  Ubrigen  sei  auf  die,  einer  jeden  Tabelle  folgenden  Einzel- 
bemerkungen  erwiesen. 

I. 

Die  Typen  der  projectiven  Gruppen  der  Ebene. 

A.     Achtgliedrig. 

/i\        ,_ax  +  by+k       ,_cx  +  d    +  l 
~ex+fy         '    y  ~ 


B.  Sechsgliedrig. 

{(2  a)  x  =  ax  +  by  +  k,  y'  =  ex  +  dy  +  I. 

(Zfo   >_  ax  +  by  ,_  cx  +  dy 

\&  u  i  «x/  —  —  — ^ ~  ,   w — « — . 

ex+fy  +  l  ex+fy  +  l 

C.  Fiinfgliedrig. 

[(3  a)  (2  a) 

1(36)        e(26)K 
(4)      x'  =  ax  +  k,     y'  =  ex  +  dy  +  I. 

D.  Viergliedrig. 

j(5  a)   x'  =  a*x  +  k,        y'  =  ay  +  cx  +  I. 
1(5  6)    x  =  a1-aJ3  +  k,     y'  =  ay  +  ex  +  I. 
a  ist  eine,  von  £  verschiedene,  willkiirliche  Constante. 

(6)  x  =  ax  +  k,     y'  =  a?y  +  ex  +  I. 

(7)  x'  =  ax  +  k,     y'  =  y  +  ex  + 1. 

(8)  x'  =  ax  +  by,   y'  =  cx  +  dy. 
((9  a)   x'  =  ax  +  k,     y'  =  dy  +  I. 

1(9  6)   x'  =  ax,  y'  =  cx  +  dy  +  I. 


CONTINUIRLICHE   TRANSFORMATIONSGRUPPEN.         189 

E.     Dreigliedrig. 

(10)  x'  =  x  +  k,  y'  =  y  +  cx  +  l. 

(11)  x  —  ax  +  k,  y  =  a?y  +  akx  +  I. 
r(l  2  a)   x'  =  x  +  k,  y'  =  $y  +  ex  +  I. 


(13)      x'  =  ax+by,  y'  =  cx  +  dy. 
mit  ad  —  bc  =  1. 

f(14a)  x'  =  a*~lx  +  k,     y'  =  a*y  +  l.         ) 

r  ,  I  a  1st   erne  willkiir- 

((146)    x=ax,  y=aay  +  cx  +  l) 

liche  Constante. 
(15)      x'  =  ax,  y'  =  dy  +  I. 

((16  a)   a;'  =  ax  +  k,     y'  =  ay  +  l. 
1(166)    x'  =  x,  y'  =  cx  +  dy  +  l. 

(17)  x'  :  y  :  1  =  a?x  +  2aby  +  62  :  acx  +  (ad  +  bc)y  +  bd 

:  tfx  +  2cdy  +  cZ2. 

F.     Zweigliedrig. 

(18)  x'  =  x  +  k,  y'  =  y  +  kx  +  l. 
((19  a)  x'  =  x  +  k,  y'^^y  +  L 
((19  6)   x  =  elx,  y  =  y  +  ex  +  /. 
[(20  a)   x'  —  ax,  y'  =  aay  +  ex. 
((20  6)   x  =  aax,  y'  =  ay  +  ex. 

a  ist  erne,  von  0  und  1  verschiedene,  willkiirliche  Constante. 

(21)  x'  =  ax,  y'  =  y  +  l. 

J(22a)  x'  =  x  +  k,  y'  =  y  +  l. 

((226)  x'  =  x,  y'  =  y  +  cx  +  l. 

(23)  x'  =  ax,  y'  =  dy. 

[(24  a)  x  =  ax,  y  =  ay  4-  £. 

|(246)  a,''  =  ^,  y'  =  dy+L 

(25)      «'  =  ««  +  A;,     y  =  a2t/  -t- 


G.     Eingliedrig. 

(26)      x'  =  ax,     y'  =  aay. 
a  ist  eine,  von  0  und  1  verschiedene,  willkiirliche  Constante. 


190  FRANZ    MEYER. 

(27)  x'  =  x  +  k,  y  =  eky. 

(28)  x'  =  x  +  k,  y'  =  y  +  kx  +  ^. 

(29)  x  =ax,  y'  =  ay. 

(30)  x'  =  x,  y'  =  y  +  l 

Unter  einem  m-gliedrigen  Typus  1st  ein,  von  genau  m  unab- 
hangigen  Parametern  a,  b,  c,...  abhangender  zu  verstehen. 

Nur  in  zwei  Fallen,  (1)  und  (17),  treten  die  Parameter  in 
homogener  Form  auf. 

Tragt  ein  und  dieselbe  Nummer  die  Indices  a  und  b,  so  sind 
das  stets  zwei  zu  einander  dualistische  Typen,  die  iibrigen  sind  zu 
sich  selbst  dualistisch. 

In  (5),  (14),  (20),  und  (26)  tritt  noch  eine  willkiirliche 
Constante  a  auf,  so  dass  jede  dieser  Nummern  eigentlich  unendlich 
viele  Typen  reprasentirt,  im  Allgemeinen*  sind  zwei  Einzeltypen 
mit  verschiedenem  a  projectivisch  nicht  in  einander  iiberfiihren. 

Endlich  sei  noch  bemerkt,  dass  die  Typen  der  Tabelle  in  eine, 
leicht  erkennbare,  canonische  Form  gebracht  sind ;  wo  z.  B. 
(wenigstens)  eine  Gerade  invariant  bleibt,  ist  eine  solche  in's 
Unendlich- Feme  verlegt  worden  u.  s.  f. 

II. 

Geometrische  Characterisirung  der  Typen. 

A.     Das  invariant  bleibende  Gebilde  definirt  allein  schon   den 
Typus. 

*  Bei   (5 a)  fuhrt  1-a  stets  zum  dualistischen   Typus  (56),  bei  (14)   gehoren 

immer  a  und  -  zu  zwei  aequivalenten  Einzeltypen ;  bei  (20  a)  liefert  -  wiederum 
a  a 

den  jeweiligen  dualistischen  Typus  (20  6),  endlich  gehoren  bei  (26)  die  sechs  Werthe 

1  la-la. 

a,  -  ,    1-a,    ; ,    -  —  , zu  ieweils  aequivalenten  lypen. 

a  1  —  a         a         a  —  1 

Die  Falle  (7),  (16),  und  (24)  lassen  sich  auch  als  Specialfalle  von  resp.  (5),  (14), 
und  (20)  auffassen,  sobald  man  bei  letzteren  die  willkiirliche  Constante  a  homogeni- 
sirt,  also  schreibt : 

(5)     x'  =  aax  +  k,    y'  =  a^ij  +  cx  +  l. 
(14)     x'  =  a 
(20)    x'  =  aax, 

Dann  geht  aus  (5)  fur  /3  =  0,  a  =  l  (7)  hervor,  aus  (14)  fur  a=£=l  (16a),  fur 
a  =  0,  /3=1  (16  b),  endlich  aus  (20)  fiir  a  =  /8=l  (24  a),  und  fur  o  =  0,  0=1  (246). 


CONTINUIRLICHE   TRANSFORM ATIONSGRUPPEN.         191 

(1)      Weder  ein  Punkt,  noch  eine  Gerade,  noch  ein  Kegel- 
schnitt  bleiben  invariant. 

(2  a)   Invariants  Gerade  (d.  i.  eine  Gerade  und  ein  auf  ihr 
liegender  Punkt). 

(3  a)   Invariante  Gerade  und  invariante  Flacheninhalte. 
(4)      Invariantes  Linienelernent. 

(8)      Invarianter  Punkt  und  invariante  Gerade  getrennt. 
(9  a)   Invariante  Gerade  und  zwei  invariante   Punkte  auf 
ihr. 

(13)      Wie  bei  (8),  nebst  invarianten  Flacheninhalten. 

(15)  Zwei  invariante  Punkte  und,  ausser  ihrer  invarianten 
verbindenden,  noch  eine  invariante  Gerade  durch 
einen  der  Puukte. 

(16  a)   Invariante  Punkte  einer  Geraden. 

(17)  Invarianter  Kegelschnitt. 
(23)       Invariantes  Dreieck. 

(24  a)  Invariante  Punkte  einer  Geraden  und  noch  eine 
invariante  Gerade. 

(25)  Invarianter  Kegelschnitt  und  ein  invarianter  Punkt 

auf  ihm. 

(26)  Invariantes  Dreieck  und  oo  1  invariante,  von  Geraden 

verschiedene  Curven. 

(27)  Zu  (15)  noch  x1  invariante  Curven. 

(28)  Ein  invariantes  Linienelement  und  oo  l  Kegelschnitte, 

die  dieses  gemein  haben. 

(29)  Invariante    Punkte    einer    Geraden    und   invariante 

Strahlen  eines  nicht   auf  der   Geraden   liegenden 
Biischels. 

(30)  Invariante   Punkte    einer    Geraden    und    invariante 

Strahlen  eines  auf  der  Geraden  liegenden  Btischels. 

B.     Das   invariante   Gebilde    im   Verein    mit    der   Anzahl    der 

Parameter  characterisirt  den  Typus. 
(14  a)   Wie  (9  a),  aber  dreigliedrig. 

(18)  Wie  (4),  aber  zweigliedrig. 
(19  a)   Wie  (9  a),  aber  zweigliedrig. 


192  FRANZ    MEYER. 

(20  a)  und  (21).     Wie  (15),  aber  zweigliedrig.     Dabei  ist  (21) 
zu  sich  selbst  dualistisch,  (20  a)  nicht. 

(22  a)   Wie  (16  a),  aber  zweigliedrig. 

F.     Das  invariante  Gebilde  —  ein  Linienelement  —  ,  im  Verein  mit 
der  Anzahl  der  Parameter  und  der  Angabe  eines 
Untertypus  characterisirt  den  Typus. 
(5  a)   Viergliedrig,  enthk'lt  (20  a)  als  Untertypus. 

(6)  „  „        (25) 

(7)  „  „        (21) 

(10)  Dreigliedrig,  enthalt  (22  6)  als  Untertypus. 

(11)  „  „        (25) 
(12  a)              „               „         (19  a) 

Die  dualistischen  Characterisirungen  sind  der  Klirze  halber 
unterdriickt  worden. 

Die  Falle  (3  a)  und  (13)  lassen  sich  auch,  unter  Weglassung 
der  invarianten  Flacheninhalte,  unter  B.  einordnen  (mit  Angabe 
der  5  resp.  3  Parameter). 

Die  bei  F.  gegebenen  Definitionen  konnten  noch  mannigfach 
modificirt  werden. 

III. 

Characteristische  invariante  Differentialgleichungen  fur  die 
Typen  der  projectiven  Gruppen  der  Ebene. 

A.  Achtgliedrig. 

(1)       y,  =  0. 

B.  Sechsgliedrig. 

1(2  a)    oy#t  -  By./  =  0. 

((2  6)    k0  =  0,  wo  k0  unter  (3  b)  erklart  ist. 

C.  Ftinfgliedrig. 

k 


WO 

/a  M  -« 


(4)      ~y*   =f(  Vt]  .     Einfachste  Form  :  y3  =  0. 

2/2^4       \/sy&' 


CONTINUIRLICHE   TRANSFORM  ATIONSGRUPPEN.         193 
D.     Viergliedrig. 


2  (1—  a)—  1 


(6) 


-  2/3  (syi  ~  2/)]2     *  &  (yix  -  y) 


2/2 

E.     Dreigliedrig. 
(10)      2/3 


(12  a)     2= 
2/3 

(126)       = 
n  ox 


A:  wie  unter  (3). 
[(9  «)   M4  -  2/s2  =/(2/i2/3  ~  2/22). 
(96)   2/22/4  -2/32  = 


S/210 


(16  a)       - 

2/2 

(166)   &.«. 

<          y2 

(17)      «y 

c.  P.  13 


194  FRANZ    MEYER. 

F.     Zweigliedrig. 

(18)      y*=f(y,-x).  i(22  a)  y,= 


f  4a>   •» 

<  «/ 

(246)   ^2=/(^). 

yi 

/     _    y 
(25)      SfcZ 


(29)     »-/(*) 
-^      ^  \«/ 


(28) 


Hier  bedeuten  y1}  y2,...die  successiven  Ableitungen  von  y  nach 
a?,yeine  willkiirliche  Function,  der  man  z.  B.  auch  einen  beliebigen 
—  im  Allgemeinen  von  Null  verschiedenen  —  Zahlwerth  beilegen 
kann.  Mit  Ausnahrne  von  (1),  (2  a),  und  (2  6),  sowie  (17),  sind  die 
Differentialgleichungen-  so  geschrieben,  dass  links  und  rechts  die 
beiden  Differentialinvarianten  niedrigster  Ordnung,  welche  die 
Gruppe  ihrerseits  auch  characterisiren,  unmittelbar  hervortreten. 

Jeder  Typus  ist  definirbar  als  die  allgemeinste  Gruppe  von 
Punkttransformationen,  welche  die  zugehorige  Differentialglei- 
chung  der  Tabelle  invariant  lassen. 

Mit  Hlilfe  von  Zahlen  und  Nenner  der  Differentialinvarianten 
lassen  sich  leicht  noch  einfachere  invariante  Differentialgleichungen 
bilden. 


CONTINUIRLICHE   TRANSFORMATIONSGRUPPEN.        195 

IV. 

Die  Typen  der  linearen  homogenen  Gruppen  in 

3   Verdnderlichen. 
A. 

(1)  as'  =  ax  +  by  +  kz,  y'  =  cx  +  dy  +  lz,  z'  =  ex  +  fy  +  gz\ 

(2)  Desgleichen  mit  der  Determinante  Eins.  J 

B. 

)(3)  x'  =  i«+1  (ax  +  by+kz),  y'=ta+1  (cx+dy+  Iz),  z'  =  t«z\ 
ad  — be  =  I.  f(2a). 

(4)  x'  =  ax  +  by  +  kz,  y'  —  ex  +  dy  +  Iz,  z  =  gz  J 

((5)  x  =ax  +  kz,  y'  =  ex  +  dy  +  Iz,  z'  =  ex  +  gz  \ 

(6)  x  =  t*  (ax  +  kz),  y'=t*+l  (y+cx  +  ?z),  z'  =  ta  (ex+gz)\  (26). 
ag  —  ek  =  1  (wie  bei  (6)). 
O. 

/lit      T*    —  ft  nf*    I     nil     I     Is*1?       <?/     —  f*ri*     I     fill     I     /  ty       iy    ^—   «• 
i  \  i   /     i^/    -^  \AjtAj  T^  ^7     i^  t\j&,     cy    —  v«-v     (^  w/ y    i^  "&,    &    — •"  ^ 

ad  —  bc  =  1. 

(8)  #'  =  £  (ow?  +  6y  +  A;^),  ?/'  =  t  (ex  +  dy  +  Iz),  z'  =  f*  ' 
\  ad  —  be  =  1. 


(  (9)  x  =  ax  +  kz,  y'  =  ex  +  y  +  Iz,  z'  =  ex  +  gz 

ag  -  ek  =  1. 
1  (10)  x'  =  t  (ax  +  kz) 
\  ag  —  ek  =  1. 


ag 

i  /fti\ 

1  (10)   x'  =  t  (ax  +  kz),  y'  =  t(cx  +  y  +  Iz),  z'  =  t  (ex+gz)  \  * 


y  +  lz,z=gz 
1(12)  #'  =  «a+1M,^  +  kz,  y'  =  ta^+1y  +  cx  +  lz,  z'  =  t«ua~f 


D. 

j(13)  x'  =  tax  +  kz,  y'  =  tfy  +  ex  +  Iz,  z' = 

1(14)  x'  =  taax  +  kz,  y'  =  tPay  +  ex  +  Iz,  z  =  az) 

((15)  x'  =  ta+1ea(x+kz),y'=ta+1ea(ax+y+lz),z'=t'leaz}(oa)  fur 

((16)  x=taea(x+az),y'=ta+1ea(cx+y+lz),z'=taeaz   )(ob)  a=1- 

{(17)  x'  =  ta+l  (ax  +  by),  y'  =  ta+1  (ex  +  dy),  z'  =  taz\ 
ad  -bc  =  l.  I  (8). 

(18)  x'  =  ax  +  by,  y'  =  cx  +  dy,  z' =  gz  J 

((19)  x'  =  ax  +  kz,  y'  =  dy  +  lz,  z'  =  gz 


[(20)   x'  =  a"+1  ¥  (x  +  kz),  y  =  a*W+1  (y  +  Iz),  z'  =  a* 


j  (21)   x'  =  aa+1  Wx,  y'  =  a«Vi+1  (cx  +  y  +  Iz),  z'  =  a* 
((22)   x'  =  ax,  y'  =  cx  +  dy  +  lz,  z'=gz  ( 

13—2 


196  FRANZ   MEYER. 

E. 

),  y'  =  (Fy  +  ex  +  Iz,  z'  =  i 


(24)  x'  =  gx  +  kz,  y'  =  gy  +  cx  +  Iz,  z'  —  gz 

(25)  x'  =  a;  +  kz,  y'  =  y  +  cx  +  lz,  z'  =  z 

(26)  x  =  ec+*  (x  +  kz),  y' =  e?+k(y +  cx)  +  lz,  z  =  (?+kz 

((28)  x  =  a*  (x  +  kz),  y'  -  aa+1  (y  +  kx)  +  Iz,  z  =  a*z 

/oq\  „.'  —  „(„ 

\*&)  x  —g(x 


((30)   x'  =  e*«  (as  +  kz\  y'  =  (*(*+Vy  +  cx  +  lz,  z'  =  &*z\ 
1(31)  x'  =  g(x  +  kz),  y'  =geky  +  ex  +  Iz,  z'  =  gz          }  ( 

(32)  '  x'  =  ec  <«+1>  x  +  kz,  y'  =  e?  (a+1)  (y  +  ex)  +  Iz,  z  =  (f«z 


(33)  x'  =  gtfx  +  kz,  y'  =  ge°  (y  +  ex)  +  Iz,  z'  = 


(34)  x'  =  ax  +  by,  y  =cx  +  dy,  z'  =  z  \ 

ad  —  bc=  1. 

(35)  x'  =  g(ax  +  by),  y'  =  g  (ex  +  dy),  z'=gz\ 

ad  —  bc  =  1. 


//3fi\  7.'  —  /7/ar 

I  \  O  \J  I  tb    ^—  UL   dj 

|v/  &                              'is             ts        ts      -           •                     «7  ~~  (      /i    j         \ 

]/Q7\  '_/a       ,     Z.            '_//3        ,     I           '_/            Ml4a). 


(38)  x  =  elt«+lx  +  ^,  y'  =  elt*  (y  +  te),  /=e^  (14a)  fur  a= 1. 

((39)  x' —  t°-x,  y  =  tPy  +  ex  +  Iz,  z'  =  tyz     } 

J  L  i  J4  J\ 

((40)  #'  =  ^r^a;,  y'  =  gtfy  +  cx  +  Iz,  z'  =  gz) 

(41)  x'  =  ta+1ecx,  y'=ta+1ee(y+cx)+lz,  z'=t°-tfz 

f (42)  x'  =  a«,  y'  =  dy+  Iz,  z'  =  gz  ) 

1(43)  «'  =  t"-+luPx,  y'  =  t'uP+iy  +  Iz,  z  =  taufiz\ 


y/  =  d(y  +  cx+C-z],    z'  =  -,  {bx  +  z  (1  +  be)} 
(45)  x'  =  gx 


CONTINUIRLICHE   TRANSFORMATIONSGRUPPEN.        197 
F. 


i  <4<r\  i      o™   ^^  ft*    \^  l^'y     ti    ^~  i/  r ITI  /'*'irt  —I—  / y      &    —  9* 

\  TVF  I       w     ^~  w      i^  l\  4* )       (J     —    y   T^  A/w      |^  */'*'3      *•*     ~~"~  ^ 

(47)  a' =  g  (a  +  kz),  y' =g(y  +  kx  +  lz),  z'=gz 

(48)  a/  =  e*  (#  +  kz),  y'  =  e*  (y  +  kx  +  lz),  z'  =  ekz  1(18). 

(49)  x'  =  el&°-  (x  +  kz),  y'  =  elek*  (y  -f  kx  +  zl  — J  ) , 

\  *  / 


(50)   x'  =  g  (x  +  kz),  y'  =  geky  +  lz,  z'  =  gz 

,(51)  x'  =  J**(x  +  kz),  y'  =  ek  (a+1>  y  +  lz,  z'  =          ^ 


•  (21)- 


((52)  x  =  g&x,  y'  =  ge? (y  +  ex)  +  lz,  z'  =  gz 

1(53)  x  =  e? (<x+1) x,  y'  =  e? (a+1)  (y  +  ex)  +  lz,  z'  = 

(i  ^4*  i  *7*    ^—  /7/**/y>      77    —  fjfP 7/    I    /9|      2T    ~~  C1Z\ 
\  '-    «        '«/        J  ''-/  )    (2°)' 

!i   ^  r\  I  1"    —  /"f  /y»       *?/     —  /y-7/     I     /  •y        ^    —  /Tf-y 

\  *JU  /  tv    ^—  t*tX/,     t/    —  t/  (/  •+•  c/x>.     x>    —  f/,3 
\             /  *      O  ij  \J  \J 

I  TII  *7*    ^—  /*~"~^jT*      7/    —  /**  7/  j-l-  /5^      2^    "" *** 
\         /  )    u  o     '  ' 

1(58)  af  =  tr+lefa;,  y' =  tae?  (y  +  Iz),  z'  =  t*e?z. 

{(59)  x'  =  x  +  kz,  y'  =  y  +  lz,  z  =z  Y 

(60)  x'  =gx  +  kz,  y'  =gy  +  lz,  z'  =  gz       M  22  a). 

(61)  #'  =  efc  +  ^,  y'  =  el(y  +  lz),  z  =  Jz) 

((62)  x'  =  x,  y  =  y  +  ex  +  lz,  z  =  z  \ 

(63)  x'  =  gx,  y'=gy  +  cx  +  lz,  zf  =  gz       [(226). 

1(64)  x'  =  efx,  y  =  e°  ( y  +  ex)  +  lz,  z'  = 

((65)  x'  =  ax,  y'  =  dy,  z'  =  qz 

\  (23). 

lf(\('\  ff,1 ya+l^/fl/M      ~-'  a/i-.fl-M  ...      _'         j.n..ft..\     \        / 

\(^\J\J  J  Jj    —  fr         UTJj, 

(67)  x'  =  g(x  +  kz 

1(68)  x'  =  t*(x  +  k, 

G. 

(69)  ^  =  <-+X  i/' 

(70)  x'  =  gtx,  y'  =  gt*y,  z'  =  gz 


((71)   x  —  &"•  (x  +  kz),  y  —  6*  "     y,  z  —  er  ,.   ,f**7\ 
1(72)   x'=g(x  +  kz),  y'  =  g*y,  z  =  gz 


198  FRANZ   MEYER. 


k2 
(73)  x  =  x  +  kz,  y'  =  y  +  kx  +  -  z  ,  z'  =  z 

m 


(74)   x'  =  e*(x  +  kz),  y'  =  ek  (y  +  kx  +  1%)  ,  z=(*z\  (28). 

\  &    J 

I  2      \ 

^(75)  x'  =  g(x  +  kz),  y'=g(y  +  kx  +-^  z)  ,  z'  =  gz 

|(76)  x  =  ax,  y'=  dy,  z'  =  az     j 

1(77)  x'  =  t*x,  y  =  t*+1y,  z  =  t«z\  ^ 

f(78)  x'  =  x,  y'  =  y  +  lz,  z'  =  z  \ 

j  (79)  x  =  gx,  y'  =  gy  +  lz,  z'  =  gz     \  (30). 

1(80)  x  =  elx,  y'  =  el(y+  lz),  z  =  e?z) 

H. 

(81)  x'=ax,  y'  =  ay,  z'  =  az  (Identitat). 

a,  b,  c,...t,  u  bedeuten  wiederum  die  Parameter  der  Gruppen, 
a,  /3,  7  willkiirliche  Constanten.  Wo  der  Buchstabe  e  als  Basis 
einer  Potenz  auftritt,  stellt  er  keinen  Parameter  dar,  sondern  eine 
feste  Zahl  (z.  B.  die  Basis  der  natiirlichen  Logarithmen),  deren 
Wahl  fur  die  Gruppe  bedeutungslos  ist. 

Die  rechts  hinzugefiigten  Zahlen  verweisen  stets  auf  die 
zugehbrigen  nicht  homogenen  Gruppen  der  ersten  Tabelle. 


II.     ALLGEMEINE  AUFZAHLUNG  DER  ENDLICHEN  CONTINUIR- 
LICHEN  GRUPPEN  DER  EBENE. 

Herr  Lie  hat  bekarmtlich  schon  lange  alle  Typen  von  end- 
lichen  continuirlichen  Gruppen  der  Ebene  aufgestellt.  Da  die 
Lie'sche  Tafel*  wiederum  nur  die  infinitesimalen  Transformatio- 
nen,  oder,  wenn  man  will,  die  "  DifFerentialgleichungen,"  der 
gemeinten  Gruppen  enthalt,  habe  ich  es  fur  niitzlich  gehalten, 
durch  Integration  daraus  die  endlichen  Gleichungen  der  Gruppen 
herzuleiten. 

Jede  endliche  continuirliche  Gruppe  von  Punkttransforma- 
tionen  der  Ebene  ist  vermoge  eben  solcher  Transformationen  stets 
einem  und  nur  einem  der  nachfolgenden  27  Typen  aequivalent. 

*  Vgl.  die  beiden  oben  citirten  Werke. 


CONTINUIRL1CHE   TRANSFORMATIONSGRUPPEN.         199 

A.  Gruppen  mit  keiner  invarianten  Schar  von  oo  J  Curven  d.  h. 

primitive  Gruppen. 

,  _  ,       ,  _  ax  +  by  +  k       ,  _  ex  +  dy  +  I 
~  ex+fy+g'   y  ~  ex+fy+g' 

(2)  a/  =  ax  +  by  +  k,    y'  =  ex  +  dy  +  I. 

(3)  x  =  ax  +  by  +  k,    y  =  ex  +  dy  +  I. 

ad  —  be  =  1. 

B.  Gruppen  mit  nur  einer  invarianten  Schar  von  oo  x  Curven. 

(4)  of  =  x,  y'  =  y  +  I  +  k^  (x)  +  kz^  (x)  +  .... 

Die  4>  (x)  sind  willkiirliche  Functionen  von  x,  deren  Coefficienten 
als  willktirliche  Constante  fungiren. 

(o)     x'  =  x,  y'  =  dy  +  I  +  k^  (x)  +  A-2^>2  («)+..  .. 
Im  tlbrigen  wie  bei  (4). 

(6)  x'=x  +  k,  y'  =  y  +  e*xg(x). 

a.  ist  eine  willkiirliche  Constante,  g(x)  eine  arbitrare  ganze 
rationale  Function  von  x,  deren  Coefficienten  als  Parameter 
fungiren. 

(7)  x'  =  x  +  k,  y'  =  dy  +  eaxg(x). 
Im  Ubrigen  wie  bei  (6). 

(8)  x'  =  ax  +  k,  y'  =  a*y  +  g  (x). 
Im  Ubrigen  wie  bei  (6). 

(9)  x'  =  eax  +  k,  y'=e^rMy  +  g(a;)  +  aemaxm. 

m  ist  der  Grad  der  ganzen  rationalen  Function  g  (x). 
(10)    x'  =  ax  +  k,  y'  =  dy  +  g(x). 

m\    x>-*  m 

- 
ist  der  G 

(12)    y  = 


ex  +  l  '         .. 
m  ist  der  Grad  von  g  (x). 


ex  +  g 


m  ist  der  Grad  von  g  (x). 


-- 
ex  +  l  '          ex+l' 


200  FRANZ   MEYER. 

C.     Gruppen  mit  zwei  invarianten  Scharen  von  oo  1  Curven. 
(15)    x'  =  x,   y'  = 


(17)  x'  =  a:  +  k,   y' 

(18)  J-.  +  t,-f 

(19)  x'  =  ax  +  k,   y  =  aay  +  I. 
a  ist  eine  willktirliche  Constante. 

(20)  x  =  ax  +  k,   y  =dy+l. 

(21)  x'=ax  +  k,    «*-§^~. 

fy+9 


(23)  x'  = 

D.  Gruppen  mit  oo  1  invarianten  Scharen  von  x  1  Curven. 

(24)  x'  =  ax,   y  =ay  +  I. 

(25)  x  =  x  +  k,    y'  =  y  +  I. 

(26)  x  =  ax  +  k,    y'  =  ay+  I. 

E.  Gruppen  mit  oo  *  invarianten  Scharen  von  x  J  Curven. 

(27)  x'  =  x,   y'  =  y+l. 

Die  Gruppen  sind  auf  eine  derartige  kanonische  Form 
gebracht,  dass  bei  B.  x  =  const,  die  invariante  Schar  von  oo  1 
Curven  liefert,  bei  C.  x  =  const.,  y  =  const,  die  beiden  Scharen, 
bei  D.  alle  Scharen  ax  +  by  =  const.,  endlich  bei  B.  jede  Schar 
<j>  (x)  +  ty  (y)  =  const.  * 

Die  a,  b,  c,  d,...  bedeuten  die  Parameter  der  Gruppe. 

CLAUSTHAL,  Anfang  Juli  1893. 


UEBER  EIGENSCHAFTEN  VON  GANZEN  ZAHLEN, 

DIE  DURCH  RAUMLICHE  ANSCHAUUNG 

ERSCHLOSSEN  SIND. 

VON 
H.  MINKOWSKI  IN  BONN. 

IN  der  Zahleutheorie  wird,  wie  in  jedem  anderen  Gebiete  der 
Analysis,  haufig  die  Erfindung  mittelst  geometrischer  Ueber- 
legungen  vor  sich  gehen,  wahrend  schliesslich  vielleicht  nur  die 
analytischen  Verificationen  mitgetheilt  werden.  Ich  wiirde  deshalb 
schon  an  sich  nicht  in  der  Lage  sein,  mein  Thema  zu  erschb'pfen ; 
es  ist  dies  auch  nicht  meine  Absicht.  Ich  will  hier  ganz  allein 
von  demjenigen  geometrischen  Gebilde  sprechen,  welches  die 
einfachste  Beziehung  zu  den  ganzen  Zahlen  hat,  von  dem  Zahlen- 
gitter.  Darunter  hat  man,  irgend  welche  Parallelcoordinaten 
x,  y,  z  im  Raume  vorausgesetzt,  den  Inbegriff  derjenigen  Punkbe 
x,y,z  zu  verstehen,  fur  welche  x,  wie  y,  wie  z  ganze  Zahlen  sind  ; 
der  besseren  Anschaulichkeit  wegen  denke  man  sich  unter  x,  y,  z 
gewohnliche  rechtwinklige  Coordinaten. 

Eine  Figur,  die  sich  als  ein  Ausschnitt  aus  dem  Zahlengitter 
darstellt,  ist  es,  die  man  beim  Beweise  der  Multiplicationsregel 
(ab)  c  =  a  (be)  heranzuziehen  pflegt.  Ich  wiirde  des  Weiteren  die 
wichtigen  Relationen  iiber  grb'sste  Ganze  zu  erwahnen  haben,  die 
Dirichlet  (Crelle,  Bd.  47,  Ueber  ein  die  Division  betreffendes 
Problem)  auf  geometrischem  Wege  erhalten  hat.  Ich  will  mich 
jedoch  hier  auf  Fragen  beschranken,  bei  denen  der  Begriff  des 
Unendlichen  hineinspielt,  namlich  das  ganze  Gitter,  nicht  bloss 
Ausschnitte  daraus  in  Betracht  kommen.  (Das  Folgende  giebt 
in  der  Hauptsache  Einiges  aus  meinem  Buche  "  Geometrie  der 
Zahlen"  (1895,  bei  B.  G.  Teubner)  wieder,  wobei  ich  bernerke, 
dass  dort  die  Beschrankung  auf  Systeme  aus  drei  ganzen  Zahlen 
nicht  statthat.) 

I.     Der  wichtigste  Begriff,  der  mit  dem  Zahlengitter  in  Zusam- 


202  H.    MINKOWSKI. 

menhang  steht,  ist  der  des  Volumens  eines  Kb'rpers ;  dieser  Begriff 
bildet  dann  welter  die  Grundlage  fur  den  Begriff  des  dreifachen 
Integrals.  Man  nehme  jeden  Punkt  des  Zahlengitters  zum 
Mittelpunkt  eines  Wiirfels  mit  Seitenflachen  parallel  den  Coordi- 
natenebenen  und  von  der  Kante  1  ;  zu  einem  Wiirfel  soil  stets 
die  Begrenzung  miteirigerechnet  werden.  Man  erlangt  so  ein 
Netz  N  von  Wiirfeln,  welches  den  Raum  liickenlos  erfullt,  und 
die  einzelnen  Wiirfel  darin  sind  unter  einander  in  ihren  inneren 
Punkten  durchweg  verschieden.  Nun  sei  K  irgend  eine  solche 
Punktmenge,  welche  sich  ganz  auf  eine  endliohe  Anzahl  von 
Wiirfeln  aus  N  vertheilt.  Man  dilatire  diese  Menge  K  von  einem 
beliebigen  Punkte  p  im  Raume  aus  in  alien  Richtungen  in  einem 
beliebigen  Verbal tnisse  fl  :  1.  Aus  K  entstehe  so  KPQ.  Sodann 
sei  ttn  die  Anzahl  aller  der  Wiirfel  aus  N,  in  welchen  jeder  einzige 
Punkt  sich  als  ein  innerer  Punkt  von  KPQ  erweist,  und  es  sei 
•MO  die  Anzahl  aller  Wiirfel  aus  N,  welche  iiberhaupt  mindestens 
einen  Punkt  von  Kpa  enthalten.  Dann  convergiren  nach  dem, 
was  C.  Jordan  (Journ.  de  Math.  4  seV.,  t.  8.  1892,  p.  77)  gezeigt 
hat,  immer  fl~3 .  apn  und  fl~3 .  upn  fiir  ein  unendlich  wachsendes  fl, 
unabhangig  von  p,  je  nach  einem  bestimmten  Grenzwerthe  A  und 
V,  dem  inneren  und  dem  dusseren  Volumen  von  K.  Man  spricht 
vom  Volumen  von  K  schlechthin,  wenn  sich  A  =  U  herausstellt. 

II.  Die  tieferen  Eigenschaften  des  Zahlengitters  nun  hangen 
mit  einer  Verallgemeinerung  des  Begriffs  der  Ldnge  einer  geraden 
Linie  zusammen,  bei  der  allein  der  Satz,  dass  in  einem  Dreiecke 
die  Summe  zweier  Seiten  niemals  kleiner  als  die  dritte  ist,  erhal- 
ten  bleibt. 

Man  denke  sich  eine  Function  S  (ab)  von  zwei  beliebig  varia- 
beln  Punkten  a  und  b  zunachst  nur  mit  folgenden  Eigenschaften : 
(1)  Es  soil"  S (ab)  immer  positiv  sein,  wenn  b  von  a  verschieden 
ist,  und  Null,  wenn  b  und  a  identisch  sind;  (2)  Sind  a,  b,  c,  d 
vier  Punkte  und  darunter  b  von  a  verschieden,  und  besteht 
zwischen  ihnen  eine  Beziehung  d  —  c  —  t  (b  —  a)  mit  positivem  t, 
so  soil  immer  S(cd)  =  tS(ab)  sein;  die  genannte  Beziehung  ist 
im  Sinne  des  barycentrischen  Calculs  aufzufassen  und  bedeutet, 
dass  cd  und  ab  Strecken  von  gleicher  Richtung  und  mit  Langen 
(im  gewohnlichen  Sirme)  im  Verhaltnisse  t  :  1  sind.  Zum  Unter- 
schiede  von  der  gewohnlichen  Lange  mb'ge  S(ab)  Strahldistanz 
von  a  nach  b  heissen. 


EIGENSCHAFTEN    GANZER   ZAHLEN.  203 

Es  sei  o  der  Nullpunkt  ;  offenbar  werden  alle  Werthe  8  (ab) 
festgelegt  sein,  sowie  die  Menge  der  Punkte  u  gegeben  ist,  fur 
welche  S  (ou)  ^  1  ist  ;  diese  Punktmenge  heisse  der  Aichkorper 
der  Strahldistanzen,  es  wird  zu  ihm  in  jeder  Richtung  von  o  aus 
eine  Strecke  von  o  aus  mit  endlicher,  nicht  verschwindender 
Lange  gehoren  miissen. 

Wenn  nun  ferner  fiir  irgend  drei  Punkte  a,  b,  c  immer 

8(ac)^S(ab)  +  S(bc)  .....................  (3) 

ist,  sollen  die  Strahldistanzen  einhellig  heissen.  Dann  besitzt  ihr 
Aichkorper  die  Eigenschaft,  dass  mit  irgend  zwei  Punkten  u,  v 
in  ihm  immer  die  ganze  Strecke  uv  zu  diesem  Korper  gehort, 
und  andererseits  ist  jeder  nirgends  concave  Korper  mit  dem  Null- 
punkt im  Inneren  Aichkorper  fur  ganz  bestimmte  einhellige 
Strahldistanzen. 

Mit  E(ab)  werde  die  halbe  Kante  desjenigen  Wlirfels  mit 
Seitenflachen  parallel  den  Coordinatenebenen  bezeichnet,  der  a 
als  Mittelpunkt  hat  und  seine  Begrenzung  durch  b  schickt.  Die 
E  (ab)  sind  als  die  einfachsten  einhelligeii  S(ab)  anzusehen.  Die 
vollstandige  analytische  Auflosung  der  Bedingungen  (1),  (2),  (3) 
habe  ich  im  ersten  Kap.  meiner  G.  d.  Z.  gegeben.  Es  zeigt  sich, 
dass  auf  Grund  von  (3)  insbesondere  immer  die  Function  S  (ab) 
eine  stetige  der  Coordinaten  von  «  und  von  b  ist,  ferner  zwei 
positive  Grossen  g  und  G  vorhauden  sind,.  so  dass  man 


fur  alle  a   und  b  hat,  endlich   der  Aichkorper   ein   bestimmtes 
Volumen  /  besitzt.     Die  Bedeutung  von  g  und  G  ist  offenbar  die, 

dass  der  Wiirfel  E  (ou)  ^  -~  ganz  im  Aichkorper  enthalten  ist  und 
letzterer  seinerseits  ganz  im  Wtirfel  E  (ou)  £  -  . 

U 

Wechselseitig  sollen  die  S  (ab)  heissen,  wenn  durchweg 

S(ba)  =  S(ab)  ........................  (4) 

ist.     Solches  hat  dann  und  nur  dann  Statt,  wenn  der  Aichkorper 
den  Nullpunkt  als  Mittelpunkt  hat. 

III.  Es  giebt  im  Zahlengitter  offenbar  Punkte  r,  fur  die 
E  (or)  =  1  ist.  Irgend  welche  einhellige  S  (ab)  vorausgesetzt,  wird 
fiir  diese  Gitterpunkte  r  dann  S  (or)  ^  G  sein.  Diese  letztere 


204  H.    MINKOWSKI. 

Bedingung  nun  kaun  iiberhaupt  nur  von  solchen  Punkten  r 
erfullt  werden,  fur  welche  8  (or)  £  -  ist,  und  dieser  Bedingung 

\j 

wieder  geniigen  sicher  nur  eine  endliche  Anzahl  Gitterpunkte. 
Aus  diesen  Gitterpunkten  muss  dann  nothwendig  die  kleinste 
Strahldistanz  M  zu  ersehen  sein,  welche  von  o  nach  alien  anderen 
Gitterpunkten  zusammengenommen  existirt  und  die  nun  jeden- 
falls  ^  G  ist.  Wird  sodann  fur  einen  beliebigen  ersten  Gitter- 
punkt a  der  Korper  S(au)^^M,  fur  einen  beliebigen  anderen 
Gitterpunkt  c  der  Korper  S  (uc)  ^  ^M  construirt,  so  sind  solche 
zwei  Korper  zufolge  (3)  in  ihren  inneren  Punkten  durchweg 
verschieden.  Werden  nun  die  Strahldistanzen  auch  noch  wechsel- 
seitig  vorausgesetzt,  so  ist  der  zweite  Korper  mit  S(cu)^^M 
identisch,  und  stossen  dann  also  die  verschiedenen  Korper 
S  (au)  ^  \M  fur  die  verschiedenen  Gitterpunkte  a  hochstens  in 
den  Begrenzungen  zusammen. 

Nun  sei  H  irgend  eine  positive  und  gerade  ganze  Zahl,  und 
man  construire  die  hier  bezeichueten  Korper  fur  die  sammtlichen 

im  Wlirfel  E(ou)  £  -~  enthaltenen  (fl  +  I)3  Gitterpunkte 

2 

r   11   z  —  0+1     4-2          4-  — 

•*>  y >  *     uj  ±  *  >  !«»•••  ±.  o  • 

C1 

Aus  S  (au)  51  \M  ^  ^G  folgt  E(au)^^-,  und   werden   deshalb 

ff 

alle  diese  Korper  in  dem  Wlirfel  E(ou)  ^  %  ( £i  +  -  J  enthalten 

f        G\3 
sein,  dessen  Volumen  (  O  +  -  j  betragt.    Indem  sie  nun  sammtlich 

/M\s 
aus  einander  liegen  und  je  vom  Volumen  ( -^- )  /  sind,  geht  daraus 

\*/ 
die  Ungleichung 


hervor ;  nun  stellen  M  und  /  bestimmte  Grb'ssen  vor  und  fl  kann 
beliebig  gross  genommen  werden,  mithin  entnimmt  man  daraus : 

M\3 

iff* («)• 

muss  es  also  mindestens  einen,  von  o  verschiedenen  Gitterpunkt  q 

2 
geben,  fur  den  S  (oq)  ^  -^Tr  ist. 


EIGENSCHAFTEN   GANZER   ZAHLEN.  205 

Das  hiermit  gewonnene  Theorem  iiber  die  nirgends  concaven 
Korper  mit  Mittelpunkt  scheint  mir  zu  den  fruchtbarsten  in  der 
ganzen  Zahlentheorie  zu  gehoren.  Ich  hatte  es,  durch  das 
Studium  der  Aufsatze  von  Dirichlet  und  von  Hermite  iiber 
quadratische  Formen  (Crelle,  Bd.  40,  S.  209  u.  S.  261)  angeregt, 
zunachst  fiir  die  Ellipsoide  gefunden  (Crelle,  Bd.  107,  S.  291);  ein 
noch  grosseres  Interesse  aber  bieten  die  Folgerungen  dar,  welche 
dieses  Theorem  hinsichtlich  liiiearer  Formen  zulasst  und  von 
denen  ich  sogleich  einige  hervorheben  werde. 

Das  Gleichheitszeichen  in  (5)  tritt  dann  und  nur  dann  ein, 
wenn  die  Korper  S  (au)  ^  \M  um  die  einzelnen  Gitterpunkte  a 
den  Raum  luckenlos  erfiillen.  Dazu  muss  vor  Allem  die  voll- 
standige  Begrenzung  des  Aichkorpers  durch  eine  endliche  Anzahl 
von  Ebenen,  und  zwar  durch  nicht  mehr  als  2  (23  —  1)  Ebenen, 
gebildet  werden;  namlich  es  muss  dann  jede  ebene  Wand  von 
S  (au)  ^  M  noch  exclusive  des  Randes  mindestens  einen  Gitter- 
punkt  x,  y,  z  enthalten,  und  konnen  fiir  derartige  Gitterpunkte  in 
zwei,  nicht  in  Bezug  auf  o  symmetrischen  Wanden  niemals  x,  y,  z 
gleiche  Reste  modulo  2  ergeben,  wie  auch  fiir  keinen  dieser 
Punkte  x,  y,  z  =  0,  0,  0  (mod.  2)  sein  konnen.  Das  Gleichheits- 
zeichen in  (5)  tritt  beispielsweise  niemals  fiir  ein  Octaeder  ein. 

IV.  Es  seien  £,  77,  f  drei  lineare  Formen  in  x,  y,  z  mit  einer 
von  Null  verschiedenen  Determinante  D,  es  seien  entweder  alle 
drei  reell,  oder  £  reell  und  17,  £  zwei  Formen  mit  conjugirt  imagi- 
naren  Coefficienten ;  weiter  sei  p  irgend  eine  reelle  Grosse.  Der 
durch 

f»    tn     i  n     i         l*  \  «\  1? 

§1  (6) 


definirte  Korper  Kp  stellt  dann,  sowie  p  =  1  ist,  einen  nirgends 
concaven  Korper  vor;  fiir  das  Volumen  Ip  dieses  Korpers  findet 
man : 

3^ 


2s        _  v  •     »/    ,        2 

oder  =  - 


1+i)2-:-r(i+? 

p)  \         P 

es  zeigt  sich  ferner,  dass  fiir  einen  Korper  Kp,  wenn  p  endlich  ist, 
in  (5)  niemals  das  Gleichheitszeichen  in  Betracht  kommt.  Man 
gewinnt  so  den  Satz  : 


206  H.    MINKOWSKI. 

1st  p  ~  1,  so  giebt  es  immer  ganze  Zahlen  x,  y,  z,  die  nicht 
sdmmtlich  Null  sind  und  fur  welche  man 


hat. 

Halt  man  x,  y,  z  fest,  so  nimmt  der  Ausdruck  links  in  (6), 
wenn  nicht  gerade  f  |  =  1 77  =  |  f  |  ist,  in  welchem  Falle  dieser 
Ausdruck  von  p  unabhangig  sein  wtirde,  mit  p  fur  alle  Werthe 
p  =  0  continuirlich  ab  (sogar  fur  alle  p,  wenn  keine  der  Grossen 
|f  |,  1 77  ,  |f  Null  ist).  Es  wird  danach  ein  jeder  Korper  Kp  in 
alien  anderen  von  diesen  Korpern  mit  kleinerem  p  enthalten  sein 

und  also  -=-  und  \p  mit  p  continuirlich  zunehmen ;   fur  p  =  <x> 

2 

convergirt  \£  nach  1,  bez.  -.     Fiir  p=  GO  geht  Kp  in  das  Paral- 

7T 

lelepipedum  —  l^f^l,  — 1^77^!,  — l^f^l  oder  den  ellipti- 
schen  Cylinder  — l^f^l,  7?2  +  f2  ^  1  iiber ;  KI  hingegen  stellt 
ein  Octaeder  oder  einen  Doppelkegel  vor.  Endlich  wird  aus  der 
Function  links  in  (6)  fur  p  =  0  das  geometrische  Mittel  V  (fyf  j,  so 
dass  man  den  Satz  hinzufugen  kann  : 

Es  giebt  immer  ganze  Zahlen  x,  y,  z,  die  nicht  sammtlich  Null 
sind  und  fur  welche  man  |  f^f  j  <  \\  \  D  \ ,  um  so  mehr  also  <  D  , 
hat. 

Diese  Satze  und  die  analogen  fiir  n  lineare  Formen  mit  n 
Variabeln  lassen  insbesondere  fundamentale  Anwendungen  in  der 
Theorie  der  algebraischen  Zahlen  zu,  beim  Beweise  der  Dirichlet- 
schen  Satze  liber  die  complexen  Einheiten,  der  Endlichkeit  der 
Anzahl  der  Ideal classen,  und  sie  haben  zuerst  den  wichtigen 
Nachweis  ermoglicht,  dass  in  der  Discriminante  eines  jeden 
algebraischen  Zahlkorpers  immer  mindestens  eine  Primzahl  auf- 
geht. 

V.  Es  seien  a  und  b  irgend  zwei  reelle  Grossen  und  t  eine 
beliebige  Grosse  >  1.  Die  Anwendung  der  Satze  in  III.  auf  das 
Parallelepipedum 


fuhrt  dazu,  dass  es  immer  ganze  Zahlen  x,  y,  z  giebt,  fur  welche 

1 

-i 


1  1 

0  <  z  £  t*,     |  x  —  az  |  <  -i  ,     I  y  —  bz  |  <  -^ 


EIGENSCHAFTEN    GANZER   ZAHLEN.  207 

ist.  Dieses  Resultat,  jedoch  nur  fur  den  Fall  ganzzahliger 
Werthe  von  t,  hat  bereits  Kronecker  (Berichte  d.  Berl.  Akad. 
1884,  S.  1073)  mittelst  des  scheinbar  trivialen,  dessen  ungeachtet 
aber  ausserst  erfolgreichen  Princips  (s.  Dirichlet,  Verallgemeine- 
rung  eines  Satzes  aus  der  Lehre  von  den  Kettenbriichen,  Werke 
Bd.  I.  S.  636)  bewiesen,  dass,  wenn  eine  Anzahl  von  Grossen- 
systemen  in  eine  kleinere  Anzahl  von  Bereichen  fallen,  mindestens 
zwei  Systeme  darunter  in  einen  und  denselben  Bereich  zu  liegen 
kommen  miissen ;  es  ist  dies  einer  der  wenigen  Falle,  wo  bereits 
dieses  einfachere  Princip  wesentlich  gleiche  Folgerungen  ermbglicht 
wie  das  arithmetische  Theorem  in  III. 
Die  Betrachtung  des  Octaeders 

z 


x  —  az  I  + 


(t  =  3  vorausgesetzt),  zeigt  die  Existenz  von  ganzen  Zahlen  x,  y,  z, 

/3\' 
fur  welche  die  Ausdriicke  hier  links  beide  <   -      ausfallen  und 


zugleich  z  >  0  ist,  und  fur  solche  Zahlen  findet  man  dann  noch  : 


x       1       2 


2 
-b   <  , 

z 


Diese  Satze  weisen  auf  eineii  Weg,  auf  dem  mit  Erfolg  die 
Ergebnisse  der  Lehre  von  den  Kettenbriichen  zu  verallgemeinern 
sind. 

VI.  Betrachtet  man  beliebige  einhellige  und  wechselseitige 
S  (ab),  so  erscheint  23  als  kleinste  obere  Grenze  fur  M3I.  Be- 
schrankt  man  sich  auf  solche  S(ab),  deren  Aichkorper  aus  einem 
gegebenen  Korper  durch  alle  mb'glichen  linearen  Transforma- 
tionen  hervorgehen,  so  findet  man  auch  in  dieser  beschrankten 
Classe  von  Functionen  bereits  immer  solche,  fur  welche 


ist.  Der  Nachweis  dieses  Satzes  erfordert  eine  arithmetische 
Theorie  der  continuirlichen  Gruppe  aus  alien  linearen  Transfor- 
mationen. 

Endlich  ist  zu  erwahnen,  dass  die  Ungleichung  M3I  ^  23  fur 
die  nirgends  concaven  Korper  mit  Mittelpunkt  noch  eine  wesent- 
liche  Verallgemeinerung  zulasst,  auf  die  ich  indess  hier  nicht 
mehr  eingehen  will. 

BONN,  im  Juni  1893. 


A    DOUBLY-INFINITE    SYSTEM    OF    SIMPLE 
GROUPS. 

BY 
ELIAKIM   HASTINGS  MOORE   OF  CHICAGO*. 

N    1* 

List  of  orders  of  systems  of  simple  groups. 

THE  following  is,  so  far  as  I  know,  a  complete  list  of  the 
orders  of  systems  of  simple  groups  which  have  as  yet  been 
determined  (q  =  prime,  n  =  positive  integer). 

(1)  <?• 

(2)  \n\,  (n  >  4). 

(3)  i<Z(?2-l),      (?>3); 

the   group   of  the    modular  equation  for  the  transformation  of 
elliptic  functions  of  order  q. 

(3')       fcror-i),     (g>  2,  to 


This   system   of    simple   groups   is   a   generalization   of    the 
system  (3)  which  will  be  explained  in  this  paper. 

(g»  -  1)  g"-*  (g"-1  -  1)  g"-*  .  .  .  (f  -  1)  g 
8 

((q,  n)  *  (2,  2),  (3,  2)), 

in  which  8  =  [n,  <?  —  !],  the  greatest  common  divisor  of  n  and 


*  Note  :  This  paper  was  the  subject  of  an  address  to  the  Congress  August  25, 
1893.  In  preparing  it  for  publication  the  list  of  §  1  has  been  revised,  the  last 
paragraph  of  §  1  added,  and  the  details  of  the  proof  of  the  theorem  of  §  3 
inserted. 

The  term  field  (§3)  and  Weber's  term  endlicher  Korper  are  synonyms.  Weber, 
Die  allgemeinen  Grundlagen  der  Galois'schen  Gleichungstheorie  (Mathematische 
Annalen,  vol.  43,  pp.  521-549,  November,  1893). 


A    DOUBLY-INFINITE   SYSTEM    OF   SIMPLE    GROUPS.       209 


(5)  |  (q™  -  1)  92"-1  (q™-*-l)  q™~3  ...  (?2-  1)  q,  (q  >  2) 

(9*»_  l)g*n-i  (^-s  _  1)  ?2*-3  ...  (?2_  i)^  (?  =  2,  7*  >  2). 

(6)  (Pn  -  1)  2**-'  (Pn_x  -  1)  2—  «  .  .  .  (P2  -  1)  22,  (n  >  2), 
in  which  Pn  =  2™-1  +  2"-1. 

The  systems*  (4),  (5),  (6)  either  are  given  by  Jordan  or  are 
derived  from  Jordan's  decompositions  of  certain  linear  groups 
by  the  principle  that  the  quotient-group!  of  any  two  consecutive 
groups  in  the  series  of  composition  of  any  group  is  a  simple 
group  J. 

The  systems  (1),  (2),  (3),  (6)  are  simply  infinite  ;  the  systems 
(3'),  (4),  (5)  are  doubly  infinite.  It  is  clear  that  of  the  three 
doubly-infinite  systems  the  new  system  (3')  is  the  densest,  that 
is,  its  orders  increase  least  rapidly  as  q  and  n  increase. 

Professor  Cole  discovered  last  spring  a  new  simple  group 
of  order  504  not  contained  in  the  six  systems  (1),  (2),  (3),  (4), 
(5),  (6).  The  facts  (a)  that  in  the  system  (3')  the  group  having 
(q,  n)  =  (3,  2),  order  360,  had  previously  been  identified  as 
holoeclrically  isomorphic  with  the  alternating  group  in  six  letters 
(a  simple  group),  and  (b)  that  the  group  having  (q,  n)  =  (2,  3) 
had  the  order  504  of  Cole's  new  simple  group,  led  to  the  present 
investigation. 

The  simple  groups  of  composite  order  <  660  have  been 
completely  enumerated  by  Holder  (Mathematische  Annalen, 
vol.  40)  and  Cole  (American  Journal  of  Mathematics,  vol.  14; 
Bulletin  of  the  New  York  Mathematical  Society,  vol.  2,  p.  254,  foot- 
note). They  are  one  group  each  for  the  orders  60,  168,  360  and 
504.  These  are  all  included  in  the  new  system  (3'),  being  the 
groups  having,  respectively,  (q,  ri)=(5,  1)  or  (2,  2),  (7,  1),  (3,  2), 
and  (2,  3). 


*  See  Jordan,  Traite  des  Substitutions,  (4)  p.  106,  (5)  pp.  176,  178,  (6)  pp.  205, 
213.  These  references  were  given  by  Professor  Cole  in  the  paper,  On  a  certain 
simple  group,  presented  by  him  to  the  Congress. 

t  See  Holder,  Mathematische  Annalen,  vol.  34. 

J  Two  systems  of  order  (6)  are  given. 


c.  P.  14 


210  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

§2. 

The  simply-infinite  system  (3)  of  simple  groups  of  order 


,       ,     , 
(mod.  q), 


The  formula 

,     aw  +  /? 


70)  + 
where 

aS  -  £7  =  1     (mod.  q) 

and  where  a,  /3,  7,  8  are  integers  taken  modulo  q,  and  a>,  w 
run  through  the  series  of  q  +  1  values  0,  1,  2,...  </  -  1,  oo  ,  may  be 
considered  an  analytic  expression  of  a  certain  substitution  on  the 
q+l  symbols  or  marks  0,  1,  2,...q  —  1,  oo  .  The  totality  of 
all  such  distinct  substitutions  constitutes  a  group  of  order 
%q(<f  —  1),  a  particular  form  of  the  (abstract)  group  in  question. 
The  group  is  for  every  q  >  3  simple.  For  an  admirable  exposition 
of  the  properties  of  this  group,  together  with  further  references, 
see  Klein-Fricke,  Modulfunctionen,  vol.  1,  pp.  419-491. 

The  existence  and  properties  of  the  abstract  group  as  studied 
under  this  form  depend  above  all  things  upon 

(a)  The  existence  of  the  system  of  q  marks,  0,  1,  2,...q  —  1, 
which  may  be  combined  by  the  four  fundamental  operations 
of  algebra,  and  in  which  the  q—l  marks  (0  excluded)  are  given 
as  the  successive  powers  of  one  of  them  (a  primitive  congruence- 
root,  modulo  q)', 

(6)     The  introduction  of  the  mark  oo  (due  to  Galois). 

c  o 

N      O. 

The  Galois-field  of  order  s  =  qn,  GF  [s]. 

Suppose  that  we  have  a  system  of  s  distinct  symbols  or  marks*, 
fa,  fjL«,  ......  /AS  (s  being  some  finite  positive  integer),  and  suppose 

that  these  marks  may  be  combined  by  the  four  fundamental 
operations  of  algebra  —  addition,  subtraction,  multiplication,  and 
division  —  these  operations  being  subject  to  the  ordinary  abstract 
operational  identities  of  algebra 

etc. 


*  It  is  necessary  that  all  quantitative  ideas  should  be  excluded  from  the  concept 
marks.    Note  that  the  signs  >  ,  <:  do  not  occur  in  the  theory. 


A    DOUBLY-INFINITE   SYSTEM    OF    SIMPLE   GROUPS.       211 

and  that  when  the  marks  are  so  combined  the  results  of  these 
operations  are  in  every  case  uniquely  determined  and  belong  to 
the  system  of  marks.  Such  a  system  of  marks  we  shall  call 
a  field  of  order  s,  using  the  notation  F[s]. 

We  are  led  at  once  to  seek  To  determine  all  such  fields  of 
order  s,  F  [s]. 

This  determination  is  the  subject  of  this  section,  §  3. 

The  most  familiar  instance  of  such  a  field  of  order  s  =  q  =  a 
prime  is  the  system  of  q  incongruous  classes  (modulo  q)  of 
rational  integral  numbers  a. 

Galois  discovered  an  important  generalization  of  the  preceding 
field.  Let  Fn(X),  a  rational  integral  function  of  the  indeterminate 
X  of  degree  n  with  integral  coefficients  c;  ,  cn  =  +  1, 


be  irreducible,  modulo  q.  Then  the  Galois-field  of  order  s  =  qn, 
OF  [qn],  consists  of  the  system  of  qn  incongruous  classes  (modulis 
q,  Fn(XJ)  of  rational  integral  functions  of  X  with  integral  co- 
efficients. In  this  GF  [q11]  there  exist  primitive  roots  ;  the  qn  —  1 
successive  powers  of  a  primitive  root  are  the  qn  —  1  marks  of  the 
field  (0  excluded). 

The  Galois-field  GF[qn]  is  uniquely  defined  for  every  q  =  prime, 
n  =  positive  integer  ;  that  is  : 

Fn  (X)  which  are  irreducible  (mod.  q)  do  exist  ; 

The  GF  [qn]  is  independent  of  the  particular  irreducible  Fn  (X  ) 
used  in  its  construction. 

For  the  details  of  this  Galois  theory,  see  Galois:  Sur  la 
theorie  des  nombres  (Bulletin  des  Sciences  mathematiques  de 
M.  Ferussac,  vol.  13,  p.  428,  1830;  reprinted,  Journal  de 
Mathematiques  pures  et  appliquees,  vol.  11,  pp.  398-407,  1846); 
Serret:  Algebre  superieure,  fifth  edition,  vol.  2,  pp.  122-189;  and 
Jordan:  Substitutions,  pp.  14-18. 

Assuming  now  (nothing  but)  the  existence  of  a  field  of  order  s 
F  [s],  I  proceed  to  establish  its  fundamental  properties,  and  prove 
in  particular  (40°)  that  : 

Every  existent  field  F[s]  is  the  abstract  form  of  a  Galois-field 
GF[qn];  s  =  qn. 

This  interesting  result  I  have  not  seen  stated  elsewhere. 

14—2 


212  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

The  purely  abstract  form  here  given  to  the  theory  would  seem 
to  fit  it  best  for  immediate  use  wherever  it  can  with  advantage  be 
introduced. 

Naturally  in  many  details  my  deduction  of  the  properties 
of  the  F[s]  runs  parallel  to  the  work  of  Galois,  Serret  and 
Jordan  in  investigating  the  GF[qn].  I  forbear  to  give  closer 
references.  For  ultimate  existence-proofs  I  fall  back  (22°,  38°,  39°) 
on  the  Galois  theory.  This  sharp  separation  of  the  necessary 
properties  of  the  field  F[s]  if  existent  from  the  details  of  the 
various  existence-proofs  I  consider  highly  desirable. 


Def.  Any  rational  function  of  any  number  of  indeterminates 
Xlt  X2...Xk,  is  said  to  belong  to  the  field  or  to  be  of  the  field,  if  it 
has  as  coefficients  marks  of  the  field.  An  equation  between  two 
such  functions  is  said  likewise  to  belong  to  the  field  or  to  be 
of  the  field. 

A  rational  integral  function  of  any  number  of  indeterminates 
belonging  to  the  field  is  called  irreducible  in  the  field  when  it  is 
not  identically*  the  product  of  two  or  more  such  functions 
belonging  to  the  field. 

(1°)  The  theorems  of  ordinary  algebra  concerning  rational 
functions  of  indeterminates  hold  for  functions  of  our  field ;  in 
particular,  the  algorithm  for  determination  of  the  highest  common 
factor  of  two  rational  integral  functions  of  the  indeterminate  X . 

(2°)  The  s  marks  fa  — fa,  fa.—  fi.,,...^  —  UK  are  equal;  this, 
mark  is  written  /&«»  or  0. 

(3°)     In  division  the  mark  ^(0)  =  0  may  never  be  the  divisor. 

(4°)     The    s—l    marks   —  (/i;=f /*«>))   are   equal;    this   mark 

Mi 

is  written  /i(1)  or  1. 

(5°)     m  +  /*«>)  =  m  for  every  fa. 

(6°)     /A(0)/Ai  =  /ij/£(o)  =/fc(0)  for  every  m. 

(7°)     fi(o M  =  /**/*<«  =  /**  for  every  /*f- 

(8°)     fafjj  =  /%>  =  0  only  if  fa  =  A*«»  =  0  or  fjtj  =  /*«»  =  0- 

*  In  the  indeterminates. 


A    DOUBLY-INFINITE   SYSTEM    OF    SIMPLE    GROUPS.       213 

Def.     c   being  any   positive   integer,   we   denote   the   mark 

/&<!)  +  P(\)  +  •-•  +  /*(D  (c  terms)  =  l  +  l  +  ...  +  l(c  terms)  by  fi(c}  or 
c  (but  by  the  latter  notation  c  only  when  it  is  perfectly  clear  that 
by  c  a  mark  c  is  meant). 

M(0)  —  f*(l)  =  /*(-!)• 

/A(_D  +  /*(_i,  +  ...  +  /A(_D  (c  terms)  =  /*,_.,. 

Thus  we  have  defined  the  marks  for  all  integral  values  c. 
These  are  called  the  integral  marks  of  the  F[s].  (See  footnote  at 
beginning  of  §  3,  and  (17°).) 


(  10°)     ^  +  pt  +  .  .  .  +  fr  (c  terms)  =  /*(c)  ^  = 
(11°)     The  equation  belonging  to  the  field 


where  fk(X)  is  a  rational  integral  function  of  X  of  degree  &,  has 
in  the  field  at  most  k  roots,  unless  it  is  an  identity  in  X  when 
every  mark  of  the  field  is  a  root. 

(12°)     If  we  have  in  the  field  an  identity  in  X 


and  if  the  equations  fk  (X)  =  0,  fti  (X)  =  0  have  in  the  field  k'  and 
li    roots  respectively,   then  the  equation  f^  (X)  =  0   must  have 
as  roots  the  remaining  k'  —  li  roots  of  ft  (X)  =  0. 
Here  k'  £  k,  K  £l1}  k'  -  K  ^  k-l^ 

In  particular,  if  k'  =  k,  then  £/  =  ^  ,  for  from  ^'  <  ^  would  follow 

A/    ^~  6j    .^  A/  ^~  vj  • 

(13°)  For  every  mark  v  of  the  field  F[s]  there  exist  (because 
there  are  only  s  marks  in  the  field)  positive  integral  solutions  c  of 
the  equation 

cv  —  0,  or  fi(C)  v  =  0. 

The  smallest  such  solution  is  called  the  additive-period  of  the 
mark  v.  All  the  solutions  are  multiples  of  this  additive-period. 

(14°)     The  additive-period  of  the  mark  /A(O)  =  0  is  1. 

(15°)  The  additive-period  cv  of  any  mark  v  =f  /*(o)  is  the 
smallest  positive  integer  c  for  which  (7°,  13°) 

P(c)  =/*•(<:)  /*(l)  =^(0) 

that  is,  is  the  additive-period  cM(1)  of  the  mark  /u(1)  or  1.     All  marks 
have  the  same  additive-period  c. 


214  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

(16°)  This  common  additive-period  c  is  a  prime  q.  For  if  c 
were  composite,  c  =  dd'  (<  d  <  c,  <  d'  <  c),  we  should  have  (9°,  13°) 

P(c)  =  M(o)  ,    p  (c)  =  P(d)P(d')  =  /*«»  ,    A*(d)  4s  /"*(<»  » 

whence  /zW'(  =  /*(„),  while  from  d'  <  c  follows  /i(d<)  4=  /*«»• 

(17°)  The  marks  c  =  /i(c)  for  c  =  0,  1,  2,  ...  (q  —  1)  are  distinct  ; 
the  mark  <?  =  /i(9)  =  /w-(0)  =  0.  The  integral  marks  are  thus  "to  be 
taken  modulo  q."  (This  inheres  in  the  concept  marks  and  is  not 
indicated  in  the  notation.)  These  q  integral  marks  form  a  field 
-^t?1]  (the  abstract  form  of  the  well-known  field  previously  re- 
ferred to). 

(18°)  /A  being  any  mark  ^=  /&«>),  the  q  marks  c/i(c  =  0,  1,  2... 
(q  —  1))  are  distinct  and  form  an  additive-group  [p]  with  the 
basis-system  p,  in  the  sense  that  the  sum  of  any  two  of  these 
marks  is  a  third  of  the  same  system 

d/i+  C2/A  =  (d  +  C2)  /*, 


Def.  Any  h  marks  Vi(i=l,  2,...  A)  of  the  field  F[s]  are 
called  linearly  independent  with  respect  to  the  field  F[q]  (17°)  if 
the  equation 

h 

2  cti'i  =  0, 

i=l 

where  the  c/s  are  marks  of  the  F  [q],  can  be  satisfied  only  in  case 
every  a  =  0. 

(19°)  Any  h  marks  Vi(i=:  1,  2,.../j)  linearly  independent  with 
respect  to  the  F  [q]  give  rise  to  the  qh  distinct  marks  of  the  field 

.A  /Every  c,  has  the  values\ 

£iA*'  V  0,l,...(g-l)  J 

Def.  These  5*  marks  form  COT  additive-group  [vltvz,...vji] 
of  rank*  h  with  respect  to  the  field  F[q]  of  which  the  h  marks 
z/i  .  .  .  Vh  form  the  basis-system  *.  The  additive-group  is  trans- 
formed into  itself  when  every  mark  is  multiplied  by  a  mark  (4=  0) 
of  the  F[q]. 

If  from  any  h'  linearly  independent  marks  v/,  (j  =  I,  2  ...h') 


*  Frobenius  und  Stickelberger :  Ueber  Gntppen  von  vertauschbaren  Ele- 
menten  (Journal  filr  die  reine  und  angeivandte  Mathematik,  vol.  86,  pp.  217-262, 
1878)  use  these  terms  (p.  219). 


A    DOUBLY-INFINITE   SYSTEM    OF   SIMPLE   GROUPS.        215 

of  this  additive-group  we  form  the  additive-group  [v/,  i>2',  ...  vh'] 
of  rank  h',  this  group  is  entirely  contained  in  the  original  additive- 
group.  Any  h  + 1  marks  of  an  additive-group  of  rank  h  are 
linearly  dependent. 

Any  mark  of  the  field  F[s]  not  in  the  additive-group 
[yl}  i/2...i>ft]  of  rank  h  forms  with  the  h  marks  of  the  basis- 
system  a  system  of  h  + 1  linearly  independent  marks,  the  basis- 
system  of  an  additive-group  of  rank  h  +  1. 

(20°)  Our  field  F[s]  of  finite  order  s  may  therefore  be  ex- 
hibited as  an  additive-group  of  some  finite  rank  n ;  hence  s  must 
have  the  form  s  =  qn. 

(21°)  Any  field  included  within  our  field  F  [s  =  qn]  may 
likewise  be  exhibited  as  an  additive-group  of  rank  I  £  n. 

This  rank  I  of  the  F[ql]  thought  of  as  an  additive-group  is 
called  also  the  rank  of  the  field  F  [ql]  itself.  It  turns  out  (26°) 
that  the  rank  I  of  the  included  field  F  [ql]  is  a  divisor  of  the  rank  n 
of  the  including  field  F[qn], 

(22°)  Any  mark  /*  of  the  field  F[s  =  qn]  satisfies  an  equation 
of  the  form 


where  the  expression  fk  (X)  belongs  to  and  is  irreducible  in  the 
field  F[q1].  The  positive  integer  k  the  degree  of  the  equation  is 
called  the  rank  of  the  mark  /z  with  respect  to  the  F  [q1]. 

For  consider  the  successive  powers  //,*({  =  0,  1,  2  ...)  of  the  /*. 
A  linear  relation  with  coefficients  belonging  to  the  jP[<?1]  holds 
certainly  between  any  n  +  1  marks  of  the  F[s  =  qn]  (20°,  19°)  and 
so  between  the  first  n  +  l  powers  /**.  Suppose  that  for  our  mark 
/n  such  a  linear  relation  does  not  hold  between  the  first  k  powers 
(and  so  not  between  the  first  k'  powers  k'  ^  k),  but  does  hold 
between  the  first  k  +  1  powers.  We  have 


where  the  c/  belong  to  the  F[q]  and  ck'  4=  0  ;  divide  by  ck'  and  set 
Ci'/ck  =  Ci  ;  we  have 


216  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

where  the  c*  belong  to  the  F[q]  and  ck  =  1  ;  whence  the  equation 
fk(X)  = 


;=0 

is  satisfied  by  the  mark  X  =  p. 

The  expression  fk(X)  so  determined  does  belong  to  the  F[q] 
and  is  in  it  irreducible*.  For  if  we  had  the  decomposition 
fk(X}=fki  (X)fkt(X)  in  the  field  F[q],  then  X  =  yu,  would  satisfy 
either  fkl  (X)  =  Q  orfk2(X)  =  Q,  neither  of  which  equations  can  be 
satisfied  by  //,  since  the  first  &x  +  1,  k%  +  l  <k+l  powers  of  /u,  are 
linearly  independent  with  respect  to  the  F  [q]. 

Following  Galois  (see  the  references  given  above)  we  recognise 
in  this  additive-group  [/A°=  1,  /j1,  .  .  .  /u-*""1]  of  rank  k  the  abstract  form 
of  a  Galois-field  of  order  qk,  GF  [<?*]. 

(23°)  Every  mark  of  our  field  F[s  =  qn]  serves  to  define  such  a 
Galois-field,  the  field  of  lowest  rank  k  in  which  it  lies.  Every 
field  in  which  it  lies  has  its  rank  k'  a  multiple  of  k  (26°). 

Def.  Any  h  marks  Vi(i  =  l,  2,...h)  of  the  field  F[qn]  are 
called  linearly  independent  with  respect  to  any  included  field 
F  [ql]  (I  ^  n),  if  the  equation 

» 

2  7t^  =  0, 
t=i 

where  the  7*  are  marks  of  the  field  F[gl~\,  can  be  satisfied  only  in 
case  every  7;  =  0. 

(24°)  Any  such  system  of  h  marks  gives  rise  to  qhl  distinct 
marks  of  the  field  obtained  from  the  general  form 


by  letting  the  h  7/8  run  independently  through  the  series  of 
marks  of  the  -^[9'].  These  cf*  marks  form  an  additive-group 
[j/!,  1/2,  ...  Vh  \F\ql~$\  with  the  basis-system  i/1}  vz,  ...  vh  and  the  field 
of  reference  F  [ql],  of  rank  h  with  respect  to  the  F  [q1]. 

(25°)  Any  mark  vh+1  of  the  field  F[qn]  but  not  in  this 
additive-group  (24°)  forms  with  the  h  marks  of  the  basis-system  a 
system  of  h  +  1  marks  linearly  independent  with  respect  to  the 
F  [ql],  and  thus  leads  to  an  additive-group  of  rank  h  +  1  with 
respect  to  the  F[q1]. 

*  fk  (X)  is  reducible  in  the  field  F  [*];  it  has  the  factor  X—p. 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       217 
For  the  equation 


h+i 


is  impossible,  first,  if  7^+1  =  0,  since  the  h  marks  v1}  v»...Vh  are  by 
hypothesis  linearly  independent  with  respect  to  the  F[ql],  and 
secondly,  if  jh+i  4  0>  since  this  equation  would  lead  (by  multiplying 
by  —l/jh+i,  and  by  substituting  for  the  marks  —  ji/yh+i  which 
belong  to  the  field  F  [ql]  the  marks  7$'  respectively)  to  the  equation 

h 

Vh+i=  2  yi'vi, 
1=1 

which  would  contradict  the  hypothesis  that  the  Vh+l  is  not  in  the 
additive-group  [v1}  v2  .  .  .  Vh  F  [<^J]. 

(26°)  Our  field  F[s  =  qn]  of  finite  order  s=qn  may  be  ex- 
hibited with  respect  to  any  included  field  F  [ql]  of  order  ql  as  an 
additive-group  of  some  finite  rank  h  ;  s—qn  =  qM\  n  —  hi. 

The  rank  I  of  any  field  F[ql]  included  in  the  field  F[qn] 
of  rank  n  is  a  divisor  of  n.  The  quotient  h  is  the  rank  of  the 
including  field  F[qn]  with  respect  to  the  included  field  F[q1]; 
n  =  hl. 

(27°)  For  every  mark  v^p{0}  of  the  field  F[s  =  qn]  there 
exist  (because  there  are  only  s  marks  in  the  field)  positive  integral 
solutions  e  of  the  equation 

V6  =  /*(!)   =L 

The  smallest  such  solution,  say  e,  is  called  the  multiplicative- 
period  or  exponent  of  the  mark  v\  v  is  said  to  belong  to  this 
exponent  e.  The  e  marks  i/°=l,  v1,  v*...ve~l  are  distinct,  and 
form  a  multiplicative-group. 

(28°)  If  two  marks  vlt  v2  belong  to  exponents  elt  e2  respect- 
ively which  are  relatively  prime,  their  product  belongs  to  the 
exponent  e^,  and  the  marks 


are  e^  distinct  marks. 

(29°)  The  s  —  l  =  qn  —  l  marks  p  4=  0  may  be  thought  of  as 
the  elements  of  a  multiplicative-group  of  order  s  —  1.  The  period 
of  the  element  v  is  its  exponent  e.  Whence  e  is  a  divisor  of 
s-l  =  qn-l. 


218  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

The  equation  of  the  field  F[s  =  qn] 
X'-l  =  0 

where  e  is  the  exponent  of  some  mark  v  has  in  the  field  at  most 
e  roots  (11°)  (not  having  the  root  X  =  0  =  /*«,)),  and  in  fact  it 
has  the  e  roots  vi(i—Q,  1,  2,...(e  —  1)). 

(30°)     The  equation  of  the  field 

X8-1-1=Z«M-1-1=0 

is   satisfied  by  every   one  of  the  5  —  1    marks   v  4=  0,   since  the 
exponent  of  every  mark  v  is  a  divisor  of  s  —  1. 
(31°)     The  equation  of  the  field 

X°-X=Xvn-X  =  0 

is  satisfied  by  every  mark  V  of  the  field  F  [s  =  qn].  Hence  the 
decomposition  in  the  F  [s  =  qn] 


This  is  the  generalization  for  the  F[qn]  of  Fermat's  Theorem  for 
the  F[qll 

(32°)     Converse  of  (29°).    /  being  any  divisor  of  s  -  1  =  qn  -  1 
the  equation 

X/-.1-0 
has  in  the  F[s  =  qn]  exactly/"  roots. 

For  let  s  —  1  =fg.     We  have  the  identity  in  X  in  the  field 
F  [ql]  and  so  in  the  field  F[s  =  qn], 


whence  (30°,  12°)  the  desired  conclusion  follows. 

(33°)     In  particular,  if  s  —  1  =  qn—  1  =  p^p.^  ...pkh*,   where 
the  p's  are  the  distinct  prime  factors  of  s  —  1,  the  equation 

Xvth'  -1=0 

for  i  any  integer  of  the  series  1,  2,  ...  k  has  in  the  field  F[s  =  qn] 
Pihi  roots  v.  The  exponent  e  of  every  one  of  these  roots  is 
a  divisor  of  pfi  and  hence  is  of  the  form  pfi  (hi  ^  hi).  Of  these 
roots  pihi~l  belong  to  exponents  which  are  factors  of  pfr1,  namely, 
the  p^~l  roots  of  the  equation 

Xp/'i'1  -1  =  0. 

The  remaining  pthi  —  pfr1  =p^i  (  1  --  )    roots   belong    to    the 

\  Pi/ 

exponent  pfi  itself. 


A    DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       219 

Whence,  by  multiplication  of  marks  belonging  to  the  various 
exponents  p^  (i=  1,  2  ...  k),  we  obtain  in  all 


distinct  marks  belonging  to  the  exponent 


i-l 

(28°).    [Here  <f>  (t)  denotes,  as  usual,  the  number  of  integers  less 
than  and  relatively  prime  to  the  positive  integer  t.] 

Thus,  the  s  -  1  =  qn  -  1  marks  (4=  0)  of  the  field  F[s  =  qn]  are 
the  s—l  powers  of  a  mark  p  belonging  to  the  exponent  s  —  l,  or 
say,  of  a  primitive  root  p  of  the  equation  XB~l  —  1  =  0,  or  of  the 
field  F[s  =  qn]  itself.  The  multiplicative-group  of  the  s  —I  marks 
is  cyclic. 

(34°)     Similarly  :  Any  equation  of  the  form 

X'-'-O, 

where  f  is  any  divisor  of  s  —  1  =  qn  —  1,  has  in  the  F[qn]  f  roots 
(32°),  of  which  <f>  (/)  are  primitive  roots. 
p  being  a  primitive  root  of  the  equation 

X'-1  -1  =  0, 

s-l  f 

then  p  f   is  a,  primitive  root  of  the  equation 

JT/-1  =  0. 

(35°)  All  the  results  reached  may  be  applied  to  any  field 
F[ql],  in  particular  to  any  F[ql]  included  within  the  F[qn],  where 
then  (26°)  I  is  a  divisor  of  n.  The  marks  of  such  a  F[ql]  are  the 
ql  roots  of  the  equation  (31°,  32°) 

jy  -  x  =  x  (  jy-i  -  1  )  =  o. 

Our  field  F[qn]  containing  one  F[ql]  contains  no  other  F[q1]. 
The  converse  of  (35°)  is  true  ;  see  (39°). 

(36°)  Every  mark  v(^0)  of  the  F[qn]  is  the  root  of  an 
equation 

Fk(X)=  1  c^  =  0        (Cjfc=l), 
»=i 

belonging  to  and  irreducible  in  the  F[q]  of  degree  k  equal  to  the 
rank  of  the  mark  with  respect  to  the  F[q]  ;  see  (22°). 


220  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

The  greatest  common  divisor  of  X^n  —  X  and  Fk  (X)  both 
of  which  belong  to  the  F  [q]  does  itself  also  belong  to  the  F  [q]  ; 
but  Fk  (X)  is  irreducible  in  the  F  [q]  ;  the  divisor  is  accordingly 
Fk(X)  itself,  or  some  mark  independent  of  X.  The  process 
necessary  to  determine  this  divisor  may  however  be  interpreted 
also  in  the  F[qn],  in  which  case  X  —  v  is  recognized  as  a  common 
factor  (31°,  22°,  footnote).  Whence  in  the  F[q]Xvn-X  is 
exactly  divisible  by  every  such  expression  Fk(X).  Here  fc  is  a 
divisor  of  n  (26°,  22°). 

(37°)  First  converse  of  (36°).  Every  factor  Fk  (X)  of  degree 
k  of  X?n  —  X  which  belongs  to  and  is  irreducible  in  the  F  [q]  has 
in  the  F[qn]  k  linear  factors  (31°,  32°) 


1=1 

k 


The   mark   ^   defines   (23°)   a   Galois-field    GF[qk]   of    order   q 
contained  in  the  F[qn],     Whence  &  is  a  divisor  of  n  (22°). 

(38°)     Second   converse   of  (36°).     Every   expression    Fk(X) 
of  degree  k,  a  divisor  of  n,  belonging  to  and  irreducible  in  the 
F  [q]  occurs  as  a  factor  of  Xvn  —  X.     For  every  such  Fk  (X)  serves 
(by  the  Galois  theory)  to  define  a  GF[qk];  whence  the  Fk(X). 
is  a  factor  ofX*k-X  =  X  (Xvk->  -  1)  (36°),  and  thus  of 

X(X^n-1-l)  =  X9n-X. 

(39°)  Galois-fields  GF[pk]  exist  (being  by  the  Galois  theory 
defined  by  such  an  Fk  (X),  (38°))  for  every  prime  q  and  integer  k. 
Our  F[qn]  contains  one  (38°,  37°,  23°)  and  only  one  (35°)  GF[qk] 
for  every  k  a  divisor  of  n,  and  no  other  fields  whatever  (26°,  35°). 
The  marks  of  such  an  included  GF[qk]  are  the  qk  roots  of  the 
equation 

-  X  =  0. 


k  is  the  rank  of  the  field  GF[<f]  (21°). 
(40°)     In  particular,  for  k  =  n, 
Every  existent  field  F  [s]  is  the  abstract  form  of  a  Galois-field 


I  use  always  hereafter  the  notation  GF  [qk]  instead  of  F  [qk]. 

(41°)  The  marks  common  to  two  included  fields  of  ranks  k^ 
and  &2  respectively  constitute  a  third  field,  and  indeed  of  rank  k 
where  k  is  the  greatest  common  divisor  of  ki  and  ks  (3.9°,  36°). 


A    DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE    GROUPS.       221 

(42°)  The  field  of  lowest  rank  containing  two  included  fields 
of  rank  &x  and  &2  respectively  is  the  field  of  rank  k'  where  k'  is  the 
least  common  multiple  of  k^  and  &2. 

(43°)  The  mark  v  (={=  0)  of  the  GF  [qn]  has  the  exponent  e  (27°), 
satisfies  the  equation  Fk  (X)  =  0  (22°)  belonging  to  and  irreducible 
in  the  GF[q],  and  defines  the  GF[qk]  (23°,  39°).  By  the  method 
of  proof  of  (36°) :  Fk  (X)  is  an  exact  divisor  of  Xe  - 1  in  the 
GF[q\;  Xe-l  is  an  exact  divisor  of  X  (X^~l  -  I)  =  X*k  -  X 
(since  e  is  a  factor  of  gk  —  1  (29°)) ;  Xq  —  X  is  an  exact  divisor 
of  Xin  —  X  (since  the  rank  &  is  a  divisor  of  the  rank  n  (26°). 
(This  accords  with  (36°).) 

(44°)  The  exponent  e  of  a  mark  v  (4=  0)  and  the  rank  k 
of  the  mark  v  with  respect  to  the  GF[q],  or,  what  is  the  same 
thing,  the  rank  k  of  the  GF  [qk]  defined  by  the  mark  v,  are  thus 
related : 

e  is  a,  divisor  of  qk  —  l  (29°),  and  of  qk'—l  only  for  k'  a 
multiple  of  k. 

e  being  a  divisor  of  qk—  1  and  of  qk'  —  1  is  a  divisor  of  ql  —  1, 
where  I  is  the  greatest  common  divisor  of  k  and  k'.  Now  this  I  is 
k  itself,  and  so  k'  is  a  multiple  of  k.  For,  since  e  is  a  divisor  of 
ql  - 1,  l£  k,  Xe  -  1  is  a  divisor  of  X^  - 1  and  of  X*  -  X  ;  the 
mark  v  lies  in  the  GF[<f\  (12°,  29°,  32°);  I  is  a  multiple  of  k 
(23°,  26°)  and  so  in  fact  equal  to  k. 

In  particular,  a  primitive  root  (34°)  of  the  equation 

Xi*-1 -1  =  0, 

where  k  is  a  divisor  of  n,  is  of  rank  k.     For  its  e  is  qk  —  1. 

(45°)     Similarly : 

Fk  (X)  is  an  exact  divisor  of  Xe  —  1,  and  of  Xe>  —  1  only  for  e' 
a  multiple  of  e. 

Fk(X)  is  an  exact  divisor  of  X^-1  -I,  and  of  X^''1-  I  only 
for  k'  a  multiple  of  k. 

(46°)     Similarly,  using  also  the  method  of  (36°)  : 

The   mark  v  is   a  root   of  the  equation   Xe  —  1  =  0,   and   of 

X e>  —1  =  0  only  for  e'  a  multiple  of  e. 

The   mark   v   is   a   root  of  the  equation  X^-1  —1  =  0,   and 

of  X^'-1  -1  =  0  only  for  k'  a  multiple  of  k. 


222  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

(47°)     The  equation 

Fk(X)  =  0 

is  in  the  FG  [g*]  completely  reducible,  having  the  roots 

X  =  v,     v<i,     v*\  ...  vik~l  (vik=  v). 

These  k  marks  are  distinct  ;  if  two  were  equal,  v  would  satisfy  an 
equation  Xik  —  X  =  0  with  k'  <  k,  contrary  to  (46°). 

That  they  are  roots  of  the  equation  depends  upon  the  following 
lemma. 

Lemma.     The  rational  integral  function 


*=o 
belongs  to  the  GF  [ql~\  and  satisfies  the  equation 


where  h  is  any  positive  integer. 

This  is  proved  for  the  general  h,  if  proved  for  h  =  1  . 


since  the  multinomial  coefficients  for  the  product  terms  vanish  in 
the  GF[q]  owing  to  the  presence  of  the  factor  q,  and  since  Ciq=  d 
(Fermat's  Theorem  ;  (31°)). 

(48°)  The  mark  \  being  now  any  mark  in  the  GF[qk]  it 
defines  a  GF[ql],  I  a  certain  divisor  of  k.  Then  A,  satisfies  the 
equation 

Xvl-X  =  0. 
Def.     The  k  marks 

V  =  X«°,  X5>;  \i\  .  .  .  \9fc+1  (\qk  =  x) 

are  called  conjugate  with  respect  to  the  GF[q]. 

These  k  conjugate  marks  are,  in  view  of  \vl=\,  the  I  marks 

X1=X«°,  X«l,  X«2,  ...  X^"1, 

k 

y  times  repeated.     These  I  marks  are  the  roots  of  an  equation 

I  \ 


belonging  to  and  irreducible  in  the  GF[q]  (22°,  47°). 
The  expression 


A    DOUBLY-INFINITE  SYSTEM    OF    SIMPLE   GROUPS.       223 

in  the  GF[q]  has  the  decomposition 


It  would  be  interesting  and  for  other  allied  investigations 
necessary  to  study  in  detail  the  properties  of  the  GF[qn]  with 
respect  to  any  included  GF  [ql],  as  we  have  studied  the  properties 
with  respect  to  the  GF  [q1]. 


Concerning  squares  and  not-squares  in  the  GF[qn]. 

(49°)  Let  p  be  a  primitive  root  of  the  GF[qn],  that  is, 
of  the  equation  (33°) 

Xs-1  - 1  =  Xin~l  -1  =  0. 

(a)  If  q  >  2,   and  so  s  —  1  =  even  =  2t,   then   p*  =  —  1  4=  +  1 ; 

.      (even  (squares 

the  <    , ,    powers  of  p  are  <  ;  every  square  o-  =  p2A  has 

(odd    J  (not-squares 

two  square  roots  ph  and  ph+t  =  —  ph.  With  respect  to  the  multipli- 
cation and  division  of  squares  and  not-squares  the  well-known 
laws  of  the  theory  of  numbers  [that  is,  for  the  particular  case 
of  the  GF[q],n=l]  hold. 

(b)  If<2=2,   and   so   s  —  1  =  odd  =  2t+  1,   then  p-  is  also  a 
primitive  root  of  the   GF  [qn  =  2W]  (since  2  is   prime  to   s  —  1 ) ; 
every  mark  is  a  square,  and  has  only  one  square  root.    (We  notice 
that  -  1  =  +  1  in  this  GF  [2n].) 

Thus  in  the  GF  [q11] 

if  q  >  2  there  are  ^  (s  ~  1)  scluares>  £  (*  -  1)  not-squares. 

q  =  2  s  —  1  = ;  2n  —  1  squares. 

(50°)  If  q  >  2,  the  not-squares  of  any  GF  [q1]  are  in  an 
including  GF[qn]  not-squares  or  squares,  according  as  the  rank 
n/l  =  h  of  the  GF  [qn]  with  respect  to  the  GF  [q1]  is  odd  or  even. 

on  —  1 
p1  =  pu  where  u  =  -L — _  is  a  primitive  root  of  the  GF  [q1]  (34°). 

The  marks  (4=0)  of  the  GF[ql]  are  given  by  Pl»  =  pw» (v  =  0,  1,... 
(I—  1)).  Let  p^  be  in  GF[ql]  a  not-square;  v  is  odd;  p^  =  puv 
is  in  GF[qn]  a  not-square  or  a  square  according  as  uv,  that 


224  ELIAKIM   HASTINGS    MOORE. 

is,  as  w,  is  odd  or  even,  that  is,  in  fact,  according  as  h  =  n/l  is 
odd  or  even.     For  by  the  equation 

qn-\      qhl-l      *^i    .. 

M—    2  _  _   ±  _   _      V     nil 

-   ~  1  1       -          >  T~    -       ~      V      » 

tf-l       ql-l        i=0^ 
we  exhibit  u  as  the  sum  of  h  odd  terms. 


The  Galois-field  of  order  s  =  qm. 

Notation.  The  GF[q™]  contains  one  GF[qn]  (§3,  39°). 
Hereafter  in  this  paper  I  shall  use  the  small  Roman  letters 
a,  b,  c,  ...  to  denote  integers  and  also  marks  of  the  GF[q],  the 
small  Greek  letters  a,  /3,  7,  ...  to  denote  marks  of  the  GF[qn],  and 
the  large  Roman  letters  A,  B,  C...  to  denote  marks  of  the 


Def.  In  the  GF[q™]  the  two  marks  A,  B  where  B  =  A«n, 
A  =Bqn  (since  A^~n  =  A)  are  called  conjugate  with  respect  to  the 
GF[qn],  The  notation  A  for  the  conjugate  of  A  is  used. 

(1°)     If  and  only  if  A  belongs  to  the  GF[qn],  does  A=A. 

(2°)     AG  =  AC,     Ji  =  C2)f,    7=  A, 


aA  +  bB  +  cC  =  a  A  +  bB  +  cC. 

(3°)     Every  mark  A  of  the  GF[q™]  and  not  of  the  GF[q«\  is 
the  root  of  an  equation 


belonging  to  and  irreducible  in  the  GF  [qn].     The  two  roots  are 


For:  A  +  A=K  and  A  A  =  L  belong  to  the  GF[qn],  since 
(2°,  1°) 

=  A+A=K, 


We  may  then  set  A  +  A  =  *,  A  A  =  X  and  have  in 


an  equation  belonging  to  the  GF[qn]  with  the  roots  X=A,  A 
and  irreducible  in  the  GF[qn]  since  its  roots  do  not  belong 
to  GF[qn]. 


A    DOUBLY-INFINITE    SYSTEM    OF    SIMPLE   GROUPS.      225 
(4°)     Converse  of  (3°).     Every  quadratic  equation 


belonging  to  and  irreducible  in  the  GF[qn]  is  reducible  in  the 
GF[qm],  having  as  roots  a  pair  of  conjugate  marks  A,  A. 

(a)  There  are  in  all  qm  distinct  quadratic  equations  belonging 
to  the  GF[qn]. 

(6)  Of  these  |  (qm  +  qn)  are  reducible  in  the  GF  [qn],  viz.,  qn 
with  equal  and  %(qn(qn-  1))  with  unequal  roots. 

(c)  There  are  £  (q™  —  qn)  irreducible  ones  which  are  exactly  the 
equations  (3°)  whose  roots  are  respectively  the  £  (qm  —  qn)  pairs  of 
conjugate  marks  A,  A. 

Note  that  every  mark  /8  a  not-square  in  the  GF[qn]  is  a 
square  in  the  GF[q™]  (§  3,  50°). 

(5°)     Since  qn  +  1  is  a  divisor  of  q™  —  1,  the  equation 

Xvn+i  -1=0 

has  in  the  GF  [qm]  as  roots  the  qn  +  1  successive  powers  of  a 
primitive  root  J  (§  3,  34°).  Any  mark  A  whose  conjugate  is  its 
reciprocal 

AA  =  A*"*1  =  I, 

is  thus  a  power  of  J  and  with  its  conjugate  satisfies  (3°)  a 
quadratic  equation  of  the  form 


The  powers  of  /  which  lie  in  the  GF(qn)  satisfy  likewise  the 
equation 

X<in-i  -1=0, 
and  so  the  equation 


they  are  then  J°  =  +  1,  and  (for  q  >  2,  qn  +  1  even)  «/*«?w+1>  =  -  1. 
Thus  there  are 


,  -  A     ,.  ,,,      , 

i          ««  ,  quadratic  equations  of  the  form 
if  q  =  2,     \qn  =  271"1  H 

X*-KX  +  1  =  Q, 

which  belong  to  and  are  irreducible  in  the  GF[qn]. 
I  write  the  one  satisfied  by  «7  and  J  =  J""1  thus 

(/;  (9)  (X-J)(X-J)  =  X*-0X  +  1=0, 

thereby  defining  the  mark  6  of  the  GF  [qn] 


c.  P.  15 


226  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

(6°)  In  the  GF  [qm]  the  mark  J  having  the  period  e  =  qn  +  1 
defines  (§  3,  23°,  39°)  the  GF[q™]  itself  (§  3,  44°). 

(7°)  In  the  GF(qn)  the  mark  6  defines  the  GF[qn]  itself. 
For  let  0  define  the  GF[ql]  (I  a  divisor  of  TO).  The  GF[qm] 
contains  a  GF[q*1],  in  which  the  equation  belonging  to  the 


(J-  6)  X* 

is  reducible  (4°).     Hence  its  root  J  belongs  to  the  GF[q21].     Thus 
indeed  I  =  n  (6°). 

(8°)  There  are  <£  (qn  + 1)  primitive  roots  J  and  thus  %<f>  (qn  +  1) 
marks  0.  We  do  not  now  need  to  inquire  further  into  the 
properties  of  this  system  of  marks  0. 

(9°)  Any  mark  A  of  the  GF  [q™]  may  be  written  in  one  and 
only  one  way  in  the  form 

A  =  7  -f  8  J. 
(§  3,  24°).     Its  conjugate  is  (2°,  5°) 

A  =  7  +  &J- 

o  5. 

Definition  of  the  group  G^^  . 

Our  abstract  group*  GM(qn)  will  be  studied  under  two  concrete 
substitution-group  forms  G^L  and  G'^,+ny  Indeed  it  will  be 

now  defined  by  its  concrete  form  6rjf  ,+1> . 

We  work  in  the  GF[qn]  with  a  mark  oo  adjoined.  The  mark 
oo  shall  have  with  respect  to  the  GF[qn]  operational  properties 
strictly  analogous  to  those  of  the  algebraic  symbol  oo  with  respect 
to  the  totality  of  finite  algebraic  symbols. 

Let  the  variable  marks  &>,  &>'  run  through  this  series  of  qn+  1 
marks.  Let  a,  /3,  7,  8  be  any  marks  of  the  GF[qn]  for  which  the 


*  As  to  group-notations  :  The  subscript  attached  to  the  symbol  G  of  a  group 
denotes  its  order.  The  superscript  attached  to  the  symbol  G  of  a  substitution-group 
denotes  its  degree.  The  elements  of  an  abstract  group  are  called  operators  ; 
those  of  a  (concrete)  substitution-group  substitutions. 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       227 

determinant  A  =  «8  —  /3<y  4=  0.  Then  the  linear  fractional  substi- 
tution 

^  *'-Jj£rt  (rt-ftr-A  +  O) 

makes  correspond  to  every  mark  o>  a  certain  mark  aj  ',  and  indeed 
so  that  to'  takes  every  one  of  its  qn  +  I  values,  the  reciprocal 
substitution  being 

< 


(7-) 


F  effects  then  a  definite  permutation  of  the  <?w  -f  1  marks  «o  and 
will  be  thought  of  as  a  notation  for  a  substitution-operation  on 
those  qn  +  1  marks. 

The  notation 


is  used  for  the  substitution  V. 
Corresponding  to  the  formulae 

ctV  +  £"  F, 

=  y' 

(V\  fl//.. 

lr)      (B     — 


,     /7/          -,,,    x.  ,     ///j/         5>//S>/\    ' 

(7  a  +07)<u  +  (7/3+6  d) 
we  have  the  formula  of  composition  or  multiplication  of  substi- 
tutions 


The  determinant  of  the  product  of  two  substitutions  is  the  product 
of  the  determinants  of  the  substitutions. 

The  totality  of  all  such  distinct  substitutions  of  determinant 

+  1  constitutes  the   substitution   group   Gs^s)  =  G£  *i}    of  order 
M(s)  =  M(qn)  on  the  s  +  1  marks  CD. 
The  two  substitutions 


V-      - 

~  ~ 


are  the  same  in  fact.  Their  determinants  are  A  =  aS  —  j3y, 
A^  =  /i2A.  (a)  Case  q  >  2.  The  marks  (4=  0)  are  half  squares 
and  half  not-squares  (§  3,  49°)  ;  and  A"1  or  A"1/?  is  a  square, 

15—2 


228  ELIAKIM    HASTINGS    MOORE. 

according  as  A  is  or  is  not  a  square  (p  being  a  primitive  root 
of  the  GF  [qn]).  By  choosing  then  /*  =  ±  VZr71  or  ±  V A-^p 
according  as  A  is  or  is  not  a  square,  V^  has  its  determinant  AM  =  1 
or  p  respectively.  (6)  Case  q  =  2.  Every  mark  (4=  0)  is  a  square 
(§  3,  49°).  By  choosing  then  /j,  —  x/A"1  (uniquely  defined  in  the 
GF[qn-  2n]),  FM  has  its  determinant  AM=  1. 

These  forms  of  the  substitution  for  which  the  determinant  is  1 
or  p  (q  >  2);  1  (q  =  2)  are  called  normal  forms  of  the  substitutions. 

Every  substitution  has  exactly,  if  q  >  2,  two   normal   forms, 
or,  if  q  —  2,  one  normal  form. 
'a., 


(08  -#y  = 


y, 
Lemma.     The  equation  of  the  6rF  [s  =  ^n] 

«S  —  /3y  =  e, 

in   which    e   is   a   fixed  mark  =j=0,  has  (s  —  l)s(s  +  l)   solutions 
(a,  A  7,  «). 

For  (a)  a  being  0,  then  8  may  have  any  one  of  s  values,  then  0 
may  have  any  one  of  s  —  1  values  (={=  0),  and  then  7  is  uniquely 
determined  by  the  equation,  and  (b)  a  being  =}=  0,  then  a  may  have 
any  one  of  s  —  1  values  (=}=  0),  then  0  and  7  may  each  have  any 
one  of  s  values,  and  then  the  equation  determines  8  uniquely. 
Whence  the  equation  does  have  in  all 

s  (s  -  1)  +  (s  -  1)  ss  =  (s  -  1)  s  (s  +  1)  =  s  (s2  -  1) 
solutions  (a,  0,  7,  S). 

Thus:    (q>2).       There    are    £s(s2-l)    substitutions 


7> 
having  A  =  «8  —  /37  =  square  (in  normal  form,  A=  1)  and  %s  (s2  —  1) 

having  A  =  not-square  (in  normal  form,  A  =  p). 

(o=2).     There  are  s(s2—  1)  substitutions  f-2-^)  (in  normal 

\7,  d>  l 

form  having  A  =  1). 

Thus  clearly  the  order  M(s  =  qn)  of  our  G'^g)  (the  totality  of 
substitutions  with  determinant  1)  is* 

(q  >  2  >q  =  2)' 


*  We  shall  need  to  discriminate  frequently  between  the  cases  q  >  2,  3  =  2.     The 
compact  notation  used  for  such  discrimination  should  cause  no  confusion. 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       229 

The  group  of  all  the  substitutions  with  determinants  ^  0  has 
the  order  (2;  1)  M(s)  according  as  (<?>2;  <?  =  2).  For  q>2 
the  G*2*f(s]  contains  the  G'**s)  as  a  self-conjugate  sub-group  of 
index  2. 

I  prove  in  this  paper  the  following 

Theorem.  This  group  GM(S)  is  a  simple  group  in  all  except 
the  two  particular  cases 

(n  =  l,     ?  =  2,     5  =  2,     jl/»  =  6, 


where  the  GM  (8)  are  in  fact  known  to  be 

I  the  6r6=3  1  symmetric  substitution-group  on  s-j-  1  =  3  letters, 
the  6r12  tetrahedron  group  or  alternating  substitution-group  on 

5  +  1  =  4  letters, 
and  to  have  as  self-conjugate  sub-groups 

fa  G3  cyclic-group. 
(a  Gt  four-group. 

To  this  end  it  is  necessary  first  (§7)  to  discuss  the  individual 
operators,  and  the  cyclic  and  commutative*  sub-groups  of  the 
6rjf(g),  and  secondly  (§  8)  to  establish  a  diophantine  equation  t  for 
the  order  of  a  self-conjugate  sub-group,  which  shall  lead  to 
the  conclusion  that  the  only  self-conjugate  sub-groups  of  the 
GMIS)  are  the  identity  and  the  GMM  itself.  In  §  6  a  new 
"  imaginary  "  form  G'^^  of  the  group  is  introduced,  which  will 
be  very  useful  in  §  7  ;  for  n  =  1  this  introduction  is  due  to 
Serret. 

The  theory  of  §§  6,  7  runs  on  the  whole  parallel  to  that  for  the 
case  n  =  I,q>2  as  exhibited:):  by  Klein-Fricke  following  Serret 
and  Gierster.  There  are,  however,  necessary  and  important 
variations. 


*  A  group  is  called  commutative  if  its  operators  are  commutative. 

t  Klein  uses  this  method  to  prove  the  ikosahedron  group  (?6ft  simple; 
Ikosaeder,  p.  17. 

£  Klein  :  Vorlesungen  iiber  die  Theorie  der  elliptischen  Modulfunctionen,  aus- 
gearbeitet  und  vervollstandigt von  Dr.  Robert  Fricke,  (1890-92):  vol.  1, pp.  419-450. 

Serret:  Comptes  Rendus,  1859,  1860;  Algebre  superieure,  vol.  2,  p.  363  £f. 

Gierster:  Mathematische  Annalen,  vol.  18,  pp.  319-365;  Die  Untergruppen 
der  Galois'schen  Gruppe  der  Modular gleichung en  fiir  den  Fall  eines  primzahligen 
Transformationsgrades. 


230  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 


/* 
o. 


Definition  of  the  group  G'^^1,  the  "imaginary"  form 
of  the 


We  work  in  the  GF[qm]  with  a  mark  x  adjoined,  and  let 
the  variable  marks  W,  W  run  through  this  series  of  q*11  +  I 
=  s2  +  1  marks,  (s  is  used  hereafter  uniformly  for  qn.) 

Consider  the  group  G^+^M^t)  (q  >  2  ;  q  =  2)  of  all  substitutions 
of  the  form 


This  group  contains  the  sub-group  ^y^  of  all  substitutions  of 
the  form 


which  is  holoedrically  isomorphic  with  the  substitution-group 
Gs^\  (§  5)  on  the  s  +1  marks  o>  ;  indeed,  it  is  an  intransitive 
group  on  the  s"  +  1  marks  W,  the  5+1  marks  o>  forming  one 
system  of  intransitivity. 

The  group  G^1^  M(gZ)  contains  also  the  substitution 

(3)  * 


of  determinant  J-  /=j=  0  (§  4,  1°,  5°).     We  have  (§  4,  5°) 
(4)  J-=eJ-l;  J*  =  OJ-1. 

(5)  //=i 


(6)  v-i- 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       231 


R   transforms*   the    group    G'       {V}   into   an   holoedrically 
isomorphic  group  G"^  [V]  =  R  [V]  R~*  =  {V  =  RVR-1},  where 


(X-AA-BB-l). 


(g- 


(10)    A'  =  AA  -  BB  =  /c2  +  X2  -  tf  -  vz  +  (K\  -  AM/)  d 

=  aa-/37  =  A  =  l. 

This  group  (T'^}  includes  every  substitution  of  the  form  (  V) 
(8).     The  V  is  determined  from  the  V  by  the  formula 
(11) 


8=        K  +  fJb. 

(12)  A  =  aS  -  /3y  =  /c2  +  X2  -  ^  -  v2  +  (K\  -  pv)  d 


This  group  G'SM**  [V]  (8)  is  the  "imaginary"  form  of  our 
GM(S).  For  n=l,  q>2  this  form  was  introduced  (by  Serret, 
and  then)  by  Gierster,  loc.  cit.,  p.  327,  and  indeed,  as  we  have 
done  for  the  general  case,  by  introducing  the  broader  group  G-\M\, 
within  which  the  6r^.|*  and  the  Gr'^  are  conjugate  sub-groups 


*  J?,  V  being  two  operators  of  a  group,  R  transforms  V  into  the  conjugate 
operator  V'=RVR-1.  This  definition  is  preferable  to  the  other,  V'  =  R~1VR, 
when  as  here  in  the  Gs+}  the  operators  are  substitutions  on  the  s  +  1  marks 

M(s) 

operating  from  the  right  to  the  left. 


232  ELIAKIM   HASTINGS  MOORE. 

(loc.  cit.,  p.  331).  Gierster  (loc.  cit.,  p.  328)  and  Klein-Fricke 
(loc.  cit.,  p.  425)  use  transforming  substitutions  which  depend 
upon  the  square  root  in  the  GF  \tf\  of  a  not-square  in  the  GF  [q1]. 
Since  however  not-squares  do  not  exist  in  GF[s  =  qn]  with  q  =  '2, 
we  have  made  use  of  a  transforming  substitution  R  of  a  different 
type  which  does  exist  for  the  general  n  with  q  =  2  as  well  as  with 
q>2. 

I  notice  in  conclusion  that  the  two  substitutions   VQ  of  the 
GJIJ  and  Vj^RVJtr1  of  the  £'£     are  conjugate, 


s  +  1 

and  accordingly  V6  has  the  period  -^  —  -  (§  7,  (11)). 

*     i 


§rr 
1 1 

The  individual  operators  and  the  cyclic  and  commutative 
sub-groups  of  the  GM^. 

To  summarize  at  once  the  conclusions  of  this  section : 
Of  the  GM  (s)  every  operator  (the  identity  excepted)  determines 
and  lies  in  one  and  only   one  largest*   commutative  sub-group. 
These  sub-groups  constitute  three  different  sets,  the  groups  of  each 
set  being  conjugate  with  one  another  under  the  GM(S). 

(I)  s  + 1  conjugate  commutative  Gs=qn.  These  s2  —  1  operators 
are  all  of  period  q.  For  q  =  2  these  are  all  conjugate  operators. 
For  q>2  they  separate  into  two  sets  of  ^(s2—  1)  conjugate 
operators.  The  q—l  operators  of  a  cyclic  group  Gq (q > 2)  belong 

(n  odd,  half  to  one  and  half  to  the  other]           , 

\  \  set  of  conjugate  operators. 

\n  even,  all  to  the  same  ) 

(II)*     ^s  (s  +  1)  conjugate  cyclic  groups  Gs+\  (q  >  2  ;  q  =  2). 

2;~1 

(III)*     %s  (s  —  1)  conjugate  cyclic  groups  Gs+i  (q  >  2 ;  q  =  2). 


*  For  the  cases  s  =  ql  =  5;  3,  the  GM(»)  being  the  ikosahedron  G60;  the  tetra- 
hedron G12,  the  groups  (II)*  ;  (III)*  above  specified,  viz.,  15  conjugate  0?2  under  the 
G60;  3  conjugate  <32  under  the  0?12,  exist,  but  every  one  is  contained  in  a  larger 
commutative  four-group,  these  constituting  a  system  of  (II)  five  conjugate  commu- 
tative four-groups  ;  (III)  one  commutative  four-group. 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       233 

The  operators  and  groups  of  the  three  types  will  be  discussed 
by  considering  the  GM  («)  in  the  concrete  substitution-group  form 
for  tyP68  !'  n,  and  0'  JJJ  for  type  III. 


/.     The  operators  of  period  q. 
Denote  by  Sp  the  substitution  of  the 

m  <? 

^ 

We  have 

(2)  Sfifih  =  Sfii+h  =  Sfififii  '>   S 

(3)  Sp«  =  Sqp  =  S0  =  I;  S^  =  S- 
where  /  denotes  the  identical  substitution, 


The  totality  of  s  =  qn  substitutions  Sp  constitutes  a  commuta- 
tive group  G(<x>)  {Sp}  of  order  s  =  qn.     Every  substitution  (except 

s—  1 

the  identity)   is   of   period   q.     There    are       —   cyclic   Gq    in 

the  G(sx). 

To   study  the  conjugacy  of  these  substitutions  and  groups 

under  the  Gs^s)  we  transform  $M  (p  =|=  0)  by  V  =  (  —  ?  j  and  obtain 


(5)  VS  V~*  = 

This  transformed  substitution  belongs  to  the  G(™]  if  and  only 
if  in  V  7=  0,  and  in  fact  V  =  f  fl  '  _a  j  does  transform  /S^  into 

1       /a\ 

Sjn,  while  in  particular  any  Sp  =  (  /r-y  )  transforms  >SM  into  itself. 

\Vj       -I    / 

Within  the  Gs^s)  the  substitution  8^  {/*  4=  0}  is  self-conjugate  in 
exactly  the  G(9°D)  {Sft},  while  the  G(^  is  self-conjugate  in  exactly 

the  G^  l}  \    '    _[.    The  order  of  this  last  group  is  ~  —  ~  ,  for  a 

all     I  '  a  " 

has  in  all  5  —  1  values  (4=  0),  and  /3  has  independently  s  values  ; 
every  substitution  is  however  counted  twice  if  q  >  2.     The  substi- 


234  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

tution  Sft.  is  conjugate  under  the  G'^  with  the  substitutions  S^ 
i.e.,  if  (q  >  2  ;  2  =  2),  with  (only  half;  all)  the  s  —  1  substitutions 
of  the  G(™}  (§  3,  49°).  If  q  >  2,  the  s  -  1  substitutions  of  the  Q("} 
separate  into  two  sets  of  ^(s  —  1)  conjugate  substitutions.  The 
q  —  1  substitutions  of  a  cyclic  group  Gq  {SafL\  (a  =f  0)  belong  half  to 
one  and  half  to  the  other  set,  if  n  is  odd,  since  then  only  half  the 
marks  a  are  in  the  GF  [qn]  squares  (§  3,  50°),  while  if  n  is  even, 
they  all  belong  to  the  same  set,  since  all  the  marks  a  are  in  the 
GF  [qn]  squares. 


In  the  G8**  there  are 


conjugate  commutative  groups  Gg  .  Each  of  these  is  defined  by 
any  substitution  lying  in  it  (the  identity  excepted)  as  the  group  in 
which  that  substitution  is  self-conjugate.  The  s  +  1  groups  have 
the  identity  in  common,  but  otherwise  have  quite  distinct  substi- 
tutions all  of  period  q,  s2  —  1  in  all. 

Theorem  (I)  as  stated  is  now  seen  to  be  proved. 

s  —  1 
77.     The  operators  of  periods  divisors  of  „       . 

Denote  by  P  the  substitution  of  the 
(6)  P 


where  p  is  a  primitive  root  of  the  field  GF[s]  (§  3,  33°).     We  have 
as  powers  of  P 

(7)  P? 


p  belongs  to  the  exponent  s—  1.    The  cyclic  group  generated  by  P 

has  order  |^  (q  >  2  ;  q  =  2)  ;  denote  it  by  G(™_®  {&>}.     The  sub- 
' 


271 


stitutions    -t]  (aS  —  /3y=l)  of  this  group  are  defined  by  the 
vy,  oy 

equations  /3  =  0,  7  =  0. 

This  group  G™_1  contains  a  substitution  of  period  two  if  and 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       235 

only  if  s  =  qn  has  the  form  s  =  qn  =  4>h  +  I ;  in  this  case 

s-1     /  \f i    n 

(8)  pft  =  p^r  =  (  V~1;J; 

\0,  -V-l 
exists  and  has  the  period  two. 

Any  substitution  V  of  the 

(9)  1? 

transforms  P^  4=  /  (p9  =j=  ±  1 5  •'•  P9  —  P~a  4=  0)  into 
(10) 


ff  -    -s 


This   transformed   substitution   belongs   to   the  cyclic  group 
G(™_®  {Pff}  if  in  V  a/3  =  0  and  j8  =  0.     We  have  also  aS  -  #y  =  1. 

8t  1 

Two  cases  arise. 

First  case  :  $  =  7  =  0.     V=  (     '    _J  itself  belongs  to  the  cyclic 
group  Gs^l    and  of  course  transforms  every  P#  of  the  group  into 


itself. 


Second   case:    a  =  S  =  0.     V=   —  '  transforms  Pg  into 


P    t   " 
P~^,  which  is  distinct  from  P#  unless  P^  is  of  period  two. 

Within  the  GM,^  the  cyclic  G*_^    is  self-conjugate  in  exactly 

271 

the  dihedron-group  G  "_1  composed  of  the  totality  of  substitutions 
22~Ti 

,  ,  ,     ,          /  a,  0  \     /    0, 
of  the  forms 


Within  the  GM(s)  a  substitution  PO  is  self-conjugate  in  exactly 

s-l 

the  G™_I}  except  in  the  case  s=<2M  =  4A  +  l,  in  which  the  P  4 

271 
is   self-conjugate  in  exactly  the  dihedron  G  "_1  ;   this  dihedron 

2~2~ 

group  is  commutative  only  if  it  is  a  four-group  (s  =  ql  =  5). 
In  the  GM(S)  there  are  jjf  (a)  =  ^|^p}  +  2  |^i  =  i«  («  +  1) 

conjugate  cyclic  groups  G^  =  ^s^i-     Each  of  these  is  defined  by 

271        271 


236  ELIAKIM    HASTINGS    MOORE. 

any  substitution  lying  in  it  (the  identity  excepted)  as  the  largest 
cyclic  group  containing  that  substitution.  The  £5(5+!)  groups 
have  the  identity  in  common,  but  otherwise  have  quite  distinct 

s  —  1 

substitutions,  of  periods  divisors  of  ^— _- ,  in  all 

*  j   1 

s. s  +  Is-1 


2       V2;  1       7  4;  2 

substitutions. 

5—1 

In  the  GM(s)  there  are  M(s)-r-  9 — -  =  s(5  +  l)   substitutions 

conjugate  to  Pg  of  which  two  lie  in  every  G*_l  (for  instance,  in 

2TT 

(<fz  (\"\ 

Gg_l    lie  Pg  and  P~0).     However,  for  5  =  ^  =  4^  +  1,  there  are 

s-l 

only   £5(5+1)   substitutions    conjugate   to   P  4  ,   one    lying    in 
every  <?£J. 

2 

5  +  1 

///.    The  operators  of  periods  divisors  of  ^ — z- . 

^  j  1 

Denote  by  Q  the  substitution  of  the  G'SM+,*. 

J,  0' 


(11) 

vo, 

where  J  is  a  primitive  root  of  the  equation  Xs+1  =  1  and  J=J~l 
(§  4,  5°).     We  have  as  powers  of  Q 

=  0,  +1,  ±2,...) 


VO, 
J  belongs  to  the  exponent  5  +  1.     The  cyclic  group  generated  by 

Q  has  order  |^-J'(?  >  2  :  q  =  2) ;  denote  it  by  G*    {Q*}.    The  sub- 
'  271 

stitutions  (^-  =} (AA—BB=  1)  of  this  group  are  defined  by  the 

\-D,    A.' 

equation  B  =  0  .'.  B  =  Q;  see  (§  4,  5°). 

This  group  G*+1  contains  a  substitution  of  period  two  if  and 

8;  1 

only  if  5  =  qn  has  the  form  s  =  qn  —  4>Jc  —  l]  in  this  case 

*±l      /  A/^Ti    0 

«;-^-tff7 

exists  and  has  the  period  two. 


A   DOUBLY-INFINITE   SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.      237 

Notice  particularly  that  in  the  GM(S-}  operations  of  period  two 
are  always  present  being  all  of  type  I,  II  or  III  according  as  q  is 
even  (=  2),  or  (q  odd)  qn  of  the  form  qn  =  4>h  +  1  or  qn  =  4k  —  1. 

Any  substitution  V  of  the  G"^ 

(13)  F 


transforms  Qe  ^  /  (Jff  ={=  ±  1  ;  /.  Jff-Jff±0)  into 
(14) 


AB(J*-Jff),  AAJo-BBJo 
This   transformed   substitution   belongs   to   the  cyclic  group 
G*+l  {<&}  if  in  V  AB  =  0  and  AB  =  0.    We  have  also  A  A  -  BB  =  1. 

aTi 
Two  cases  arise. 

First  case :  B  =  B  =  0.     V=( ^—    -  J  itself  belongs  to  the 

cyclic  group  Gg+l  and  of  course  transforms  every  Qy  of  the  group 

§71 
into  itself. 

(07?        \ 
-  )  transforms  Qg 
B  =  —  B  l,  O/ 

into  Q~g,  which  is  distinct  from  Q^  unless  Q?  is  of  period  two. 
Within  the  GM(s)  the  cyclic  G*+l  is  self-conjugate  in  exactly 

the  dihedron-group  G*s+l  composed  of  the  totality  of  substitutions 

/  A,  0  \    V   0,  B 
of  the  forms,  (  ^ — j^  1 ,  (  — ^^~ 

Within  the  GM(S)  a  substitution  Qo  is  self-conjugate  in  exactly 

s+l 

the  G*+1,  except  in  the  case  s  =  qn  =  4&  —  1,  in  which  the  Q  4    is 

271 
self-conjugate  in  exactly  the  dihedron  G*s+l ;  this  dihedron-group 

is  commutative  only  if  it  is  a  four-group  (s  =  q1  =  3). 


In  the  GM(s)  there  are  \M  (8)  =  8-%^M  +  2 

I  ^  5      -1        J 


cyclic  groups  6^s+1  conjugate  to  G*+r     Each  of  these  is  defined  by 

alT  fTi 

any  substitution  lying  in  it  (the  identity  excepted)  as  the  largest 


238  ELIAKIM   HASTINGS   MOORE. 

cyclic  group  containing  that  substitution.     The  %s(s—  1)  groups 
have  the  identity  in  common,  but  otherwise  have  quite  distinct 

s  +  1 
substitutions,  of  periods  divisors  of  ,  in  all 

^  j  1 

s.s-1  fs  +  l  _    \  _  s(s-l)(s-l',  s) 

2       Un  "    )  ~  4;  2 

substitutions. 

s  +  1 
In  the  GM(S)  there  are  Jif(s)-^--^  —  ^  =  s(s—  1)  substitutions 


conjugate  to  Qs  of  which  two  lie  in  every  Gg+1  (in  Cr*+1,  for  in- 


g+1  r*+1, 

271  sTi 

stance,  lie  Q?  and  Q~^).     However,  for  s  =  qn  =  4tk  —  l,  there  are 


only  ^s(s—  1)  substitutions  conjugate  to  Q  *  ,  one  lying  in  every 

2Tl 

We  have  now  enumerated  all  the  individual  operators  of  the 
GM  («) ,  and  likewise  all  the  cyclic  arid  commutative  sub-groups ;  for 


4  ,   L 

s(s-I)(s-l;  s) 


(The  identity  is  not  enumerated  under  I,  II  or  III  and  so  is 
counted  separately). 

§O 
O. 

Concerning  self-conjugate  sub-groups  Gd  of  the  GM(S)-     Every 
GjiKs)^^^1,  31)  is  a  simple  group. 

Let  Gd  be  any  self-  conjugate  sub-group  of  the  GM^.  If  the 
Gd  contains  one  of  a  set  of  conjugate  substitutions  or  sub-groups 
of  the  GM(S}>  it  will  contain  all  of  that  set.  Whence  the  Gd 
contains  %s(s  ±  1)  conjugate  cyclic  Gd*  from  the  ^s(s  ±  1)  conju- 
gate cyclic  Gg^i,  and  of  the  substitutions  of  period  q  either  none 
271 

s2  —  1 
or  all  of  one  or  both  sets  ;  the  one  set  of  -^  —  -  conjugate  substi- 

*  j  J- 
tutions. 


A   DOUBLY-INFINITE    SYSTEM   OF   SIMPLE   GROUPS.       239 

The  enumeration  of  the  individual  substitutions  of  the  self- 
conjugate  Gd  leads  to  the  diophantine  equation 

(1)  l+$(s*-I)f+1ss(s  +  I)(d--I)+$s(s-l)(d+-l)  =  d 
to  be  satisfied  for  positive  integral  values  of  d,  cL,  d+,f  where 

d,      d,  ,      d+ 
are  divisors  of 

s(s2-l)        s-l         s  +  l 

2;  1     '       2;  1'        2~Tl' 

respectively,  and  where  /  is  restricted  to  the  values  0,  1,  2  ;  0,  2. 
This  equation  (1)  becomes 

(1*)  -^(s--l)h  +  ^s(s  +  l)d.  +  ^s(s 

where 

(2)  A  =  2-/=2,  1,0;  2,0. 
Notice  that  any  two  of  the  three  integers 


. 

~ 


'  271*  271 

are  relatively  prime.     Denote,  as  usual,  by  [t,  u]  the   greatest 
common  divisor  of  the  two  positive  integers  t,  u. 
d  is  &  divisor  of 


s     s~ 


and  may  be  written 

(3) 

where 

(3) 

5+1 

Now  d^  is  a  divisor  of  =  —  -,  /.  of  terms  first,  second,  third  of 

*3     1 

the  equation  (1*),  .'.  of  term  fourth,  /.  of  d,  and  /.  of  CT.     On  the 

s+l 
other  hand  CT  is  a  divisor  of  d  and  of  ^  —  =-,  .'.  of  terms  first,  fourth, 

*3     1 

third  second  _N7      ,,5  +  1.       ,,.     , 

,  ,  /.  of  term  ,  ,  .   ,    ,  /.  of  is  (s  +  1)  eL  ;  but  -  —  -  is  relatively 
second  third    •  2;  1 

s  +  l 
prime  to  s  .'^=-^.   and  so  to  £s(s  +  l);  .'.  CT  is  a  divisor  of  d^. 

*  j  1 

Whence 

(4)  CT  =  ^. 


240  ELIAKIM    HASTINGS   MOORE. 

• 

[Case  h  =  0].     ..  —  -0  is  a  divisor  of  terms  first,  second,  third  of 
1  5  * 

the  equation  (1*),  /.  of  term  fourth,  /.  of  d.     Whence 
s  s 


(3»,0)  d  =  2'  j      d-rf+  <2'  =  1  or  2). 

S  On 

[Case  A,  >  0].     c'  is  a  divisor  of  d  and  of  -  —  ~  =  ,     0;  so  that 

1  ;  2      1  ;  2 

c'  '  -<f(i^n\  n-V). 

c'  is  a  divisor  of  terms  second,  third,  fourth  of  the  equation  (1*), 
/.  of  term  first,  .'.  of  -  £  (s'2  -  1)  h,  /.  of  (s2  -  1)  A,  .'.  of  h.  But  A  is 
1  or  2  (being  >  0  for  this  case).  Whence 


For  q  >  2,  this  is  at  once  evident.    For  q  =  2,  it  is  also  true  ;  c' 
is  a  divisor  of  -^(s2-  l)^  =  -(s2-  l)^  =  -(«2-  1)  (since  /t  =  2) 
and  so  must  be  1,  sz  —  1  =  2271  —  1  being  odd,  and  c'  =  ^  =  2*  being 
even  unless  i  =  0. 
(3»>0)  d  =  Vd_d+  (2*  =  lor  2). 

Here  for  q  =  2, 

c'  =  [^]  =  [2-i,d]  =  l, 

and  so,  for  n  >  1,  d  is  odd  and  2*  =  1. 

The  case  g  =  2,  w  =  1,  s  =  2,  Jf(s)  =  6  occurs  of  course  in  the 
old  theory.  See  Klein-Fricke:  Modulfunctionen,Vo\.  1,  pp.  285, 
387  —  392,  398.  The  GjJ5)=6_s!  is  in  fact  the  composite  symmetric 
substitution-group  on  s  +  1  =  3  letters,  having  a  6rs-cyclic  group  as 
a  self-conjugate  sub-group.  In  fact,  the  equation  (l*h>0)  is,  for 
this  case, 

-  3  +  3d-  +  ld+  =  d, 

where  d,  d_,  d+  are  divisors  of  6,  1,  3  respectively.  Whence 
cL=l,  d+  —  d  =  3.  This  solution  of  the  diophantine  equation 
gives  the  self-conjugate  cyclic  G3  sub-group.  Here  also  we  have 
2'  =  1. 

Thus,  defining  2e  more  narrowly, 
(3W)  d  =  2*dLd+  (2*  =  1  or  2  ;  1). 


A   DOUBLY-INFINITE    SYSTEM    OF   SIMPLE   GROUPS.       241 

Discussion  of  the  diophantine  equation  (1*)  using  the  equations  (3). 

It  is  convenient  to  introduce  the  factors  e^  complementary 
to  e£p  by  the  equations: 

(6)  =^;     *  =  (2 


[Case  /t  =  0].     Equation  (1*)  becomes  for  h  =  Q,  after  replacing 

s  s  +  1 

d  by  2*  Y^—  -  d-  d+  (3ft=0),  substituting  d^e^  for  nT~T  (6)>  and  re- 

1  ,     w  Z  ,      I 

o 

moving  the  factor  -  —  -  d-d+, 
*  j  ^ 

(7)  e+  +  e_  =  2'  =  l  or  2. 

The  only  solution  to  this  is 

(8)2*  =  2,  «_-«+-!,  ^  =  |i|,  A  =  0,#  =  2,d=S-^^  =  4f(5), 

which  corresponds  to  the  GM(S)  itself  as  the  self-conjugate  sub- 
group Gd. 

[Case  h  =  Q,q>2;  .'.  A  =  l  or  2].     Equation  (1*)  becomes  for 
this  case  by  use  of  (3'/l>o),  (6), 

(9)  -  2e_e+A  +  se+  +  se_  =  2*  =  1  or  2  ; 

this  becomes,  when  we  substitute  by  (3)  for  the  first  s  2cLe_  +  1 

and  for  the  second  s  2d+e+  —  1, 

(9')  -  2e_e+/i  +  (2cLe_  +  1)  e+  +  (2d+e+  -  1)  e_  =  2', 

or,  making  a  convenient  rearrangement, 

(9")  (2ke+-l)e-  +  e+=2t  =  l  or  2, 

where 

(10)  k  =  d_  +  d+-h;  .'.  A;>0. 

The  case  &  =  0  =  cL  +  c£+  —  A-  leads  to  the  single  solution 

(11)  cL  =  d+  =  l,    h  =  2,    g  =  0,    d  =  I, 

which  corresponds  to  the  identity  G±  as  the  self-conjugate  sub- 
group Gd. 

The  case  k  ^  1  requires  (9") 

(12)  2*  =  2,  e_  =  e+  =  l,  d^  =  ±(s  +  l),  k  =  l= 

s  =  h  +  1  =  2  or  3,  in  fact  3. 
s  =  2  is  impossible  here  since  q  >  2.     This  case 
(12')  *  =  3,    2  =  3,    n  =  l,    M(s)  =  l2, 

c.  P. 


242  ELIAKIM    HASTINGS    MOORE. 

occurs  in  the  old  theory.  See  Klein-Fricke:  Modulfunctionen, 
Vol.  1,  pp.  354,  387—392,  398.  The  GMW-U  is  in  fact  the 
composite  tetrahedron-group  or  alternating  substitution-group  on 
s+  1=4  letters,  having  a  ^-four-group  as  a  self-conjugate  sub- 
group. Indeed  our  results  become  for  this  case 

(13)  s  =  3,  2*  =  2,  cL  =  l,  d+  =  2,  d  =  4,  £s(s-l)  =  3,  A  =  2,  #  =  0; 
that  is,  the  self-conjugate  Grd=4  consists  of  the  identity  and  three 
substitutions  of  period  two. 

[Case  h>0,  #=2;  /.  h  =  2].     Equation  (1*)  becomes  for  this 
case  by  use  of  (3'A>0),  (6), 

(14)  —  e_e+  +  %se+  +  %se-  =  1  ; 
this  becomes,  removing  the  ^s  by  use  of  (6), 

(14')  -  e-.e+  +  (d_e-  +  1)  e+  +  (d+e+  -  1)  e_  =  2, 

or,  making  a  convenient  rearrangement, 

(14") 

where 

(15) 

The  case  k  =  0  leads  to  the  single  solution 

(16)  2*  =  1,  d.  =  d+  =  l,  A  =  2,  5r  =  0,  d  =  l, 

-which  corresponds  to  the  identity  GI  as  the  self-  conjugate  sub- 
group. 

The  case  k  >  1  requires  (14") 

(17)  e_  =  e+  =  l,  d^  =  s+l,  k  =  2  =  d_  +  d+-2  =  2s-2,  s=2. 
This  corresponds  to  the  composite  GM®***  already  considered. 

Thus  finally  :  The  group  GM(S^>)  of  order 


uniquely  defined  for  every  s  =  qn  =  any  nth  power  of  any  prime  q,  is 
a  simple  group,  except  in  the  two  particular  cases  s  =  21,  31. 

[Addition  of  Oct.  29,  1895.  I  have  within  a  month  found 
out  that  Mathieu  (Liouville's  Journal,  ser.  2,  vol.  5,  pp.  38  —  42, 
1860)  defined  the  groups  G^s)  an(^  ^(2+1i)jW(s)  anc^  s^died  their 
cyclic  sub-groups.] 

THE  UNIVERSITY  OF  CHICAGO. 


UBER   DIE    ARITHMETISCH-ALGEBRAISCHEN 
TENDENZEN    LEOPOLD    KRONECKER'S. 

VON 

E.   NETTO   IN   GIESSEN. 

LEOPOLD  KRONECKER  that  mir  gegeniiber  die  Ausserung,  er  habe 
in  seinem  Leben  bei  weitem  mehr  philosophisch  als  mathernatisch 
gedacht  und  er  halte  es  sogar  fur  geboten,  iiber  sein  enges  Fach 
hinaus  zu  allgemeinen  Ideen  zu  streben,  um  diese  dann  riickwarts 
im  eigenen  Arbeitsgebiete  zu  verwerten. 

Diesen  philosophischen  Zug  findet  man  besonders  in  den 
letzten  Jahren  seines  Lebens  bei  ihm  ausgepragt.  Seine  Grund- 
lagen  auseinander  zu  setzen  und  seine  Ziele  darzulegen,  soil  im 
Folgenden  versucht  werden. 

In  der  Einleitung  zu  dem  Aufsatze :  "  Tiber  den  Zahlbegriff " 
hat  L.  Kronecker  in  kurzer  Fassung  den  Kern  seiner  philoso- 
phisch-mathematischen  Anschauungen  und  zugleich  die  Zielpunkte 
seiner  arithmetisch-algebraischen  Forschungen  ausgesprochen.  Er 
kniipft  an  die  Gauss'schen  Worte  an:  "Die  Mathematik  ist  die 
Konigin  der  Wissenschaften  und  die  Arithmetik  die  Konigin  der 
Mathematik."  Dann  fahrt  er  fort :  "  Dabei  ist  das  Wort  '  Arith- 
metik' nicht  in  dem  ublichen  beschrankten  Sinne  zu  verstehen, 
sondern  es  sind  alle  mathematischen  Disciplinen  mit  Ausnahme 
der  Geometrie  und  Mechanik,  also  namentlich  die  Algebra  und 
Analysis  mit  darunter  zu  begreifen.  Und  ich  glaube  auch,  dass 
es  dereinst  gelingen  wird,  den  gesamten  Inhalt  aller  dieser  mathe- 
matischen Disciplinen  zu  '  arithmetisiren '  d.  h.  einzig  und  allein 
auf  den  im  engsten  Sinne  genommenen  Zahlbegriff  zu  griinden, 
also  alle  die  Modificationen  und  Erweiterungen  dieses  Begriffes — ich 
meine  hier  namentlich  die  Hinzunahme  der  irrationalen  sowie  der 
continuir  lichen  Grb'ssen — wieder  abzustreifen,  welche  zumeist  durch 

16—2 


244  E.    NETTO. 

die  Anwendungen  auf  die  Geometric  und  Mechanik  veranlasst 
worden  sind."  "  Alle  Ergebnisse  der  tiefsinnigsten  mathematischen 
Forschung  miissen  schliesslich  in  den  einfachen  Formen  der  Eigen- 
schaften  ganzer  Zahlen  ausdriickbar  sein." 

In  derselben  Arbeit  findet  auch  die  Frage,  aus  welchen 
Griinden  der  Freiheit  mathematischer  Bewegung  so  enge  Grenzen 
gezogen  seien,  ihre  Beantwortung :  Kronecker  teilt  die  Gauss'- 
sche  Meinung,  dass  die  Zahl  bloss  unseres  Geistes  Product  sei, 
vvahrend  der  Raum  wie  die  Zeit  auch  ausser  unserem  Geiste  eine 
Realitat  haben,  so  dass  unserer  Kenntnis  von  diesen  durchaus 
diejenige  vollstandige  Uberzeugung  abgeht,  welche  jener  eigen  ist. 
Durch  jene  Beschrankung  erlangt  also  die  Mathematik  bei  einem 
Minimum  von  Voraussetzungen  die  grosst  mogliche  Sicherheit 
ihrer  Schliisse  und  Resultate. 

Mit  den  Zielen  und  Mitteln  andert  sich  natiirlich  die  Me- 
thode  der  Untersuchung,  indem  auch  sie  sich  nur  innerhalb  der 
Schranken  bewegeu  darf,  welche  durch  die  strong  arithmetischen 
Anschauungen  gezogen  sind ;  ja  es  andern  sich  die  Begriffe  der 
Definitionen,  der  Behauptungen  und  der  Beweise ; — kurz,  wenn 
von  wissenschaftlichen  Revolutionen  gesprochen  werden  darf,  dann 
muss  das  Krone cker'sche  Vorgehen  eine  Revolution  genannt 
werden. 

Weder  bei  Definitionen  noch  bei  Beweisen  darf  eine  bloss  logische 
Evidenz  geniigen :  die  Richtigkeit  eines  jeden  Schrittes  muss  sich 
durch  eine  endliche  Anzahl  rein  zahlentheoretischer  Operationen 
nachweisen  lassen.  So  reicht  es  nicht  aus,  die  Definition  der 
Reductibilitat  und  Irreductibilitat  auf  die  Uberlegung  zu  stutzen, 
dass  jede  ganze,  ganzzahlige  Function  in  Factoren  derselben  Art 
zerlegbar  oder  nicht  zerlegbar  sei ;  sondern  es  muss  eine  Methode 
angegeben  werden,  welche  durch  eine  begrenzte  Anzahl  ausfuhr- 
barer  Versuche  die  Entscheidung  liber  den  Charakter  der  Reducti- 
bilitat giebt.  Ebensowenig  reicht  es  aus,  dass  eine  Schlussfolgerung 
sich  auf  die  logische  Evidenz  eines  Maximums  oder  Minimums 
griindet;  es  muss  mb'glich  sein,  dieses  Maximum  oder  Minimum 
durch  eine  endliche  Anzahl  von  Operationen  mit  einer  beliebig 
vorgeschriebenen  Genauigkeit  zu  bestimmen.  Wenn  dies,  wie  bei 
nicht  differentiirbaren  Functionen  unmb'glich  ist,  dann  muss  die 
Berechtigung  derartiger  Schliisse  in  Zweifel  gezogen  werden 
diirfen. 


TIBER  LEOPOLD  KBONECKER.  245 

Wie  sich  die  dargelegten  Anschauungen  bei  der  Fassung  von 
Theoremen  geltend  machen,  das  zeigt  sich  wohl  am  einfachsten  an 
einigen  Beispielen. 

Aus  der  Theorie  der  orthogonalen  Systeme  entnimmt  man  den 
Satz,  dass  mit  dem  Systeme  der  Gleichungen 

a2  +  Z>2  -  1  =  0,  ai9  +  ^-1=0,  ao!  +  6&!  =  0 
zwischen  den  4  Grossen  a,  b,  a1}  h  auch  das  System 

a2  +  aa2  -  1  =  0,  62  +  If  -  1  =  0,  ab  +  aA  =  0 

erfullt  ist,  oder  in  anderen  Worten,  dass  die  letzten  drei  Gleichun- 
gen "eine  Folge"  der  drei  ersten  sind.  Diese  Ausdrucksweise  ist 
jedoch  zu  unbestimmt  ;  der  Satz  muss  in  der  Gestalt  identischer 
Gleichungen  pracis  und  iibersichtlich  gefasst  werden;  und  dies 
geschieht  durch  das  Gleichungssystem 

a2  +  0!s  -  1  =  (1  -  of)  (a?  +  62  -  1  )  +  b2  (a^  +  b,2  -  1  ) 

+  (act!  —  bbj  (aaj  +  bbj, 

fr  +  b1*-l=(l-  V)  (a2  +  62  -  1)  +  a2^2  +  b,2-  1) 

+  (&&!  —  aa^  (aox  +  bb^, 
ab  +  aa&!  =  -  aA  (a2  +  62  -  1)  -  a&  (ai2  +  bi>  -  1) 


welches  erkennen  lasst,  dass  jeder  der  drei  Ausdriicke  a?  +  a^  —  1, 
62+612  —  1,  <!&-}-«!&!  eine  lineare  Function  der  drei  Ausdriicke 
a?  +  b2  —  1,  Oi2  +  V  —  1,  a*!  +  6&!  mit  ganzen,  ganzzahligen  Coeffi- 
cienten  ist. 

Ein  anderes  Beispiel  liefert  Kronecker  in  seinen  Vorlesungen 
iiber  Integrale  durch  die  Umformung  des  Satzes  :  "  Hat  eine 
trigonometrische  Reihe  den  constanteu  Wert  Null,  dann  sind  alle 
Coefficienten  der  Reihe  selbst  gleich  Null,"  —  in  die  noch  unbe- 
wiesene  Fassung  :  "  Verschwinden  nicht  samtliche  Coefficienten 
einer  trigonometrischen  Reihe,  dann  lasst  sich  durch  eine  endliche 
Anzahl  von  Operationen  ein  Wert  des  Argumentes  bestimmen,  fur 
den  der  absolute  Wert  der  Reihe  grosser  ist,  als  eine  von  Null 
verschiedene,  sonst  aber  beliebig  kleine,  positive  Grb'sse." 

Endlich  ist  es  von  Interesse,  im  Anschluss  an  die  entwickelten 
Ideen,  sich  die  Kronecker'schen  Auffassungen  liber  das  Ziel 
mathematischer  Forschung,  ja  einer  jeden  wissenschaftlichen 
Forschung  klarzulegen.  "  Jede  wissenschaftliche  Forschung  geht 


246  E.    NETTO. 

darauf  aus,  Aequivalenzen  festzustellen  und  deren  Invarianten  zu 
ermitteln,  und  flir  jede  gilt  das  Dichterwort  : 

der  Weise 
Sucht  den  ruhenden  Pol  in  der  Erscheinungen  Flucht." 

Jede  Abstraction,  z.  B.  die  von  gewissen  Verschiedenheiten,  welche 
eine  Anzahl  von  Objecten  darbietet,  statuirt  eine  Aequivalenz  ; 
alle  Objecte,  die  einander  bis  auf  jene  Verschiedenheiten  gleichen, 
gehbren  zu  einer  Aequivalenzclasse,  sind  unter  einander  aequiva- 
lent,  und  der  aus  der  Abstraction  hervorgehende  Begriff  bildet  die 
"  Invariante  der  Aequivalenz."  Die  besondere  Aufgabe  der  Mathe- 
matik  ist  es,  diese  Invarianten  in  Gestalt  identischer  Gleichungen 
zu  formuliren.  Wenn  also  £/,  z2',...  ^/  beliebige  Objecte  sind,  und 
Za,  Za',  za"',...  einander  aequivalent  (fur  a=  1,  2,...?i),  darm  miissen 
die  fur  die  Aequivalenz  charakteristischen,  eindeutigen  Functionen 
Tfc  gefunden  werden,  welche 


liefern.  Die  /^  mussen  durch  die  Gleichungen  einen  vollstandigen 
Ersatz  des  Aequivalenzbegriffes  geben.  Solche  Invarianten  heissen 
rationale,  algebraische,  arithmetische,  analytische,  je  nachdem 
sie  durch  rationale,  algebraische,  arithmetische  oder  analytische 
Operationen  aus  den  Elementen  gebildet  werden,  und  unter 
analytischen  Operationen  werden  hierbei  solche  verstanden,  bei 
denen  der  Limesbegriff  zur  Anwendung  kommt. 

Betrachtet  man  beispielsweise  zwei  Grossen  als  aequivalent, 
wenn  sie  sich  nur  um  ganze  Zahlen  von  einander  unterscheiden, 
dann  bildet 

+  n        I 

7T  COtg  27T  =  Km       2     -     —  v 
M.-OO  k=—nZ  +  If 

die  analytische  Invariante  dieser  Aequivalenz  ;  und  da  hierbei,  der 
Bildung  der  rechten  Seite  gemass,  die  Invariante  als  symmetrische 
Function  samtlicher  einander  aequivalenter  Grossen  auftritt,  so 
tritt  die  Aequivalenz-Bedingung  in  Evidenz. 

Wahrend  in  diesem  Falle  eine  bekannte  Invariante  als  sym- 
metrische Function  dargestellt  wird,  kann  man  in  anderen  Fallen 
umgekehrt  von  den  symmetrischen  Aequivalenz-Functionen  aus- 
gehen,  deren  Eigenschaften  untersuchen,  ihnen  andere  Bedeutungen 
abgewinnen  und  dadurch  das  Gebiet  der  Analysis  naturgemass 


UBEB   LEOPOLD    KRONECKER.  247 

erweitern.  Dieses  arithmetische  Princip  tragt  ausserordentlich 
weit  und  fiihrt  z.  B.  ohne  Miihe  auf  eine  arithmetische  Theorie 
der  elliptischen  Functionen. 

Wir  gehen  nun  auf  eine  fruher  angeregte  Frage  zuruck.  Bei 
rein  arithrnetischer  Behandlung  der  Algebra  sind  die  negativen, 
gebrochenen,  imaginaren,  algebraischen,  irrationalen  Grossen  aus- 
zuscheiden ;  der  gesamte  Inhalt  der  Wissenschaft  muss  sich  unter 
die  Eigenschaften  ganzer,  ganzzahliger  Functionen  einreihen 
lassen.  Wie  sind  nun  die  auszuscheidenden  Grossen  zu  ersetzen,  und 
durch  welche  Methoden  kann  ihre  Benutzung  uberfliissig  gemacht 
werden  ?  Die  Antwort  gestaltet  sich  in  ihrer  Grundidee  iiber- 
raschend  einfach,  und  gerade  dadurch  scheint  ihre  Genialitat 
verbiirgt  zu  sein.  Die  genaueren  Darlegungen  finden  sich  in  der 
Festschrift :  "  Grundziige  einer  arithmetischen  Theorie  der  alge- 
braischen Grossen  "  und  in  dem  Aufsatze :  "  Uber  einige  Anwend- 
ungen  der  Modulsysteme  auf  elementare  algebraische  Fragen"; 
eine  sehr  eingehende  und  ubersichtliche  Darstellung  hat  Herr  J. 
Molk  in  seiner  Arbeit :  "  Sur  une  notion  qui  comprend  celle  de  la 
divisibility  etc."  (Acta  mathematica  vi.)  gegeben. 

Das  Grundprincip  besteht  in  einer  Ausdehnung  der  Gauss'- 
schen  zahlentheoretischen  Congruenzen  nach  einem  bestimmten 
Modul.  In  den  Fallen  der  negativen,  imaginaren  und  algebrai- 
schen Grossen  reicht  die  Gauss'sche  Einfiihrung  fur  unseren 
Zweck  schon  aus.  Hier  formt  man  die  Gleichungen,  welche 
negative  oder  imaginare  Grossen  enthalten,  etwa  a  —  6  =  aj  —  6t 
oder  a  +  bi  =  a^  +  bti  in  Congruenzen  a  +  bx  =  a^  +  biX  nach  dem 
Modul  (a?  +  l)  bezw.  (a?  +  I)  um.  Und  dadurch  gewinnen  die 
Satze  auch  noch  an  Inhalt,  indem  jetzt  ausgesagt  wird,  dass  fur 
jede  ganze  Zahl  ac  die  Reste  der  Divisionen  beider  Seiten  durch 
(x+1)  bezw.  (#2  +  l)  einander  gleich  sind. 

Bei  der  Einfiihrung  der  algebraischen  Grossen  ist  zu  unter- 
scheiden,  ob  Fragen  vorliegen,  bei  denen  eine  Isolirung  der 
unter  einander  conjugirten  algebraischen  Grossen,  d.  h.  also  die 
Isolirung  der  verschiedenen  Wurzeln  einer  irreductiblen  Gleichung 
gefordert  wird,  oder  nicht.  Im  zweiten  Falle  kann  man  mit 
Hiilfe  des  Galois'schen  Princips  einen  Modul  ausfindig  machen, 
nach  dem  die  vorgelegte  Gleichung  in  lineare  Factoren  zerlegt 
werden  kann,  in  welche  nur  rational  bekannte  Grossen  eingehen. 
Kronecker  hat  dies  im  hundertsten  Bande  des  Journals  f.  d.  reine 


248  E.    NETTO. 

u.  angewandte  Mathematik  eingehend  dargelegt  ;  wir  wollen  uns 
jetzt  damit  begniigen,  als  Beispiel  die  Congruenz 

4  (9c3)3  (xs  -  c,)  =  (9c3o;  -  z4)  (18<v&  +  9c3z  +  z4)  (I8c3x  +  9c3z  +  z4) 
(mod.  a?  +  27c3a) 

hervorzuheben,  durch  welche  die  Einfuhrung  der  conjugirten 
Wurzeln  von  of  —  ca  =  0  unnotig  gemacht  wird.  Wie  man  sich 
bei  der  ersten  Moglichkeit  hinsichtlich  der  Einfuhrung  algebrai- 
scher  Zahlen  zu  verhalten  hat,  das  soil  spater  besprochen  werden. 
Schon  bei  der  Behandlung  gebrochener  Grb'ssen  macht  sich 
das  Bediirfnis  nach  einer  Erweiterung  dieser  Congruenzbetracht- 

a       b      an  +  bm 

ungen  geltend.     DO  kann  der  batz  :  —  f-  -  =  -  nur  durch 

m     n         mn 


=  (an  +  bm)z     (modd.  mx  —\,ny—  1,  mnz  —  1) 

d.  h.  als  Congruenz  nach  drei  Moduli!  dargestellt  werden.  Es  ist 
also  eine  naturgemasse  Erweiterung  der  Gauss'schen  Ideen, 
welche  Kronecker  durch  die  Einfuhrung  des  Begriffes  der 
Modulsysteme  gemacht  hat. 

Allen  Untersuchungen  wird  eine  Zahl  unbestimmter  Variablen 
jR'.  .K",...zu  Grunde  gelegt;  alle  ganzen,  ganzzahligen  Functionen 
derselben  bilden  den  "  Rationalitatsbereich  "  (Rr,  R",...).  Das 
Bediirfnis  einer  Pracisirung  dessen,  was  bei  einer  bestimmten 
Untersuchung  als  rational  zu  betrachten  sei,  tritt  bei  Galois  und 
auch  schon  bei  Abel  auf;  aber  erst  Kronecker  hat  dieses 
Bediirfnis  durch  consequente  Verwendung  des  Rationalitats- 
bereiches  befriedigt.  Ein  Modulsystem  wird  durch  eine  Reihe  Mlf 
MZ^^MH  von  ganzen,  ganzzahligen  Functionen  des  Rationalitats- 
bereiches  gebildet  und  mit  (Mlt  3/2,...J/M)  bezeichnet;  dann  wird 
aus  dem  Gauss'schen  Congruenzbegritf  die  Congruenz  nach 
einem  Modulsystem  abgeleitet,  indem  zwei  Grossen  des  Bereiches 
einander  nach  diesem  Systeme  congruent  genannt  werden,  wenn 
ihre  Differenz  gleich  einer  Summe  SC^J^  gesetzt  werden  kann,  in 
der  die  Coefficienten  C^  ebenfalls  ganze  Grossen  von  (R'}  R",...) 
sind. 

Diese  Einfuhrung  von  (M1}  M^,...M.^  ist  eben  so  einfach  als 
weittragend,  wie  sich  bereits  in  manchen  neueren  Arbeiten  gezeigt 
hat  ;  mit  ihrer  Hiilfe  gelingt  es,  die  algebraischen  Satze  in  Form 
von  Identitaten  auszusprechen.  So  kann  man  beispielsweise  die 
Behandlung  schiefer  Systeme  dadurch  ersetzen,  dass  man  unbe- 


UBER   LEOPOLD   KRONECKER.  249 

stimmte  Variable  vik  nach  dem  aus  den  Elementen  Vu,  vik  +  vki 
gebildeten  Modulsysteme  betrachtet.  Wie  sich  die  Behandlung 
orthogonaler  Systeme  gestaltet,  haben  wir  bereits  oben  ange- 
deutet. 

Die  principielle  Wichtigkeit  der  Modulsysteme  beruht  auf 
dem  Umstande,  dass  in  (Mlt  M2,...M^)  Alles  eingeschlossen  liegt, 
was  in  dem  Systeme  ^CkMk  bei  beliebigen  G  liberhaupt  Gemein- 
sames  vorhanden  ist ;  es  ist  die  Invariante  dieser  Grb'ssen.  Natiir- 
lich  giebt  es  verschiedenartige  Darstellungen  derselben,  und  es 
tritt  als  Problem  auf,  durch  eine  mb'glichst  geringe  Elementen- 
zahl  2tCk'Mk,...'2tCk{v)Mk  ein  Modulsystem  zu  bestimmen,  welches 
gleichfalls  als  Invariante  des  Systems  aller  2CkMk  dienen  kann 
und  in  dieser  Richtung  zu  (Mlt  MZ,...M,^  aequivalent  ist.  Diese 
Frage  giebt  Veranlassung  zur  Untersuchung  vom  Enthalten  und 
Enthalten-Sein,  von  der  Aequivalenz,  der  Composition  und  De- 
composition von  Modulsystemen ;  und  dadurch  wird  die  Algebra 
nicht  nur  um  eine  Reihe  neuer  Probleme  bereichert,  sondern  es 
wird  auch  eine  tiefere  Einsicht  in  bereits  vorhandene  geliefert ;  ja 
es  zeigt  sich,  dass  in  gewissen  Gebieten  der  Algebra  die  Verwendung 
der  Moduln  urid  Modulsysteme  an  Stelle  der  algebraischen  Zahlen 
nicht  nur  zulassig  sondern  sogar  notwendig  ist.  So  kann  die 
Frage,  ob  eine  irreductible  ganzzahlige  Function  F(x)  unter  Ad- 
junction einer  Wurzel  einer  irreductiblen  ganzzahligen  Gleichung 
(J>  (y)  =  0  reductibel  wird,  nur  in  der  Form  entschieden  werden,  ob 
F  (x)  sich  modulo  <I>  (y)  als  Product  ganzer  Functionen  von  x  und 
y  mit  rationalen  Coefficienten  darstellen  lasst. 

Die  Art  des  durch  ein  Modulsystem  (M1}  M^.^M^  dargestell- 
ten  "  Gemeinsamen  "  giebt  zu  einer  Einteilung  der  Modulsysteme 
Veranlassung.  Nimmt  man  z.  B.  3  Variable  R  und  denkt  sich 
diese  als  Coordinaten  des  Raumes,  so  kann  das  Gemeinsame  in 
Flachen,  Linien  und  Punkten,  oder  auch  nur  in  Linien  und 
Punkten,  oder  endlich  nur  in  Punkten  bestehen ;  es  giebt  also 
verschiedene  Abstufungen  fur  dasselbe,  und  in  gleicher  Weise 
stufen  sich  die  Modulsysteme  ab.  Man  findet  hierbei  in  iiber- 
raschender  Weise  einen  hoheren  Gesichtspunkt,  von  welchem  aus 
die  Frage  der  Darstellung  ganzer  Zahlen  als  Normen  complexer 
Zahlen  mit  der  Frage  der  isolirten  Darstellung  geometrischer 
Gebilde  in  der  unmittelbarsten  Beziehung  erscheint. 

Genau  wie  die  Zahl  2  alles  Gemeinsame  der  Zahlen 


250  E.    NETTO. 

d.  h.  das  Modulsystem  (4,  6)  enthalt,  so  sagt  man,  eine  Function 
enthalt  ein  Modulsystera  (M1}  M^...M^),  wenn  es  mbglich  1st,  sie 
in  der  Form  ^,CkMk  darzustellen.  Ein  Modulsystem  (^.....ZV,,) 
enthalt  ein  anderes,  wenn  jedes  N  dieses  andere  enthalt ;  zwei 
Modulsysteme  sind  einander  aequivalent,  wenn  sie  sich  gegen- 
seitig  enthalten.  Eine  fernere  wichtige  Eigenschaft  der  Modul- 
systeme ist  ihre  Zusammensetzbarkeit  im  Sinne  der  Aequivalenz. 
Diese  findet  bei  (M^^.M^,  (Nl,...Nv}  durch  die  Bildung  eines 
neuen  Modulsy stems  mit  den  pv  Elementen  M^  NI  statt.  Hieran 
knupft  sich  unmittelbar  die  Frage  nach  der  Moglichkeit  der 
Decomposition,  und  dabei  zeigt  es  sich,  dass,  wie  es  offenbar 
Modulsysteme  giebt,  die  solchen,  durch  Composition  entstandenen 
aequivalent  sind,  auch  andere  vorhanden  sind,  welche  diese  Eigen- 
schaft nicht  besitzen  und  daher  als  "  nicht  zerlegbar  im  Sinne  der 
Aequivalenz  "  bezeichnet  werden  mtissen.  Aber  unter  den  nicht 
zerlegbaren  giebt  es  doch  noch  solche,  die  andere  Modulsysteme 
enthalten,  wie  z.  B.  (#2  +  p,  p2)  unzerlegbar  ist,  und  doch  (x,  p} 
enthalt,  so  dass  das  Enthalten  etwa  in  der  Weise  stattfindet, 
wie  ein  Gattungsbereich  hoherer  Ordnung  einen  von  niederer 
Ordnung  enthalt,  nicht  so,  wie  eine  gewohnliche  Zahl  einen  ihrer 
Divisoren  enthalt.  Erst  solche  nicht  zerlegbaren  Modulsysteme,  die 
keine  anderen  enthalten,  verdienen  den  Namen  von  "  Primmodul- 
systemen,"  da  sie  in  gewissem  Sinne  die  Rolle  der  Primzahlen 
iibernehmen.  Deshalb  reicht  die  oben  gelieferte  Zerlegung  eines 
Gleichungspolynoms  nach  einem  Modul  auch  nicht  aus;  es  muss 
die  Zerlegung  nach  einem  Primmodulsysteme  geschehen,  wie  sie 
Kronecker  denn  auch  wirklich  durchgefiihrt  hat.  Hierdurch 
erst  ist  die  Einfuhrung  der  conjugirten  Wurzeln  einer  algebraischen 
Gleichung  iiberfltissig  gemacht. 

Im  Anschlusse  an  diese  letzte  Bemerkung  wollen  wir,  ohne 
weiter  in  die  Theorie  und  die  Bedeutung  der  Modulsysteme 
einzudringen,  auf  eine,  oben  noch  nicht  vollig  erledigte  Frage 
zuriickgehen,  und  die  Isolirung  der  conjugirten  Wurzeln  einer 
algebraischen  Gleichung  sowie  die  Bedeutung  der  irrationalen 
Zahlen  vom  Krone cker'sch en  Standpunkte  aus  besprechen. 

Beschranken  wir  uns  auf  reelle  irrationale  Wurzeln,  so  lasst  sich 
bei  einer  vorgelegten  irreductiblen  Gleichung  f(x)  =  0,  deren  von 
Null  verschiedene  Discriminante  den  absoluten  Betrag  D  haben 
moge,  eine  Grosse  s  derart  bestimmen,  dass  in  jedem  Intervalle  von 


UBER   LEOPOLD    KRONECKER.  251 

der  Grbsse  -  die  Zeichen  von  f(x)  nie  oder  nur  ein  Mai  wechseln, 
s 

je  nachdera  sie  am  Anfangs-  und  am  Endpunkte  des  Intervalles 
gleich  oder  verschieden  sind.  Bei  einem  Intervalle  der  letzten 
Art  kann  ferner,  wenn  r  eine  beliebige  positive  ganze  Zahl  bedeutet, 

ein  Teilinterval  von  der  Grosse  —  ^  so  bestimmt  werden,  dass  die 

rsD 

Function  /(#)  am  Anfangs-  und  Endpunkt  verschiedenes  Vorzeichen 
hat  und  durchweg  in  dem  Teilintervalle  ihrem  absoluten  Werte 

nach  kleiner  als  -  bleibt.     Einzig  und  allein  in  der  Existenz  von 

Intervallen  der  angegebenen  Beschaffenheit  beruht  die  sogenannte 
Existenz  von  reellen  irrationalen  Wurzeln  algebraischer  Gleich- 
ungen.  Das  "  Grosser  "  und  "  Kleiner  "  der  Wurzeln  wird  einfach 
durch  die  Aufeinanderfolge  der  bezliglichen  Isolirungsintervalle 
definirt. 

Gerade  die  Benutzung  solcher  Intervalle  ist  das  Charakter- 
istische  ;  dieselben  kb'nnen  allgemein  zum  Ersatz  der  Irrational- 
zahlen  benutzt  werden,  und  die  Rechmmgsoperationen  mit  diesen 
lassen  sich  durch  solche  mit  jenen  ersetzen.  Wie  eine  Reihe  von 
rationalen  Brtichen 


entweder  zur  Grenze  eines  Intervalles  oder,  bei  unbestimmt 
gelassener  Wahl  der  Intervalle,  doch  stets  in  das  Innere  eines 
Intervalles  fuhrt  ;  wie  Reihen  der  einen  und  der  andern  Art  sich 
dabei  absolut  von  einander  scheiden  ;  wie  bei  den  Reihen  der 
zweiten  Art  neben  die  Convergenzbedingung  auch  noch  eine 
Divergenzbedingung  tritt,  durch  welche  festgestellt  wird,  dass  die 
Convergenzintervalle  schliesslich  eine  jede  beliebig  gegebene  ratio- 
nale Grosse  ausschliessen  —  das  Alles  hat  Kronecker  in  seinem 
unvollendet  gelassenen  Aufsatze:  "Zur  Theorie  der  allgemeinen 
complexen  Zahlen  und  der  Modulsysteme  "  eingehend  dargelegt. 

Auf  einen  wichtigen  Punkt  des  Kronecker'schen  Ideen- 
kreises  muss  noch  hingewiesen  werden.  Geht  man  von  einem 
naturlichen  Rationalitatsbereiche  zu  Gattungsbereichen,  d.  h.  aus 
der  Sphare  der  ganzen  rationalen  Functionen  von  Variabeln  R', 
R",...  in  die  tiber,  bei  denen  zwischen  den  R,  R",...  algebraische 


252  E.    NETTO. 

Beziehungen  bestehen,  dann  gilt  fur  diese  der  Satz  nicht  mehr, 
dass  der  grosste  gemeinsame  Teller  zweier  Grossen  als  lineare 
Function  derselben  dargestellt  werden  kann  und  zvvar  mit  Co- 
efficienten,  welche  ebenfalls  dem  festgesetzten  Grossengebiete 
entnoraraen  sind.  Infolge  dessen  sind  die  ganzen  Grossen  der 
Gattungsbereiche  nicht  ohne  Weiteres  nur  auf  eine  einzige  Art  in 
irreductible  Factoren  zu  zerlegen.  Es  fragt  sich,  wie  man  die  hier- 
durch  entstehende  Schwierigkeit  iiberwinden  kann.  Kronecker 
vollbringt  dies  dadurch,  dass  er  unter  Erhaltung  der  algebraischen 
Rechnungsgesetze  und  vor  Allem  unter  Erhaltung  des  Divisoren- 
begriffes  den  Grossenbereich  erweitert  und  nur  die  Aequivalenz  an 
die  Stelle  der  Gleichheit  treten  lasst.  Durch  diese  Erweiterung, 
die  Association  neuer  Grossengebilde,  wird  das  Grossengebiet 
geniigend  ausgedehnt,  um  ohne  irgend  welche  Abstraction  den 
Gesetzen  der  Teilbarkeit  wieder  Raum  zu  voller  Wirksamkeit  zu 
schaffen.  Diese  Erweiterung  geschieht  dadurch,  dass  man  zu  den 
algebraischen  Grossen  einer  bestimmten  Art  lineare  Functionen 
derselben  mit  unbestimmten  Coefficienten  hinzunimmt.  Gerade 
die  systematische  Benutzung  der  Unbestimmten  spielt  hier  wie  in 
anderen  Theorien,  z.  B.  in  der  Galois'schen,  eine  hervorragende 
Rolle.  Ihre  Benutzung  neben  derjenigen  der  Modulsysteme  fuhrt 
dem  grossen  Ziele  entgegen,  welches  Kronecker  anstrebte :  die 
Arithmetik  ga.nzer,  ganzzahliger  Functionen  unbestimmter  Vari- 
abler  an  die  Stelle  der  Algebra  treten  zu  lassen;  und,  da  die 
Functionen  unbestimmter  Variabler  nur  eine  Zusarnmenfassung 
der  Resultate  geben,  welche  sich  ftir  ganzzahlige  Werte  der 
Unbestimmten  herausstellen,  schliesslich  die  gesamte  Algebra  als 
Ausdruck  der  Eigenschaften  von  Systemen  ganzer  Zahlen  zu 
deuten. 

GIESSEN,  d.  14.  Juli  1893. 


CONSECUTIVE    UND   COINCIDIRENDE 
ELEMENTE    EINER   ALGEBRAISCHEN    CURVE. 

VON 

M.  NOETHER  IN  ERLANGEN. 

DIE  Auseinanderhaltung  dieser  beideii  Begriffe  wird  in  fast  alien 
auf  singulars  Stellen  beztiglichen  Arbeiten,  auch  in  den  neuesten, 
vb'llig  vernachlassigt,  obwohl  ich  schon  mehrmals  darauf  hinge- 
wiesen  habe  und  obwohl  sie  auch  durch  die  Transformatiotis- 
theorieen  evident  gemacht  wird.  Da  die  scharfe  Unterscheidung 
und  Festlegung  jener  Begriffe  aber  ebenso  weittragend  wie 
einfach  ist,  indem  sie  die  Satze  und  Formeln  fur  Siugularitaten 
geometrisch  aufzufassen  und  zusammenzufassen  lehrt,  so  erlaube 
ich  mir,  hier  darauf  einzugehen. 

Der  Begriff  "  aufeinanderfolgender  "  ("  consecutiver  ")  Punkte 
eines  Punktzweigs  erfolgt  aus  der  Darstellung  desselben,  an  der 
Stelle  x  =  y  =  Q,  nach  ganzen  positiven  Potenzen  eines  seine 
Punkte  eindeutig  bestimmenden  Parameters  t : 

<K  =  t*  +  alt*+l+...,     y  =  bt*+bit«+1+ ...,     (6  +  0,  a>A), 

indem  consecut.  Punkte  den  aufeinanderfolgenden  Werthen  von 
t :  0,  dt,  2dt, . . .  entsprechend  gesetzt  werden.  Er  konnte  auch 
schon  aus  der  einen  Zweig  in  die  Umgebung  eines  einfachen 
Punktes  iiberfiihrenden  Transformationsreihe,  welche  eben  jene 
Entwicklungen  liefert,  erschlossen  werden. — Zwei  aufeinander- 
folgende  Punkte  sind  immer  als  von  einander  verschieden  zu 
betrachten. 

Der  Begriff  "  zusammenfallender  "  ("  coincidirender  ")  Punkte 
bezieht  sich  auf  verschiedene  Punkte,  die  in  dieselbe  Stelle,  etwa 
#  =  y  =  0,  fallen ;  und  zwar  konnen  dies  Punkte  mehrerer  ge- 


254  M.    NOETHER. 

trennter  Zweige,  oder  auch  "  aufeinanderfolgende  "  Punkte  eines 
Zweiges  sein.  Um  das  Letztere  festzulegen  muss  man  unter- 
scheiden  konnen,  ob  ein  Punkt  in  der  Stelle  x=  y  =  0,  oder  dieser 
Stelle  nur  benachbart,  liegt  :  das  Kriterium  fur  Ersteres  ist,  dass 

-  unbestimmt  wird,  fur  Letzteres,  dass  -  einen  bestimmten  Werth 
x  x 

erhalt,  wobei  immer  lim#  =  0,  \imy  =  0.  Da  fiir  den  obigen 
Punktzweig,  bei  lim  t  =  0,  wird  : 


_ 
*  ~ 


so  fallen  die  A  verschiedenen  consecutiven  Punkte  des  Zweiges, 
welche  t  =  0  und  den  A  —  1  darauffolgenden  Werthen  dt,  2dt,  .  .  . 
(A  —  l)dt  entsprechen,  alle  in  dieselbe  Stelle  x  =  y  =  Q,  wahrend 

der  (A  +  l)te  consecutive  Punkt.  fur  welchen  lim  -  =  -~  aus  den 

x     dx 

Aten  Differentialquotienten  von  x  und  y  sich  zu  0  bestimmt,  aus- 
serhalb  der  Stelle  x  =  y  =  0,  aber  dieser  in  der  Richtung  y  =  0 
benachbart,  liegt.  Der  Zweig  von  der  "  Ordnung  "  A  hat  also  eine 
A-punktige  Stelle  x  =  y  =  0.  Hat  eine  Curve  /  an  einer  Stelle 
a  =  y  =  0  mehrere  Zweige  von  den  Ordnungen  A,  A,  .  .  .  ,  so  liegen 
h  =  A  +  A  +  .  .  .  Punkte  von  f  in  dieser  Stelle,  welche  dann  eine 
A-puuktige  von  f  heisse. 

Haben  zwei  Curven  /  und  </>  eine  Stelle  x  =  y  =  0,  welche 
A-punktig  fur  /,  t-punktig  fur  <£  ist,  mit  der  Multiplicitat  M  in 
der  Umgebung  dieser  Stelle,  so  miissen  wir  sagen  :  in  x=y  =  Q 
liegen  hi  der  Schnittpunkte,  die  ubrigen  M  —  hi  liegen  derselben 
in  bestimmten  Richttmgen  benachbart.  Denn  die  Resultante  in 

—  ,  welche  durch  Elimination  von  z  aus  den  beiden  homogenen 

sc 

Formen  wten  und  ?iten  Grades,  f  (x,  ;y,  z)  und  <£  (#,  y,  z\  entsteht, 
hat  nur  den  Grad  mn  —  hi  ;  so  dass  man  nur  fur  mn  —  hi  der  mn 
Schnittpunkte,  darunter  fur  M—hi  bei  der  Stelle  x  =  y  =  Q, 

v 

bestimmte  Werthe  von  -  erhalt. 
a; 

Diese  wenigen  Definitionen  geniigen  schon,  um  die  Multiplici- 
taten  zweier  gegebenen  Curven  auf  die  verschiedenen  Stellen, 


CURVENELEMENTE.  255 

seien  es  endlich  getrennte,  seien  es  benachbarte  zu  vertheilen 
(s.  meine  Arbeiten  in  Math.  Ann.  9  u.  23)  und  dasjenige  Verhalten 
der  singul.  Punkte  bei  rationalen  Transformationen  zum  Ausdruck 
zu  bringen,  welches  durch  die  Adjunctionsbedingungen — dem  "  aus- 
serwesentlichen  "  Factor  der  Discriminante  (Kronecker,  Crelle  J. 
91)  entsprechend — characterisirt  wird.  Fiir  die  Beziehungen  des 
"  wesentlichen "  Factors,  insbesondere  fur  die  Pliicker'schen 
Gleichungen,  ist  aber  mit  Pliicker  auch  die  dualistische  Auf- 
fassung  heranzuziehen,  und  beide  sind  noch  zu  verschmelzen. 

Zu  jedem  Punkt  einer  Curve  f  gehort  ein  consecutiver,  also, 
als  Verbindungslinie  beider,  eine  Linie  von  /;  zu  diesem  folgenden 
Punkt  gehort  wieder  eine,  der  vorigen  consecutive,  Linie  von  f; 
etc. ;  daher  gehen  durch  jeden  Punkt  von  /  mindestens,  spezielle 
Stellen  abgerechnet  auch  nur,  zwei  consecutive  Linien,  von  denen 
eine  zu  jenem  Punkt  gehort.  Dualistisch  gehort  zu  jeder  Linie 
von  f  ein  Punkt  von  f:  der  Schnitt  der  Linie  mit  ihrer  consecu- 
tiven ;  zu  consecutiven  Linien  gehb'ren  consec.  Punkte  von  f, 
uud  auf  jeder  Linie  liegen  inindestens,  im  Allgemeinen  auch  nur, 
zwei  consec.  Punkte  von  /,  von  denen  einer  zu  jener  Linie 
gehort.  Ein  Linienzweig  von  der  "Klasse"  A'  hat  eine  A'-linige 
erste  Gerade. 

Zusammenfassend  nenne  ich  das  sich  selbst  duale  Paar  :  Punkt 
mit  zugehoriger  Linie  ein  "  Curvenelement "  von/!  Eine  /i-punktige 
Stelle  von  /  ist  eine  solche,  in  welcher  h  verschiedene  (getrennte 
oder  consecutive)  Curvenelemente  von  f  ihren  Punkt  haben,  eine 
A'-linige  Gerade  von  f  eine  solche,  in  welcher  h'  verschiedene 
Curvenelemente  von  /  ihre  Linie  haben. 

Ein  Zweig  Z  von  f  habe  die  Ordnung  A,  die  Klasse  A',  und 
zwar  die  Stelle  S  A-punktig,  die  Gerade  s  A'-linig.  Nun  trifft 
jede  Gerade  durch  S  den  Zweig  in  A  aufeinanderfolgenden,  in  S 
liegenden  Punkten,  und  diese  Geraden  erzeugen,  als  "  uneigent- 
liche  Tangenten"  von  f,  nur  den  Ort  S,  und  zwar  (A  — l)-fach. 
Wird  der  Zweig  von  einer  Geraden  s  in  weiteren  a  —  A,  den 
fruheren  A  consecutiven,  also  S  benachbarten  Punkten  getroffen, 
so  erhalt  man  a  —  A  zugehorige  Curvenelemente,  welche,  wie  die 
paarweise  successive  Verbindung  von  S  und  der  a  — A  Punkte 
zeigt,  ihre  Linie  sammtlich  in  s  haben,  so  dass  die  Gerade  s  eine 
(a  —  A)-linige  von  /  wird.  Daher  A'  =  a  —  A,  d .  h. 

"  Die  Gerade  s  des  Zweigs  trifft  denselben  in  A  +  A'  consec. 


256  M.    NOETHER. 

Punkten,  von  denen  A  in  die  Stelle  S,  A'  ausserhalb  8,  aber 
benachbart,  liegen ;  durch  die  Stelle  8  gehen  A  +  A'  consec. 
Linien  des  Zweigs,  von  denen  A'  in  die  Gerade  s,  A  ausserhalb  s, 
aber  benachbart,  fallen." 

Dieser  bekannte  Satz  drlickt  die  Thatsache  aus,  dass,  wenn  die 
Entwicklungen  von  x  und  y  nach  t  mit  den  Gliedern  £A,  ta  (a  >  A) 
beginnen,  die  der  Liniencoordinaten 

dy  dy 

u=  — f-.    w  =  x^L  —  v 
dx  dx 

mit  ta~*,  ta  anfangen.  Derselbe  genligt  zur  Aufstellung  der 
Pliicker'schen  Gleichungen  (s.  meine  o.  citirten  Arbeiten,  oder 
St.  Smith,  Proc.  of  the  London  Math.  Soc.  vi.).  Auch  die  ganze 
Gruppe  von  Satzen,  welche  nur  die  direct  ersichtlichen  Vielfach- 
heiten  der  einzelnen  Stellen  und  Geraden  von  /,  nicht  aber  die 
weiteren  Singularitatenzahlen  enthalten — Formeln,  auf  welche 
Smith  und  Halphen  zuerst  hingewiesen  haben  (s.  etwa  Zeuthen, 
Acta  Math.  I.) — ergeben  sich  in  dem  zusammenfassenden  Aus- 
drucke : 

"  Fiir  jeden  iiber  die  unmittelbar  in  S  liegende  Vielfachheit 
AA  zweier  Zweige  Z,  Z  hinausgehenden  consecutiven  Schnittpunkt 
tritt  auch  eine,  iiber  die  A 'A'  in  s  liegende  Vielfachheit  hinaus- 
gehende,  consecutive  gemeinsame  Linie  der  beiden  Zweige  ein." 

Hier  sind  A,  A'  Ordnung  und  Klasse  von  Z,  A,  A'  dasselbe  von 
Z ;  M  sei  die  Punkt-,  M'  die  Linienmultiplicitat  der  beiden  Zweige 
bei  S,  bezw.  s.  Nun  haben  diese  Zweige  so  viele  Curvenelemente 

y 
gemeinsam,  als  die  durch  3/1  =  -  (quadratisch)  transformirten  Zweige 


x 


Punkte  (x,  y^)  gemeinsam  haben,  also  M  —  A  A ;  denn  man  hat 
hierin  die  Zahl  der  gemeinsamen  Werthsysteme  x,  y,  ~ .  Dieses 

CLX 

aber,  geschrieben  in  x,  y,  u,  w,  ist  ein  sich  selbst  dualer  Ausdruck, 
d.  h.  auch  =  M'-  A'A'. 

Auch  fur  einen  und  deuselben  Zweig  kann  man  eine  ahnliche 
Frage  stellen:  Wie  viele  der  aufeinanderfolgenden  Curvenele- 
mente des  Zweigs  Z  coincidiren  unter  sich  ?  Die  Antwort  ist : 

"  Unter  den  A  Elementen  des  Zweigs  Z  mit  ihren  Punkten  in 
S,  und  unter  den  A'  Elementen  desselben  mit  ihren  Linien  in  s 
gibt  es  h^  consecutive  Elemente,  welche  zugleich  ihre  Punkte  in  S 


CURVENELEMENTE.  257 

und  ihre  Linien  in  s  haben,  wo  Ax  gleich  der  kleinern  der  beiden 
Zahlen  A,  A',  bezw.  =  A  =  A',  1st." 

Derm  der  durch  die  Transformation  y\  =  -  aus  Z  erhaltene  Zweig 

Zl  hat  eine  ^-punktige  Stelle  Si,  der  Geraden  s  entsprechend.  — 
Man  kann  daher  diesen  Satz  auch  so  aussprechen  : 

"  Der  A-punktigen  Stelle  S  benachbart,  aber  ausserhalb  S,  hat 
der  Zweig  Z  eine  ^-punktige  Stelle  Si  ;  und  der  A'-linigen  Geraden 
s  benachbart,  aber  ausserhalb  s,  hat  dieser  Zweig  eine  /^-linige 
Gerade  Si,  wo  hi  wie  oben  bestimmt  ist." 

Ebenso  fallen  von  den  weiter  folgenden  Curvenelementen  des 
Zweigs  wieder  A2  unter  sich  zusammen,  aber  nicht  mit  jenen  hlt 
wenn  eine  analoge  quadratische  Transformation  Zi  in  einen  Zweig 
Z2  mit  A.2-punktiger  Stelle  uberfuhrt.  Z  hat  dann  drei  consecutive 
Stellen  S,  S-i,  $2,  welche  nicht  coincidiren  und  bezw.  A-,  hi-,  h^- 
punktig  sind,  und  drei  consecutive  Geraden  s,  s1}  s2,  welche  nicht 
coincidiren  und  bezw.  A1-,  hr,  h2-\img  sind  ;  etc.  Die  Reductionen, 
welche  durch  diese  Singularitat  des  Punkt-,  bezw.  Linienzweigs  in 
der  Geschlechtszahl  p  der  Curve  hervorgebracht  werden,  sind  bezw. 


so  dass  die  Smith'sche  Relation  folgt 


ERLANGEN,  24  Juni  1893. 


c.  P. 


17 


NOMOGRAPHIE.     SUR   LES    EQUATIONS    REPRE- 

SENTABLES    PAR    TROIS    SYSTEMES 

RECTILIGNES    DE    POINTS 

ISOPLETHES. 

PAR 
MAURICE  D'OCAGNE  A  PARIS. 


1.     LE  principe  general  de  la  Nomographie,  donne*   dans  le 
livre*  ouj'ai  deVeloppe  cette  theorie,  peut  s'enoncer  ainsi: 

Si   le   resultat   de   1'e'lrmination   de   x   et   y   entre   les    trois 
equations 

F1(x,y,al)  =  0  ........................  (I,), 


est  F(al,a2,as)  =  0  ........................  (E), 

il  sufBt,  pour  avoir  Vabaque  (representation  graphique  cotee) 
de  liquation  (E),  de  construire  les  trois  systemes  de  courbes 
definis  par  les  Equations  (Ij),  (I2),  (I3),  ou  on  fait  respectivement 
varier  les  parametres  a1}  ctg,  «3,  en  ayant  soin  d'inscrire  la  valeur 
de  chacun  de  ces  parametres  a  cote  de  la  courbe  correspondant  a 
cette  valeur. 

Ces  courbes  sont  dites  isoplethes  respectivement  pour  les  para- 
metres «i,  «2,  «3. 

Des  lors,  un  systeme  de  valeurs  de  ces  trois  parametres 
satisfait  a  1'equation  (E)  lorsque  les  isoplethes  correspondantes 

*  Nomographie.     Les  calcuh  usuels  effectues  au  moyen  des   abaques.      Paris  ; 
Gauthier-Villars  ;  1891. 


NOMOGRAPHIE.  259 

concourent  en  un  meme  point.  De  la,  le  moyen  d'obtenir  la 
valeur  de  Tun  des  trois  parametres  lie's  par  liquation  (E),  lorsque 
celles  des  deux  autres  sont  donnees. 

2.  Pour  une  equation  (E)  donne"e,  on  dispose  arbitrairement 
de  deux  des  equations  (Ij),  (I2),  (I3).  Le  but  de  la  Nomographie 
est  d'operer,  dans  chaque  cas,  ce  choix  en  vue  de  la  plus  grande 
simplicite  possible. 

Lorsque  1'equation  (E)  peut  etre  mise  sous  la  forme 

i(«i)    0100    ^ifci 


/a(«s)      02  ("2)     ^2(02) 


(E'), 


on   voit   qu'on  peut  prendre  pour  equations  (Ij),  (I2),  et  (I3)  les 
suivantes  : 

#/i  («i)  +  2/0i  («i)  +  ^  i  (oO  =  0, 
xf*  ("2)  +  2/02  («»)  +  V°2  (««)  =  0, 
xf»  («3)  +  2/03  («3)  +  ^s  («»)  =  0. 
qui  donnent  comme  isoplethes  trois  systemes  de  droites. 

J'ai  fait  voir  dans  mon  livre  (Chapitre  IV.)  qu'il  etait  dans  ce 
cas  pratiquement  plus  avantageux,  au  lieu  de  considerer  x  et  y 
comme  des  coordonnees  ponctuelles  de  les  considerer  comme  des 
coordonnees  tangentielles,  de  fa9on  a  substituer  aux  droites 
isoplethes  obtenues  dans  le  premier  cas  des  points  isoplet/ies. 

Grace  a  cet  artifice  1'abaque  de  1'equation  (E')  est  d'une 
construction  plus  simple,  d'une  lecture  bien  plus  facile,  et  se 
prete  a  une  interpolation  a  vue  plus  precise,  celle-ci  se  faisant  entre 
les  points  marques  sur  une  courbe,  au  lieu  de  se  faire  entre  les 
tangentes  a  une  autre  courbe  correlative  de  la  premiere. 

Les  points  correspondant  a  des  valeurs  de  a1}  etj,-  «3  dont  le 
systeme  satisfait  a  1'equation  (E'),  sont  en  ligne  droite.  De 
la  resulte  le  mode  d'emploi  de  1'abaque. 

J'ai  fait  voir,  en  outre,  que  le  systeme  de  coordonnees  tan- 
gentielles qui  se  pretait  le  mieux  a  ce  genre  d'application  etait 
celui  auquel  j'ai  donne  le  nom  de  coordonnees  paralleles  *. 

*  Ce  systeme  de  coordonnees  dont  I'id6e  a  6te"  signalee  des  1829  par  Chasles 
(Correspondance  mathematiqiie  et  physique  de  Quetelet,  t.  6,  p.  81)  a  doune"  lieu 
a  divers  travaux  parmi  lesquels  je  citerai  les  suivants  : 

17—2 


260  MAURICE  D'OCAGNE. 

D^signant  ces  coordonnees  par  les  lettres  u  et  v,  on  voit 
que  1'abaque  de  1'equation  ecrite  plus  haut  se  composera  des  trois 
systemes  de  points  definis  par  les  equations  : 

ufi  («i)  +  v<t>i  («0  +  ^i  («i)  -  0, 
w/2  («»)  +  vfa  (a.)  +  -^2  («»)  =  0, 

W/3  («s)  +  Vfa  («,)  +  >/r3  (03)  =  0. 

Ces  points  ont  respectivement  pour  coordonnees  *  : 


_ 
fc(ai)  +/,(«,)'  J 

=   ^«(«»)  -/«(«») 
' 


3.  L'emploi  des  coordonnees  tangentielles  a  le  double  avan- 
tage  de  rattacher  la  methode  des  points  isoplethes  au  principe 
fondamental  rappele  plus  haut  et  de  comporter  des  generalisations 
sur  lesquelles  je  n'ai  pas  a  m'etendre  ici,  mais  il  est  bien  evident, 
ainsi  d'ailleurs  que  je  1'ai  fait  remarquer  dans  1'Avant-propos 
de  mon  livre^,  que  la  methode  des  points  isoplethes  peut  etre 
interpre'tee  directement  au  moyen  des  coordonnees  cartesiennes. 
II  suffit  d'observer  que  1'equation  (Ex)  exprime  1'alignement  sur 
une  meme  droite  des  trois  points  definis  respectivement  par 
les  coordonnees 


x- .._  frW 

i*/       ™"  .  v         .  I/       —  "  *•  . 


F.  Franklin:  Bipunctual  Coordinates  (Amer.  Journ.  of  Mathem.  1,  p.  148). 

K.  Schwering:  Theorie  und  Anwendung  der  Linien-Coordinaten ;  Leipzig; 
Teubner;  1884. 

M.  d'Ocagne:  Coordonnees  paralleles  et  axiales  ;  Paris;  Gauthier-Villars ; 
1885. 

La  majeure  partie  de  cette  derniere  brochure  a  paru  en  1884  dans  les  Nouvelles 
Annales  de  Math6matiques  (3e  Serie,  t.  3,  pp.  410,  456,  516). 

*  Nomographie,  p.  53. 

t  Nomographie,  p.  5. 


NOMOGRAPHIE.  261 

Comparant  ces  formules  a  celles  qui  terminent  le  No.  2,  on  voit 
que  les  abaques  obtenus  dans  Tun  et  1'autre  cas  sont  simplement 
transformes  homographiques  1'un  de  1'autre,  c'est-a-dire  absoluraent 
equivalents  au  point  de  vue  mathematique  *. 

Chaque  systeme  de  points  isoplethes  est  distribue  sur  une 
courbe  qu'on  peut  appeler  le  support  de  ce  systeme. 

Lorsque  ce  support  est  une  droite  le  systeme  est  dit  rectiligne, 
et  lorsque  les  points  isoplethes  sont  re"gulierement  espaces  sur 
cette  droite,  c'est-a-dire  lorsque  pour  des  accroissements  egaux 
du  parametre  les  points  correspondants  partagent  la  droite 
formant  support  en  segments  egaux,  le  systeme  est  dit  regulier. 

En  raison  de  la  simplicite  que  presentent  les  abaques  con- 
stitues  au  moyen  de  tels  elements,  il  est  interessant  de  rechercher 
quelles  sont  les  equations  representables  par  trois  systemes 
rectilignes  de  points  isoplethes,  et,  plus  particulierement,  par 
trois  systemes  reguliers. 

Tel  est  le  but  du  present  travail. 


II. 

4.     Pour  qu'un  point,  dont  la  position  sur  un  plan  depend 
d'un  parametre  \l}  decrive  une  droite  il  suffit  que  les  coordonnees 


*  Depuis  que  j'ai  fait  connaitre  la  methode  des  points  isoplethes,  il  en  a  e"te 
fait  de  nombreuses  applications.  La  plupart  de  ces  applications,  executees  en  vue 
de  besoins  pratiques,  sont  resides  in£dites ;  telles  sont  celles  que  j'ai  eu,  pour  ma 
part,  avec  le  concours  de  M.  E.  Prevot,  a  faire  soit  pour  mon  service  personnel 
(Nivellement  General  de  la  France)  soit  pour  d'autres  services.  Quelques  autres  ont 
et6  publiees,  notamment  par  les  auteurs  suivants : 

M.  Beghin  :  Abaque  de  la  vitesse  d'un  train  sur  un  prqfil  donne  (Annales  des 
Fonts  et  Chaussees,  octobre  1892,  p.  548).  Note  sur  une  nouvelle  classe  d'abaques 
(Genie  Civil,  24  decembre,  1892). 

J.  Fillet:  Stabilite  des  constructions,  p.  194. 

J.  Mandl:  Diagramm  fur  frei  auftiegende  holzerne  Balken  und  gewalzte  Eisen- 
trager  (Mitteilungen  iiber  Gegenstande  des  Artillerie-  und  Genie-Wesens ;  Wien ; 
1893 ;  No.  2). 

Depuis  la  redaction  de  cette  Note  il  a  et6  fait  diverses  applications  importantes 
de  la  methode  des  points  isoplethes  notamment  par  MM.  le  Commandant  Bertrand 
(Distributions  d'eau),  le  lieutenant  Lafay  (Tir  du  canon),  Prevot  (Poids  des  cardes 
Jilees)  et  par  nous-meme  (Trigonometrie  sphtriqite,  dans  le  Bull.  Astr.  1894 ;  Equa- 
tion de  Kepler  dans  le  Bull,  de  la  Soc.  Math,  de  France,  1894 ;  Calcul  des  terrasse- 
•ments,  dans  les  Annales  des  Fonts  et  Chausxees  :  ler  Sem.  1894. 


262 


MAURICE   DOCAGNE. 


de  ce  point  soient  des  fonctions  rationnelles  et   line'aires  de   ce 
parametre,  c'est-a-dire  qu'on  ait 


oc  = 


Au  point  de  vue  geometrique,  il  n'y  a  rien  a  aj outer  a  cela. 
II  n'en  est  pas  de  meme  au  point  de  vue  de  la  nomographie. 

En  effet,  il  y  a  lieu  dans  ce  cas  de  considerer  non  seulement  le 
support  du  systeme  de  points  en  question,  mais  encore  la  fa£on 
dont  ces  points  sont  distribues  sur  ce  support,  chacun  d'eux  etant 
individualise  par  la  valeur  correspondante  du  parametre  variable, 
qui  constitue  sa  cote. 

On  est  ainsi  amene  a  considerer  \  comme  fonction  d'un  autre 
parametre  aa  defmissant  les  points  isoplethes  et  par  suite,  a 
poser 


Lorsqu'on  change  la  fonction  f1}  la  droite  servant  de  support 
au  systeme  de  points  isoplethes  reste  la  meme,  mais  le  mode  de 
graduation  de  cette  droite  varie. 

On  voit  done  que  les  equations  representables  par  trois 
systemes  rectilignes  de  points  isoplethes  sont  celles  qui  peuvent 
etre  mises  sous  la  forme 

Pifi  (ai)  +  q\      rifi  (ai)  +  Si 
P-2/2  («a)  +  &      ?*2/2  («2)  +  sa    =  0- 
(«3)  +  n3      psf3  (oj)  +  q3       r3/3  (a3)  +  s3 

5.  Parmi  ces  equations  les  plus  interessantes  sont  celles  pour 
lesquelles  les  trois  systemes  de  points  isoplethes  sont  reguliers, 
parce  qu'alors  1'abaque  presente  le  maximum  de  simplicite 
realisable. 

II  suffit,  en  effet,  pour  qu'il  soit  completement  defini,  de 
determiner  deux  points  isoplethes  dans  chaque  systeme,  soit  six 
points  en  tout. 

Les  Equations  repondant  a  la  question  sont  evidemment  celles 
qui  peuvent  se  mettre  sous  la  forme 

&!«!  +  M!        P&  +  qi 

'  =  0, 


p3ct3 


NOMOGRAPHIE.  263 

ou,  en  developpant, 


2p3  -p2m3)  0,03  +  (7 

(  1  )     +  [>!  (#2  -  q3)  -  pl  (Wj  -  TO,)]  ax  +  [>2  (q,  -  qj  -  p,  (TO,  -  TO,)]  02 

~  n2)]  «3  -f  n^  q2  - 


Cette  equation  est  de  la  forme 
(2)       -41«2a3  +  A2a3a!  +  A3alo^+  B^  +  B2o^  +  J33a3  +  (7=0. 


II  semble  au  premier  abord,  puisque  cette  equation  possede  7 
coefficients  et  que  les  coefficients  de  1'equation  (1)  renferment  12 
parametres,  qu'on  puisse  toujours  disposer  de  ceux-ci  de  fa9on 
a  identifier  (1)  avec  (2),  ou,  en  d'autres  termes,  que  toute  Equation 
de  la  forme  (2)  soit  representable  par  trois  systemes  rfyuliers 
de  points  isoplethes.  Mais  il  n'en  est  pas  ainsi ;  1'analyse  rigou- 
reuse  de  la  question  va  nous  faire  voir  au  contraire  que  cette 
identification  n'est  possible  que  sous  certaines  conditions.  C'est 
la  le  point  que  j'ai  principalement  voulu  mettre  en  vue  dans 
la  pre"sente  Note. 

6.  Si  une  equation  est  re  presentable  par  trois  systemes 
reguliers  de  points  isoplethes,  on  peut  toujours  faire  coincider 
1'axe  des  y  avec  le  support  d'un  de  ces  systemes  en  placant 
1'origine  au  point  cote  0.  On  peut,  par  suite,  toujours  prendre 
pour  w^,  %,  Pi  et  q1}  les  valeurs 

Ces  valeurs  etant  portees  dans  1'equation  (1),  1'identification  de 
celle-ci  avec  (2)  donne 

(3)  A-L  =  m2p3-p2m3, 

(4)  A2  =  m3, 

(5)  A3  =  -m2, 

(9)       G  =  n2q3  -  q2n3 

Tel  est  le  systeme  d'equations,  auquel,  dans  tous  les  cas,  se 
ramene  la  solution  du  probleme. 


264  MAURICE  D'OCAGNE. 

7.  Remarquons  tout  d'abord  que  des  equations  (3),  (4)  et  (5), 
on  tire 

(10)     Al+A2p2  +  A3p3  =  0, 

Equation  incompatible  avec  1'hypothese  ou  deux  des  coefficients 
Al}  A2  et  A3  seraient  nuls  &  1'exclusion  du  troisieme*.  On 
ne  peut  done  envisager  que  1'une  des  trois  hypotheses  suivantes : 

1°.     Les  trois  coefficients  A1}  A2,  A3  sont  differents  de  zero ; 

2°.     Un  seul  d'entre  eux  est  nul ; 

3°.     Us  sont  nuls  tous  les  trois. 

Nous  allons  les  examiner  successivement. 

8.  ler  Gas.  A!  =J=  0,    A2  4=  0,    A3  =f=  0. 
Les  Equations  (5)  et  (4)  donnent 

et  le  systeme  (a)  se  reduit  a 

(30    A1  =  -A2p2-A3p3, 
(60     B1  =  n3-n2, 
(70     B2  =  -  A3q3  -  p2ns, 
(80     B3  =  n2p3  —  A2q<,, 
(90     G  =  n2q3  -  gr,w, 

Entre  les  cinq  equations  du  systeme  (a')  eliminons  les  quatre 
parametres  q2,  ns,  ps,  q3. 

Les  Equations  (30  et  (60  donnent  d'abord 
_  _Aj,  +  A2p2 

et  ns  =  B!  +  n2. 

Portant  ces  valeurs  de  n3  et  de  p3  respectivement  dans  (70  et 

dans  (80,  on  tire  de  celles-ci 


- 


*  II  r^sulte,  en  particulier,  de  1&  que  liquation  a^-a^O,  qui  traduit  la 
multiplication,  n'est  pas  representable  par  trois  systemes  reguUers  de  points 
isoplethes,  mais  elle  est  representable  par  trois  systemes  rectilignes  dont  deux 
reguliers,  savoir  : 


NOMOGRAPHIE.  265 

Par  suite,  1'equation  (9')  devient 


ou,  toutes  reductions  faites, 

(11)    AM*  +  (A&  +  A3B3  -  A2B2)  n2  +  A3  (5,5,  -A2C)  =  0. 


Le  parametre  p2  ayant  disparu  de  cette  equation,  on  voit 
qu'on  peut  lui  attribuer  une  valeur  quelconque.  Nous  prendrons, 
en  vue  de  la  plus  grande  sirnplicit6  de  calcul, 

p2=0. 

L'equation  (11)  servira  a  determiner  w2.  Ce  parametre  devant 
^tre  reel,  le  probleme  ne  sera  possible  qu'autant  que  Ton 
aura 

(A&  +  A3B3  -  A2B2)*  -  4A.A,  (5^,  -  A2G)  >  0, 
ou 

-  2AsAlBaB1 


Lorsque  cette  inegalite  sera  satisfaite,  1'equation  (11)  donnera 
pour  n2  deux  valeurs  reelles  n'  et  n".  Adoptant  1'une  d'entre 
elles,  n',  par  exemple,  on  aura  pour  q2,  n3,  p3,  q3  les  valeurs 

9.  2e  Gas.  On  peut  toujours  faire  en  sorte,  par  un  choix 
convenable  de  notations,  que  le  coefficient  nul  soit  A^  On  a 
done  I'hypothese 

On  a  comme  precedemment 

ra2=—  A3,     ms=  A2,    p2  =  Q. 
Quant  a  1'equation  (11),  elle  devient 

(A3B3  -  A2BJ n2 4-  A,  (B,B3 -  A2C)  =  0, 
T)  T)        A  rt 

j,       .  i       -DjiJg   -ilg^ 

d  OU  7l2==jO.Q— -.    -f.          ~t    fr . 


266  MAURICE  D'OCAGNE. 

Des  lors  les  formules  qui  terminent  le  No.  precedent  donnent 
ft  — ^, 

n  Tf          A    ri 

.       JJ-iJDn  —  ^la^ 


jX>o   ~~   Xl  •>/?•> 


On  voit,  en  outre,  que  nz  et  n3  devenant  infinis  lorsque 

AZB2-A3B3  =  0, 
la  solution  est,  dans  ce  cas,  illusoire. 

II  faut  done  completer  1'hypothese  faite  par 

AZB2-  ASB3  4=0. 
10.     Reste  a  examiner  le  cas  ou.  on  a 

AI  =  A%  =  AS  =  0. 

Le  systeme  (a)  se  reduit  alors  h, 

(6W)  ^  =  113-^, 
(7'")  B2  =  -p*ns, 
(8'")  53  =  ^3, 

(9"')  (7  =   W2#;  -  ^2713 

Pour  resoudre  ce  systeme  nous  nous  donnerons  les  valeurs 
de  deux  des  six  inconnues.  Mais  ici,  pas  plus  que  precedemment, 
ce  choix  n'est  absolument  arbitraire. 

Ainsi  les  equations  (7'")  et  (8'")  indiquent  qu'on  ne  peut 
annuler  aucune  des  quantites  n2,  py,  ns,  p3,  car  B2  et  Bs  sont 
necessairement  differents  de  0 ;  s'il  en  etait  autrement,  en  effet, 
une  des  variables  «2  ou  «3  cesserait  de  figurer  dans  1'equation 
proposee. 

De  meme  1'equation  (9'")  montre  qu'on  ne  saurait  generalement 
pas  se  donner  qz  —  q3  =  0,  etc. . . . 

Une  hypothese  touj,ours  admissible  est  la  suivante : 


NOMOGRAPHIE.  267 

Le  systeme  (a'")  devient  alors 


On  en  tire  successivement 

ns=-B2, 


B3 

Ps~ 


G 


III.     Resume. 

11.     Toute  equation  representable  par  trois  systemes  regu- 
liers  de  points  isoplethes  est  de  la  forme 

-4ia2«3  +  -42a3«i  +  A^O^+B!^  +  BZ<XV  +  B3a3  +  (7  =  0. 

Mais  la  rdciproque  n'est  pas  vraie.  Une  equation  donnee  de 
cette  forme  n'est  representable  par  trois  systemes  reguliers  de 
points  isoplethes  que  lorsqu'elle  rentre  dans  un  des  trois  cas 
suivants  ;  elle  Test  alors  d'une  infinite  de  fa5ons  : 

lerCas.  ^4=0,     A  4=0,     A3  4=0, 


Mode  de  representation  : 

Systeme  («j)    x  =  0  ;    y  =  «i  ; 

, 
n  ;       y  = 


268  MAURICE  D'OCAGNE. 

ri  e"tant  une  racine  de  1'equation 

Arf  +  (A&  +  A3B3  -  A2B2)  n  +  As  (B,BS  -  A,G)  =  0. 
2eCas.      ^  =  0,    ^4=0,    A3$0,    AZB2-A3 
Mode  de  representation  : 
Systeme     (cO     so  =  0  ;     y  =  a1; 


„.  - 


Jja 


3  i  --. 

-a-Z-D2  —  -a-3J->3  -"-3 

On  voit  que  dans  ce  cas  les  supports  des  systemes  (aj)  et  (03) 
sont  paralleles. 

3e  Cas.  A1  =  A2  =  AS  =  0. 

Mode  de  representation  : 
Systeme  (ax)  a;  =  0  ;     y  =  aa  ; 

(02)   as  =  -(B1+£a);     y  =  o*\ 

C 


"  +- 

Dans   ce   cas,   les   supports   des  trois   systemes   (ai),  (o^)  et  («3) 
sont     aralleles. 


IV.     Exemples  d  application. 


12.  A  titre  de  verification  des  formules  precedentes,  nous 
allons  prendre  un  exemple  de  chacun  des  cas  precedents,  pour 
lequel  il  est  facile  de  construire  a  priori  1'abaque  le  plus  simple 
compose  de  trois  systemes  re'guliers  de  points  isoplethes,  et  nous 
constaterons  que  nos  formules  nous  conduiront  bien  4  ces 
solutions. 

Cette  construction  a  priori  ne  serait  d'ailleurs  ordinairement 
pas  possible  dans  le  cas  general  et  Ton  devrait  alors  ne'cessaire- 
ment  avoir  recours  aux  formules  qui  viennent  d'etre  etablies, 
et  dont  il  s'agit  simplement  ici,  je  le  repete,  de  donner  une 
verification. 


NOMOGRAPHIE. 
Exemple  I.     Equation  : 


269 


ou  a2«3  +  a^  -  a^  =  0. 

Ici,    A=l,    42  =  1,    ^3  =  -l,    Bl  =  Bz  =  B9=C  =  0,  etn'  = 

On  a  done,  d'apres  les  formules  precedentes  (ler  Cas)  : 


I- 


—I— I — I — I — I — h 

_6    _5     _4     .3     _2     _1 


.1 
_2 

.3 

_4 
_5 
_6 


< 1 1 1 1 h- 

1        23456 


Systeme  (aj)  sc  =  0  ;      2/  =  «i  ; 


d'ou  1'abaque  ci-dessus  *,  ou  on  s'est  limite  d'une  part 

«i  =  6,     «2  =  6,     «3  =  3, 
de  1'autre  a  «x  =  —  6,     «2  =  —  6,     «2  =  —  3. 


*  Les  axes  de  coordonuees  n'intervenant  que  pour  la  construction  de  1'abaque, 
nous  les  avons  simplement  figures  en  pointille. 


270  MAURICE  D'OCAGNE. 

Exemple  II.     Equation :     ax  =  ^-±-?3 , 


OU 


«3°1  —  «ia2  +  «2  +  «3  =  0. 

y 


5- 
4' 
3- 
2 


.5     .4     .3     _2      .1 


.3     .2      .1 


_3   • 
-4  +  o 


•\ — i — i — r 


1         2       3       4 


-1-2.34       5       6 


Ici,  ^  =  0,    ^la=l,    ^3=-l,    A  =  0,    52  =  1,    53=1,    (7=0. 
Les  formules  precedentes  donnent  (2e  Gas)  : 
Systeme  («!)    a;  =  0  ;    y  =  aa  ; 
(02)    #  =  a2;    y  =  -l; 
(a3)    tf=a3;    y=l, 
d'ou  1'abaque  ci-dessus  *,  ou  on  s'est  limite  d'une  part  a 

«i  =  5,     a2  =  6,     «s  =  4, 
de  1'autre  a  «i  =  —  4,     02  =  —  3,     a3  =  —  5. 

Exemple  III.     Equation  :     «3  =  02  +  flfx 
ou  c^  +  a2  —  as  =  0. 

Ici,        ^  =  ^2  =  ^3=0,     A=l,     5a=l,    53  =  -l,     (7=0. 


*  Les  axes  de  coordonnees  n'intervenant  que  pour  la  construction  de  1'abaque, 
nous  les  avons  simplement  figure's  en  pointille. 


NOMOGRAPHIE. 

Les  formulas  pr6c£dentes  donnent  (3e  Gas) 


271 


y 

3- 

«2          6- 

»3         3- 

a, 

5- 

2- 

4- 

2- 

3- 

J- 

2- 

1- 

1- 

0 

0 

0 

.1- 

.2- 

.3 

-2- 

.4- 

., 

Systeme  (c^)  «  =  0  ;  y  =  a1; 


/      \  1  3 

(a3)  «*  —  1;  y  =  ^» 
d'ou  1'abaque  ci-dessus,  ou  on  s'est  limite  d'une  part  a 

ttj  =3,         «2  =  3,         «3  =  6, 

de  1'autre  a  aa  =  —  3,     03  =  —  3,     a3  =  —  6. 


SUL    MOTO    DI    ROTAZIONE    DI    UN    CORPO 
RIGIDO   ATTORNO   AD   UN    PUNTO   FISSO. 

DA 
BERNARD  PALADINI   IN  PISA. 

[This  paper  which  had  been  previously  published  was  the 
basis  of  a  lecture  by  the  author  before  the  Congress,  August  26, 
1893.— Editors.] 


A   CONSTRUCTION    OF   GALOIS'   GROUP   OF 

660   ELEMENTS. 

BY 
JOSEPH  DE  PEROTT  OF  WORCESTER,   MASS. 

IN  his  work  Vorstudien  zur  Topologie  published  as  far  back  as 
1848,  the  profound  German  mathematician  Listing  makes  a 
thorough  study  of  a  group  of  48  elements  which  is  a  sub-group  of 
the  symmetric  group  of  six  letters  and  which  ought  to  be  known 
under  his  name.  On  page  9  Listing  gives  all  the  48  elements 
of  his  group  and  they  are  so  arranged  that  by  a  cross  you  can 
divide  them  into  four  sets,  each  of  twelve  elements.  The  set 
in  the  left-hand  corner  above  forms  a  group  by  itself  isomorphic 
with  the  alternating  group  of  four  letters.  Employing  Listing's 
notation  the  group  consists  of  the  following  elements : 

123  231  312 

123  2  3  I  312 

I  2  3  2  3  I  312 

123  231  3  I  2 

The  meaning  of  this  notation  is  that  the  numbers  1,  2,  3  have 
to  be  replaced  by  the  combinations  of  three  numbers  given 
above,  while  the  numbers  1,  2,  3  have  to  be  replaced  by  similar 
combinations  with  the  signs  above  the  digits  changed.  Writing 
a,  b,  c,  d,  e,/for  1,  2,  3,  3>  2,  1  we  obtain  the  following  arrange- 
ments : 

a  b  c  d  e  f  b  c  a  f  d  e  c  a  b  e  f  d 
a  e  d  c  b  f  b  d  f  a  c  e  c  f  e  b  a  d 
f  b  d  c  e  a  e  c  f  a  d  b  d  a  e  b  f  c 
f  e  c  d  b  a  e  d  a  f  c  b  d  f  b  e  a  c 
c.  P.  18 


274  DE   PEROTT. 

To  show  its  isomorphism  with  the  alternating  group  of  four 
letters  a,  ft,  y,  8  it  is  sufficient  to  write  the  elements  of  the  latter 
group  in  the  following  order : 

a  ft  y  8  a  8  ft  y  a  y  8  ft 

8  y  ft  a  y  ft  8  a.  ft  8  y  a 

y  8  a.  ft  ft  y  a  8  8  ft  a.  y 

ft  a  8  y  8  a  y  ft  y  a  ft  8 

and  to  consider  as  corresponding  the  elements  of  the  two  groups 
which  occupy  corresponding  positions. 

By  means  of  these  two  groups  it  is  easy  to  construct  an 
intransitive  group  of  ten  letters  isomorphic  with  the  alternating 
group  of  four  letters.  If  now  we  write  the  numbers  1,  2,  5,  7,  8, 
10  for  the  letters  a,  b,  c,  d,  e,  f  and  the  numbers  3,  4,  6,  9  for  the 
letters  a,  ft,  y,  8  we  obtain  a  group  of  substitutions  formed  by  the 
following  arrangements : 

1  234  56  7  89  10 

1  896  74  5  23  10 
10  269  73  5  84     1 
10  843  59  7  26     1 

2  539  14  10     76  8 
2     764  10  9     1     53  8 
8     5  46  10  3     1     79  2 
8     793  16  10     54  2 
5     136  29     8  10  4  7 
5  10  49  86     2     13  7 
7     194  83     2  10  6  5 
7  10  63  24    8     19  5 

This  group  may  be  considered  as  generated  by  the  operations 

23456789  10\ 
89674523  10/ ' 

_ /I  2  3  4  5  6     7  8  9  10\ 
V2  5  3  9  1  4  10  7  6     8/1 

and  it  is  easy  to  show  that  it  can  be  combined  with  the  cyclical 
group  of  order  five  generated  by  the  operation 

'1234567     89: 
,3  4  5  6  7  8  9  10  1     2, 


/I 
U 


GALOIS'  GROUP  OP  660  ELEMENTS.      275 

In  fact,  we  have 

<f)U(j>  =  U, 

<j>v<f>  =  v2, 

<f>*V<f)3  =  VUV, 


which  shows  that  the  group  generated  by  the  operations  u,  v,  and 
<j>  will  be  of  order  60.  This  group  is  isomorphic  with  the 
icosahedron  group  and  may  be  considered  as  generated  by  the 
operations 

._  /I  2  3  4  5  6  7     8  9  10\ 

9  ~  U  456789  10  1     2/  ' 


/ 

% 


1  2  3  4  5  6  7  8  9  10 

O  84359726 


As  it  involves  ten  letters,  it  is  of  course  a  sub-group  of  the 
symmetric  group  of  eleven  letters.  Before  employing  it,  however, 
we  shall  transform  it  in  the  following  way.  Since  each  number 
of  the  series 

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10 

is  congruent  to  a  certain  distinct  power  of  a  primitive  root 
(mod.  11),  say  7,  a  one-to-one  correspondence  can  be  established 
between  the  numbers 

1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9,  10, 

and  the  smallest  positive  exponents  of  the  powers  of  seven  to 
which  they  are  congruent  (mod.  11).  Our  generating  operations 
<  and  will  become 


1     23456789  10 
5  10  4938271     6  11 


2  3  4  5  6  7  8  9  10  11 

3  2  8  9  6  1  4  5  10  ll 


\ 
/' 

\ 
/' 


We  shall  now  combine  the  icosahedron  group  generated  by  fa 
and   %i   with   the   cyclical  group  of  order  11  generated  by  the 

operation 

12345678     9  10  11\ 

2  3  4  5  6  7  8  9  10  11     l)' 

18—2 


276  DE   PEROTT. 

The  possibility  of  doing  this  is  shown  by  the  following  relations  : 


The  group  generated  by  t^,  ^  and  ^>  will  be  accordingly  of  order 
660  and  in  fact  it  is  isomorphic  with  Galois'  group  of  660 
elements. 


CONCERNING   ARITHMETICAL   OPERATIONS 
INVOLVING   LARGE    NUMBERS. 

BY 
T.  M.  PERVOTJCHINE*. 

LE  pretre  T.  M.  Pervouchine  prie  de  comuiuniquer  au  Congres 
mathematique  de  Chicago  le  precede  au  moyen  duquel  il  controle 
ses  operations  arithmetiques  sur  les  grands  nombres  ;  ce  proce'de' 
lui  a  servi  comme  une  bonne  boussole  dans  les  calculs  laborieux 
qui  1'ont  amene"  aux  resultats  que  les  nombres  22l2  +  l,  2#3+l 
sont  des  nombres  composes. 

Le  precede"  consiste  dans  la  comparaison  des  restes  qui 
s'obtiennent  en  divisant  par  le  nombre  998  =  103  —  2.  Ce  reste 
s'obtient  d'une  fa£on  tres  simple  car  le  nombre  N  e'tant 

!  .  10<n-2>  3+. 


le  reste  de  la  division  par  998  sera  egal  a 
(2  (2  (2an  +  an^)  +  an_2 

et  se  calcule  facilement  sur  le  boulier  russe.  Ce  n'est  que  dans  le 
cas  ou  les  chiffres  an+m  se  permute  avec  les  chiffres  an  que  la 
faute  du  calcul  peut  passer  inaper9ue  ;  aussi  le  rayon  de  Faction 
ve'rifiante  de  ce  precede*  s'etend  sur  498  chifFres.  Dans  ce  cas 
le  p.  Pervouchine  recommande  a  operer  la  division  par  le 
nombre  9998  =  104-  2. 


*  A  note  communicated  by  Professor  A.  Wassilieff  of  the  University  of  Kasan, 
Kussia. 


RESUME   DE  QUELQUES  RESULTATS  RELATIFS 

A  LA  THEORIE  DES  SYSTEMES   RECURRENTS 

DE    FONCTIONS. 

PAR 
S.   PINCHERLE  A  BOLOGNE. 

LE  present  rdsum^  a  pour  but  d'exposer,  aussi  brievement  que 
possible,  quelques  resultats  auxquels  j'ai  ete  conduit  en  cherchant 
a  ge'ne'raliser  une  des  proprietes  fondamentales  des  polyn6mes  Xn 
de  Legendre.  Cette  proprietd  est  exprimee  par  1'equation 
recurrente 

(n  +  l)Xn+i-(Zn,  +  l)a:Xn  +  nXn-.i  =  Q  .........  (a). 

A  cette  meme  Equation  satisfont  aussi  les  fonctions  de  deuxieme 
espece  Yn,  et  de  la  et  des  conditions  initiates 


on  de\Iuit  le  ddveloppement  de  M.  Ch.  Neumann 

^)Fn(7/)  ...............  (6). 


y    w    n=o 

Ce  developpement  est  convergent  uniformement  pour  les 
couples  de  valeurs  de  x  et  d'y  tels  que  as  soit  interieur  et  y 
ext^rieur  &  une  ellipse  ayant  pour  foyers  les  points  —  1  et  +1 
dans  le  plan  des  nombres  complexes.  II  en  resulte  le  deVeloppe- 
ment  d'une  fonction  analytique  quelconque  /(#),  reguliere  dans 
une  aire  a  contour  simple  comprenant  tout  le  segment  rectiligne 
—  1  ...  +  1,  en  serie  de  fonctions  Xn  de  la  forme 


»=0 

valable  pour  la  plus  grande  ellipse  de  foyers  +  1  contenue  dans 


SYSTEMES   RECURRENTS   DE   FONCTIONS.  279 

1'aire  ou  la  fonction  f(x}  est  reguliere.  Enfin  de  liquation  (a) 
resulte  encore  la  proprie^,  reconnue  par  Gauss,  que  les  d6nomi- 
nateurs  des  r^duites  du  deVeloppement  en  fraction  continue : 

as  +  l  1 

T (c), 


x-l 

X  — 


4 


ne  sont  autres  que  nl  Xn;  si  les  nume'rateurs  de  ces  reMuites 
s'indiquent  par  n  !  Zn,  on  a,  entre  les  fonctions  de  premiere  et 
seconde  espece,  la  relation  : 


On  a  donne*  de  plusieurs  fa9ons  la  generalisation  de  ces 
proprietes;  citons,  par  exemple,  la  thdorie  des  polynomes  de 
Jacobi.  Mais  les  generalisations  donndes  jusqu'ici  de  la  thdorie 
des  fonctions  sphdriques  regardent  toujours  des  systemes  par- 
ticuliers  de  fonctions,  et  les  recherches  que  Ton  s'est  propose  a 
leur  sujet  rentrent  dans  les  questions  geneVales  qui  suivent: 

A.  "  ^tant  donnd  un  systeme  de  polyn6mes  pn  (x),  lies  par 
une  Equation  rdcurrente  (ou  Equation  lineaire  aux  differences) 
existe-t-il  un  second  systeme  de  fonctions  rn(x)  tel  que  Ton  ait 
formellement 


B.  "  Le  systeme  rn  &ant  determind,  quelles  sont  les  conditions 
de  convergence  du  developpement  pre'ce'dent  ?  " 

La  resolution  de  ces  questions  conduit  sans  peine  a  rdpondre  a 
la  demande  : 

C.  "  Sous  quelles  conditions  peut-on  ddvelopper  une  fonction 
donnee  <j>  (a?)  en  une  se'rie  de  la  forme 

00 

</>(«)=  2  CnpnW1-" 
»=0 

C'est  de  ces  questions  gdnerales  que  je  me  suis  occupd,  et  le 
chemin  que  j'ai  suivi  pour  y  repondre  m'a  conduit  encore  a 
quelques  autres  resultats.  C'est  ainsi  que  j'ai  e'te'  amene  a 
constater  1'existence,  pour  les  equations  lineaires  aux  differences 
de  tout  ordre,  de  certaines  quantites  qui  sont,  pour  elles,  ce  que  la 


280  S.    PINCHERLE. 

valeur  de  la  fraction  continue  est  pour  liquation  lin^aire  aux 
differences  du  deuxieme  ordre ;  d'ou  suit  une  generalisation  de 
ralgorithme  de  la  fraction  continue.  II  convient  enfin  de  re- 
marquer  I'e'troite  analogic  que  prdsente  la  question  C  avec  certains 
problemes  d'inversion  d'int^grales  ddfinies.  On  entend  par  la  la 
recherche  d'une  fonction  <j>(y)  telle  que  Ton  ait 

I     A  (x,y)<l>(y)dy  =/(«;), 

J  (A) 

A  (x,  y)  et  /(«)  etant  des  fonctions  donnees  et  \  etant  une  ligne 
d'inte'gration,  aussi  donnee,  dans  le  plan  y. 

Dans  les  lignes  qui  suivent  j'ai  tache'  de  returner,  d'une  fa^on 
aussi  succincte  que  possible,  les  re'sultats  que  j'ai  obtenus  sur  ces 
questions  et  dont  les  deVeloppements,  en  partie  ine'dits,  se  trouvent 
pour  la  plupart  dans  des  memoires  qui  ont  e^e  publics,  a  inter- 
valles,  pendant  les  dix  dernieres  anndes. 

1.  Conside'rons  1'equation  lindaire,  aux  differences  finies,  de 
1'ordre  m: 

Pn+m  =  «i  (n^pn+mr-i  +  O,  (w)  pn+m-2  +...+Om  (n)pn.. .  (1). 

Une  integrale  pn  de  cette  Equation  est  d^terminde  par  ses 
valeurs  initiates  p0>  Pi,...pm-i',  deux  integrates  ne  sont  pas 
distinctes  si  leur  rapport  est  ind^pendant  de  n ;  un  systeme  de 
m  integrates  entre  lesquelles  il  ne  passe  pas  de  relation  lineaire 
homogene  a  coefficients  inddpendants  de  n  est  un  systeme  fonda- 
mental  d'integrales  et  si  pn',  pn", ...  pn(m]  est  un  tel  systeme,  toute 
int^grale  de  (1)  peut  s'ecrire: 

pn  =  c1pn'  +  c2pn"+...+cmpn(m) (2), 

ou  les  coefficients  clt  c2,  ...  cm>  sont  inddpendants  de  n.  Les 
rapports  de  m  —  1  de  ces  coefficients  a  I'm6me  peuvent  servir,  au 
lieu  et  place  des  valeurs  initiates  p0,  pit...pin-\>  a  individuer 
1'int^grale  pn. 

Sous  certaines  conditions  il  existe  une  integrale  «rn  de  1'dqua- 
tion  (1)  qui  admet  la  propriete'  suivante:  si  pn  est  une  autre 
integrale  quelconque  de  la  meme  Equation,  le  rapport  tsn  :  pn  tend, 
pour  n  =  oo  ,  a  la  limite  zero.  J'ai  appeie  cette  integrale,  qui  jouit 
de  propri^tes  remarquables,  integrale  distinguee  de  1'dquation  (1). 
Par  exemple,  soit  1'equation  du  deuxieme  ordre 

Pn+z  =  Oi  (n)pn+i  +  a2  (n)pn ; 


SYSTEMES   RECURRENTS   DE  FONCTIONS.  281 

parmi  ses  integrates  se  trouvent  les  nume'rateurs  pn'  et  les  d6nomi- 
nateurs  pn"  des  requites  de  la  fraction  continue 


qui  constituent  un  systeme  fondamental.     Toute  autre  inte'grale 
de  1'  Equation  du  deuxieme  ordre  s'exprime  par  consequent  par 

Pn  =  Pn  ~  Cpn". 

Si   maintenant   la  fraction  continue  est  convergente  et  a  pour 
valeur  \  on  voit  sans  peine  que 

^n  —  Pn  —  ^pn" 

est  1'intdgrale  distinguee. 

Parmi  les  proprie'te's  de  1'intdgrale  distinguee,  notons  celle-ci  : 
Soient  ah  les  limites,  supposdes  finies,  des  coefficients  a^  (n)  pour 
n  =  oo  ,  et  formons  1'equation  algdbrique 

o2«m-2-...-am  =  0  ...............  (3). 


M.  Poincard*  a  d^montre  que  la  limite  de  pn+l  :  pn  pour 
n  =  x  est  une  des  racines  de  cette  equation  et,  en  gdn^ral,  celle  de 
module  maximum  ;  mais  des  integrales  particulieres  peuvent  ad- 
mettre,  comme  limite  de  ce  rapport,  une  autre  racine  de  1'equation 
(3).  Or,  quand  les  m  racines  de  (3)  ont  des  modules  diff^rents, 
I'inte'grale  distingue'e  ian  est  telle  que  la  limite  de  ra-n+1  :  isn  est  la 
racine  minimum  de  1'dquation. 

2.  Les  coefficients  de  liquation  (1)  peuvent  contenir,  en  outre 
de  n,  un  parametre  x.  Chaque  integrate  pn  est  alors  un  systeme 
recurrent  de  fonctions  de  x.  Je  supposerai  ici  que  le  parametre  x 
entre  au  premier  degre  dans  les  coefficients  ah  (n)  ;  j'ecrirai  done 
1'equation  (1)  sous  la  forme 

m 
Pn+rn  (#)  =  S  (bh  (n)  +  XCh  (n))  Pn+m-h  («)  .........  (4)- 


American  Journal  of  Mathematics,  T.  vii,  No.  3. 


282  S.    PINCHERLE. 

A  cote  de  liquation  (4)  il  convient  de  consideVer  1'autre  Equation, 
que  j'ai  appelee  son  inverse  et  ou  figure  le  parametre  y  : 

-m  +  h))  qn-^n+h  (y).  .  .(5). 


On  exclut  les  valeurs  negatives  de  1'indice  n,  et  on  determine  les 
valeurs  initiales  des  qn  au  moyen  des  Equations 


«m-i  (0)  q0  +  «m  (1)  qi  =  AI> 

«!  (0)  q0  +  a2  (1)  q1  +  ...  +  am  (m  - 

ou  .40,  .41,...^.m_1  sont  des  quantites  arbitraires.  Un  calcul  qui 
ne  prdsente  aucune  difficult^  permet  d'etablir  formellement  le 
developpement 

00 

n=0 

+  cm  (n)  qn  (y)]  pn  (x)  =  2  Ah  (y)  ph  (x). 

A=0 

En  supposant  maintenant  toutes  les  valeurs  p0,  p1,...pmr.1 
dgales  a  zdro,  excepte  1'une  d'elles  p^,  egale  a  1'unitd,  1'integrale  pn 
devient  un  systeme  de  polynomes  entiers  en  x  et  Ton  obtient  la 
formule : 


ou  Ton  a  posd 

4>n  (y)  =  Cj  (n  -  m  +  1)  qn-m+i  (y}  +  -  -  •  +  cm  (n)  qn  (y). 

On  a  ainsi  re'pondu  a  la  question  A. 

3.  II  s'agit  maintenant  de  trouver  sous  quelles  conditions  ce 
developpement  formel  a  une  valeur  effective.  Je  m'appuie  pour 
cela  sur  les  considerations  suivantes.  En  indiquant  par  ^h,  yh  les 
limites  de  bh  (n),  CA  (w)  pour  n  =  <x>  ,  le  rapport  pn+l  :  pn  a  pour 
limite  une  racine  p  (x)  de  liquation 


(7), 


et,  en  g^ndral,  celle  de  module  maximum  p^  (x}  ;  il  en  sera  ainsi  en 
general  pour  tous  les  systemes  de  polyndmes  determines  comme  ci- 
dessus,  mais  en  tous  cas,  au  moins  pour  1'un  d'eux  :  nous  suppo- 


SYSTEMES   RECURRENTS   DE   FONCTIONS.  283 

serons  que  ce  soit  celui  qui  figure  dans  la  formule  (6).  Pour  les 
integrates  qn  de  liquation  (5),  le  rapport  qn+1 :  qn  a  pour  limite 

une  racine  — -r-v  de  liquation  reciproque  de  (7),  et  pour  1'int^grale 

i     \t/  / 

distingue'e  seule  cette  limite  sera  la  racine  de  module  minimum 

j-^r.     Si  maintenant  Ton  prend  les  couples  de  valeurs  x,  y,  en 
PI  (y) 
sorte  que  Ton  ait 

\pi(v)\<\Pi(y)\, 

il  est  facile  de  voir  que  la  serie  (6)  converge  absolument  et 
uniforme'ment,  et  alors,  en  appliquant  le  th^oreme  de  Cauchy, 
on  peut  developper  une  fonction  analytique  convenablement 
donnee,  en  sdrie  de  polyndmes  pn(%)-  On  a  ainsi  rdpondu  aux 
questions  B  et  C.  La  principale  difficult^  a  vaincre  dans  les 
applications  de  cette  methode  consiste  dans  la  demonstration  de 
1'existence  de  1'integrale  distinguee  de  liquation  (5)  et  dans  sa 
determination. 

4.  Comme  premier  exemple,  on  peut  considerer  le  cas  de 
ra  =  2.     La  condition  d'existence  de  1'integrale  distinguee  coincide 
alors  avec  la  condition  de  convergence  de  la  fraction  continue ;  les 
polyn6mes  pn  sont  les  ddnominateurs  des  re'duites,  et  la  formule 
(6)  se  reduit  a  celle  que  Heine*  a  donnee,  sans  toutefois  en  faire 
connaitre  les  conditions  de  convergence.     Ces  conditions  s'obtien- 
nent  aisement  par  la  me'thode  indiquee  plus  haut. 

5.  Comme  deuxieme  application  se   pr^sente  le  cas  m  =  3. 
Ecrivons  1'equation  recurrente  sous  la  forme 

Pn+3  =  (bn  +  CnX)  pn+z  +  bn  pn+i  +  Pn (8), 

et  conside'rons  les  integrates  (systemes  de  polynomes  de  degr^ 
croissant)  donnes  par  les  conditions  initiates 

Po  =  0,        pi  =  0,         p*  =  1, 


Les  determinants  de  second  ordre  contenus  dans  la  matrice 

Pn+2          Pn+z  Pn+2 

i  it  it 

Pn+l          Pn+i  Pn+i 

*  Handbuch  der  Kugelfunctionen,  zweite  Auflage,  Bd.  I.  p.  292.    Berlin,  1878. 


284  S.    PINCHERLE. 

sont  aussi  des   polynomes  qn',  qn",  qn'"  qui  ferment  un  systeme 
fondamental  d'inte'grales  de  1'equation  inverse  de  (8)  : 

qn-3  =  (&n-2  +  cn_2#)  gn-2  +  &n-i'  qn-i  +  qn  .........  (9), 

dont  rinte"grale  g^ndrale  sera 


Soient  ft,  ft',  7  les  limites  respect!  ves  de  bn,  bn',  cn  pour  n  =  oo  , 
lirnites  que  nous  supposerons  finies  ;  on  pent  ddmontrer  1'existence 
de  1'integrale  distingue'e  et  la  determiner  pour  toutes  les  valeurs 
de  x  supe"rieures  en  module  a  un  nombre  assignable  R.  En 
ecrivant  cette  integrate  sous  la  forme 

Qn  =  qn'  +  iiqn"  +  vqn"'  ..................  (10), 

on  trouve  que  u  et  v  sont  des  series  de  puissances  entieres  et 
negatives  de  x  convergentes  pour  |  x  \  >  R,  et  que  Qn  est  aussi  une 
serie  de  puissances  negatives  de  x  convergente  pour  les  memes 
valeurs  de  x  et  qui  commence  par  le  terme  en  x~n~l.  Cette 
remarque  donne  a  1'dquation  (10)  un  inte'ret  tout  particulier:  si, 
en  effet,  dtant  donnees  deux  series  u,  v  de  puissances  entieres  et 
negatives  de  x,  on  veut  determiner  des  polynomes  An,  Bn,  Cn 
entiers  en  x,  du  degre  le  plus  petit  possible  tel  que  1'expression 

An  +  Bnii  +  Cnv 

ne  contienne  que  les  termes  en  x~n~l,  x~Jn~z,  os~n~3,  ...,  ces  poly- 
n6mes  ne  peuvent  differer  des  systemes  recurrents  qn',  qn",  qn'".  II 
se  pr6sente  ainsi  un  algorithme  analogue  a  celui  de  M.  Hermite 
et  generalisation  toute  naturelle  des  fractions  continues  algebriques; 
de  meme  que  celles-ci  expriment,  au  moyen  des  reduites,  une 
fonction  transcendante  par  une  fraction  rationnelle  approch^e,  avec 
le  maximum  d'approximation  pour  un  degre  donne"  des  termes  de 
la  fraction,  de  merne  le  nouvel  algorithme  sert  a  Her  deux  fonctions 
donnees  u,  v,  par  une  relation  lineaire  approche'e 

An  +  Bnu  +  Cnv  =  0  .....................  (11), 

avec  le  maximum  d'approximation  pour  un  degre"  donne  des 
coefficients  An,  Bn,  Cn*. 


*  V.  mes  m^moires  :  "  Saggio  di  una  generalizzazione  delle  frazioni  continue 
algebriche,"  Mem.  dell'  Accad.  di  Bologna,  S.  iv,  T.  x,  1890,  et  "  Sulla  generalizza- 
zione delle  frazioni  continue  algebriche,"  Annali  di  Matematica,  S.  n,  T.  xix,  1891. 


SYSTEMES  RECURRENTS  DE  FONCTIONS. 


285 


Revenons  au  developpement  (6).  Si  qn  est  I'inte'grale  dis- 
tingue'e  de  (9)  et  p^(x)  est  la  racine  de  module  maximum  de 
liquation  de  troisieme  degr6 


la  condition  de  convergence  est 


On  peut,  sans  restriction  essentielle,  supposer  /3  =  $  =  0,  7  =  3. 
Maintenant,  qu'en  chaque  point  x0  du  plan  #  et  d'un  meme  cot^  de 
ce  plan  on  eleve  une  perpendiculaire  et  qu'on  coupe  sur  cette 
perpendiculaire,  a  partir  de  son  pied  x0,  trois  segments  mesures 
par  les  modules  l^j,  |/o2|,  \p3\  des  racines  de  1'equation  (12).  On 
obtient  ainsi  une  surface  a  trois  nappes  qui  fournit  un  moyen 
assez  simple  de  determiner  les  champs  de  convergence  des  series 
2cnj>n(#).  Cette  surface,  dont  je  presente  ci-dessus  une  esquisse 
(fl  est  un  point  triple,  AflH,  B£lK,  C£IJ  sont  trois  lignes  doubles, 
1,  2,  3,  4  sont  des  sections  paralleles  au  plan  x),  est  homaloidique ; 


286  S.    PINCHERLE. 

elle  offre  des  propridtes  g^om^triques  assez  curieuses,  dont  mon 
ami  et  collegue  M.  Montesano*  a  bien  voulu  faire  1'etude. 

6.  Reprenant  1'equation  (4),  venons  maintenant  a  un  cas  assez 
g^n^ral  dans  lequel  on  peut  discuter  completement  les  conditions 
de  convergence  du  deVeloppement  (6)  et  repondre  ainsi  aux  de- 
mandes  B  et  C.     Supposons  que  les  coefficients  bh(ri)  et  CA(?I) 
soient  des  polyndmes  entiers  de  meme  degre  r  par  rapport  a  n. 
Liquation  (4)  est  alors  la  relation  re'currente  entre  les  coefficients 
des  deVeloppements  en  series  de  puissances  de  t,  des  integrales 
d'une  Equation  diffe'rentielle  lindaire  d'ordre  r  a  coefficients  entiers 
par  rapport  a  la  variable  t.     Ces  coefficients  sont  line'aires  en  x,  et 
1'equation  diff6rentielle  a  pour  second  membre  un  polynome  entier 
en  t,  de  degre*  m  —  1.     Sous  ces  hypotheses,  la  consideration  des 
points  singuliers  de  liquation   permet  de   fixer   les  rayons  des 
cercles  de  convergence  des  deVeloppements  de  ses  integrales,  et  Ton 
en  deduit  la  limite,  pour  n  =  oo  ,  des  rapports  pn+1  :  pn  et  les  con- 
ditions pour  la  convergence  uniforme  du  developpement  (6).     Ce 
cas  a  forme'  1'objet  d'un  me'moire  special  f. 

7.  II  me  reste  enfin  a  dire  quelques  mots  d'une  me'thode  pour 
rdsoudre  certains  problemes  d'inversion  d'intdgrales  definies,  qui 
offre  la  plus  grande  analogic  avec  celle  qui,  au  §  2,  nous  a  servi  a 
re'pondre  a  la  question  A.     Soit  T(x,  t)  une  fonction  qui  satisfait  a 
1'equation  diffdrentielle  lineaire  en  t  : 


(am  +  lmx)  -^  +  (am^  +  bm-&)  ^^  +...+(a0  +  bax)T  =  Q..  .(13), 

ou  ah,  bh  sont  des  fonctions  de  t;  et  soit  \  une  ligne  du  plan  t,  et 
f(x)  une  fonction  analytique  donnee.  On  demande  de  determiner 
une  fonction  (f>  (t)  telle  que  Ton  ait,  pour  des  valeurs  convenables 
de  x: 


/(•) (14). 

(A) 

Le  probleme  se  r^soudra  au  moyen  du  theoreme  de  Cauchy  si 
Ton  peut  determiner  une  fonction  0  (y,  t)  telle  que  pour  des  valeurs 
convenables  de  x  et  d'y  on  ait : 

1 


*  Rendiconti  del  E.  Istituto  Lombardo,  S.  n,  T.  xxiv,  1891. 
t  "  Sur  la  generation  de  systemes  r^currents  au  moyen  d'une  Equation  lineaire 
difE6rentielle."    Acta  Mathematica,  T.  xvi,  1892. 


SYSTEMES   RECURRENTS   DE    FONCTIONS.  287 

Cette  fonction  ©  (y,  t)  peut  se  determiner  comme  il  suit. 
Multiplions  liquation  (13)  par  une  fonction  arbitraire  8(y,  t)dt, 
puis  intdgrons  le  long  de  \  ;  en  integrant  par  parties  et  en  indi- 
quant  par  ZA  la  partie  aux  limites,  on  aura 


t 

J  ( 


(-  1)»  f  (..,),»  -ft 

(A)A=0  01 

Que   Ton   dispose  d'abord  de   la  fonction  8  en  sorte  qu'elle 
verifie  liquation  lineaire 

g/     l^(^  +  ^)S(y,t)_ 

k=o(~  ~a^~  c" 

ou  k  (t)  est  une  fonction  arbitraire  de  t  seul  ;  puis  que  Ton  choisisse 
k  (t)  et  les  arbitraires  qui  restent  en  S  de  sorte  que  ix  s'annulle  ; 
on  aura  ainsi 

^(-l^hbhS^t}T(x,t)dt=\    k(t)T(x,t)dt, 

(X)  h=0  Ot  J  (X) 

et  puisque  le  second  membre  est  une  fonction  de  so  seul,  qu'on  peut 
indiquer  par  g  (x),  il  vient 


La  fonction  @  (y,  £)  est  ainsi  determine'e. 


UBER 

DIE    NOTHWENDIGEN    UND    HINREICHENDEN 

BEDINGUNGEN    FUR   DIE    ENTWICKELBARKEIT 

VONFUNCTIONEN  EINER  REELLEN  VARIABLEN 

NACH    DER  TAYLOR'SCHEN    REIHE 

UND 

UBER  NICHT-ENTWICKELBARE  FUNCTIONEN 

MIT  DURCHWEG  ENDLICHEN  DIFFERENTIAL- 

QUOTIENTEN. 

VON 
ALFRED  PRINGSHEIM   IN  MUNCHEK 

§  1.     Einleitung. 

IN  seiner  Theorie  des  Fonctions  (Chap.  v.  Art.  30)*  und  den 
Legons  sur  le  Galcul  des  Fonctions  (Le9on  in.)  "I*  spricht  Lagrange 
die  Ansicht  aus,  dass  eine  Function  f(x),  welche  fur  einen 
gewissen  Werth  x0  der  reellen  Variablen  x  bestimmte  endliche 
Ableitungen  jeder  noch  so  grossen  endlichen  Ordnung  besitzt, 
fur  eine  gewisse  Umgebung  dieser  Stelle  stets  durch  die 
Taylor'sche  Reihenentwickelung,  also  in  der  Form  : 


dargestellt  werden  komie*. 


*  Lagrange,  (Euvres  compl.  T.  ix.  p.  65. 

t  Desgl.  T.  x.  p.  72. 

I  Hierin  ist  natiirlich  die  Giiltigkeit  der  sog.  MacLaurin'schen  Formel 
als  specieller  Fall,  namlich  fur  «0=0,  mitenthalten.  Da  man  aber  auch  umge- 
kehrt  aus  der  MacLaurin'schen  Formel: 


durch  die  Substitution  : 

die  Taylor'sche  herleiten  kann,  so  werde  ich  im  Folgenden  die  Ausdriicke 
Taylor'sche  und  MacLaurin'sche  Keihe  je  nach  Bedarf  als  vollstandig  gleich- 
werthig  gebrauchen. 


USER  DIE  TAYLOE'SCHE  REIHE.  289 

Von  den  zwei  Hypothesen,  welche  diese  Lagrange'sche 
Behauptung  offenbar  enthalt,  dass  namlich  unter  den  Uber  f(x) 
gemachten  Voraussetzungen : 

f(v)  (x  ) 

(1)  die  Reihe  2/ ^-^  h"  stets  convergire ; 

(2)  ihre  Summe  den  Werth/(#0  +  h)  besitze  — 

wurde  merkwiirdigerweise  zunachst  die  zweite,  an  sich  weit 
einleuchtender  erscheinende,  von  Cauchy*  angefochten,  indem 

i_ 
er  auf  das  Beispiel  der  Function  e~&  hinwies :  Obschon  dieselbe 

namlich  fur  o?  =  0  mit  sammtlichen  Ableitungen  verschwinde, 
so  gestatte  sie  dennoch  nicht  die  Anwendung  der  MacLaurin- 
'schen  Formel,  da  sie  sonst  fiir  jedes  a;  in  der  Umgebung 
der  Nullstelle  verschwinden  miisste,  was  thatsachlich  nicht  der 
Fall  ist. 

War  dieses  Cauchy'sche  Beispiel  nun  wohl  auch  geeignet, 
den  Glauben  an  jene  zweite  Lagrange'sche  Hypothese  einiger- 
maassen  zu  erschiittern,  so  kann  man  dasselbe  doch  keineswegs 
als  einen  vollgiiltigen  Beweis  gegen  dieselbe  gelten  lassen. 

Denn  die  fragliche  Stelle  x  =  0  erscheint  hier  von  vorn  herein 

j_ 
als  eine  singular 'e,  fur  welche  die  Function  f  (x)  =  e~«?  zunachst 

iiberhaupt  garnicht  oder  zum  mindesten  nicht  " eigentlich" 
definirt  ist,  d.  h.  nicht  durch  directes  Einsetzen  von  x  =  0  in  eine 
der  Definitions-Gleichungen : 

_!     °°  11  _!      /  M"1      /£   1     1 

e~V=Z*(-l )".  —  .-         oder :  e  &  =  (e  »'      =  (5*-:.— 
o   v  v\  at*  \     /         \o  v\  SL f. 

berechnet  werden  kann,  sondern  vielmehr  erst  durch  eine  specielle 
Definition,  namlich  als  lim/(±  x) — und  auch  da  wiederum  nur  bei 

3  =  0 

Beniitzung  der  zweiten  Form  der  sonst  gleichwerthigen  Definitions- 
Gleichungen  eine  bestimmte  Bedeutung  gewinnt.  Schliesst  man 
nun  derartige  Stellen  x  bei  der  Formulirung  der  Lagrange'schen 
Behauptung  von  vorn  herein  aus,  was  so  zu  sagen  geradezu 
selbstverstdndlich  erscheint  und,  wie  ich  iiberzeugt  bin,  von 
Lagrange  ohne  weiteres  acceptirt  werden  wiirde,  so  beweist 

*  Lemons  sur  le  Calcul  infinitesimal  (1823),  p.  152 ;  Lemons  sur  le  Calcul  diffe- 
rentiel  (1826),  p.  105. 

c.  P.  19 


290  ALFRED   PRINGSHEIM. 

thatsachlich  die  fragliche  Bemerkung  Cauchy's  absolut  nichts 
gegen  die  Richtigkeit  jener  zweiten  Lagrange'schen  Hypothese. 
Dazu  kommt  noch,  dass  die  erste  der  Lagrange'schen  Hypo- 
thesen  bei  diesem  Angriffe  vollig  uuberiihrt  blieb  :  und  doch 
fordert  gerade  sie  schon  auf  den  ersten  Blick  weit  mehr  den 
Zweifel  heraus.  Denn  da  die  Ableitungen  f(n}  (#),  auch  wenn 
sie  fur  jedes  endliche  n  endliche  Werthe  besitzen,  im  allgemeinen 
mit  n  in's  TJnendliche  wachsen  (wie  schon  ein  Blick  auf  jede 
beliebige  nicht-ganze  algebraische  Function  lehrt),  so  liegt  gar 
kein  Grund  vor,  an  der  Existenz  von  Functionen  zu  zweifeln, 
bei  welchen  fur  irgend  welche  Werthe  #  =  #0  die  Zunahme  von 


f  (n)  (#o)   mit   wachsendem   n  so  stark  ist,  dass   2  -  —  j_J  ^  ftir 

keinen  noch  so  kleinen  endlichen  Werth  h  convergirt.  Immerhin 
blieb  die  Moglichkeit  auch  fur  die  Richtigkeit  der  so  viel  leichter 
anzufechtenden  ersten  Hypothese  bestehen,  solange  man  nicht 
Beispiele  derartiger  Functionen  zur  Hand  hatte.  Es  kam  somit 
zur  endgtiltigen  Widerlegung  der  Lagrange'schen  Ansicht  darauf 
an,  analytische  Ausdriicke  f(x)  zu  construiren,  welche  sammt 
ihren  Differentialquotienten  fur  alle  Stellen  eines  Inter  valles 
a  £  x  £  b  eigentlich  definirt  sind,  welche  daselbst  durchgangig 
endliche  Differentialquotienten  jeder  endlichen  Ordnung  besitzen, 
und  die  dennoch  in  der  Umgebung  einer  im  Innern  jenes  Inter- 
valles  gelegenen  Stelle  x0  nicht  nach  der  Taylor'schen  Reihe 
entwickelbar  sind  und  zwar: 

f(v]  (x  ) 
entweder  (1)  weil  die  Taylor'sche  Reihe  S  -  --  ~^-h"  fiir  kein  noch 

so  kleines  h  convergirt  ; 
oder  (2)  weil  die  Summe  der  (convergirenden)  Reihe 


v\ 

fur  kein  noch  so  kleines  die  Stelle  x0  umgebendes 
Intervall  den  Werth  /(#„  +  h)  hat. 

Obschon  es  sich  hierbei  wesentlich  um  eine  Frage  der  reellen* 
Functionen-Theorie  zu  handeln  scheint,  so  war  es  doch  gerade 
die  Theorie  der  Functionen  complexer  Variabeln,  welche  die 

*  Lasst  man  namlich  in  der  Lagrange'schen  Formulirung  des  Taylor'schen 
Satzes  von  vorn  herein  statt  eines  reellen  Intervalles  ein  complexes  Gebiet  treten, 
so  besteht  ja  gerade  seit  Cauchy  iiber  die  Entwickelbarkeit  \onf(xn  +  h)  undderen 
Grenzen  keinerlei  Zweifel. 


UBER   DIE   TAYLOR  SCHE   REIHE.  291 

nothigen  Hulfsmittel  zur  Lb'sung  des  vorliegenden  Problems  an 
die  Hand  gab. 

Von  der  Erkenntniss  ausgehend,  dass  ein  fur  ein  gewisses 
(auch  reelle  Werthe  umfassendes)  Gebiet  einer  complexen  Varia- 
blen  x  definirter  arithmetischer  Ausdruck  fiir  kein  die  Stelle  x9 
umgebendes  reelles  Intervall  nach  Potenzen  von  (x  —  #0)  entwickel- 
bar  sein  kann,  falls  dies  nicht  auch  fur  ein  gewisses,  dieses 
reelle  Intervall  in  sich  aufnehmendes  complexes  Gebiet  stattfindet, 
gelangte  zunachst  Du  Bois  Reymond*  zur  Construction  einer 
Function,  fur  welche,  trotz  der  Endlichkeit  aller  in  der  Richtung  der 
reellen  Axe  vor-  oder  riickwarts  gebildeten  Differentialquotienten 
jeder  endlicben  Ordnung,  aus  dem  eben  angegebenen  Grunde  in 
der  Umgebung  der  Stelle  x  =  0  die  Entwickelbarkeit  nach 
Potenzen  von  x  von  vorn  herein  ausgeschlossen  sein  musste, 
und  fur  die  sich  dann  auch  nachtraglich  die  Divergenz  der 
MacLaurin'schen  Reihe  direct  nachweisen  Hess.  Damit  war 
also  die  erste  Lagrange'sche  Hypothese  definitiv  beseitigt. 

Mit  Beniitzung  des  namlichen  Grundgedankens  ist  es  mir 
kiirzlich  gelungenf,  neben  einfacheren  Beispielen  der  eben 
erwahnten  Kategorie  auch  solche  zu  construiren,  fur  welche 
zwar  die  nach  der  MacLaurin'schen  Formel  hergestellte  Potenz- 
reihe  convergirt,  wahrend  sie  auf  Grund  des  obigen  functionen- 
theoretischen  Principes  keinesfalls  auch  nur  fur  ein  beliebig 
kleines  reelles  Intervall  die  erzeugende  Function  zur  Summe 
haben  kann. 

Da  hiermit  auch  die  zweite  Lagrange'sche  Hypothese  als 
hinfallig  erwiesen  ist,  so  erscheint  die  Endlichkeit  aller  Differ- 
entialquotienten jeder  endlichen  Ordnung  an  der  Stelle  x  =  x0 
und  die  gleichfalls  ausdriicklich  unter  die  Voraussetzungen  auf- 

f(v)  x 
zunehmende  Convergenz  der  Reihe  2,- — j— %"  wohl  als  eine  noth- 

wendige,  aber  keineswegs  als  eine  hinreichende  Bedingung  fur  die 
Gliltigkeit  der  Formel : 


*  "Uber  den  Gtiltigkeits-Bereich  der  Taylor'schen  Keihen-Entwickelung." 
Math.  Ann.  Bd.  xxi.  p.  109. 

t  "  Zur  Theorie  der  Taylor'schen  Keihe  und  der  analytischen  Functionen  mit 
beschranktem  Convergenz-Bereich."  Math.  Ann.  Bd.  XLII.  p.  109. 

19—2 


292  ALFRED   PRINGSHEIM. 

Auf  der  andern  Seite  giebt  die  aus  dem  Rolle'schen  Mittel- 
werthsatz  folgende  Beziehung  (die  sog.  Taylor'sche  Formel  mit 
dem  Lagrange'schen  Reste): 

n-l  f(v)  (r  \  f(n)  (t\ 

(2)  f(*0  +  h)  =  *L-3®k  +  L-.glte       (*0<£<*0  +  A) 

wohl  eine  hinreichende,  aber  keine  nothwendige  Bedingung  fur 
die  Giiltigkeit  der  Taylor'schen  Entwickelung.  Denn  will 
man  aus  Gl.  (2)  die  Giiltigkeit  der  Beziehung  (1)  fur  irgend 
einen  bestimmten  Werth  h0  erschliessen,  so  miisste  —  da  man  den 
in  (2)  vorkommenden  Mittelwerth  £  ja  nicht  kennt  —  feststehen, 
dass: 


(3)  lim-Ao»  =  0, 

W=oo         W  I 

fur  alle  oc,  die  dem  Intervalle  :  a?0  £  x  ^  #„  +  h0  angehoren,  und 
dies  wtirde  also  thatsachlich  eine  hinreichende  Bedingung  fur  die 
Giiltigkeit  von  (1)  abgeben;  wahrend  doch  hierzu  nur  nothwendig 
ware,  dass  der  Grenzwerth  (3)  fur  jenen  einzigen  unbekannten 
Mittelwerth  £  verschwinden  miisste. 

Dagegen  erhalt  man  freilich  eine  gewisse  Form  der  nothwen- 
digen  und  hinreichenden  Bedingungen  fur  die  Giiltigkeit  der 
Taylor'schen  Entwickelung,  wennman,  statt  von  dem  Rolle'schen 
Satze  auszugehen,  die  Beziehung  : 

/(«b  +  h)  -f(x.)  =  f  /  fa  +  h  -  a)  dn 

J  o 

durch  successive  factorenweise  Integration  iiberfuhrt  in  die  fol- 

»-i  /•(")  (o\ 
gende:  /fa  +  A)=2-7    ^}h"+Rn, 


wo  Rn  =  7 TV-I     f(n}  (xo+h-a).  a."-1 .  da. 

(n  —  1)  !  J  o 

Denn  hieraus  folgt  in  der  That — die  Endlichkeit  und  Stetigkeit 
der  f(n)  (#)  fiir  jedes  endliche  n  vorausgesetzt — als  nothwendige 
und  hinreichende  Bedingung  fiir  die  Taylor'sche  Formel: 

lim  Rn  =  0. 

»=oo 

Indessen  ist  der  Werth  dieses  Resultates  ein  ziemlich  illu- 
sorischer :  das  fragliche  Integral  lehrt  uns  iiber  die  Eigenschaften, 
welche  f(x)  in  dem  betreffenden  Intervalle  von  <KO  bis  a?0  +  h 
besitzen  muss,  so  zu  sagen  garnichts.  Will  man  diesem  Integrale 
irgendwie  naher  kommen,  so  muss  man  Mittelwerthsatze  an- 


UBER  DIE  TAYLOR'SCHE  REIHE.  293 

wenden,  und  alsdann  gelangt  man  wiederum  nur  zu  der 
Lagrange'schen  Restform  oder  ahnlichen  Ausdriicken,  deren 
Verschwinden  zwar  hinreichende,  aber  keine  nothwendigen  Be- 
dingungen  liefert. 

Als  einziger  Versuch,  die  nothwendigen  und  hinreichenden 
Bedingungen  fur  die  Gliltigkeit  der  Taylor'schen  Reihe  in 
anderer  Weise  zu  fixiren  (immer  so  verstanden,  dass  es  sich 
dabei  wesentlich  um  Functionen  einer  reellen  Variablen  handelt) 
ist  mir  bisher  lediglich  ein  Aufsatz  des  Herrn  F.  Kb' nig*  bekannt 
geworden,  dessen  Resultat  indessen  meiner  Ansicht  nach  ziemlich 
viel  zu  wiinschen  iibrig  lasst.  Aus  diesem  Grunde  habe  ich 
das  fragliche  Problem  von  neuem  wieder  aufgenommen  und  glaube 
auch  zu  einer  einigerrnaasen  befriedigenden  Lb'sung  desselben 
gelangt  zu  sein,  die  ich  in  folgenden  Paragraphen  mittheilen  will. 


§  2.     Die  nothwendigen  und  hinreichenden  Bedingungen  fur 
die  Gilltigkeit  der  Taylor'schen  Formel. 

Lehrsatz.  Damit  die  fur  x  =  x0  endliche,  fur  das  Intervall 
(x0  £x<xQ  +  R)  eindeutige  Function  f(x)  darstellbar  sei  durch  die 
Taylor'sche  Formel: 

f(x)  =  ??—.  /<">  Oo)  •  O  -  tfo)"      (XQ£X<XO  +  R) 

0    V  !* 

oder  anders  geschrieben : 

f(x,  +  h)  =  1 1/w  (a?0)  .  A"  =  S (x0,  Ji)        (0£h<R) 
o  v  ! 

ist  nothwendig  und  hinreichend: 

(1)  dass  f(x)  fur  alle  Werthe  x  des  Intervalles  (XO£X<XQ  +  R) 
eindeutig  bestimmte,  endliche  Differentialquotienten  jeder  endlichen 
Ordnung  besitze; 

(2)  dass : 

lim  —fw(x0  +  h).kn  =  Q, 

7i=<»  n  \ 

fur  alle  Werthe  (h,  k),  welche  den  Bedingungen  genugen : 


*  "tiber  die  Bedingungen  der  Giiltigkeit  der  Taylor'schen  Keihe."  Math. 
Ann.  Bd.  xxin.  p.  450. 

+  Genauer  gesagt,  muss  der  fragliche  Grenzausdruck  fur  alle  h,  k  des  ange- 
gebenen  Intervalles  gleichmasslg  gegen  Null  convergiren.  Vgl.  bieriiber :  Math. 
Ann.  Bd.  XLIV.  p.  62  ff. 


294  ALFRED   PRINGSHEIM. 

Ehe  ich  in  den  Beweis  dieses  Satzes  eintrete,  mochte  ich  liber 
dessen  Fassung  und  sein  Verhaltniss  zu  dem  oben  erwahnten 
Konig'schen  Satze  noch  folgendes  vorausschicken. 

Die  Forderung,  dass/(#)  fur  das  betreffende  Intervall  eindeutig 
bestimmte  Differentialquotienten  besitze,  soil  so  verstanden  werden, 
dass  fur  x>x0  jeder  Differentialquotient  nur  einen  einzigen 
bestimmten  Werth  hat,  gleichgultig  ob  man  ihn  nach  rechts  oder 
nach  links  bilden  mag  (fur  die  Stelle  x  —  x0  selbst  kommt  natiirlich 
nur  der  rechtsseitige  Differentialquotient  in  Betracht) :  in  Folge 
dessen  braucht  die  Stetigkeit  von  f(x),  f(v]  (x)  nicht  ausdrticklich 
unter  den  Voraussetzungen  aufgefiihrt  zu  werden,  da  sie  in  diesem 
Falle  eo  ipso  vorhanden  sein  muss. 

Ferner  bedeutet  die  Endlichk&it  aller  Differentialquotienten 
jeder  endlichen  Ordnung  nur  so  viel,  dass  f(n)  (x)  fur  jedes 
bestimmte  endliche  n  einen  (irgendwie  von  n  abhangigen) 
bestimmten  endlichen  Werth  haben  muss,  womit  aber  keineswegs 
ausgeschlossen  sein  soil,  dass/(w)  (x)  zugleich  mit  n  in's  Unendliche 
wachsen  kann.  Letzteres  wird  vielmehr  geradezu  die  Hegel  sein, 
da  ja  andernfalls,  d.  h.  wenn  lim  f(n)  (#)  stets  unter  einer  endlichen 

71=00 

Grenze  bliebe,  die  Reihe  S  — -.f(v)  (#0)  •  h"  fiir  jedes  noch  so  grosse  h, 

also  bestdndig  convergiren  miisste,  was  offenbar  ein  ganz  specieller 
Fall  ware.  Die  Bedingung  (2)  des  oben  ausgesprochenen  Satzes 
bestimmt  nun  gerade  das  Maass,  nach  welchem  ein  Unendlich- 
werden  von/(7l)  (XQ  +  h)  fur  n=<x>  stattfinden  darf,  wenn  f(x0  +  h) 
fiir  ein  gewisses  Intervall  nach  Potenzen  von  h  entwickelbar  sein 
soil.  In  dieser  Bedingung  liegt  der  eigentliche  Kernpunkt  des 
Satzes,  der  sich  folgendermaassen  formuliren  lasst :  Das  unter- 
scheidende  Merkmal,  welches  die  fur  irgend  ein  Intervall  ent- 
wickelbaren  Functionen  f(x)  aus  der  Classe  der  unbeschrankt 
differenzirbaren  heraushebt,  besteht  in  genau  zu  praecisirenden 
Beschrdnkungen,  an  welche  das  Unendlichwerden  von  /(n)  (a;)  fur 
n  =  oo  gebunden  ist,  und  welche  keineswegs  eine  blosse  Folge 
der  Differenzirbarkeit  sind,  sondern  zu  dieser  noch  ausdrucklich 
hinzukommen  mussen. 

Sodann  mochte  ich  noch  hervorheben,  dass  im  Gegensatze  zu 
der  sonst  herrschenden  Gepflogenheit,  Bedingungen,  die  sich 
auf  die  Entwickelbarkeit  von  f(x)  beziehen,  immer  gleich  fur 


UBER   DIE   TAYLOR  SCHE   REIHE.  295 

eine  gewisse  (reelle)  Umgebung  einer  Stelle  x0  zu  formuliren, 
bei  dem  oben  angegebenen  Satze  mit  voller  Absicht  nur  von  einer 
einseitigen  —  urn  irgend  eine  Festsetzung  zu  treffen,  der  rechts- 
seitigen  —  Nachbarschaft  von  #0  die  Rede  ist.  Da  es  sich  hier 
namlich  wesentlich  um  Functionen  reeller  Variablen  handelt, 
so  wird  die  Function  f(x),  auch  wenn  man  sich  dieselbe  fiir 
die  rechte  und  linke  Nachbarschaft  von  x0  durch  einen  einheit- 
lichen  analytischen  Ausdruck  (nach  Art  einer  Fourier'schen 
Reihe)  gegeben  denkt,  fur  die  beiden  Nachbarschaften  von  x0 
vollkommen  verschiedene  Eigenschaften  besitzen  konnen.  Wenn 
also  auch  ftir  positive  h  <  R  etwa  die  Beziehung  besteht  : 


so  braucht  die  Summe  dieser  natiirlich  auch  fur  negative  (nume- 
risch  unter  R  liegende)  Werthe  von  h  convergirenden  Reihe 
fiir  h  <  0  zur  Function  f(%0  +  h)  nicht  die  geringste  Beziehung  zu 
haben*.  Man  wiirde  also  den  fraglichen  Satz  zweifellos  zu  eng 
fassen,  wenn  man  von  vorn  herein  die  nothwendigen  und  hinreich- 
enden  Bedingungen  fur  die  Giiltigkeit  der  Taylor'schen  Formel 
von  Eigenschaften  abhangig  macht,  welche  f(x)  in  der  (zwei- 
seitigen)  Umgebung  einer  Stelle  x0  besitzt,  da  sich  diese  zwar  als 
hinreichend,  dagegen  keineswegs  als  nothwendig  erweisen  wiirden, 
falls  es  sich  nur  um  die  Entwickelbarkeit  fiir  eine  Nachbarschaft 
von  acQ  handelt.  Dagegen  hat  es  bei  der  hier  gewahlten  Fassung 
des  Satzes  offenbar  garkeine  Schwierigkeit,  denselben  zunachst 
auch  auf  negative  Werthe  von  h  zu  iibertragen  und  schliesslich 
durch  Zusammensetzung  der  betreffenden  Theil-Resultate  fiir 
eine  zweiseitige  Nachbarschaft  der  Stelle  #0  zu  formuliren. 

Was  nun  ferner  den  analogen  Satz  des  Herrn  Kb'  nig  betrifft, 
so  unterscheidet  er  sich  —  ausser  in  dem  eben  besprochenen  und 
einigen  anderen  Punkten  von  mehr  untergeordneter  Bedeutung  — 
vor  alletn  darin,  dass  unter  den  betreffenden  Bedingungen  dort 
noch  eine  erscheint,  welche  mit  Anwendung  der  hier  gebrauchten 
Bezeichnungen  folgendermaassen  lauten  wiirde  : 

*  Ich  bin  in  der  That  im  Stande,  wie  ich  demnachst  bei  anderer  Gelegenheit 
zeigen  werde,  unbeschrankt  differenzirbare  analytische  Ausdriicke  /(x)  anzugeben, 
welche  z.  B.  rechts  von  der  Nullstelle  nach  der  MacLaurin'schen  Reihe  ent- 
wickelbar  sind,  wahrend  deren  Summe  ftir  negative  x  nicht  mehr  mit  f(x)  iiber- 
einstimmt. 


296  ALFRED    PRINGSHEIM. 


"  Es  muss  8  (x,  h)  =  2  —  (  f(v)  (x)  .  h"   als    Function    von    x 

betrachtet  gliedweise  dilferenzirbar  sein  in  der  Umgebung  jeder 
Stelle  x,  welche  dem  Intervalle  (x0  ^  x  <  x0  +  R)  angehort,  und  fur 
alle  positiven  Werthe  h,  welche  der  Bedingung  genilgen  : 

x  +  R" 


Da  wir  nun  aber  von  den  nothwendigen  und  hinreichenden 
Bedingungen  fur  die  gliedweise  Differenzirbarkeit  einer  Reihe. 
deren  Glieder  beliebige  Functionen  einer  Veranderlichen  x  sind, 
keine  genugende  Vorstellung  haben  (wir  kennen  eigentlich  nur 
hinreichende  Bedingungen  hierfiir),  so  wird  durch  Einfuhrung  der 
obigen  Bedingung  der  Werth  des  betreffenden  Satzes  geradezu 
vollig  illusorisch.  Dazu  kommt  aber  noch,  dass  auch  diese  Beding- 
ung noch  nicht  einmal  ausreicht,  um  den  Konig'schen  Beweis 
zu  einem  einwurfsfreien  zu  machen.  Wie  Herr  Stolz*  mit 
Recht  bemerkt  hat,  ist  dazu  noch  folgendes  erforderlich  : 

"  Es  mussen    8  (x,  h)    und   -  -~  —  -     gleichmassig    stetige 

Functionen  von  x  und  h  sein  in  der  Umgebung  jedes  Werthepaares 
(x,  h),  welches  der  Bedingung  genugt  :  x0^x£x  +  h<x0  +  R  "  — 
eine  weitere  Bedingung,  durch  welche  der  Function  f(x)  wiederum 
Beschrankungen  auferlegt  werden,  von  deren  eigentlicher  Natur 
wir  garkeine  Vorstellung  haben.  Wie  nun  der  von  mir  aufgestellte 
und  sogleich  zu  beweisende  Satz  gerade  im  Gegensatze  zu  dem- 
jenigen  des  Herrn  Kb'nig  zeigen  wird,  sind  die  erwahnten 
Bedingungen  in  Wahrheit  durchaus  uberjlussige  :  sie  sind  nur 
nothwendige  in  dem  Sinne,  dass  ihre  Existenz  stets  verificirt 
werden  kann,  sobald  die  Giiltigkeit  der  Taylor'schen  Formel 
feststeht  ;  hingegen  erweisen  sie  sich  als  nicht  nothwendige 
insofern,  als  es  thatsachlich  nicht  nothwendig  ist,  sie  unter  die 
Voraussetzungen  aufzunehmen,  welche  die  Giiltigkeit  der  Taylor- 
'schen Formel  nach  sich  ziehen. 


Beweis  des  Lehrsatzes.  Dass  die  aufgestellten  Bedingungen 
nothwendig  sind,  ergiebt  sich  folgendermaassen.  Angenommen 
man  habe  : 

(1)  f(x)  =  l-f(x-x0)"         (x0£x<x0  +  R) 


Grundziige  der  Differential-  und  Integralrechnung.  (Leipzig,  1893.)   Bd.  i.  p.  110. 


UBER  DIE  TAYLOR'SCHE  REIHE.  297 

so  folgt  zunachst,  damit  die  Reihe  iiberhaupt  einen  Sinn  habe, 
dass  die/(">  (#„)  (ftir  jedes  endliche  v)  eindeutig  bestimmte  endliche 
Werthe  haben  mtissen  ;  sodann  aber,  dass  /  (x)  fur  das  Interval! 
(#0  =  &  <  #o  +  R)  als  Summe  einer  convergirenden  Reihe  nach 
Potenzen  von  (#—#„)  eindeutig  bestimmte,  endliche  Differential  - 
quotienten  jeder  endlichen  Ordnung  besitzt.  Setzt  man  sodann 
Gl.  (1)  in  die  Form: 

(2) 

so  folgt  dass  : 

(3)  f( 


oder  wenn  man  nach  Potenzen  von  k  ordnet,  was  sicher  gestattet 
ist,  wenn  man  h  und  k  auch  einzeln  =  0  annimmt  : 


Da  aber  aus  (2)  folgt  : 


so  geht  Gl.  (4)  in  die  folgende  iiber  : 


(5) 

0  /v  • 

sodass  in  der  That : 

1  7         7         7         r> 

(6)  lim  —  fw  (#0  +  h)  kn  =  0     fur :  0  ^  h  £  h  +  k  <  R 

\      /  49  I 

?l  ~  oo  "•  • 

werden  muss,  wie  es  die  Bedingung  (2)  des  ausgesprochenen 
Satzes  erheischt. 

Um  nun  ferner  die  vorstehenden  Bedingungen  als  hinreichend 
fur  die  Gultigkeit  der  Taylor'schen  Formel  zu  erkennen,  bemerke 
man  zunachst,  dass  aus  den  sub  (1)  aufgestellten  Bedingungen 
mit  Hiilfe  des  gewohnlichen  (sog.  Rolle'schen)  Mittelwerthsatzes 
die  folgende  Beziehung  (die  Taylor'sche  Formel  mit  dem 
Lagrange'schen  Restgliede  resultirt: 

(7) 

wo  fiir  jedes  n  der  Werth  von  0  dem  Intervalle  (0,  1)  angehort. 
Da  aber,  falls  die  Bedingung  (6)  besteht,  dieses  Restglied  fiir 
71=00  und  jeden  dem  Intervalle  (0,  1)  angehorigen  Werth  6 


298  ALFRED   PRINGSHEIM. 

75 

sicher  verschwindet,  falls  h  <  -^ ,  so  findet  man  zunachst,  dass  die 
Beziehung : 

/Q\  f(m       I      £\  V,,   J  \"^<>)   1V  Ci  /„         7,\ 

{o)  j  (x0  +  fi)  =  Z"  : —  fi  =  0  ^a?0)  /i^ 

o         Pi 

75 

vorlaufig  gilt  fur :    Q  £h<  — .     Nimmt  man  also  eine  positive 

25 

Grosse  r  beliebig  wenig   unterhalb  R   an,  so   liegt   h  —  ~  noch 

innerhalb  des  Bereiches,  fur  welchen  Gl.  (8)  gtiltig  ist,  und  man 
hat  daher : 


wobei  die  betreffende  Reihe  noch  absolut  convergent  und  glied- 
weise  difFerenzirbar  ist,  also  : 

(10)  / 

wird. 

Um  nun  den  Giiltigkeitsbereich  der  Gl.  (8)  zu  erweitern,  gehe 

(T 
X0+  H 
^ 

aus.     Man  erhalt  dann  genau  so,  wie  oben  Gl.  (7)  : 


und  erkennt  mit  Hiilfe  von  Gl.  (6),  dass  das  Restglied  fur  n  =  oo 

T 

sicher  verschwindet,  falls  k  ^  7  genommen  wird,  sodass  also  : 


(12) 

ftir  0  ^  A  S     . 

4 

Nun  ist  andererseits  : 


f* 

und  diese  Reihe  darf,  solange    ^  +  k    <  R   ist,   also   sicher   fur 


UBER  DIE  TAYLOR'SCHE  REIHE.  299 

T 

positive  &  =  g  nach  Potenzen  von  k  geordnet  werden,  so  dass  sich 
ergiebt  : 


(nach  Gl.  (10)) 


Mit   Beniitzung  dieses   Kesultates   lasst   sich   aber   Gl.   (12) 
jetzt  folgendermaassen  schreiben  : 


oder,  wenn  man  -+k=h  setzt  : 

39 

(13)  f(*,  +  h)  =  S(a9,h)      Mr:   ^£h^  +  %, 

sodass  also  in  Verbindung  mit  dem  oben  durch  Gl.  (8)  dargestell- 
ten  Resultate  die  Giiltigkeit  der  fraglichen  Beziehung  nunmehr 
erwiesen  ist  ftir  das  Intervall  : 


Durch   Anwendung   der   namlichen   Schlussweise   kann  man 

V        T 

jetzt,  von  der  Stelle  a?0  +  «  +  -7  ausgehend,  diesen   Gtiltigkeits- 

—  T 

T* 

bereich  um  die  Grosse  „  erweitern,  u.  s.  f.  —  sodass  man  also  durch 
o 

(m  —  l)malige  Wiederholung   dieses   Verfahrens  als  Giiltigkeits- 
bereich.  der  Gl.  (8)  erhalten  wtirde  : 


Da   hier   m   beliebig   gross   gedacht   werden   kann,   so    folgt 
schliesslich  die  Gtiltigkeit  fiir  : 

0  ^  h  <  r, 
und  somit  auch  fur  jedes  h,  welches  der  Bedingung  geniigt  : 

0  ^  h<  R, 

da  es  ja  fur  jedes  h  <  R  immer  noch  unendlich  viele   Grossen 
r  giebt,  sodass  h<r<R. 


300  ALFRED   PRINGSHEIM. 

Hiermit  1st  also  der  oben  ausgesprochene  Lehrsatz  vollstandig 
bewiesen  *. 

ZiLsatz  I.  Aus  dem  obigen  Satze  folgt,  falls  f(x)  fur  das 
Intervall  (x0£  oc  <x0+  R)  den  nothwendigen  Bedingungen  be- 
ziiglich  der  Differentialquotienten  geniigt,  als  hinreichende 
Bedingung  fiir  die  Giiltigkeit  der  Beziehung 


2»   —h"  (0  £h<E) 

o         v\ 

die  folgende  :      lim  —  f™  (x,  +  h).(R-h)n  =  Q  (O^h^R) 

n=x>  n  • 

oder  anders  geschrieben  : 

lim  —jw  Oo  +  6R)  (1  -  ejl  .Rn  =  Q  (0  £  0  £  1). 

tl  =  Q  n  • 

Zusatz  II.  Will  man  den  Lehrsatz  auf  ein  von  der  Stelle  x0 
nach  links  gelegenes  Intervall  ubertragen,  so  tritt,  wie  man  ohne 
weiteres  erkennt,  an  die  Stelle  der  Bedingung  (2)  die  folgende  : 

l{m—wxQ-h.kn  =  0       fur:  0^h£h  +  k<R. 


§  3.  Beispiele  von  Functionen,  welche  trotz  der  Endlichkeit 
alter  Differentialquotienten  fur  x  =  0  nicht  nach  der  MacLaurin- 
'schen  Reihe  entwickelbar  sind. 

Zur  Erlauterung  der  in  §  1  gemachten  Bemerkungen  uber  die 
Hinfalligkeit  der  beiden  Lagrange'schen  Hypothesen  betrachte 
ich  jetzt  den  Ausdruck  : 


wo  a  und  X  irgend  welche  reelle  Grb'ssen  bedeuten  und  |  a  |  >  1 
sein  soil.  Die  Reihe  convergirt  unbedingt  und  gleichmassig  fur 
alle  reellen  x,  in's  besondere  auch  fiir  die  Stelle  x  =  0  und  deren 
reelle  Umgebung.  Dasselbe  gilt  fur  die  durch  gliedweise 

*  Der  Beweis  des  vorstehenden  Satzes  lasst  sich,  wie  ich  neuerdings  bemerkt 
habe,  noch  merklich  abkiirzen,  wenn  man  statt  von  der  Lagrange'schen,  von 
der  Cauchy'schen  Form  des  Restgliedes  ausgeht.  Man  erkennt  dies  unmittelbar, 
wenn  man  die  Bedingung  (2)  des  Lehrsatzes  iu  die  Form  setzt  : 

lim  !/<«>  (x0  +  Or)  (1  -  0)»  .  r»=  0 

71 

fiir  jedes  ?•<  R  und  O^^^l.  (Eine  ausfiihrlichere  und  in  gewisser  Beziehung  prae- 
cisere  Darstellung  des  fraglichen  Satzes  ist  inzwischen  in  den  Mathematischen 
Annalen,  Bd.  XLIV.  p.  57  ff.  erschienen.) 


UBER  DIE  TAYLOR'SCHE  REIHE.  301 

Differentiation  daraus  abgeleiteten  Reihen,  sodass  dieselben  nach 
einem  bekannten  Satze  auch  wirklich  die  DifFerentialquotienten 
von  /(«)  darstellen  und  somit,  wie  f(x}  selbst,  fur  jedes  noch 
so  grosse  endliche  n  endlich  und  stetig  sind.  Man  bildet  die 
letzteren  am  bequemsten,  wenn  man  zunachst  f(x)  in  die  Form 

setzt  : 

1    »  V  f      1  1      ) 

f(T\  =  A  5>  _  J 

J  w     2»  t  v\  \avx  -  i     avx  +  »)  ' 
woraus  ohne  weiteres  folgt  : 


2T      o       vl 
Fur  x  =  0  hat  man  daher  : 


(9\  f(n)  (T\  _      l 

~ 
Fur 

/ox 

•y(2m-i)  (0)  =  o    y(2m)  (0)  =  (_  iym  t  (2m)  !  eA  •  a    . 

Hieraus  ergiebt  sich  aber,  dass  die  nach  der  MacLaurin'schen 
Formel  fur  /(a?)  gebildete  Potenzreihe,  namlich  : 

(4)  £(«)«£»  (-lyfe***^ 

o 

fur  jedes  noch  so  kleine  as  divergirt,  sobald  \  >  0  gewahlt  wird. 
Denn  man  hat  in  diesem  Falle  : 


lim  \/  ^    —  lim  (ex)  2"  =  oo  . 

|»=00  J/=00 

Somit  stellt  die  Reihe  (1)  fur  X  >  0  ein — offenbar  sehr  ein- 
faches — Beispiel  einer  Function  dar,  welche  an  der  Stelle  x  —  0 
und  fur  jede  reelle  Umgebung  derselben  eindeutig  bestimmte 
und  endliche  Differentialquotienten  besitzt,  und  dennoch  nicht 
nach  der  MacLaurin'schen  Reihe  entwickelt  werden  kann,  weil 
dieselbe  fur  jedes  noch  so  kleine  x  divergirt. 

Nimmt  man  jetzt  hingegen  fur  \  einen  Werth  <  0  an,  sodass 
also  e*  ein  achter  Bruch  wird,  so  ergiebt  sich  : 

lim 

i>  =  oo 

Mithin  convergirt  nunmehr  die  Reihe  <£  (x)  fur  jedes  noch  so 
grosse  x.  Nichtsdestoweniger  kann  ihre  Summe  nicht  mit  der 
erzeugenden  Function  f(x)  ubereinstimmen. 

Man  erkennt  dies  sofort,  falls  man  der  Variablen  x  auch 
complete  Werthe  beilegt.  Die  Reihe  (1)  stellt  dann  nach  einem 
bekannten  Satze  des  Herrn  Weiers trass  eine  analytische 


302  ALFRED   PRTNGSHEIM. 

Function  der  complexen  Variablen  x  dar  mit  den  ausserwesentlich 
singularen  Stellen  x  =  ±  i,  ±  t'cf1,  +  ia~2,  .  .  .  und  der  wesentlich 
singularen  Stelle  x  —  0  (als  Haufungspunkt  der  Stellen  ia~v  fur 
wachsende  i/)*.  Sie  kann  also  keinesfalls  ftir  irgend  eine  complexe 
Umgebung  der  Nullstelle  nach  Potenzen  von  a;  entwickelbar  sein 
und  aus  bekannten  Satzen  iiber  die  Fortsetzung  analytischer 
Functionen  ergiebt  sich  sodann,  dass  die  Beziehung  /(#)  =  <£  (x) 
fur  Jcein  noch  so  kleines  Fldchen-  oder  Linienstiick,  in's  besondere 
also  fiir  keine  noch  so  kleine  reelle  Nachbarschaft  der  Stelle 
x  =  0  stattfinden  kann. 

Ubrigens  lasst  sich  die  Nicht-Ubereinstimmung  von  f(x)  und 
(f>  (x)  wenigstens  fiir  Werthe  von  a,  die  eine  gewisse  Grb'sse 
erreichen  oder  iibersteigen,  auch  ganz  direct  nachweisen,  ohne  auf 
die  Theorie  der  Functionen  complexer  Variablen  zu  recurriren. 
Setzt  man  etwa  \  =  —  A,'  und  \'  ^  1,  so  folgt  aus  Gl.  (1),  dass 
fiir  jedes  x: 

1  V  1  1 

**     > 


und  aus  (4),  dass  zum  mindesten  fiir  |  x  \  ^  1 

<f>  (x)  <  e~\ 
Giebt  man  jetzt  speciell  x  den  Werth  a~*,  so  wird  : 

^/     i\         1  1        j  T       a—  I 

«-*  >  --   -  —        d.  h. 


und  daher  sicher  :       /(a-i)  >  -  also  >  <j>  (or*) 

€> 

,    11  a  —  1  ,  ,       .     e+\ 

sobald  :  -  -  ^  e~l       d.  h.  a  S  -  -  . 

a  +  1  e  —  1 

Aus  der  Nicht-Ubereinstimmung  von  f(x)  und  <£  (x)  fiir 
irgend  eine  einzige  Stelle  x  lasst  sich  dann  auch,  wie  ich  in  der 
oben  citirten  Abhandlung  auseinandergesetzt  habe  t,  lediglich 
mit  Hiilfe  elementarer  Satze  aus  der  reellen  Functionen-Theorie 
erschliessen,  dass  die  Beziehung  f(x)  =  <j>  (x)  fiir  kein  noch  so 
kleines  Intervall  in  der  Nahe  der  Nullstelle  stattfinden  kann. 

Da  die  hier  betrachtete  Function  f(x),  wie  ich  glaube,  das 
erste  bekannte  Beispiel  eines  mit  alien  Ableitungen  wohl  definirten 

*  Vgl.  hieriiber  meine  oben  citirte  Abhandlung,  Math.  Ann.  Bd.  XLII.  p.  166  ff. 
t  a.  a.  0.  p.  162. 


UBER  DIE  TAYLOR'SCHE  REIHE.  303 

arithmetischen  Ausdruckes  darstellt,  der  trotz  der  Convergenz  der 
MacLaurin'schen  Entwickelung  dennoch  nicht  mit  deren  Sumrae 
<f>(x)  ubereinstimmt,  so  schien  es  mir  nicht  uninteressant,  liber 
den  Verlauf  von  f(x)  und  <j>  (x),  namentlich  liber  den  Grad  der 
Abweichung  zwischen  diesen  beiden  Grb'ssen,  mit  Hlilfe  einer 
graphischen  Darstellung  eine  deutliche  Anschauung  zu  gewinnen. 
In  der  beigegebenen,  auf  meine  Veranlassung  von  Herrn 
Diem  hergestellten  Zeichnung  findet  man  die  Curven  mit  den 
Ordinaten  :  y  =  2/(#)  rj  =  2<f>  (x) 

fur  das  Intervall  0  ^  x  ^  1  und  die  Parameter-  Wer  the  a  —  1,  V2, 
2,  2\/2,  10,  VlOOO,  oo  dargestellt.  Fiir  den  anderen  Parameter 
X  wurde,  als  fur  die  Rechnung  besonders  bequem,  der  Werth 
ty\  gewahlt,  sodass  also  : 


Die   schwarzen    Linien  stellen  den   Verlauf  von   2/(#),   die 
punctirten  den  von  2<£  (x)  dar. 

Flir  a  =  1  fallen  f  (x)  und  <f>  (x)  noch  zusammen  :  man  erhalt 

namlich  fur  a  =  1  :          f(x)  =  ^  . 


1+8" 

und  (wenigstens  flir  x2  <  1)  auch  : 

1       1 


T  \  /  —  9'1 
also  y  =  f]  —  •-. g  durch  eine  Curve  3ter  Ordnung  dargestellt. 

J.  "T~  iC 

Flir    das    andere    Extrem    a  =  oo    wird    f(x)  =  ^ ,    also 

*/       ^      /  I        I      n\& 


y  =  2f(x)  diejenige  Curve  3ter  Ordnung,  die  aus  der  oben 
erwahnten  durch  Verdoppelung  der  Ordinaten  hervorgeht;  da- 
gegen  rj  =  26  (x)  =  1,  als  eine  Parallele  zur  JT-Axe  im  Abstande  1. 
Zwischen  diesen  beiden  Extremen  verlaufen  nun  die  Curven 
bei  wachsenden  Parameter- Werthen  von  a  und  es  ist  klar  (wie 
auch  ein  Blick  auf  die  defmirenden  Reihen  lehrt),  dass  die 
Divergenz  zwischen  den  f-  und  </>-Curven  mit  a  bestandig 
zunimmt.  Flir  a  =  V2  ist  sie  bei  x  =  0,5  so  gering,  dass  sie  bei 
dem  gewahlten  Maassstabe  iiberhaupt  nicht  merklich  ist,  und  auch 
weiterhin  bei  x  —  1  sehr  unerheblich.  Dagegen  zieht  sich  flir  den 
doppelten  Werth  a  =  2V2  die  $-Curve  schon  sehr  nahe  an  die 


304 


ALFRED   PRINGSHEIM. 


fur  a  =  oo    resultirende  Gerade  und  1st  fur  "Werthe  wie  a  =  10 
iiberhaupt  nicht  mehr  davon  zu  unterschieden,  sodass  (wie  die 
Figur  zeigt)  die  Divergenz  mit  der  /-Curve  schon  in  grosser  Nahe 
der  Nullstelle  ausserordentlich  auffallend  wird. 
Y 


MUNCHEN,  1  August  1893. 


ALLGEMEINE  THEORIE  DER  DIVERGENZ  UND 

CONVERGENZ  VON  REIHEN  MIT  POSITIVEN 

GLIEDERN. 

VON 
ALFRED  PRINGSHEIM  IN  MUNCHEN. 

UNTER  obigem  Titel  habe  ich  im  35ten  Bande  der  Mathemati- 
schen  Annalen*  eine  Abhandlung  publicirt,  in  welcher  ich  den 
Versuch  machte,  anstatt  der  bisher  bekannten,  durch  verschie- 
denartige  Kunstgriffe  gewonnenen  Divergenz-  und  Convergenz- 
Kriterien,  aus  einem  einfachen,  consequent  durchgefuhrten 
Principe  Regeln  von  grosstmoglicher  Allgemeinheit  abzuleiten, 
welche  nicht  nur  alle  jene  friiheren  Regeln  als  specielle  Fdlle 
enthalten,  sondern  auch  ihren  bisher  mehr  oder  weniger  ver- 
borgenen  Ziisammenhang  deutlich  erkennen  lassen  und  so  der 
Lehre  von  der  Divergenz  und  Convergenz  der  Reihen  erst  den 
Charakter  einer  folgerichtigen  mathematischen  Theorie  verleihen. 
Da  die  Lecture  der  fraglichen  Abhandlung  wegen  ihres  nicht 
unbetrachtlichen  Umfanges  vielleicht  nicht  nach  jedermanns 
Geschmack  sein  mag,  so  glaube  ich,  bei  der  fur  die  gesammte 
Analysis  fundamentalen  Bedeutung  der  Reihenlehre,  Manchem 
vielleicht  einen  Dienst  zu  leisten,  wenn  ich  im  folgenden  einen 
kiirzeren  Auszug  aus  den  betreffenden  Untersuchungen  mittheile, 
und  zwar  nicht  in  der  Weise,  dass  ich  iiber  alle  Ergebnisse 
derselben  lediglich  refenre,  vielmehr,  mich  auf  deren  Haupt- 
Resultate  beschrankend,  diese  in  moglichster  Kiirze  wirklich  zu 
entwickeln  versuche.  Soil  hernach  auch  der  folgende  Aufsatz  ein 


*  a.  a.  0.  p.  297—394.     Nachtrag  dazu :  Math.  Ann.  Bd.  xxxix.  p.  125—128. 

c.  P.  20 


306  ALFRED    PRINGSHEIM. 

von  der  genannten  Abhandlung  unabhangiges,  in  sich  abgeschlos- 
senes  Ganze  bilden,  so  werde  ich  iramerhin  zum  Zwecke  etwa 
wiinschenswerth  erscheinender  Erganzungen  bei  passender  Ge- 
legenheit  auf  jene  Abhandlung  hinweisen,  in  deren  Einleitung, 
wie  ich  hier  gleich  bemerken  will,  man  auch  eine  ausfiihrliche 
Kritik  der  auf  diesem  Gebiete  mir  bekannt  gewordenen  Vorar- 
beiten,  in's  besondere  der  einschlagigen  Untersuchungen  Du  Bois 
Reymond's  findet*. 


§  1.     Allgemeine    Form    der    Diver gem-    und     Convergenz- 
Kriterien. 

1.     Bezeichnet  man  ein  fiir  allemal  eine  aus  positiven  Gliedeni 
bestehende,  bereits 

als  divergent  erkannte  Reihe  mit  ^dv  oder  2-D.r1 
„    convergent        „  „  Sc,,     „      2CV~\ 

so  folgt  ohne  weiteres,  dass  eine  beliebig  vorgelegte  Reihe  £«„  mit 
positiven  Gliedern 

divergirt,  wenn :   av  £-  dv  "\", 
convergirt     „         av-3cv. 
Es  ergeben  somit  die  Beziehungen  : 
,,.  jlim  Dvav  >  0 :   Divergenz, 

(lim  Cvav<  oo  :  Convergenz. 

Dies  ist  der  einfachste  Typus  der  Kriterien  erster  Art. 
1st  fur  irgend  eine  Wahl  von  Dv  bezw.  Cv : 
lim  Dvav  =  Q  oder  unbestimmt  mit  der  unteren  Grenze  0, 
lim  Cvav  =  GO     „  „         oberen          „       oo , 


*  a.  a.  0.  p.  297—300. 

+  Ich  bediene  mich  nach  Du  Bois  Eeymond's  Vorgange  der  Bezeichnungen : 

(1)    /i(")-3/2(")  (2)    /iW-^W  (3)    ./JW £-/,(") 

um  auszudriicken,  dass  : 

lim  ~l  <  (2)    weder  0,  noch  oo 
r-^7«W  ((3)    =00 

(Dabei  braucht  im  Falle  (2)  der  fragliche  Limes  keinen  bestimmten  endlichen  Werth 
zu  haben.) 

Ferner  soil  die  Beziehung :   lim/(v)<oo,  bedeuten,  dass /(K)  stets  unter  einer 
endlichen  Grenze  bleibt. 


UBER    REIHEN   MIT   POSITIVEN   GLIEDERN.  307 

so  versagen  die  betreffenden  Kriterien.  Die  Moglichkeit,  wirk- 
samere  Kriterien  herzustellen,  wird  alsdann  gegeben  sein,  falls 
es  stets  gelingt  Grossen  Dv,  Cv  anzugeben,  derart  dass  : 


in  welchem  Falle  wir  die  Reihe  2D.T1  bezw.  2(7V-1  schwdcher 
divergent  bezw.  schwdcher  convergent  nennen,  als  2-D.T1  bezw. 

zc-\ 

Da  sodann  : 

Dvav  £-  Dvav,  so  hat  man  moglicherweise  :  lim  Dvav  >  0 
(?„«„  -3  (?„«„,       ,,        „  „  lim  Cvav  <  oo  . 

Neben  der  sub  (I)  aufgestellten  einfachsten  Form  der  Kriterien 
erster  Art  kann  man  noch  beliebig  viele  andere  bilden,  indem  man 
nicht  schlechthin  av  mit  dv  bezw.  cv,  sondern  eine  passende 
Function  F(av)  mit  F(dv)  bezw.  F(cv)  in  Beziehung  setzt,  wobei 
nur  jene  Function  F  so  gewahlt  sein  muss,  dass  aus  einer  Bezieh- 
ung von  der  Form  F  (x^  >  F  (x2)  stets  auch  auf  die  Beziehung 
®\  >  xi  geschlossen  werden  kann.  Auf  einer  derartigen  Umformung 
der  Kriterien  (I)  beruht  in's  besondere,  wie  sich  spater  noch  in 
concrete  zeigen  wird,  die  Moglichkeit,  an  Stelle  von  getrennten 
Kriterien-Paaren  fur  Divergenz  und  Convergenz  disjunctive 
Doppel-Kriterien  erster  Art  aufzustellen,  bei  denen  die  Entscheid- 
ung  liber  Divergenz  und  Convergenz  von  der  Pruning  eines 
einzigen  Ausdruckes  abhangt. 

2.  Statt  av  direkt  mit  dv  bezw.  cv  zu  vergleichen,  ist  es 
zuweilen  fur  die  Rechnung  bequemer  das  Abnahme-Verhaltniss 

^±1  mit  dem  entsprechenden     "+1  =  jr-^  bezw.  —  l  =  ^-  in  Be- 
av  av       -Uv+i  Cv       w+i 

ziehung  zu  bringen.  Man  erkennt  leicht*,  dass  die  (fur  alle  v  von 
irgend  einer  bestimmten  Stelle  ab)  als  gliltig  angenommene 
Relation  : 

ft,,.fi       JJV      j-.  . 

^  f:  —  :  Divergenz 
av      JJv+i 

v+1  £  ~-  :  Convergenz 
av       O^+1 

*  Cf.  a.  a.  0.  p.  303. 

20—2 


308  ALFRED   PRINGSHEIM. 

von  Sa,,  zur  Folge  haben  muss.     Hernach  ergiebt  sich  wiederum : 

Ilim  (Dv      " -  —  Dv+1  ]  <  0  als  hinreichend  fiir  die  Divergenz 
\      op  7 

lira  ( Cv  — -  —  Cv+1 )  >  0     „  „  „      Convergent. 

\        av+l 

Wir  bezeichnen  diese  Beziehungen  als  Kriterien  zweiter  Art  *. 

Auch  hier  wird  beira  Versagen  eines  solchen  Kriterien -Paares 
die  Moglichkeit,  wirksamere  Kriterien  zu  construiren,  wiederum 
auf  der  Heranziehung  solcher  Grossen  Dv,  Cv  beruhen,  welche 
schwdcher  divergirenden  bezw.  convergirenden  Reihen  angehb'ren. 

Ferner  stellen,  ahnlich  wie  oben,  die  Beziehungen  (II)  nur  den 
einfachsten  Typus  der  Kriterien  zweiter  Art  dar,  und  man  kann, 
indem  man  wiederum  an  Stelle  der  in  Betracht  kommenden 
Grossen  passende  Functionen  derselben  einfuhrt,  noch  mannigfache 
andere  Formen  solcher  Kriterien  erzeugen. 

3.  Man  konnte  schliesslich  irgend  welche  passend  gewahlte 
Function  von  zwei  oder  auch  beliebig  vielen  Gliedern  «„  mit  der 
entsprechenden  der  dv  bezw.  cv  in  Beziehung  setzen,  um  daraus  die 
Divergenz  bezw.  Convergenz  von  Sa,,  zu  erschliessen.  Aus  der 
unbegrenzten  Anzahl  von  Moglichkeiten,  welche  sich  auf  diese 
Weise  fiir  die  Construction  weiterer  Kriterien-Formen  ergeben, 
habe  ich  in  der  oben  citirten  Abhandlung  zwei  herausgegriflen 
und  die  betreffenden  Kriterien  als  erweiterte  Kriterien  zweiter 
Art  und  als  solche  dritter  Art  bezeichnet. 

Die  Bildung  der  ersteren  beruht  darauf,  dass  man  statt  des 
Quotienten  zweier  consecutiver  denjenigen  zweier  beliebig  entfemter 
Glieder  oder  auch  denjenigen  zweier  Gliedergruppen  in  Betracht 
zieht  -f- :  dieses  Verfahren  lieferte  mir  u.  a.  auch  jene  sehr  allge- 
meinen  Kriterien,  welche  auf  vollig  anderern  Wege  von  Herrn 
Ermakoff  zuerst  aufgestellt  worden  sind.  Es  ist  mir  neuerdings 
gelungen,  dieselben  von  einer  ihnen  (auch  in  der  von  Herrn 
Ermakoff  gegebenen  Darstellung)  anhaftenden,  sehr  wesentlichen 

*  Man  findet  dieselben  haufig  auch  so  geschrieben  : 

(aii          \ 
Dv+i  — —  -DV\>Q:  Divergenz 

lira  f  <?,4i~  -  -C  )<0:  Convergenz. 
\  av  / 

t  a.  a.  0.  p.  386—394. 


UBER   REIHEN   MIT   POSITIVEN    GLIEDERN.  309 

Beschrankung,  namlich  der  ausschliesslichen  Anwendbarkeit  auf 
Reihen  mit  niemals  zunehmenden  Gliedern  zu  befreien,  und  zwar 
lassen  sie  sich  auch  in  dieser  erweiterten  Form  mit  Hiilfe  der  oben 
charakterisirten,  in  meiner  Abharidlung  durchgefiihrten  Methode 
ableiten.  Da  indessen  diese  Kriterien  ihrer  ganzen  Natur  nach 
nicht  mehr  der  algebraischen,  sondern  der  infinitesimalen  Analysis 
angehoren  und  ihre  Wirksamkeit  sich  auch  ohne  weiteres  auf 
bestimmte  Integrate  (mit  unendlichem  Integrations-Intervall) 
erstreckt,  so  erscheint  es  mir  angemessener,  auch  bei  ihrer 
Herleittmg  von  der  Abklirzung  zu  profitiren,  welche  die  Bentitzung 
bestimmter  Integrale  dabei  darbietet :  ich  theile  diese  Ableitung — 
als  den  eigentlichen  Rahmen  dieses  Aufsatzes  liberschreitend — 
hier  in  einem  besonderen  Anhange  mit. 

Als  Kriterien  dritter  Art  habe  ich  in  rneiner  Abhandlung 
solche  bezeichnet,  bei  welchen  die  Differenz  zweier  consecutiver 
Glieder  resp.  ihrer  reciproken  Werthe  als  Vergleichs-Object  dient. 
Obschon  derartige  K  riterien  fur  Reihen  mit  niemals  zunehmenden 
Gliedern  iiberaus  einfach  ausfallen  uud  fur  gewisse  Gliederformen 
sichtlich  bequemer  anzuwenden  sind,  als  die  entsprechenden 
Kriterien  erster  oder  zweiter  Art,  so  begniige  ich  mich — wegen 
ihrer  immerhin  geringeren  Wichtigkeit — hier  damit,  auf  den 
betreffenden  Abschnitt  in  meiner  Abhandlung  hinzuweisen  *. 

Nach  dem  bisher  gesagten  kommt  es  bei  der  Aufstellung 
irgend  welcher  Divergenz-  und  Convergenz-Kriterien  im  wesent- 
lichen  nur  darauf  an,  die  nbthigen  dv  bezw.  cv  zur  Verfugung 
zu  haben.  Es  handelt  sich  also  vor  allem  um  die  Lb'sung  der 
Aufgabe :  alle  moglichen  dv  bezw.  cv  d.  h.  die  typische  Form  fur 
das  allgemeine  Glied  jeder  divergenten  bezw.  convergenten  Reihe  zu 
bestimmen. 


§  2.     Allgemeine  Form  der  divergenten  Reihen. 

1.  Im  folgenden  bezeichnet  Mv  ein  fur  allemal  eine  fur  jeden 
endlichen  Werth  der  positiven  ganzen  Zahl  v  (von  irgend  einem 
bestimmten  v  =  n0ab)  endliche  und  positive,  mit  v  monoton  in's 
Unendliche  wachsende  Grosse,  sodass  also: 

0  <  Mv  <  Mv+1  (fur  v  ^  n0)         lim  Mv  =  oo  . 


V=<X> 


a.  a.  0.  p.  379—386. 


310  ALFRED   PEINGSHEIM. 

Alsdann  gilt  zunachst  der  folgende  Lehrsatz : 

Die  Reihe,  deren  allgemeines  Glied  eine  der  beiden  Formen : 

M         M 
(a)Mv+1-Mv        (6)-^J 

hat,  ist  stets  divergent.  Umgekehrt  Idsst  sich  das  allgemeine  Glied 
jeder  divergenten  Reihe*  sowohl  in  die  Form,  (a),  als  auch  (6) 
setzen. 

Beweis:  Zu  (a).     Dass  in  der  That  2  ( Mv+1  —  Mv)  divergirt, 
erkennt  man  ohne  weiteres  aus  der  Beziehung: 


i  =  Mn  -  Mn<>  (da  lim  Mn  =  oo  ). 

Wo  71=  °O 

Ist  umgekehrt  dv  als  Glied  irgend  einer  divergenten  Reihe 
vorgelegt,  so  ist  offenbar  2vc?p  eine  positive,  mit  n  monoton  in's 

«0 

Unendliche    wachsende    Grosse.     In    Folge    dessen    kann    man 
setzen : 

w-l  n 

woraus  in  der  That : 

resultirt. — 

Zu  (b).     Es  ist : 

MV+1-MV_MV+1 
Mv        "  Mv 

"-1/!  ,  M,+l-M,\     Mn 

und  daher :  H    H -~ =     ' 

Mo  V  Mv      J     Mno 

sodass  also  dieses  Product  fur  n  =  oo  nach  oo  divergirt.     Daraus 

M     —  M 
folgt   aber   nach   einem    bekannten   Satze  f,    dass    S     -+^ 

gleichfalls  divergiren  muss. 

Ist  dagegen  umgekehrt  dv  beliebig  vorgelegt,  so  divergirt  mit 

^dv  auch  das  Product  II  (1  +  dv),  sodass  also  H  (1  +  dv)  eine  mit  n 


*  N.B.     Es  handelt  sich  hier  ein  fiir  allemal  um  Eeihen  mit  lauter  positiven 
Gliedern. 

t  a.  a.  0.  p.  313,  Fussnote. 


UBER   REIHEN    MIT   POSITIVEN    GLIEDERN.  311 

monoton  in's  Unendliche  wachsende,  positive  Grosse  darstellt.     In 
Folge  dessen  kann  man  setzen: 

M  (1  +  dv)  =  Mn,  also :  Mn+1  =  14  (1  +  dv}  =  Mn(l+  dn) 
M      —  M 

JIT.  7  -iH»+l  —  •*HII  1 

und  daher :  dn  =  — ^ —  q.  e.  d. — 

Zusatz  I.     Bedeutet  \  eine  ganz  beliebige  positive  Grosse,  so 

d 

divergirt  mit  der  Reihe  ^,dv  auch  stets  die  Reihe  2  -A     Hiernach 

muss  sich  aber  -^-  gleichfalls  in  die  Form  (6)  setzen  lassen,  d.  h. 

man  hat  fur  jedes  beliebige  dv  bei  beliebiger  Wahl  der  positiven 
Grosse  \  auch : 

,-Jf. 


Uiv  —  A, . 


Mv 


Zusatz  II.     Es  divergirt  auch  stets  die  Reihe  mit  dem  all- 
gemeinen  Gliede 

(c\   Mv+1  ~  Mv  =  i       Mv 

Dies  folgt  ohne  weiteres  falls  Mv+1  ~  Mv.     1st  dagegen 

Mv+l  £-  Mv, 

so  hat  man:  lira — ^ —  —  =  1,  woraus  gleichfalls  die  Divergenz 

der    fraglichen    Reihe    folgt.     1st   endlich   Mv+1  ^  Mv  d.   h.  die 

M  + 
obere  Unbestimmtheits-Grenze  von  —^  unendlich  gross,  so  hat 

JX1.V 

M     —M 
diejenige  von    —^f —  —  den  Werth  1,  sodass  die  Reihe  wiederum 

divergiren  muss. 

2.     Da  man  nach  dem  obigen  Lehrsatz  jedes  beliebig   vor- 
gelegte  dv  in  die  Form : 

dv  =  Mv+l  -  Mv 

setzen  kann,  und  da  dann  andererseits  auch  die  Reihen  mit  dem 
allgemeinen  Gliede : 

*  _  d»_          *  /  _    dv  _ 

gleichfalls  divergiren,  so  folgt  zunachst — wegen :  Bv~-3  dv,  8V'  -3  dv — 


312  ALFRED   PR1NGSHEIM. 

dass  man  auf  diese  Weise  zu  jeder  divergenten  Reihe  stets  auch 
schwdcher  divergirende  construiren  kann. 

Es  bietet  sich  aber  noch  eine  zweite  Moglichkeit  dar,  um  aus 
dv  =  Mv+l  —  Mv  das  Glied  einer  schwdcher  divergirenden  Reihe  zu 
erzeugen,  namlich  indem  man  an  die  Stelle  von  Mv  eine  mit 
v  langsamer  zunehmende  Grosse  Mv'  setzt;  in  der  That  wird 
alsdann  die  Zunahme  dv'  =  M'v+1  —  Mv'  unter  dv  =  Mv+1  —  Mv  liegen, 
also  ~2dv'  schwacher  divergiren. 

Denkt  man  sich  etwa  Mv  irgendwie  fixirt,  so  werden  die  Aus- 
driicke  \&MV,  Ig2  Mv>  .  .  .  \gKMv  (wo  :  \&M.  =  lgMv,  \g2Mv  =  lg\gMv 
und  allgemein  \gKMv  den  /c-fach  iterirten  Logarithmus  von  Mv 
bezeichnet,  sodass  also:  \gKMv  =  lg\gK_1Mv  =  Ig^lgM,,)  eine 
Skala  von  immer  langsamer  zunehmenden  Grossen  darstellen,  und 
somit  werden  die  Reihen  mit  dem  allgemeinen  Gliede  : 


nicht  nur  durchweg  schwacher  divergiren,  als  ^(Mv+l  —  Mv),  sondern 
fur  K  =  I,  2,  3,...  geradezu  eine  Skala  von  bestdndig  schwdcher 
divergirenden  Reihen  bilden. 

Da  nun  fur  jedes  x  ^  0  : 

ex  ^  1  +  x    also  :  Ig  (1  —  so)  ^  x 
so  folgt  zunachst  : 

i     TIT         i     i\f      i    /i   ,  MV+1  —  MV\      MV+1-MV 
\g,M,+t  -  IgA  =  Ig  (1  +  -  -^-~  )  i  -^-^  , 

und  wenn  man  in  dieser  Ungleichung  Ig  Mv  fur  Mv  substituirt  : 

\tfM     -Iff  M  <  fe^H-i-lgi^r  <  Mv+l-Mv 
\glMv          =MvAg1Ml>> 

und  durch  Fortsetzung  dieser  Schlussweise  : 


Hieraus  ersieht  man  aber,  dass  mit  der  Reihe 


und   28,,  =  2  T>    auch   stets   diejenigen    mit    dem    allgemeinen 

Gliede  : 

(2)     8r«  =  ,  wo  LK  (Mv)  =  M,  .  \glMv  .  \gzMv  .  .  .  \gKM,, 


UBER   REIHEN   MIT   POSITIVEN   GLIEDERN.  313 

divergiren,  und  zwar  bilden  sie  far  K=  1,  2,  3,...  mit  jenen  beiden 
ersten  Reihen  zusammen  eine  Skala  von  bestdndig  schwdcher 
divergirenden  Reihen*. 


§  3.     Allgemeine  Form  der  convergenten  Reihen. 
1.     Lehrsatz  I.    Die  Reihe  mit  dem  allgemeinen  Gliede: 


ist  stets  convergent,  und  umgekehrt  Idsst  sich  das  allgemeine  Glied 
jeder  convergenten  Reihe  in  die  obige  Form  setzen. 

Beweis.  Man  erkennt  wiederum  die  Convergenz  der  betref- 
fenden  Reihe  ohne  weiteres  aus  der  Beziehung: 

n~  1  M         —  M        n-\  /I  1\1  1         /  1  \ 

^«     J.IJ.  i/J-i  ~~  AU  v  _«      /     X  J.         \  J.  -I  /    ,         ,  .  -L  f.\ 

2"    JT     ,,     =  2" [ -^  —  ir? —    =  -j-f Tf-p    (da  hm  iy-  » 0 1 . 

JM        JM  \M         Ju        I        M  Jxf        \  —      Jxl  ) 

00 

Ist  umgekehrt  2c,,  als  convergent  vorgelegt,  so  ist  S"  cv  eine  mit 

n 

wachsendem  n  monoton  abnehmende  und  fur  n  =  oo   gegen  Null 
convergirende  Grosse,  sodass  man  setzen  kann : 

oo  J  °°  1 

>  v  f*  —  _  _  _      also  *    >.y  f*  — 

1          1         M      -M 

111  XX  J '/  /t  4-1  J  "1  71  1 

und  daher :  cn  =  ^r? —  TT? —  =     "       ,..-  q.  e.  d. 

/t/  M  M         M  L 

Mn       JXln-\-i          -Mn+i-iMn 

2.  Versucht  man  in  ahnlicher  Weise,  wie  sich  oben  bei  den 
divergenten  Reihen  die  Form  (6)  ergab,  also  durch  Heranziehung 
von  II  (1 +<?„),  eine  zweite  charakteristische  Form  fur  cv  aufzustellen, 

so   gelangt  man   hier   zu  dem  Ausdruck  ^M  v+1      .  "    ,   welcher 


offenbar  keine  schwdcher  convergirende  Reihe  als  die   mit   dem 
oben  betrachteten  Bildungsgesetze  defmirt,  da  ja  offenbar : 

Mv+l-Mv       MV+1-MV 
(MV+1  +  1)MV~  MV+1MV   ' 
Dagegen  wird  man  offenbar  aus : 

_M¥+i-M,_(  1        J_\ 
MV+1MV   ~\MV     MVJ 

*  Es  giebt  Eeihen,  welche  noch  schwacher  divergiren,  als  26,,M  fur  jedes  noch  so 
grosse  endliche  K  (a.  a.  0.  p.  352 — 356). 


314  ALFRED   PRINGSHEIM. 

das  Glied  einer  schwdcher  convergirenden  Reihe  ableiten  konnen, 
wenn  man  wiederum  fur  Mv  eine  Grosse  Mv'  substituirt,  die  mit  v 
langsamer  in's  Unendliche  wachst,  als  Mv.  In  der  That  wird  alsdann 

-..-,  mit  wachsendem   v  langsamer  gegen  Null  abnehmen  als    ,, 

und  daher  die  Differenz  cj  =  (  v//"  ~~  *>> — • )  uber  der  entsprechen- 

\M  „     M  „+!/ 

den  cv  liegen. 

Denkt  man  sich  wiederum  Mv  beliebig  fixirt,  so  moge  hier 
zunachst  Mf  fur  Mv  substituirt  werden,  sodass  also  fur  0  <  p  <  1  : 

Mf  <  Mv. 
Man  hat  alsdann : 


Cv'  —       '-"         -  -        -y  t     wo :  qv  =  — —  . 

Um  die  Abnahme  von  c/  bei  unendlich  wachsendem  v  mit 
derjenigen  von 

C"~~M 
zu  vergleichen,  bilde  man : 

~~  —  "5 ~~~  •  •"*  v        • 

vy  J-     """"    I/ 1/ 

Da  fur  jedes  endliche  v :  <?„  <  1  sein  muss,  so  hat  der  erste 
Factor  der  rechten  Seite  einen  bestimmten  positiven  Werth. 
Dies  gilt  auch  noch  ohne  weiteres  fur  v  =  oo  falls  lim  qv  <  1 ;  aber 
auch  im  Falle  lim  qv  =  1  hat  man : 

lim  = *£  =  lim  —  —  =  p, 

v=<Xi  1          Q'y  e  =  0  ^ 

also  endlich  und  positiv. 

Hiernach  kann  man  setzen  : 


oder  anders  geschrieben : 

,     Mv+1  -  Mv 
'  MV+1MV»  • 

Da  nun  2c/  convergirte,  so  ergiebt  sich 


UBER    REIHEN   MIT    POSITIVEN    GLIEDERN.  315 

Lehrsatz  II.    Die  Reihe  mit  dem  allgemeinen  Gliede  : 
,  _  Mv+1  -  M»  _       ,, 

"  M^MS  ~ 

convergirt  fur  jedes  positive  p  und  zwar  offenbar  um  so  schwdchei*, 
je  kleiner  p  ist,  und  ins  besondere  stets  schwdcher  als  ^cv,  falls 


3.     Aus  dem  eben  gefuudenen  Resultate  folgt  a  fortiori,  dass 
auch  die  Reihe  mit  dem  allgemeinen  Gliede  : 

JXL  1/4-1  ~~~  -tXL  v 


convergirt,  und  dass  somit  auch  der  Ausdruck : 


das  allgemeine  GKed  einer  convergenten  Reihe  bildet. 

Nun  folgt  aber  aus  den  fur  0  ^  x  ^  1   ersichtlich  geltenden 
Ungleichungen : 

e"*  S:I—x,  also :   —  Ig  (1  —  x)  ^  x, 
dass  zunachst : 

= -  ig  ( i  - 


Mv+l     I         Mv+1 
also,  wenn  man  wiederum  Igj-M^  fur  Mv  substituirt : 


und  durch  Fortsetzung  dieser  Schlussweise : 

Da  hiernach  schliesslich : 

]gKMv+1-\gKMv  ^       Mv+l  -  Mv 

wird,  so  folgt  mit  Beniitzung  des  oben  gefundenen  Resultates,  dass 
auch  der  rechts  stehende  Ausdruck  fur  p  >  0  das  allgemeine  Glied 
einer  convergenten  Reihe  bildet.  Und  da  bekanntlich  fur  p  >  0 : 


316  ALFRED   PRINGSHEIM. 

so  bilden  fur  p  >  0  die  Reihen  mit  dem  allgemeinen  Gliede  : 

(4)     o  _Mv+,-Mv  Mv+l-Mv  (K-123      \ 

Mv+1^    :  ~LK(Mv+l).lgsMv+l 

eine  Skala  von  bestdndig  schwdcher  convergirenden  Reihen*.     Das 
gleiche  gilt  offenbar  auch  far  : 

_MV+1-MV  _     MV+1-MV 

»  - 


falls  man  die  Mv  der  Beschrankung  unterwirffc,  dass  : 

Mv+1  ~  Mv. 

Zugleich  bemerke  man  fur  spater,  dass  in  diesem  Falle  durch 
Vergleichung  von  Ungl.  (3)  mit  Ungl.  (1)  des  vorigen  Paragraphen 
(wenn  man  in  der  ersteren  noch  K  +  1  fiir  K  schreibt)  sich  ergiebt  : 


(6)  W 

4.     Da  fur  p  >  0 : 


so   folgt   noch,   dass   die    Reihe    mit    dem    allgemeinen    Gliede 

M     —  M 

v-^jf  —  '    -   fur  p  >  0   stets    convergirt.     Das    gleiche    gilt   dann 

€/ 

offenbar  wiederum  auch  fiir  die  Reihe  mit  dem  allgemeinen  Gliede 

M     —  M 

fl        —  ,  falls  Ml,+l~Mv.     Zugleich  erkennt   man,  dass  diese 

ep   v 
Reihen  fur  p  ^  0  divergiren. 


§  4.     Die  Kriterien  erster  Art. 

Da  sich  nach  den  Ergebnissen  der  vorigen  zwei  Paragraphen 
das  allgemeine  Glied  jeder  divergenten  bezw.  convergenten  Reihe 
in  die  Form : 

1~\/f      _  i\/f  /if      _  ]\/r  i 

Ml  1/4.1  ~~  J.U  v  J.U  1,4.1  AtJ.  v  X 


v+l 


7)  M  "~     M      M          T)     M 

-LJV  AU  „  J.1J.  1,4-1  J.U  „  ±JV  ,  4tl  „ 


Uber  noch  schwacher  convergirende  Eeihen  vergl.  a.  a.  0.  p.  352 — 356. 


UBER   REIHEN    MIT   POSITIVEN   GLIEDERN.  317 

setzen  lasst,  so  folgt  dass  alle  uberhaupt  existirenden  Kriterien 
erster  Art  (vom  einfachsten  Typus)  in  der  Form  enthalten  sind : 

M 
lim  j-f —  ^jff-  •  av  =  lim  Dvav  >  0  :  Divergenz 

(A) 

M     M 
lim  •,_  "   — ^.- . av  =  lim Mv+lDvav <  oo  :  Convergenz. 

Da  aber  nach  §  3,  Lehrsatz  II.,  die  Reihe  mit  dem  allgemeinen 

M     —M 
Gliede      "+1        "  schon  fur  jedes  beliebig  kleine  positive  p  conver- 

girt,  so  erhalt  man  offenbar  bei  beliebig  fixirtem  Mv  jedesmal  als 
eine  vortheilhaftere  Form  des  Convergenz-Kriterinms  sofort  die 
folgende  : 

M      M  P 
(A')  lim  jp  ^jf.av«x  (fur  irgend  ein  p  >  0). 

Die  Grossen  Mv  sind  hierbei  noch  keiner  weiteren  Beschrankung 
unterworfen,  als  von  vornherein  in  ihrer  Definition  lag.  Fiihrt 
man  jedoch  jetzt  die  Bedingung  ein*  : 

MV+1~MV, 

so  kann  man  in  dem  Convergenz-Kriterium  (A')  die  Grosse 
MS  Mv+i  ohne  weiteres  durch  Mv1+<>  ersetzen  und  erhalt  somit 
durch  Verbindung  mit  dem  Divergenz-Kriterium  (A)  jetzt  das 
folgende  Paar  von  correspondirenden  Kriterien  erster  Art: 

(  .  M 

lim  v? —  ^~Tur'  •  av  —  lim  Dvav  >  0  :  Divergenz 

/T>\  JU,,J-i          Ml  v 

(Jo)     •{ 

If  M* 

I  lim  j-f ^-f  .  av  *=  lim  MsDvav  <  <x> :  Convergenz       (p  >  0). 


Man  kann  dann  ferner  mit  Benlitzung  von  §  2  Art.  2  und  §  3 

*  Die  Einfiihrung  dieser  Bedingung  erscheint  sozusagen  selbstverstdndlich,  sobald 
es  sich  um  die  Aufstellung  von  wirklich  brauchbaren  Kriterien  handelt.  Da  namlich 
aus  den  bisher  angestellten  Betrachtungen  folgt,  dass  die  Kriterien  um  so  wirksamer 
werden,  je  langsamer  die  Mv  mit  v  zunehmen,  so  ist  die  Ausschliessung  solcher  Mv, 
fiir  welche  Mv+l%-  Mv,  gleichbedeutend  mit  derjenigen  der  wenigst  icirksamen 
Kriterien.  Da  in's  besondere  fiir  3fv+1  £-  Mv: 

lim  D -i  =  lim  (    ^+1  -  1\  =  oo  , 
\  MV         ) 

so  folgt  z.  B.,  dass  irgend  ein  av  auf  ein  mit  solchen  Grossen  Dv  gebildetes  Divergenz- 
Kriterium  nur  dann  reagiren  kann,  wenn  auch  lim  av=ao  . 


318  ALFRED   PRINGSHEIM. 

Art.   3   eine   Skala  von    immer  wirksameren    Kriterien  bilden, 
namlich : 

IT     /Iff  \  \ 

lim  -jrr^ — "4,  -  a*  =  lim  DVM  av>0:  Diver  genz 
•"-^v+l       •OH  if 
L  (M)\spM 
lim    *.\.  vf  &*      " .  av  =  lim  Ig/ if „.!>,,«>  av  <  oo  :  Convergenz 
•"J-v+l        -"-*v 

*  =  1,  2,  3,...,p>0. 

Dabei  enthalt  diese  Skala  offenbar  auch  die  Kriterien  (B)  ala 
Anfangs-Kriterien,  wenn  man  K  =  0  setzt  und  den  Symbolen  Ig0  x 
und  L0  (x)  die  Bedeutung  von  x  beilegt. 

Die  obigen  Kriterien  nehmen  die  iibliche  Form  (sog.  Bonnet  - 
'sche  Kriterien*)  an,  wenn  man  speciell  Mv  =  v  setzt,  namlich : 

p  (lira  LK(v) .  av  >  0  :  Divergent  |      _ 

(lim  LK(v)  lg/  v .  av  <  oo  :  Convergenz  ) 

Um  ferner  neben  den  gefundenen  Kriterien-Paaren  auch 
disjunctive  Doppel- Kriterien  erster  Art  zu  bilden  geht  man  am 
bequemsten  von  dem  in  §  3  Art.  4  aufgestellten  Ausdrucke 

aus,  welcher  fur  p  ^  0  das  Glied  einer  divergenten,  fur 


MV+1-M, 


p  >  0  dasjenige  einer  convergenten  Reihe  darstellte.     Man  hat 
hiernach : 

Divergenz,  wenn  fur  p  £  0  :  ]      ep   "+1          [=1 


Convergenz,  wenn  fur  p  >  0 :  )  Mv+1  —  Mv   "  (=  1 
oder  anders  geschrieben : 

Diver  genz,  wenn  fur  p  £  0 : )  Mv+1  —  Mv  J  ^  ep   v+l 
Convergenz,  wenn  fur  p  >  0 : )         av         (>  ^>Mv+i 

oder,  wenn  man  diese  Ungleichungen  logarithmirt  (vgl.  §  1  Art.  1): 

1    -^+1  ~  Mv 

Diver  genz,  wenn :  ]  °         av         (£  p  £  0 
Convergenz,  wenn :  j         Mv+l         \  ^  p  >  0. 
Da  hier  p  auch  im  zweiten  Falle  beliebig  klein  (wenn  nur 
angebbar  von  Null  verschieden)  sein  darf,  so  folgt   schliesslich 
durch  Ubergang  zur  Grenze  v  =  oo  : 

i      2u  v+i  —  111  v  ,      dv 

av  "  av  ( <  0  :  Diver  genz 

(D)  lim r;^ =  lim  — -  •<     .     „       * 

ilfv+1  ^,    ,    (>  0  :  Convergent 


—*• 

0 


.     „ 

,    (>  0  :  Convergenz. 
ct\ 


*  Journ.  de  Math€m.  T.  vin.  p.  78. 


UBER   REIHEN    MIT   POSITIVEN   GLTEDERN.  319 

Hierbei  unterliegen  die  Mv  noch  keinerlei  Beschrankung. 
Fiihrt  man  jetzt  wiederum  die  Bedingung  Mv+l~Mv  ein,  so 
karm  man  zunachst  die  Ungleichungen  (D)  durch  die  folgenden 
ersetzen : 

M^-M^ 

,-r,  -.-.                   , .                 «„         f <  0  :  Diverqenz 
(E,  1)  lim rr 1     ~     ~ 


Mv  \>  0  :  Convergenz 

und  erhalt  sodann  durch  Substitution  von  \glc+1Mv(tc  =  Q,  1,  2,...) 
an  Stelle  von  Mv  mit  Beniitzung  der  Relation  (6)  des  §  3  die 
folgende  Skala: 


„     ,  1:_   6  LK  (Mv) .  av  (<  0  :  Divergenz 

\gK+lMv       ]>  0  :  Convergenz 

Fur  die  specielle  Wahl  Mv  =  v  ergiebt  sich  aus  (E,  1)  und 
(E,  2): 

1 


— 

/-.x    i-  a.,  f<0  :  Diveraenz 

(1)    lim  1     ^    /^ 

i/      (>0  :  Uonvergen 


O      T      /  ,.\      fj       (  j*  C\    •     jjiM0fVfi0fYi  <y 
*\          T  •  J-J*  \  "  i  •   W'W     I  V»    V    .    J-St/U&f  U&II&  ,  ._       _        rt  » 

>)    km — _HJ — KJ  ^  (/c  =  0, 1,  2, ...). 

lg»c+i  ^       (>  0  :  Convergenz 

Das   erste   dieser   Kriterien  ist — wegen  -  lg—  =  —  lg  \/av — 

identisch  mit  dem  Cauchy'schen  Fundamental-Kriterium  erster 
Art*: 

, .      v/ —  ( >  1  :  Diverqenz 
lim  vav  \     n     „       * 

(<  1  :  Convergenz. 

Das  fur  «  =  0  resultirende  Anfangs-Kriterium  der  Skala  (F,  2), 
welches  auch  so  geschrieben  werden  kann : 


, .       6  av  ( <  1  :  Diverqenz 
hm  i — -  1          „ 

lg  v    (>  1  :  Convergenz 


riihrt  gleichfalls  von  Cauchy  herf ,  wahrend  die  tibrigen,  die  sich 
auch  folgendermaassen  schreiben  lassen : 

*  Analyse  algebr.  p.  133.  t  desgl.  p.  137. 


320  ALFRED    PRINGSHEIM. 


,.       &XK-1  (v}.av  j<  1  :  Divergenz  _ 

I  1  I  1  1  \          —  f-*  \  K  -^  JL  .    £>•    O«  •  •  •  I 

lg«+1  v         (>  1  :  Convergenz 
zuerst  von  Herrn  Bertrand  abgeleitet  worden  sind*. 

Das  in  (D)  enthaltene  Convergenz-Kriterium  gestattet  schliess- 
lich  noch  eine  interessante  formale  Verallgemeinerung.  Man 
bemerke  zunachst,  dass  es  fiir  die  Convergenz  von  Sa,,  sicher 
hinreicht,  wenn: 

limlg->0, 
6  a, 

/» 

da  ja  in  diesem  Falle  lim  —  >  1,  also  lim  Cvav  <  1  wird.    Die  obige 

cty 

Bedingung  wird  nun  aber  offenbar  in  keiner  Weise  alterirt,  wenn 

V 

man  sie  durch  die  fur  jedes  v  positive,  endliche   Grosse   2Ac* 

o 

dividirt,  sodass  also 

"»  I 

lim—  —>0, 

v 


0 

gleichfalls  eine  hinreichende  Bedingung  fur  die  Convergenz  von 
£«„  bildet,  und  zwar  unterscheidet  sich  dieselbe  von  der  in  (D) 
enthaltenen  einzig  und  allein  dadurch,  dass  hier  CA,  cv  an  Stelle 
von  d\,  dv  steht. 

Bezeichnet  man  nun  mit  p\  eine  in  ganz  willkurlicher  Weise 
von  der  ganzen  Zahl  \  abhangige,  nur  wesentlich  positive  Grosse, 
so  muss  2pA  entweder  divergiren  oder  convergiren  d.  h.  p^  gehort 
entweder  zur  Classe  der  Zahlen  d\  oder  zu  derjenigen  der  CA-  In 
Folge  dessen  kann  man  aber  die  zuletzt  aufgestellte  Convergenz- 
Bedingung  mit  der  in  (D)  enthaltenen  in  folgender  Weise  zusam- 
menfassen  : 

Die  Reihe  ^av  ist  convergent,  wenn  eine  positive  Grosse  p\ 
essistirt,  sodass: 


(G)  limT-2r>0. 


*  Journ.  de  Mathem.  T.  vu.  p.  37. 


UBER    REIHEN    MIT   POSITIVES   GLIEDERN.  321 

Dies  1st  das  allgemeinste  Convergenz-Kriterium  erster  Art, 
welches  das  vollkommene  Analogon  zu  dem  in  seiner  ausserst 
merkwiirdigen  Allgemeinheit  bisher  vollig  isolirt  dastehenden 
Kummer'schen  Kriterium*  zweiter  Art  bildetf. 


§  5.     Die  Kriterien  zweiter  Art. 

Als  einfachster  Typus  fur  die  Kriterien  zweiter  Art  ergab  sich 
oben(§l,  FormellL): 

/  '  n  \ 

(a)  lim  (  Dv  .  —  -  —  Dv+l  )  <  0  :  Divergenz 

\    «,«       > 

(b)  lim  [0,  .  —  -  —  Cv+1  )  >  0  :  Convergent, 

\  av+l  ' 

und  man  hat  jetzt  nur  fur  Dv  bezw.  Cv  irgend  einen  der  in  §§  2,  3 
aufgestellten  Ausdrticke  einzusetzen,  urn  die  fertigen  Kriterien  zu 
erhalten.  Hierbei  ergiebt  sich  aber  fur  die  Convergenz-Kriterien 
die  Moglichkeit  einer  sehr  merkwtirdigen  Umformung,  durch 
welche  deren  linke  Seite  schliesslich  vollig  gleichlautend  mit 
derjenigen  der  Diver  genz-  Kriterien  wird. 

Fiir  die  Convergenz  von  Sa,,  ist  hinreichend,  wenn  fur  alle  v  von 
irgend  einer  bestimmten  Stelle  v  =  n0ab: 

H    a"    —  (1      >  0 
\jv  —       -  L/V+I  =  \j, 


also,  wenn  man  nach  §  3,  Lehrsatz  I.  setzt  : 


Mv 


"+1      M     —M  v+1  I        M      —M 

•i"-v+2         -Lu-v+1  (  -i'II'+2         •UIH-lJ 

nach  Weglassung  des  gemeinsamen  Factors  Mv+l  und  Multiplica- 
tion mit  einer  beliebig  anzunehmenden  positiven  Grosse  p  : 

Mv  «„  M.^ 


*  S.  Formel  (H)  des  folgenden  Paragraphen. 

t  Vber  die  Tragweite  der  Kriterien  erster  Art,  in's  besondere  auch  iiber  verschiedene, 
in  dieser  Beziehung  vielfach  herrschende  Irrtumer — vgl.  a.  a.  0.  p.  343 — 359. 

c.  P.  21 


322  ALFRED    PRINGSHEIM. 

Da  sich  aber  das  allgemeine  Glied  Dv~l  jeder  divergenten 
Reihe  nach  §  2  (Art.  1,  Zusatz  I.)  stets  in  die  Form: 

1    Mv+i-Mv 

setzen  lasst  und  umgekehrt  jeder  solche  Ausdruck  das  allgemeine 
Glied  Dv~l  einer  divergenten  Reihe  bildet,  so  folgt,  dass  man  die 
letzte  Ungleichung  ohne  weiteres  durch  die  folgende  ersetzen 
kann: 

n   a"       n     >  =>    ^ 

und  diese  Bedingung  wird — da  ja  p  nur  an  die  Beschrankung 
gekniipft  ist,  positiv,  d.  h.  angebbar  >  0,  zu  sein — sicher  erflillt 
sein,  falls: 

(II.  c)  \im(Dv-^   -Dv+1]>0. 

\       Q>v+i  / 

Durch  Combination  dieser  Ungleichung  mit  (II.  b)  ergiebt  sich 
aber,  wenn  man  erwagt,  dass  jede  in  ganz  willktirlicher  Weise  von 
v  abhangende  positive  Zahl  Pv  entweder  wiederum  der  Classe  der 
Dv  oder  derjenigen  der  Cv  angehoren  muss,  das  allgemeinste  Con- 
vergenz-Kriterium  zweiter  Art,  namlich  das  (von  jeder  iiber- 
fliissigen  Nebenbedingung  befreite)  Kummer'sche* : 

(H)  lim  ( Pv  —  - —  Pv+1  j  >  0  :  Convergenz. 

Andererseits  liefert  die  Verbindung  von  (II.  c)  mit  (II.  a)  das 
folgende  disjunctive  Doppel-Kriterium  zweiter  Art : 

<  0  :  Divergenz 


(V  "H 

\  J-  ,    i  ;  iini  i  j^  „  _i_^  v  .  i  i  r\       rv 

\      av+l  J  (>  0  :  Convergenz. 

Es  ist  ohne  weiteres  klar,  dass  man,  von  irgend  einem  be- 
stimmten  Dv  ausgehend,  wirksamere  Divergenz-TLriteTien  erhalt, 
wenn  man  fur  Dv  das  reciproke  Glied  einer  schwdcher  diver- 
girenden  Reihe  einfuhrt.  Man  erkennt  aber,  dass  hierdurch  auch 
die  (7om>er<7en.2r-Kriterien  eine  Verschdrfung  erfahren.  Denn  geht 
man  auf  deren  urspriingliche  Form  (II.  b)  zuriick,  so  ist  klar,  dass 

*  Crelle's  Journal,  Bd.  xni.  p.  171.  Die  von  Kummer  noch  hinzugefiigte 
Nebenbedingung:  limPyO^O — hat  zuerst  Herr  Dini  als  iiberfliissig  erkannt : 
"  Sulle  Serie  a  termini  positivi "  Art.  19.  Annali  delV  Univ.  Tosc.  T.  ix. 


UBEK,   REIHEN   MIT   POSITIVEN    GLIEDERN.  323 

das  Kriterium  um  so  wirksainer  sein  muss,  je  schwdcher  ^,Cv~l 
convergirt.  Driickt  man  aber,  wie  oben  geschehen,  die  Cv  durch 
die  Mv  aus,  so  entsprechen  nach  §  3  Art.  2  den  schwdcher  conver- 
girenden  Reihen  SCv"1  auch  langsamer  zunehmende  Grossen  Mv, 
und  somit,  wenn  man  schliesslich  statt  der  Mv  die  Dv  einfiihrt, 
nach  §  2  Art.  2  auch  solche  Dv,  welche  schwdcher  divergirenden 
Reihen  angehoren. 

Setzt  man  zunachst  in  (F,  1)  : 

V  =  W~  ^W 

-'"v+l  —  JXLV 

so  wird  man  also  eine  Skala  von  successive  wirksamer  werdenden 
Kriterien  erhalten*  wenn  man  statt  Dv  einfiihrt  : 

n  dt)  _    LK  (Mv) 
•uv      ~  M      —  M  ~ 

Auf  diese  Weise  ergiebt  sich  : 

i-     /  7-1,1    a»       -n,  i     \  f  <  0  :  Divergenz 
(F,  2)     \im(Dvw---D(K)v+1}  \       '  ^      y 

V         av+1  +  J  (>  0  :  Convergent 

Man    erhalt   aus    (F,    1),    (F,    2)    wiederum    die    bekannten 
Kriterien  zweiter  Art  durch  die  specielle  Wahl  Mv  =  v,  namlich  : 


^.  v+l  0  :  Convergenz 

l/o\    r      (T   /  \   a"       T  f       i\N  (<  Q  : 
(2)    hm    LK  (v)  —     -  LK  (v  +  1)  M     r,    n 

V         J  av+1  ')  \>  0  :  Convergenz 

(*  =  0,  1,2,...). 

Das  Kriterium  (1)  ist  offenbar  das  bekannte  Cauchy'sche 
Fundamental-Kriterium  zweiter  Art*f.  Das  Anfangs-Kriterium 
(/c  =  0)  der  Skala  (2),  welches  sich  auch  folgendermaassen  schreiben 
lasst  : 

,.        /  av      n\  f<  1  :  Diver  qenz 
hm  v  (  -  -  -  1  M     -.    n 

\av+l       )  (>  1  :  Convergenz 

ist  das  Raabe'scheJ,  die  librigen  riihren  (abgesehen  von  einem 
unwesentlichen  Unterschied  in  der  Form)  von  Bertrand  her§. 

*  Eine  genauere  Untersuchung  iiber  den  Grad  der  Verscharfung,  welche  auf  diese 
Weise  erzielt  wird,  findet  man  a.  a.  0.  p.  364  —  366.  Desgl.  fur  die  speciellen 
Kriterien  (K)  :  p.  368—370. 

t  Anal,  algibr.  p.  134. 

J  Zeitsckrift  fur  Math,  von  Baumgartner  und  Ettinghausen,  T.  x. 

§  Journal  de  Jlathem.  T.  vir.  p.  43. 

21—2 


324  ALFRED   PRINGSHEIM. 

Von  anderen  Formen,  in  welche  sich  die  Kriterien  zweiter  Art 
setzen  lassen,  will  ich  hier  nur  als  besonders  einfach  die  folgende, 
von  mir  angegebene,  anfuhren : 

(L)  limlUg/'*"    \<^'^rgen2 

0  Dv+lav+l  (>  0  :  Convergent 

und  verweise  betrefFs  ihrer  Herleitung  auf  die  citirte  Abhandlung*. 
Daselbst  findet  man  auch  eine  genaue  Untersuchung  iiber  die 
Tragweite  der  Kriterien  zweiter  Art  und  deren  Beziehung  zur 
Tragweite  der  entsprechenden  Kriterien  erster  Art-f-. 


Anhang : 

Uber  die  Ermakoff'schen  Kriterien  fur  bestimmte 
Integrate  und  unendliche  Reihen^. 

Es  seien  mx,  Mx  fur  x^cc0  positive,  mit  x  monoton  in's  Unend- 
liche wachsende  Functionen  mit  den  integrablen  (eo  ipso  positiven) 
Differentialquotienten  mx',  Mx',  und  zwar  sei  fiir  jedes  endliche 
#  ^  #„ :  mx  <  Mx  (womit  nicht  ausgeschlossen  ist,  dass  fur  x  —  oo 

auch  lim  -^  —  1  werden  darf).     Setzt  man  alsdann  : 
Mx 


so  gilt  der  folgende  Satz : 

Ist  f(x)  positiv  fur  x  ^  sc0  und  fur  jedes  endliche  Intervall 
integrabel,  so  ist: 

(divergent,  wenn  lim  Qx  >  1 


\convergent,  wenn  lim  Qx<  1. 

V  X=<*> 

Beweis.     Sei  zunachst : 

lim  Qx  >  1, 

so  muss  eine  angebbare  positive  Grb'sse  e  existiren,  derart  dass 
auch : 

lim  Qx  >  1+  e 

*  a.  a.  0.  p.  370,  371.  t  a.  a.  0.  p.  372—379. 

J  Darboux,  Bulletin,  T.  n.  p.  250 ;  T.  xvra.  p.  142. 


UBER   REIHEN   MIT   POSITIVEN   GLIEDERN.  325 

und  daher  eine  gewisse  Stelle  x  =  a,  sodass  fur  x  >  a  : 

Qx>I  +  e, 
d.h. 

Mx'.f(Mx)>(l+e).mx-.f(mx) 

wird.     Daraus  folgt  aber,  dass  : 

!X  Mx  .  /(If.)  dx  >  (1  +  e)  f  TO,'  .  /(TO.),  (x  >  a) 

J  a  J  a 

oder  wenn  man  diese  Integrate  mit  Hiilfe  der  Substitution  Mx=y, 
bezw.  mx  =  y  transformirt  : 

f      /(y)  dy>(l  +  e)  I"'  f(y)  dy.  (x  >  a). 

J  Ma  J  iria 

Nimmt  man  x  jedenfalls  gross  genug,  dass  mx  >  Ma  wird  (was 
stets  moglich  ist,  da  lim  mx  =  oo  ),  so  hat  man  : 

[•MX  (  rMa  rmt  "] 

(2)  f(y).dy>(l+e)\        f(y)dy  +        f(y)dy\ 

J  Ma  I  J  ma  J  Ma  ) 

und  a  fortiori  : 

(3)  r/(y}dy>(l  +  e}r  f(y)dy. 

•>  Ma  J  Ma 

r 

Ware  nun  I      f(y)dy  convergent,  also  endlich  und  bestimmt, 

J  Ma 

rM,  Cm* 

so  miisste  fiir  x=  oo  der  Quotient  von  I      f(y)dy  und        f(y)dy 

J  Ma  J  Ma 

den  Grenzwerth  1  haben,  es  miisste  also  sicher  von  irgend  einer 
bestimmten  Stelle  x  >  A  ab,  dieser  Quotient  unter  1  +  e  liegen, 
sodass  also  : 

rMx  rntx 

f(y)dy<(l  +  e)       f(y}dy  (x>A) 

J  Ma  J  Ma 

wird  :  somit  folgt  aus  Ungl.  (3),  dass  das  Integral  in  diesem  Falle 
divergiren  muss.  — 
Sei  jetzt  zweitens  : 


so  muss  ein  angebbarer  positiver  Bruch  B  und  eine  Stelle  x  =  a 
existiren,  derart  dass  : 

QX<I-Z  (x>a) 


326  ALFRED    PRINGSHEIM. 

woraus  zunachst,  ganz  analog  wie  oben  Ungl.  (2),  sich  ergiebt : 

rMi  (  [M,  rm*  \ 

(4)  f(y)dy<(l-S)\       f(y}dy+\     f(y)dy\. 

J  M,  (Jma  J  ft  ) 

Setzt  man  zur  Abkiirzung : 

r/s 

I  f(y)  dy  =  F(CL,  y3), 

Ja 

so  folgt  aus  (4) : 

F(Ma,  Mx)  frh,*1  (^>  ^q) 

W  VfM        ^\<V1~°M1"i" 


Ware  nun  das  fragliche  Integral  divergent,  also  F(Ma,  oo  )=  x  , 
so  mtisste,  falls  x  eine  gewisse  Grosse  A  iibersteigt,  F(Ma>  mx) 
beliebig  gross,  also  in's  besondere  : 

F(ma,  Ma)     . 
F(Matmx)< 

gemacht  werden  konnen,  sodass  also  Ungl.  (5)  tiberginge  in  : 


Diese  Ungleichung  ist  aber  unmoglich,  da  der  betreffende 
Quotient,  wegen  Mx  >  mx,  niemals  <  1  werden  kann.  Somit  muss 
das  fragliche  Integral  in  diesem  Falle  convergiren.  — 

Das  durch  den  eben  bewiesenen  Satz  gefundene  Kriterium 
nimmt  eine  fur  den  Gebrauch  bequemere  Form  an,  wenn  man  mx 
oder  Mx  durch  x  ersetzt.  Man  erhalt  alsdann  entweder  : 

_M 

Q"~ 
wobei  jetzt 

Mx  >  x  (z.  B.  Mx  =  as  +  c  (c>  0),  Mx  =  px,  Mx  =  scp  (p  >  1),  Mx  =  ex): 
oder: 


* 

wo        nix  <  x  (z.  B.  mx  =  x  —  c,  vnx  =  -,  mx  =  a;p,  mx  =  Ig  a?). 


UBER   REIHEN    MIT   POSITIVEN    GLIEDERN.  327 

Um  die  gefundenen  Kriterien  auch  auf  unendliche  Reihen 
anwenden  zu  kb'nnen,  bemerke  man  folgendes. 

1st  f(x)  monoton  fur  x  ^x0  und  zwar  dann  selbstverstandlich 
niemals  zunehmend  (denn  im  Falle  eines  niemals  abnehmenden 

f°° 

f(x)  erkennt  man  ja  ohne  weiteres  die  Divergenz  von   I     f(x)dx 

J  xt 

oo 

und    2>/(i>)),   so   divergirt    und    convergirt    mit    dem    Integrale 


I 

J 


f(x)  dx  stets  auch  die  Reihe  2"/(i>).    Denn  man  hat,  wie  leicht 

»0 

zu  sehen,  in  diesem  Falle  stets  : 


p/<«)*» 

J  «o 


Hier  entscheiden  also  die  oben  gefundenen  Kriterien  auch 
ohne  weiteres  iiber  die  Divergenz  und  Convergenz  von  *£f(v)*. 

Bleibt  dagegen/(#)  von  keinem  noch  so  gross  anzunehmenden 
Werthe  x  =  x0  ab  monoton,  d.  h.  besitzt  f(x)  zum  mindesten  im 
Unendlichen  unendlich  viele  Maxima  und  Minima,  so  findet  eine 
ahnliche  Beziehung  zwischen  jenem  Integral  und  der  unendlichen 
Reihe  nicht  mehr  statt :  es  kann  dann  sowohl  das  Integral 
divergiren,  wahrend  die  Reihe  convergirt — als  umgekehrt.  Ich 
will  dies  zunachst  an  zwei  Beispielen  erlautern.  Man  setze : 

/(*)=• 

Hi 

so  wird : 

rx  rx  ftx      r°°  gin2  THE 

f(x)dx=        -j+  dx. 

J  Xg  J  x<>  or  •    J  x<>        x 

Das  erste  Integral  der  rechten  Seite  ist  sichtlich  convergent, 
das  zweite  dagegen  divergent,  wie  man  am  einfachsten  erkennt, 
wenn  man  es  auf  die  Form  bringt : 

T00  sin2  ITT  T30  d-r  Cx  rr»<5  2irr 

>1  II     7T»*'     -.  *      I         {JLJL-          .      I         C^o  Aj7T*t/     •» 

-  dx-=\  I ^  -  dx, 

*   »Tn  *  X  *   X 

wo  jetzt   das   erste   Integi-al   divergirt,    das    zweite   bekanntlich 

*  Dies  ist  der  von  Herrn  Ermakoff  ausschliesslich  betrachtete  Fall.     Uber 
einige  Einwendungen  gegen  seine  beiden  Beweise  vgl.  a.  a.  O.  p.  393. 


328  ALFRED   PRINGSHEIM. 

(bedingt)  convergirt.      Somit   ergiebt  sich  schliesslich,  dass  hier 

r 

I    f  (x)  dx  divergirt. 

Jx, 

Dagegen  hat  man  : 


und  daher  ist  ^f(v}  convergent.  — 

Betrachtet  man  andererseits  das  folgende  Beispiel  : 


so  wird  hier  : 


also  IS  f(v)  divergent.  Dass  hingegen  das  betreffende  Integral  hier 
convergirt,  lasst  sich  leicht  zeigen,  wenn  man  dasselbe  in  Theil- 
Integrale  mit  ganzzahligen  Grenzen  zerlegt.  Da  hierbei : 

1.3... (2^-1)  1 

COS  TTXY"  <  /o    i       '  "  > 

2.4...(2i/)      v 

so  folgt : 

rx  «    i    a       /9,,_i\   l 

/(• 


/••^(cosTnc)2*     l  fi 

—  —   <  -  ( 

./„  a;  i>  Jo 


r 

j « 


und  da  diese  Reihe  convergirt  (wie  man  am  einfachsten  mit  Hiilfe 
des  Raabe'schen  Kriteriums  erkennt),  so  gilt  das  gleiche  fur  das 
fragliche  Integral. — 

Um  nun  auch  fur  den  Fall  eines  nicht-monotonen  f(se)  die 
obigen  Kriterien  fiir  die  Beurtheilung  der  Reihe  2  f(y)  nutzbar 
zu  machen,  verfahre  ich  folgendermaassen. 

Bezeichnet  man  mit  x  (statt,  wie  sonst  gewohnlich,  mit  E  (x)) 
die  grosste  in  x  enthaltene  ganze  Zahl,  und  bedeutety(v)  das  (fur 
jedes  endliche  v  selbstverstandlich  als  endlich  angenommene) 
allgemeine  Glied  der  vorgelegten  Reihe,  so  mb'ge  zunachst  </>(#) 
als  Function  der  positiven,  stetigen  Veranderlichen  x  definirt 
werden  durch  die  Gleichung: 

<M*)  =/(*). 

(N.B.  <j>(x)  ist  also  vollig  unabhdngig  davon,  wie  f(x)  fur 
nicht-ganzzahlige  positive  x  sich  verhalten  mag,  resp.  dass  etwa 
f(x)  fiir  solche  iiberhaupt  nicht  definirt  ist.)  Die  so  definirte 


UBER   REIHEN    MIT   POSITIVEN    GLIEDERN.  329 

Function  ^>  (#)  ist  dann  offenbar  fiir  jedes  noch  so  grosse 
endliche  Intervall  integrabel,  da  sie  daselbst  durchweg  endlich  und 
nur  mit  einer  endlichen  Anzahl  von  Discontinuitaten  behaftet  ist. 
Zugleich  erkennt  man,  dass  : 


P 

J  v 


(«)  dx  «/(»)          das  = 

v 

und  daher  : 


Folglich  wird  %vf(v)  divergiren  oder  convergiren  gleichzeitig 

»0 

F 

mit        $(x)dx.     Wendet  man  nun  auf  dieses  Integral  das  oben 

J  *o 

gefundene  Kriterium  (1)  an,  so  wird  hier: 

_Mx'.<f>(Mx)_Mx'.f(Mx) 

-m.'.fOn.)       W./(w») 

und  es  ergiebt  sich  also  schliesslich  fur  das  obige  Integral,  mithin 
auch  fiir  die  damit  identische  Reihe 


Hm  J//./W  |>  1  :  Divergenz 
mx'  ./(m^  (<  1  :  Convergenz. 

Ist/(a;)  auch  fur  andere  als  ganzzahlige  x  definirt,  und  besitzt 

f(x  +  h} 
f(x)  die  Eigenschaft,  dass  lim       /..        =  1  fur  h  ^  1  (in  welchem 

*-<»        J\X) 

Falle  ./(a;)  offenbar  noch  keineswegs  monoton  zu  sein  braucht),  so 
kann  man  in  (9)  Mx  und  mx  ohne  weiteres  durch  Mx  und  mx 
ersetzen,  d.  h.  dann  nimmt  das  obige  Kriterium  genau  dieselbe 
Form  an,  wie  wenn  f(x)  monoton  ware.  Andernfalls  hat  es  bei 
der  Form  (9)  sein  Bewenden,  wobei  man  aber  wiederum  noch, 
analog  wie  in  (6)  und  (7),  eine  der  Functionen  Mx,  mx  durch  x 
ersetzen  kann. 

Im  August  1893. 


THE   ALGEBRAIC   SOLUTION    OF   EQUATIONS. 

BY 
ALBERT  M.   SAWIN  OF  EVANSVILLE. 

[This  paper  had  been  previously  published  :  Annals  of  Mathe- 
matics, Vol.  6,  pp.  169—177,  1892.     Editors.] 


EINIGE    SATZE   VOM    SCHWERPUNKT. 

VON 
V.   SCHLEGEL  IN  HAGEN  I/W. 

Es  soil  im  Folgenden  an  einigen  Beispielen  gezeigt  werden,  [mit 
wie  grosser  Leichtigkeit  die  einfachsten  Hilfsmittel  der  Grass- 
mann'schen  Ausdehnungslehre  Lehrsatze  der  Geometric  und 
Mechanik  in  beliebiger  Menge  liefern. 

1.     Es  seien  Alt  Az,  A3,  At  die  Ecken  eines  Tetraeders,  ferner 
Si,  $2,  $s>  $t  resp.  die  Schwerpunkte  der  Dreiecksflachen  A^A3At, 
i,  A^A^Az,  A-iAzA3.     Dann  bestehen  die  Gleichungen: 


4  =  0     ^3 

Hieraus  folgt  durch  Addition  : 


(2). 


Da  die  linke  Seite  dieser  Gleichung  den  vierfachen  Schwer- 
punkt  des  von  den  Punkten  Sly  S%,  Ss,  S4  gebildeten  Tetraeders 
("  Schwerptmkt-Tetraeder  ")  ausdrtickt,  die  rechte  den  vierfachen 
Schwerpunkt  des  gegebenen  Tetraeders,  so  sagt  Gleichung  (2)  aus, 
dass  beide  Schwerpunkte  zusammenfallen. 

Schreibt  man  (2)  in  der  Form 


1  2  3  4  . 

*.—  -  -7  -  —  XI,  +  0. 


so  sagt  dieselbe  aus,  dass  die  Verbindungslinie  der  Ecke  Av  mit 
dem  Schiverpunkt  der  gegenuberliegenden  Fldche  A2A3A4  durch  den 
Schwerpunkt  S  des  Tetraeders  geht  und  durch  denselben  im  Verhdlt- 


332  V.    SCHLEGEL. 

niss  1  :  3  getheilt  wird.    Denn  schreibt  man  (3)  in  der  abgekiirzten 
Form 

4$  =  A  +  3$  (4A 

**J  T   «*»| \TJ, 

so  folgt  hieraus  durch  eine  leichte  Umformung 

1=4-1 (5); 

^1-  ""*  O         O 

d.  h.:  die  Strecke  88l  verhalt  sich  zu  Afi  wie  1  :  3. 


2.     Aus  den  Gleichungen  (1)  folgt  welter: 

A,  +  A3  = 


•(6), 


nebst  zwei  weiteren  Paaren  von  Gleichungen,  welche  aus  (6)  durch 
zweimalige  circulare  Vertauschung  der  Indices  1,  2,  3  entstehen. 
Da  nun  die  Summe  zweier  Punkte  ihren  doppelten  Mittelpunkt 
bedeutet,  so  sagen  die  Gleichungen  (6)  aus,  dass  jede  Verbindungs- 
linie  der  Mitten  zweier  Gegenkanten  des  Schwerpunkt-Tetraeders 
auch  durch  die  Mitten  zweier  Gegenkanten  des  gegebenen  Tetraeders 
geht. 

Schreibt  man  die  Gleichungen  (6)  in  der  Form 

i  \ 

(7), 

so  erkennt  man,  dass  jedesmal  der  Punkt  links  die  Mitte  zwischen 
den  beiden  Punkten  rechts  ist.  Man  hat  also  den  Satz:  Jede 
Strecke,  welche  die  Mitten  zweier  Gegenkanten  eines  Tetraeders 
verbindet,  wird  durch  zwei  Gegenkanten  seines  Schwerpunkt-Tetra- 
eders in  drei  gleiche  Theile  getheilt. 

3.     Aus  den  Gleichungen  (1)  folgt  ferner: 

U (8), 


woraus  vier  weitere  Gleichungen  durch  circulare  Vertauschung  der 
Indices  1,  2,  3  entstehen.  Diese  Gleichungen  sagen,  dass  jede 
Kante  des  Schwerpunkt-Tetraeders  einer  Kante  des  gegebenen 
Tetraeders  parallel  ist  und  den  dritten  Theil  Hirer  Lange  besitzt. 


EINIGE    SATZE    VOM    SCHWERPUNKT.  333 

4.     Schreibt  man  die  Gleichung  (2)  unter  Beriicksichtigung 
von  (1)  in  der  Form 


so  sieht  man,  dass  die  Strecke,  welche  eine  Ecke  des  Tetraeders 
mit  dem  Schwerpunkt  der  gegenuberliegenden  Fldche  verbindet, 
durch  den  Schwerpunkt  der  zugeordneten  Fldche  des  Schwerpunkt- 
Tetraeders  gelit  und  durch  diesen  Punkt  im  Verhaltniss  1  :  2 
getheilt  wird. 

5.  Fallen  zwei  Gegenkanten  des  gegebenen  Tetraeders  in 
dieselbe  Ebene,  so  verwandeln  sich  die  Kanten  des  Tetraeders 
in  die  Seiten  und  Diagonalen  eines  ebenen  Vierecks.  Die  in 
Nr.  1  —  4  enthaltenen  Satze  bleiben  in  Geltung  und  erleiden  nur 
diejenigen  Veranderungen  im  Wortausdruck,  welche  durch  diese 
Verwandlungen  bedingt  sind.  In  diesern  Falle  kann  einer  der  vier 
Punkte,  z.  B.  A4,  aus  den  drei  iibrigen  mittelst  dreier  Zahlen  \,  fi,  v 
durch  die  Gleichung  abgeleitet  werden  : 


vA3  ............  (10). 

Nun  folgt  aus  (9) 

A1  =  S2  +  S3  +  Si-2S1  ..................  (11), 

nebst  3  anderen  Gleichungen,  welche  hieraus  durch  circulare 
Vertauschung  aller  vier  Indices  folgen.  Setzt  man  die  Werthe 
(11)  in  (10)  ein,  so  folgt  : 

(\-f  p  +  v)  S^^  +  pSz  +  vS3  ............  (12). 

Aus  (10)  und  (12)  sieht  man,  dass  die  Vierecke  A^A^A^A^  und 
$1$2$3$4  ("  Schwerpunktviereck  ")  einander  dhnlich  sind. 

Sei  S  der  Schnittpunkt  der  Diagonalen  des  Schwerpunkt- 
vierecks.  Dann  ist  nach  (12) 

(X  +  v)S  =  Xtfi  +  vS3  =  (X  +  ft  +  v)  S4  -  pSa  ......  (13). 

Denn  nach  diesen  Gleichungen  ist  S  derjenige  Punkt,  welcher 
gleichzeitig  aus  S1}  S3,  und  aus  S2,  St  abgeleitet  werden  kann,  d.  h. 
der  Schnittpunkt  der  Geraden  S^  und  S^t. 


334  V.    SCHLEGEL. 

Sei  ferner  A  der  Schnittpunkt  der  Diagonalen  des  gegebenen 
Vierecks.     Dann  ist  nach  (10) 


n  +  v)At-fjLAs  ......  (14). 

Addirt  man  die  Gleichungen  (13)  und  (14)  und  dividirt  durch 
2,  so  erkennt  man,  doss  die  Mittelpunkte  folgender  Strecken  auf  je 
einer  Geraden  liegen:  (1)  AS,  A^,  A3S3,  (2)  AS,  A»S2,  A4S4. 

6.  Bestimmen  wir  endlich  auf  den  Diagonalen  des  Vierecks 
A-iAsAzAi  die  Punkte  A.^  und  A13  durch  die  Bedingungen 
AA4  =  A.2A24  und  AA1=A3A13,  oder,  anders  ausgedrtickt: 

^-^4  =  ^2-^24;  A-A1  =  A3-AJ3  .........  (15). 

Verbinden  wir  ferner  (1)  Au  mit  A±  und  A3,  (2)  A13  mit  A2 
und  Ai}  (3)  J.J3  mit  A^,  so  entstehen  die  Dreiecke  A-iA^A^ 
A2A4A13,  AA13AU. 

Multiplicirt  man  nun  (13)  mit  3  und  ersetzt  S1}  S2,  S3,  S4  durch 
die  Werthe  (1),  so  folgt 

3(\+v)S  =  (\  +  v')(As  +  At)  +  \A3+vA1  ......  (16). 

Andrerseits  folgt  aus  (15): 

(X  +  V)AU  +  (\  +  v)A=(\  +  v)A1  +  (\  +  v)43...(l7), 
und,  wenn  man  hiervon  (14)  subtrahirt  : 

(18). 


Setzt  man  endlich  die  rechte  Seite  dieser  Gleichung  in  (16)  ein, 
so  erhalt  man  nach  Weglassung  des  gemeinsamen  Factors  (X  +  v)  : 


(19), 


d.  h.  :  S  ist  der  Schwerpunkt  des  Dreiecks  A2AtA13. 
Ferner  folgt  aus  (15)  durch  Subtraction  : 


oder  A1  +  A3  +  Au  =  Aa  +  At  +  Aw  ............  (20), 

d.  h.  :  die  Dreiecke  A^AzA^  und  A»A4AU  haben  denselben  Schwer- 
punkt (S). 

Endlich  folgt  aus  (15)  : 

A 


EINIGE   SATZE   VOM   SCHWERPUNKT.  335 

oder,  indem  man  beiderseits  A^  addirt  : 


AM  ...............  (21), 

d.  h.  :  auch  das  Dreieck  A  A13A^  hat  den  Schwerpunkt  S. 

Man  kann  nun  die  letzten  Resultate  in  dem  Satze  zusammen- 
fassen  : 

Trdgt  man  auf  jeder  Diagonale  eines  Vierecks  (A^A^A^A^  den 
kleineren  ihrer  Abschnitte  von  dem  andern  Endpunkte  der  Diagonale 
aus  ab,  und  verbindet  jeden  der  beiden  so  erhaltenen  Punkte  A13,  A^, 
mit  dem  anderen  und  mit  den  Endpunkten  der  anderen  Diagonale, 
so  entstehen  (wenn  A  der  Schnittpunkt  der  Diagonalen  ist)  die 
Dreiecke  AAVAAU,  A-iA^A^,  A2A4A13,  Und  es  ist  der  Schnittpunkt 
(S)  der  Diagonalen  des  Schwerpunktvierecks  (S)  der  gemeinsame 
Schwerpunkt  dieser  drei  Dreiecke. 

Ebenso  erhalt  man  aus  den  Gleichungen  (15)  durch  Addition 
anderer  Punkte  das  Resultat,  dass  auch  folgende  Dreieckspaare 
jedesmal  denselben  Schwerpunkt  haben:  (1)  A^A^A^  und  AA2A13, 
(2)  A^^AS  und  AA4A13,  (3)  A^A^^  und  AA^A^,  (4)  A2A3A4  und 


7.  Die  in  Nr.  1  —  4  enthaltenen  Satze  iiber  das  Tetraeder  und 
die  Schwerpunkte  seiner  Seitenflachen  stehen  in  genauer  Analogic 
zu  den  Satzen  der  ebenen  Geometrie  iiber  das  Dreieck  und  die 
Schwerpunkte  (Mitten)  seiner  Seiten.  Die  hier  angewandte 
Methode  gestattet  ohne  jede  Schwierigkeit  auch  die  Ausdehnung 
der  hier  mitgetheilten  Satze  auf  die  dem  Dreieck  und  Tetraeder 
entsprechenden  Gebilde  der  Raume  mit  mehr  als  drei  Dimen- 
sionen.  Insbesondere  findet  die  oben  erwahnte  Ubertragung  der 
Satze  vom  Tetraeder  auf  das  ebene  Viereck  ein  Analogon  in  der 
Ubertragung  der  entsprechenden  Satze  vom  vierdimensionalen 
Fiinfzell  (Pentaedroid)  auf  das  Doppeltetraeder  (12345)  (Fig.  2) 
mit  seinen  sechs  Seiten  (123..  135,  152,  423,  435,  452)  und  vier 
Diagonal  flachen  (134,  124,  145,  235),  welches  aus  dem  Fiinfzell 
entsteht,  wenn  eine  Kante  desselben  (z.  B,  12)  mit  der  gegeniiber- 
liegenden  Flache  (345)  in  denselben  dreidimensionalen  Raum 
fallt.  Und  ebenso,  wie  das  aus  dem  Tetraeder  entstehende  Viereck 
(1234)  (Fig.  1)  mit  seinen  4  Seiten  (12,  23,  34,  41)  und  zwei 
Diagonalen  (13,  24)  zwei  verschiedene  Formen  erhalten  kann 
(Summe  oder  Differenz  der  Dreiecke  132,  134),  je  nachdem  es  eine 


336 


V.    SCHLEGEL. 


Ecke  (4)  oder  keine  giebt,  die  in  dem  von  den  anderen  gebildeten 
Dreiecke  liegt — ebenso  kann  auch  das  aus  dem  Flinfzell  entstehende 
Doppeltetraeder  (Hexaeder)  zwei  verschiedene  Formen  erhalten 
(Summe  oder  Differenz  der  Tetraeder  4235,  1235),  je  nachdera  es 
eine  Ecke  (1)  oder  keine  giebt,  die  in  dem  von  den  anderen 
gebildeten  Tetraeder  liegt.  (Vgl.  hierzu  meinen  Aufsatz  :  "  Uber 
die  verschiedenen  Formen  von  Gruppen,  welche  r  beliebige 
Punkte  im  w-dimensionalen  Raume  bilden  konnen."  Hoppe's 
Archiv  der  Math.  u.  Phys.  (2)  x.  p.  293.) 


Fig. 2. 


DER   PYTHAGORAISCHE    LEHRSATZ   IN 
MEHRDIMENSIONALEN    RAUMEN. 

VON 

V.    SCHLEGEL   IN   HAGEN   I/W. 

1.  1st  AOB  em  beliebiges  Dreieck,  so  1st  nach  dem  Gesetze 
uber  die  geometrische  Addition  der  Strecken: 

(B-0)  +  (0-A}  =  (B-A\ 
oder  in  abgektirzter  Bezeichnung  : 

b  +  a  =  (b  +  a)  ........................  (1). 

Setzt  man  ferner  nach  den  Methoden  der  Orassmann'schen 
Ausdehnungslehre 

ab  cos  (ab)  =  (a/6)  ........................  (2), 

und  (a/a)  =  a2  =  a-  ........................  (3), 

wobei  (a/6)  das  innere  Product  von  a  und  6,  und  a-  das  innere 
Quadrat  von  a  genannt  wird,  so  folgt  aus  (1)  durch  Bildung  des 
inneren  Quadrates  : 

(6  +  a)2  =  ^+2(a/6)  +  a?  ..................  (4), 

als  Ausdruck  des  allgemeinen  pythagordischen  Satzes. 
1st  b  senkrecht  zu  a,  so  ist  nach  (2) 

(0/6)  =  0  ..............................  (5), 

und  Form  el  (4)  stellt  den  gewohnlichen  pythagoraischen  Satz  dar. 

2.  Gehen  von  einem  Punkt  0  drei  begrenzte  Strecken  aus: 
0  —  A=a,   0  —  B  =  b,   0  —  C=c,   welche   drei    Dreiecke    bilden  : 
OAB,  OBC,  OCA,  so  sind  die  Flachen  dieser  Dreiecke  resp.  : 


Hierin  bedeutet  z.  B.  [be]  das  dussere  Product  von  6  und  c,  und 
der  numerische  Werth  desselben  ist  gegeben  durch  die  Ausdriicke  : 

=6csin(6c)  .....................  (7). 


c.  P.  22 


338  V.    SCHLEGEL. 

Nun  1st  im  Dreieck  BOG,  analog  wie  in  A  OB  (Nr.  ]  )  : 


oder  in  abgekurzter  Bezeichnung  : 

6  +  c  =  (6  +  c)  ........................  (8). 

Durch   aussere  Multiplication   der   Gleichungen   (1)  und  (8) 
ergiebt  sich 

[a6]  +  [ac]  +  [6c]  =  [(6  +  a)(6  +  c)]  .......  .....(9). 

Derm  es  ist  nach  (7) 

=  Q,  also  auch  [66]  =  0  ......  (10). 


Dividirt  man  (9)  Glied  fur  Glied  durch  2,  so  folgt  mit  Rucksicht 
auf  (6),  doss  die  geometrische  Summe  dreier  Fldchen  vines  Tetraeders 
gleich  der  vierten  Fldche  ist. 

Schreibt  man  (9)  in  der  Form  : 

a  +  /3  +  7  =  (a  +  /3  +  7)  ..................  (11), 

so  folgt  hieraus  durch  Bildung  des  inneren  Quadrates  : 

(a  4-  ft  +  7)°-  =  a?  +  &  +  7-*  +  2  (a/0)  +  2  (ft/y)  +  2  (7/a).  .  .(12), 

oder,  wenn  der  Inhalt  des  Dreiecks  ABC  durch  B,  und  z.  B.  der 
Nebenwinkel  des  Neigungswinkels  der  Flachen  a  und  /2  mit  (a/9) 
bezeichnet  wird  : 

82  =  a2  +  £2  +  72  +  2a/3  cos  (a/8)  +  2/fy  cos  (£7)  +  27a  cos  (ya).  .  .(13)*. 

Diese  Formel  drtickt  den  allgemeinen  pythagordischen  Satz  des 
dreidimensionalen  Raumes  aus. 

Stehen  die  Strecken  a,  b,  c  auf  einander  senkrecht,  so  geht 
(13)  liber  in 


=  a? 


und  stellt  in  dieser  Form  den  gewohnlichen  pythagoraischen  Satz 
des  Raumes  dar. 

3.  Es  seien  nun  im  w-dimensionalen  Raume  n  von  einem 
Punkte  ausgehende  auf  einander  senkrechte  Strecken  gegeben. 
Zwischen  je  zwei  Endpunkten  derselben  liegt  eine  Strecke,  zwischen 
je  dreien  ein  Dreieck,  zwischen  je  vieren  ein  Tetraeder  ;  allgemein 
zwischen  alien  n  Endpunkten  ein  Gebilde  mit  (n  —  1)  Aus- 
dehnungen  und  n  Ecken  [(n  —  l)-dehniges  n-Eck].  Dieses  moge 

*  Vgl.  Grassmann  Ausdehnungslehre  n.  338  —  340. 


PYTHAGORAISCHER   LEHRSATZ.  339 

das  Hypotenusengebilde  heissen.  Ferner  begrenzen  je  (n—  1) 
senkrechte  Strecken  zusammen  mit  einem  das  Hypotenusengebilde 
begrenzenden  (n  —  2)-dehnigen  (n  —  l)-Eck  ein  neues  (n  —  1)- 
dehniges  w-Eck.  Diese  letzteren  Gebilde  mb'gen  Kathetengebilde 
heissen.  Die  n  Kathetengebilde  zusammen  mit  dem  Hypotenusen- 
gebilde begrenzen  ein  n-dehniges  rechteckiges  (n  +  l)-Eck.  Sind 
dann  aly  a2,  ...  an  die  (n  —  l)-dimensionalen  Volumina  der  Katheten- 
gebilde, und  ist  an+1  das  Volumen  des  Hypotenusengebildes,  so 
erhalt  man  durch  ein  Verfahren,  welches  dem  in  Nr.  2  befolgten 
analog  ist,  die  Formel  : 

an+?  =  a?  +  a*+...+a1?  ..................  (14), 


als   Ausdruck   fur   den    gewohnlichen    pythagoraischen   Satz   des 
n-dimensionalen  Raumes. 

Wenn  c1}  c2,  c3,...cn  die  auf  einander  senkrechten  Kanten 
bedeuten,  so  ist  z.  B.  der  Inhalt  desjenigen  Kathetengebildes, 
welches  die  Strecke  cn  nicht  enthalt  : 


und  demnach  die  Summe  der  Quadrate  sammtlicher  Katheten- 
gebilde 

2      'l        1        1  1 


4.  Um  die  Oberflache  eines  rechteckigen  Tetraeders  in  der 
Ebene  abzubilden,  denke  man  sich  jede  der  drei  Kathetenflachen 
um  ihre  mit  der  Hypotenusenflache  gemeinsame  Kante  nach 
aussen  bis  in  die  Ebene  des  Hypotenusen-Dreiecks  gedreht. 
Dann  erhalt  man  eine  Abbildung  (Fig.  1),  in  welcher  alle  Kanten 
und  Flachen  in  unveranderter  Grosse  erscheinen,  die  also  als 
"  Netz  "  im  gewohnlichen  Sinne  bezeichnet  werden  kann. 

In  analoger  Weise  kann  man  sich  die  vier  Kathetenkorper 
eines  rechteckigen  Funfzells  um  ihre  mit  dem  Hypotenusenkorper 
gemeinsame  Ebene  bis  in  den  Raum  dieses  Korpers  gedreht  denken. 
Dann  erhalt  man  eine  dreidimensionale  Abbildung  (auf  die  Ebene 
projicirt  in  Fig.  2)  in  welcher  ebenfalls  alle  Kanten,  Flachen  und 
Kb'rper  in  unveranderter  Grosse  und  Gestalt  erscheinen,  die  also 
als  "Zellgewebe"  des  rechteckigen  Funfzells  bezeichnet  werden 

22—2 


340 


V.    SCHLEGEL. 


kann*.  Uber  jeder  Flache  des  Hypotenusen-Tetraeders  A1A.2ASA4 
erhebt  sich  ein  bei  As  rechteckiges  Tetraeder.  Der  Unterschied 
dieser  Abbildung  von  der  gewohnlichen  (Fig.  3)  besteht  nur 
darin,  dass  die  vier  rechteckigen  Tetraeder  in  der  letzteren  nach 
innen  projicirt,  statt  unverandert  nach  aussen  aufgesetzt  sind,  und 
die  Ecke  As  gemeinsam  haben.  Sind  je  zwei  Gegenkanten  des 
Tetraeders  A^A 2A3A4  einander  gleich,  so  geht  die  Abbildung 
Fig.  2  in  eine  rechteckige  Saule  (Parallelepipedon)  mit  ein- 
beschriebenem  Tetraeder  liber  (Fig.  4),  und,  wenn  dieses  Tetraeder 
regelmassig  ist,  in  einen  Wlirfel.  Sind  x,  y,  z  drei  anstossende 
Kanten  der  rechteckigen  Saule,  so  geht  die  pythagoraische  Formel 
des  rechteckigen  Flinfzells  liber  in  die  Identitat 

-4-T)- 


A, 


Hg.4. 

A 


*  Vgl.  Schlegel,   "Theorie  der  homogen  zusammengesetzten  Baumgebilde, " 
Nova  Acta  d.  Kais.  Leop.  Carol.  Acad.  Vol.  XLIV.  Nr.  4,  p.  438  u.  439. 


GRUPPENTHEORIE    UND    KRYSTALLOGRAPHIE. 

VON 
A.    SCHOEN  FLIES   m  GOTTINGEN. 

DIE  neueren  mathematischen  Untersuchungen  im  Gebiet  der 
krystallographischen  Structurtheorieen  stehen  im  wesentlichen 
unter  dem  Eintiuss  gruppentheoretischer  Begriffsbildungen.  Die 
wachsende  Bedeutung,  die  der  Gruppenbegriff  im  Verlauf  der 
letzten  Decennien  in  der  reinen  Mathematik  erlangt  hat,  ist 
sowohl  auf  die  Fassung,  als  auch  auf  die  Behandlung  der  ein- 
schlagigen  Probleme  von  besonderem  Vorteil  gewesen. 

Wir  wollen  unter  einer  euklidischen  Raum transformation  eine 
solche  verstehen,  die  jeden  Raumteil  in  einen  ihm  congruenten 
oder  in  einen  spiegelbildlich  gleichen  Raumteil  tiberfiihrt.  Als- 
dann  umfasst  die  Theorie  der  Gruppen  von  euklidischen  Trans- 
formationen  des  Strahlenbtindels  die  Lehre  von  der  Systematik 
der  Krystalle,  wahrend  die  Theorie  der  euklidischen  Transforma- 
tionsgruppen  des  Raumes  mit  den  geometrischen  Theorieen  iiber 
die  Structur  der  Krystallsubstanz  geradezu  identisch  ist. 

Das  oberste  Grundgesetz  der  krystallisirten  Materie  ist 
bekanntlich  das  Symmetriegesetz.  Bestimmt  man  zu  einer 
beliebigen  Richtung  g,  die  von  einem  Punkte  0  ausgeht,  die  mit 
g  physikalisch  gleichwertigen  Richtungen  glt  g2...,  so  ist  die  Lage 
dieser  N  von  0  auslaufenden  Richtungen  stets  durch  bestimmte 
Symmetrieeigenschaften  ausgezeichnet.  Diese  Symmetrieeigen- 
schaften  sind  davon  unabhangig,  wie  die  Richtung  g  innerhalb 
der  Krystallmasse  angenommen  wird,  sie  erhalten  sich  iiberdies 
wahrend  der  wechselnden  physikalischen  Zustande,  in  denen  sich 
der  Krystall  befinden  kann.  Diese  Thatsache  bildet  den  Inhalt 
des  Symmetriegesetzes ;  es  zeigt,  dass  die  Symmetrieeigenschaften 
der  N  Richtungen  eine  bleibende  Eigenschaft  des  Krystalles 
bilden,  die  man  seinen  Symmetriecharacter  zu  nennen  pflegt. 


342  A.    SCHOENFLIES. 

Die  Systematik  der  KrystalU  bezweckt  ihre  Einteilung  nach 
dem  Symmetriecharacter.  Sie  lauft  daher  auf  die  geometrische 
Aufgabe  hinaus,  alle  Verbindungen  von  Symmetrieelementen 
anzugeben,  die  einen  Punkt  fest  lassen,  und  dies  ist  gruppen- 
theoretisch  identisch  mit  dem  Problem,  alle  endlichen  und 
discontinuirlichen  Gruppen  von  euklidischen  Transformationen 
des  Strahlenbvindels  in  sich  abzuleiten.  Die  erste  Losung  dieser 
Aufgabe  verdankt  man  bekanntlich  dem  Marburger  Mineralogeu 
C.  F.  Hessel;  er  war  derjenige,  der  in  der  Aufzahlung  aller 
Symmetriearten  ein  geometrisches  Problem  erkannte,  und  die 
Notwendigkeit  begriff,  es  deductiv  mathematisch  zu  behandeln 
(1830).  Die  Zahl  dieser  Symmetriegruppen  ist  bekanntlich 
unbegrenzt  gross ;  die  32  Krystallclassen  stellen  diejenigen  von 
ihnen  dar — wir  werden  sie  in  der  Folge  mit  G  bezeichuen — , 
deren  Symmetrieaxen  zwei-  drei-  vier-  oder  sechszahlig  sind.  Die 
Beschrankung  auf  derartige  Axen  ist  eine  Folge  des  Gesetzes  der 
rationalen  Indices',  die  deductive  Ableitung  aller  moglichen 
Krystallclassen  beruht  daher  auf  zwei  empirisch  gewonnenen 
Gesetzen,  auf  dem  Symmetriegesetz  und  dem  Gesetz  der  rationalen 
Indices. 

Es  bedarf  kaum  der  Erwahnung,  dass  in  Hessel's  Arbeiten 
gruppentheoretische  Vorstellungen  noch  nicht  zu  finden  sind ;  sie 
waren  ihm,  sowie  seinen  deutschen  Zeitgenossen,  noch  unbekannt. 
Man  wird  nicht  fehl  gehen,  wenn  man  in  der  Unbekanntschaft 
mit  den  gruppentheoretischen  Begriffen  den  inneren  Grund  dafur 
erblickt,  dass  ein  so  wertvolles  Resultat,  wie  dasjenige  Hessel's, 
Jahrzehnte  hindurch  unbeachtet  bleiben  konnte,  und  dies  scheint 
um  so  mehr  zutreffend  zu  sein,  als  selbst  die  spateren  Darstel- 
lungen  der  Krystallsystematik  von  Bravais  (1849)  und  Gadolin 
(1867)  nicht  sofort  zu  der  Verbreitung  gelangt  sind,  die  ihnen 
der  Sache  nach  zukam.  Das  weitere  Interesse  an  der  deductiven 
Behandlung  des  Symmetrieproblems  ist  erst  ziemlich  neuen 
Daturas;  es  hat  sich  erst  entwickelt,  nachdem  die  neueren 
Ableitungen  von  Fedorow,  P.  Curie  und  Minnigerode  er- 
schienen  waren,  von  denen  jedenfalls  die  beiden  letzten  unter  der 
Herrschaft  des  Gruppenbegriffs  entstanden  sind. 

Erheblicher  ist  der  Anteil,  den  die  gruppentheoretischen 
Ideen  an  der  Ausgestaltung  der  Structurtheorieen  fur  sich  in 
Anspruch  nehmen  diirfen.  Die  ersten  Vorstellungen  liber  die 


GRUPPENTHEORIE   UND    KRYSTALLOGRAPHIE.         343 

Structur  der  Krystallsubstanz  sind  bekanntlich  auf  franzbsischem 
Boden  erwachsen.  Sie  gehen  von  der  fundamentalen  Hypothese 
aus,  dass  die  molekulare  Eigenart  der  Krystalle  in  der  regel- 
massigen  Anordnung  der  Krystallbausteine  ihren  Ausdruck  findet. 
Diese  Vorstellung  ist,  seitdem  ihr  der  Abbe*  Ren^  Just  Hatiy 
zuerst  Ausdruck  gegeben  (1781),  ununterbrochen  in  Geltung 
geblieben ;  fast  alle  Autoren,  die  versucht  haben,  sich  liber  die 
Constitution  der  Krystallsubstanz  eine  bestimmte  Ansicht  zu 
bilden,  gehen  von  ihr  aus.  Auf  mathematischer  Seite  haben  sich 
schon  Cauchy  (1828)  und  Poisson  (1839)  mit  der  Dynamik 
regelmassiger  Punktsysteme  beschaftigt. 

Diejenige  Wendung,  durch  welche  die  genannte  Hypothese 
das  Recht  erhielt,  die  Bedeutung  einer  Theorie  zu  beanspruchen, 
trat  durch  Bravais  (1850)  ein.  Zwar  hatten  bereits  Delafosse 
und  Poisson  die  Hatiy'schen  Vorstellungen  in  praciserer  Form 
durch  die  raumgitterartige  Anordnung  der  Krystallbausteine 
ersetzt ;  aber  erst  Bravais  hat  dieser  Anschauung  ihre  theore- 
tische  Berechtigung  gesichert.  Er  war  es,  der  den  Nachweis 
erbrachte,  dass  die  Raumgitterstructuren  gerade  durch  diejenigen 
Symmetrieverhaltnisse  ausgezeichnet  sind,  die  sich  bei  den 
Krystallen  vorfinden,  und  dass  sich  fur  jede  der  32  Krystallclassen 
Structuren  angeben  lassen,  deren  Symmetric  mit  der  Symmetric 
der  bezliglichen  Krystallclasse  iibereinstimmt.  Es  verdient  ferner 
hervorgehoben  zu  werden,  dass  seine  Theorie  auch  insofern 
consequent  und  einheitlich  aufgebaut  war,  als  er  die  Structur 
fur  jede  der  32  Krystallclassen  in  gleicher  Weise  herzustellen 
vermochte. 

In  Deutschland  scheint  das  Interesse  fur  moleculare  Specula- 
tionen  in  der  ersten  Halfte  des  Jahrhunderts  nicht  besonders 
gross  gewesen  zu  sein,  wahrscheinlich  in  Folge  einer  weit 
verbreiteten  Abneigung  gegen  atomistische  Vorstellungen,  wie  sie 
durch  die  damals  herrschenden  philosophischen  Schulmeinungen 
bedingt  wurde.  So  ist  die  Abhandlung  von  Seeber  (1824),  der 
ebenfalls  schon  mit  der  Raumgitterstructur  operirte,  fast  ohne 
jede  Beachtung  geblieben.  Erst  in  den  letzten  Jahrzehnten  ist 
hierin  ein  Wandel  eingetreten ;  auf  ihn  ist  auch  die  Neubelebung 
des  Interesses  fur  die  Fragen  der  Krystallstructur  zuriickzu- 
fiihren.  Uberall  ist  das  Bestreben  in  den  Vordergrund  getreten, 
"  das  Innere  der  Natur "  zu  erfassen,  die  dynamischen  Vorgange, 


344  A.    SCHOENFLIES. 

die  auf  dem  Spiel  der  molekularen  Wechselwirkungen  beruhen, 
selbst  der  Rechnung  zu  unterwerfen,  und  auf  diese  Weise  in  der 
Befriedigung  un  seres  Wissensdranges  einen  weiteren  Schritt 
vorwarts  zu  thun.  Der  Wunsch,  aus  der  Qualitat  und  der 
Lagerung  der  Krystallbausteine  die  allgemeinen  Gesetze  der 
homogenen  Krystallsubstanz  ableiten  zu  kb'nnen,  hangt  hiermit 
aufs  engste  zusammen.  Ob  die  Erscheinungen  in  der  uns 
umgebenden  Korperwelt  auf  denjenigen  molekularen  Vorgangen 
beruhen,  die  wir  fur  sie  postuliren,  ist  freilich  eine  andere  Frage, 
die  gleich  vielen  anderen,  die  die  sogenannte  "  Uebereinstimmung 
unserer  Erkenntniss  mit  der  Wirklichkeit "  betreffen,  eine  Beant- 
wortung  vielleicht  niemals  finden  wird.  Aber  wie  man  auch 
hieriiber  denken  rnag,  ob  mehr  oder  weniger  skeptisch,  man  wird 
einer  Theorie  die  Anerkennung  nicht  versagen  konnen,  in  der  die 
beiden  empirischen  Grundgesetze  der  Krystallsubstanz,  namlich 
das  Symmetriegesetz,  sowie  die  Beschrankung  auf  zwei-  drei- 
vier-  und  sechszahlige  Symmetrieaxen,  als  unmittelbare  und 
directe  Consequenzen  von  principieller  Wichtigkeit  erscheinen. 

Der  Fortschritt  der  Wissenschaft  hat  bekanntlich  gezeigt,  dass 
die  Bravais'sche  Theorie  nicht  die  einzig  mogliche  ist.  Die 
Anregung  hierzu  ist  von  Wiener  (1863)  und  Sohncke  (1867) 
ausgegangen ;  beide  wiesen  unabhangig  von  einander  darauf  hin, 
dass  bei  den  Bravais'schen  Structuren  alle  Molekeln  parallele 
Orientirung  im  Raume  haben,  wahrend  regelmassige  Anordnung 
von  Molekeln  im  Raum  auch  ohne  parallele  Orientirung  moglich 
ist.  Hiermit  war  der  Anstoss  gegeben,  iiber  die  Bravais'sche 
Theorie  hinauszugehen  und  zu  Fragestellungen  von  allgemeinerer 
Tragweite  fortzuschreiten.  Die  einschlagigen  Probleme  sind  durch 
die  Arbeiten  von  Sohncke  und  Fedorow,  sowie  durch  diejenigen 
des  Verfassers,  jetzt  soweit  geklart  worden,  dass  man,  wenigstens 
in  geometrischer  Hinsicht,  von  einem  Abschluss  der  Untersu- 
chungen  reden  kann. 

Folgende  Fragen  sind  es,  die  hier  im  Vordergrund  des 
Interesses  stehen. 

(1)  Welches  ist  der  allgemeinste  Begriff  einer  regelmassigen 
Verteilung   von   Materie   im    Raume,    resp.    eines  regelmassigen 
Molekelsystems  ? 

(2)  Wieviele  verschiedene   derartige   regelmassige  Molekel- 
systeme  giebt  es  ? 


GRUPPENTHEORIE    UND    KRYSTALLOGRAPHIE.         345 

(3)  Worm  driickt  sich  der  Symmetriecharacter  eines  solchen 
Systems   aus,   und    welches    ist   die    Symmetric    der    einzelnen 
Systeme  ? 

(4)  Welche    Structurauffassungen    sind    auf    Grund    dieser 
Systeme  moglich  und  welche  Qualitat  wird  bei  jeder  Structur- 
auffassung  den  constituirenden  Bausteinen  notwendig  beigelegt  ? 

Die  Regelmassigkeit  des  Molekelsystems  ist  von  alien  Autoren 
dahin  definirt  worden,  dass  alle  Molekeln  von  gleicher  Art  sind, 
und  dass  jede  von  ihnen  von  den  benachbarten  Molekeln  auf 
gleiche  Weise  umgeben  ist.  Der  eigentliche  Inhalt  dieser 
Definition  ist  aber  nicht  immer  gleichartig  gefasst  worden. 
Vom  Standpunkte  der  Gruppentheorie  lassen  sich  die  Unter- 
schiede  folgendermassen  kennzeichnen.  Ist  2  ein  regelmassiges 
Molekelsystem  und  M  eine  seiner  Molekeln,  so  lasst  sich  die  Lage 
aller  iibrigen  Molekeln  aus  M  dadurch  ableiten,  dass  man  M  der 
Reihe  nach  den  sammtlichen  Transformationen  A,  B,  C...  einer 
Schaar  G  unterwirft.  Ist  diese  Schaar  eine  Gruppe  von  Transla- 
tionen,  so  erhalten  wir  die  Systeme  von  Bravais,  in  denen  die 
Molekeln  congruent  und  parallel  orientirt  sind ;  ist  sie  eine 
allgemeine  Bewegungsgruppe,  so  ergeben  sich  die  Sohncke'schen 
Systeme,  in  denen  alle  Molekeln  einander  congruent,  aber  nicht 
mehr  parallel  orientirt  sind ;  ist  sie  endlich  eine  Gruppe,  die  beide 
Arten  euklidischer  Transformationen  enthalt,  so  ergeben  sich 
die  allgemeinsten  regelmassigen  Molekelsysteme,  in  denen  die 
Molekeln  theils  congruent,  theils  spiegelbildlich  gleich  sind.  Auf 
die  Notwendigkeit,  diese  Systeme  in  die  Structurtheorieen  mit- 
aufzunehmen,  ist  zuerst  von  Curie  (1884)  und  Fedorow  (1885) 
hingewiesen  worden. 

Die  Zahl  der  so  definirten  regelmassigen  Molekelsysteme 
betragt  im  Ganzen  230.  Fur  jedes  System  2  giebt  es  eine 
Gruppe  von  euklidischen  Raumtransformationen,  die  die  Eigen- 
schaft  hat,  dass  das  System  S  bei  jeder  Transformation  dieser 
Gruppe  in  sich  iibergeht.  Jedem  Molekelsystem  ist  auf  diese 
Weise  eine  Gruppe  F  zugeordnet,  die  aus  seinen  sammtlichen 
Deckoperationen  besteht ;  in  ihnen,  resp.  in  der  Gruppe  F  kommt 
die  Symmetrie  des  Systems  S  zum  Ausdruck.  Hier  hat  sich  nun 
das  wichtige  Resultat  ergeben — es  bildet  die  Hauptsttitze  der 
Structurtheorieen— dass  jede  der  230  Gruppen  F  einer  der  32 
Gruppen  G  von  Symmetrieen  isomorph  ist,  die  den  32  Kry stall- 


346  A.    SCHOENFLIES. 

classen  entsprechen.  Die  sammtlichen  230  regelmassigen  Molekel- 
systeme  zerfallen  also  rticksichtlich  der  Symmetric  in  die  namlichen 
32  Klassen,  zu  denen  die  vom  Symmetriegesetz  und  vom  Gesetz 
der  rationalen  Indices  ausgehende  Deduction  hinfuhrt;  die 
beiden  empirisch  gewonnenen  Grundgesetze  der  krystallisirten 
Materie  erscheinen  also  wirklich  als  directe  Folgerungen  der 
molekularen  Hypothese. 

Es  eriibrigt  noch,  auf  die  vierte  der  oben  aufgeworfenen 
Fragen  einzugehen.  Die  Antwort  lautet,  dass  es  eine  ganze 
Eeihe  verschiedener  Structurauffassungen  giebt,  die  nnter  einander 
geometrisch  gleichwertig  sind,  und  zwar  ist  dies  so  zu  verstehen, 
dass  es  bei  jeder  derartigen  Structurauffassung  gelingt,  fur  die 
Krystalle  Molekelsysteme  zu  construiren,  die  die  namliche  Sym- 
metrie  aufweisen,  wie  der  beztigliche  Krystall  selbst,  genau  so,  wie 
es  oben  von  der  Bravais'schen  Theorie  angegeben  wurde.  Es 
fragt  sich,  in  welchen  mathematischen  Thatsachen  dies  begriindet 
ist,  und  welches  die  beziiglichen  Structurauffassungen  sind. 
Hieriiber  ist,  wie  der  Verfasser  ermittelt  hat  (1891),  folgendes  zu 
bemerken. 

Die  Art  der  Deckoperationen,  die  ein  Molekelsystem  gestattet, 
hangt  augenscheinlich  von  zwei  Factoren  ab,  namlich  von  der 
raumlichen  Anordnung  der  Molekeln  und  von  ihrer  Qualitat. 
Sind  die  Molekeln  unregelmassig  geformt,  und  frei  von  Sym- 
metric, so  kann  es  keine  eigentliche  Deckoperation  des  Molekel- 
systems  2  geben,  die  eine  Molekel  in  sich  iiberfuhrt ;  bei  jeder 
Deckoperation  des  Systems  muss  die  Molekel  M  notwendig  in 
eine  andere  Molekel  M'  iibergehen.  In  diesem  Fall  umfasst  die 
oben  erwahnte  Schaar  G,  durch  deren  Transformationen  A,B,G... 
aus  M  die  iibrigen  Molekeln  Ma,  J/&,  Mc...  hervorgehen,  auch  die 
sammtlichen  Deckoperationen  von  2,  sie  ist  gleichzeitig  diejenige 
Gruppe,  die  wir  vorher  mit  F  bezeichnet  haben.  Fiir  die  so 
skizzirte  Structurauffassung  kommt  die  Molekel  fur  die  Symmetric 
des  Systems  nicht  in  Betracht,  die  Symmetric  beruht  vielmehr 
ausschliesslich  auf  der  Anordnung  der  individuellen  Bausteine ; 
ich  habe  daher  fur  diese  Structurauffassung  die  Bezeichnung 
"reine  Structurtheorie"  angewendet. 

Die  Identitat  von  G  und  F  ist  keineswegs  jeder  Structurauf- 
fassung eigentiimlich  ;  vielmehr  unterscheiden  sich  die  verschie- 
denen  Structuren  gerade  durch  das  Verhaltniss,  in  dem  bei  ihnen 


GRUPPENTHEORIE    UND    KRYSTALLOGRAPHIE.         347 

die  Schaar  G  und  die  Gruppe  F  zu  einander  stehen.  Wird  das 
eine  Extrem  durch  die  Identitat  von  G  und  T,  resp.  durch  die 
reine  Structurtheorie  dargestellt,  so  liegt  in  der  Bravais'schen 
Theorie  das  andere  Extrem  vor.  Bei  der  Bravais'schen  Theorie 
besteht  die  Schaar  G  nur  aus  Translationen,  sie  ist  die  in  F 
enthaltene  Translationsgruppe  T.  Ist  nun  K  irgend  ein  Krystall, 
und  G  diejenige  der  32  Gruppen,  die  seine  Symmetric  kenn- 
zeichnet,  so  entspricht  bei  der  isomorphen  Zuordnung  der  Grup- 
pen G  und  F  die  Translationsgruppe  von  F  der  Identitat  von 
G;  jeder  anderen  Operation  von  G,  d.  h.  jeder  eigentlichen 
Symmetrieeigenschaft  des  Krystalles,  muss  daher  notwendig  eine 
solche  Deckoperation  des  Molekelsystems  2  entsprechen,  die 
eine  Molekel  in  sich  iiberfuhrt.  Die  Bravais'sche  Construction 
des  Molekelsystems  erfordert  demnach,  dass  die  Symmetric  der 
Molekel  mit  der  Symmetrie  des  beztiglichen  Krystalles  voll- 
standig  ubereinstimmt,  wie  dies  ja  seiner  Theorie  in  der  That 
eigentiimlich  ist. 

Soil  es  moglich  sein,  zwischen  die  reine  Structurtheorie  und 
die  Bravais'sche  Theorie  noch  eine  Reihe  anderer  Structurauf- 
fassungen  einzuordnen,  so  muss  es  augenscheinlich  darauf  beruhen, 
dass  man  Molekeln  benutzt,  die  nur  einen  Theil  der  Symmetrie 
des  Krystalles  besitzen.  Dies  ist  in  der  That  der  Fall.  Alle 
librigen  Structuren  kommen  dadurch  zu  Stande,  dass  man  die 
Gesammtsymmetrie  des  Krystalles  in  zwei  Theile  zerlegt,  von 
denen  der  eine  der  Molekel  aufgepragt  wird,  wahrend  sich  der 
andere  in  der  Anordnung,  d.  h.  in  der  Art  des  Aufbaues,  darstellt. 
Gruppentheoretisch  erklart  sich  dies  folgendermassen.  Es  sei 
wieder  G  diejenige  der  32  Gruppen,  welche  die  Symmetrie  des 
Krystalles  K  darstellt,  ferner  sei  F  eine  ihr  isomorphe  Gruppe 
und  S  wiederum  das  zugehorige  Molekelsystem.  Ist  jetzt  G' 
eine  Untergruppe  von  G,  so  lasst  sich  die  Gruppe  G  stets 
dadurch  erzeugen,  dass  man  die  Gruppe  G'  mit  gewissen 
Operationen  A,  B,  C...  multiplicirt,  die  naturlich  eine  in  G 
enthaltene  Schaar  G"  bilden  werden.  Es  giebt  nun  eine  grosse 
Reihe  von  Gruppen  F,  die  ein  durchaus  analoges  Verhalten 
zeigen.  Sie  lassen  sich  dadurch  erzeugen,  dass  man  die  Gruppe 
G'  mit  einer  Schaar  von  Operationen  A,  B,  0... multiplicirt,  und 
dies  trifft  stets  und  nur  dann  zu,  wenn  F  die  Gruppe  G'  als 
Untergruppe  enthalt.  Um  das  Molekelsystem  2  abzuleiten,  das 


348  A.    SCHOENFLIES. 

der  Gruppe  F  entspricht,  kann  man  daher  auch  so  verfahren,  dass 
man  eine  Molekel,  deren  Symmetric  durch  G'  gekennzeichnet  iat, 
den  sammtlichen  Operationen  A,  B,  C...  der  Schaar  T"  unter- 
wirf't.  Wir  haben  alsdann  eine  Structurauffassung,  bei  der  die 
Symmetric  der  Systems  teilweise  auf  der  Symmetric  der  Molekeln, 
und  teilweise  auf  ihrer  Anordnung  beruht. 

An  und  fiir  sich  ist — wenigstens  in  geometrischer  Hinsicht — 
jede  der  hiermit  angedeuteten  molekularen  Erzeugungsweisen  der 
Krystallsubstanz  gleichberechtigt ;  man  kann  daher  die  Sym- 
metric eines  Molekelsystems.  das  einen  gegebenen  Krystall 
darstellen  soil,  in  mannigfacher  Weise  begriinden.  Jeder  Zwei- 
teilung  der  Krystallsymmetrie  in  G'  und  G"  entspricht  eine 
andere  Structurauffassung.  Historisch  liegt  allerdings  die  Sache 
so,  dass  nur  zwei  solche  Teiluugen  zur  consequenten  Ausgestalt- 
ung  von  Structurvorstellungen  benutzt  worden  siud.  Ftir  die 
eine,  namlich  die  Bravais'sche,  ist  die  Untergruppe  G'  direct  die 
Gruppe  G,  wahrend  sich  fur  die  andere,  namlich  fur  die  reine 
Structurtheorie,  G'  auf  die  Identitat  reducirt. 

Der  Kunstgriff,  den  Bravais  benutzte,  lauft  darauf  hinaus, 
den  Molekeln  dieselbe  Symmetric  beizulegen,  die  der  Krystall 
besitzt.  Er  stattet  die  kleinsten  Theilchen  genau  mit  denjenigen 
Eigenschaften  aus,  deren  Vorkommen  erklart  werden  soil ;  eiu 
Verfahren,  das  haufig  befolgt  wird,  um  die  physikalischen  Er- 
scheinungen  unserm  Verstandniss  naher  zu  bringen,  und  oftmals 
den  ersten  Versuch  in  dieser  Richtung  darstellt.  Dem  gegeniiber 
bedeutet  der  Grundgedanke  der  reinen  Structurtheorie,  indem  er 
die  Forderung  stellt,  fur  die  Erklarung  der  Symmetric  die 
Anordnung  der  Molekeln  allein  in's  Auge  zu  fassen,  in  erster 
Linie  einen  theoretischen  Fortschritt.  Er  schliesst  aber  auch 
insofern  einen  practischen  Fortschritt  ein,  als  er  die  Molekel 
weder  nach  Form  noch  Wirkungsweise  einer  positiven  Bestim- 
mung  unterwirft,  und  es  daher  ermoglicht,  dass  sie  stets  so 
specialisirt  werden  kann,  wie  es  die  physikalischen  und  chemischen 
Eigenschaften  der  Krystallsubstanz  erfordern.  Die  Krystallogra- 
phen  halten  allerdings  fast  sammtlich  noch  an  der  Bravais'schen 
Theorie  fest;  im  besondern  habe  ich  zu  bemerken,  dass  auch 
Fedorow  in  letzter  Zeit  im  wesentlichen  wieder  zu  den  Vor- 
stellungen  Haiiy's  und  Bravais'  zurtickgekehrt  ist.  Man  kaun 
es  begreiflich  finden,  dass  die  Krystallographen  eiuer  Theorie 


GRUPPENTHEORIE    UND   KRYSTALLOGRAPHIE.        349 

treu  bleiben,  die  auf  alle  Falle  den  Vorzug  grosserer  Einfachheit 
und  Anschaulichkeit  besitzt;  es  ist  aber  ungerechtfertigt,  die 
allgemeineren  Stnicturen,  in  denen  die  Molekeln  schraubenfb'rmig 
gelagert  sind,  einfach  deshalb  abzulehnen,  weil  man  sie  fur 
"unnatlirlich"  halt;  "unnatiirlich"  in  diesem  Sinn  bedeutet  doch 
nur,  dass  etwas  iiber  die  bisherigen  Vorstellungen  hinausgeht. 
Ebensowenig  ist  es  gegriindet,  wenn  Fedorow,  wie  dies  kiirzlich 
geschehen,  die  Behauptung  aufstellt,  die  Krystallmolekeln  miissen 
den  Raum  deshalb  in  paralleler  Lage  erfiillen,  weil  sonst  die 
Grundeigenschaft  eines  jeden  Krystalles — namlich  die  Gleichheit 
langs  paralleler  Richtungen — ihren  "inneren  Sinn"  verlieren  wiirde. 
Die  Entscheidung  iiber  die  Frage,  ob  die  allgemeinen  Structuren 
eine  physikalische  Berechtigung  beanspruchen  konnen,  liegt 
vielmehr  auf  einem  anderen  Gebiet.  Sie  hangt  einzig  und  allein 
davon  ab,  ob  sich  die  molekulare  Wirkungsweise  der  allgemeinen 
Structuren  mit  den  sonstigen  Gesetzen  der  Materie  in  Ueberein- 
stimmung  befindet,  resp.  ob  es  moglich  ist,  die  physikalischen 
Eigenschaften  der  Krystallsubstanz  als  notwendige,  d.  i.  als 
mathematische  Consequenzen  der  molekularen  Structur  zu 
begreifen.  Hieriiber  sind  wir  freilich  noch  ohne  Kenntnisse,  es 
ist  aber  andrerseits  zu  bemerken,  dass  diese  Frage  auch  fur  die 
Gittertheorie  noch  keineswegs  ausreichend  beantwortet  ist ;  man 
ist  bislang  iiber  wenige  Ansatze  nicht  herausgekommen.  In 
dieser  Richtung  wiirden  sich  die  weiteren  Untersuchungen  im 
Gebiet  der  Structurtheorieen  bewegen  miissen. 

GOTTINGEN,  im  Juli  1893. 


FORMULARY    FOR    AN    INTRODUCTION    TO 
ELLIPTIC    FUNCTIONS. 

BY 

IRVING   STRINGHAM   OF   BERKELEY. 
1.     Recent  Tendencies. 

IN  recent  years  there  has  arisen  a  measure  of  uncertainty  con- 
cerning the  most  acceptable  standard  notation  in  the  theory  of 
elliptic  functions.  The  far-reaching  investigations  ofWeierstrass, 
so  full  of  interesting  and  important  results,  have  rightfully  held 
the  attention  of  mathematicians,  and  at  present  they  tend  to 
keep  the  earlier  methods  of  Jacobi  and  Abel  somewhat  in 
the  background.  Whether  or  not  it  would  be  advantageous  to 
mathematical  science  that  this  tendency  should  develop  into 
permanent  practice  is  an  open  question.  Says  the  late  M.  Halphen, 
in  his  justly  celebrated  work  on  Elliptic  Functions  (Vol.  I.  p.  23), 
concerning  the  Jacobian  formulae : 

"Toutes  ces  formules,  interessantes  par  elles-memes,  seront 
utiles  aux  personnes  desireuses  de  lire  les  anciens  ouvrages,  et 
notamment  les  (Euvres  de  Jacobi.  Mais  nous  ne  nous  en 
servirons  jamais,  et,  pour  la  seul  etude  de  ce  livre,  il  est  inutile  de 
chercher  a  les  retenir.  II  est  aussi  superflu  d'examiner  longue- 
ment  les  proprietes  que  nous  venons  de  reconnaitre  aux  fonctions 
sn  u,  en  u,  dn  u.  Ces  elements  vont  desormais  etre  relegue's  au 
second  plan,  et  faire  place  a  un  e'le'ment  nouveau,  la  fonction  pu, 
introduite  par  M.  Weierstrass." 

Further  on  in  the  same  volume  (pp.  208,  239)  he  makes 
a  similar  remark  concerning  the  comparative  usefulness  of  the 


ON    ELLIPTIC    FUNCTIONS.  351 

sigma-fu notions  and  the  theta-functions,  both  in  respect  to  the 
theory  and  its  applications,  relegating  the  theta-functions  to 
a  merely  subordinate  place. 

Against  this  view  Scheibner  urges  the  following  consider- 
ations (Mathematische  Annalen,  Vol.  xxxiv.  pp.  542,  543) : 

"...Sei  mir  die  Beraerkung  gestattet,  dass  wenn  es  sich  um 
Zuruckruhrung  eines  elliptischen  Integrals  auf  Thetafunctionen 
zum  Behufe  der  praktischen  Anwendung  handelt,  der  Durchgang 
durch  die  Sigmafunctionen  bei  dem  Reductionsgeschafte  meines 
Erachtens  keine  wesentliche  Abklirzung  gewahrt.  Es  liegt  auf 
der  Hand,  da  beide  Functionen  sich  nur  um  einfache  Exponential- 
factoren  unterscheiden,  dass  die  analytische  Rechnung  ebensowohl 
mit  den  einen  wie  mit  den  anderen  gefiihrt  werden  kann : 
dennoch  wird  man  als  das  directere  Verfahren  dasjenige  zu 
bezeichnen  haben,  welches  die  Functionen,  deren  man  sich  fur 
die  numerische  Auswerthung  am  Schlusse  der  Rechnung  zu 
bedienen  genothigt  ist,  im  ganzen  Verlaufe  derselben  beibehalt." 
******** 

"  Es  ist  ja  an  sich  leicht  erklarlich,  dass  das  Studium  der 
Sigmafunctionen,  deren  Sinful) rung  in  die  Analysis  durch  Herrn 
Weierstrass  in  so  vielen  Beziehungen  sich  als  wichtig  und 
fruchtbar  erwiesen,  seit  dasselbe  den  Mathematikern  in  grb'sseren 
Kreissen  zuganglich  geworden  und  ihr  Interesse  in  Anspruch 
genommen  hat,  eine  Zeitlang  auf  Kosten  der  langer  bekannten 
Jacobi-Abel'schen  Thetafunctionen  in  den  Vordergrund  getreten 
ist.  Im  umgekehrten  Falle  wiirde  es  sich  vermuthlich  gerade 
umgekehrt  verhalten  haben,  wahrend  wir  doch  froh  sein  diirfen, 
dass  fur  die  Erfordernisse  der  Theorie,  wie  der  Praxis,  dem 
Mathematiker  nach  doppelter  Richtung  so  interessante  Functionen 
zu  Gebote  stehen." 

A  plea  similar  to  this,  on  behalf  of  the  Jacobian  sine,  cosine, 
and  delta-functions,  is  perbaps  equally  appropriate.  No  question 
is  raised  against  the  importance  of  the  p-function,  but  has  it  been 
demonstrated  that  its  introduction  renders  the  Jacobian  functions 
henceforth  useless  for  the  purposes  of  study  and  application  ? 

Perhaps  it  is  yet  too  early  to  indulge  in  prophecy  concerning 
the  eventual  outcome  of  this  friendly  controversy,  and  the  final 
adoption  or  rejection  of  the  Jacobi-Abelian  formulary,  if  I  may  so 
name  it,  as  a  part  of  the  permanent  basis  of  our  theory.  I  take, 


352  IRVING   STRINGHAM. 

for  the  moment,  this  conservative  view,  and  offer  the  following 
brief  study  as  a  contribution  to  the  question. 

It  concerns  primarily  the  choice  of  method  in  the  reduction  of 
the  elliptic  integral  of  the  first  kind  to  a  normal  form  and  the 
adoption  of  a  corresponding  suitable  functional  notation.  And,  in 
respect  to  methods  and  means  offered,  it  has  reference  rather 
to  the  teacher  than  the  investigator.  The  latter  may  be  supposed 
to  exercise  an  independent  choice  in  such  matters. 


2.     Retrospect. 

The  earlier  history  of  this  part  of  our  subject  has  been 
rehearsed  so  often,  is  now  so  familiar  to  the  mathematician  and  is 
so  easily  within  the  reach  of  the  student  in  such  works  as 
Enneper's  Elliptische  Functionen,  that  I  deem  it  unnecessary 
to  present  here  a  detailed  historical  account.  It  is,  however, 
important  to  observe,  that,  chiefly  through  the  labours  and 
discoveries  of  Euler,  Lagrange,  Legendre,  Jacobi  and  Abel, 
the  theory  of  elliptic  functions  had  assumed  a  measurably  complete 
and  systematic  form  before  the  discovery  of  invariants,  with  which 
it  is  now  found  to  be  so  closely  related.  By  reason  of  this 
accident  of  chronological  order  of  discovery,  the  older  transfor- 
mation-theory by  necessity  got  on  without  the  aid  of  the  principle 
of  invariance  and  convariance  and  became,  in  this  truncated  form, 
permanently  current  in  mathematical  literature.  To  this  fact 
is  obviously  due  the  tardy  and  sparing  use,  almost  up  to  the 
present  time,  of  the  principle  of  invariance  in  the  theory  of 
elliptic  functions.  Even  Cayley  himself  uses  with  evident 
caution  his  own  method  and  introduces  it  only  in  a  subordinate 
and  tentative  fashion  in  his  Treatise  on  Elliptic  Functions. 

The  first  application  of  the  principle  of  invariance  to  the 
transformation  of  the  elliptic  integral  is  contained  (I  think) 
in  Cayley's  paper  entitled:  "On  the  reduction  of  duf\/U,  when 
U  is  a  Function  of  the  fourth  order,"  in  the  Cambridge  and 
Dublin  Mathematical  Journal,  Vol.  I.  (1846),  pp.  70-73,  published 
very  shortly  after*  Boole's  discovery  of  the  invariant  character 


*  I  have  not  the  means  at  hand  for  giving  the  date  in  this  case. 


ON    ELLIPTIC   FUNCTIONS.  353 

of  the   discriminant,   which   dates  the  beginning  of  the  theory 
of  invariants.     In  this  paper  the  elliptic  differential 


dvf  Va  +  ibv  +  6cv2  +  4idv3  +  erf 
is  reduced  to  the  so-called  normal  form  ofLegendre 


but  with  the  usual  restriction,  that  the  modulus  shall  be  real, 
omitted. 

Subsequently  (in  1854?)  M.  Hermite  called  Cayley's 
attention  to  the  beautiful  and  now  well-known  quartic  trans- 
formation, through  which,  by  means  of  the  identical  relation 
connecting  the  covariants  of  the  quartic,  Hermite's  normal  form 


is  produced.     This  transformation  was  published  in  full  in  Crelle, 
Vol.  LV.  (1858)  pp.  23-24  (by  Cay  ley). 

Notwithstanding  the  early  appearance  of  these  two  important 
transformations,  they  are  still  rarely  found  in  text-books  on 
elliptic  functions.  (The  former  appears  in  Cayley's  text-book, 
the  latter  in  Weber's.) 

3.     Notation. 

For  the  production  of  the  various  standard  elliptic  integrals  of 
the  first  kind  I  employ  here,  throughout,  Cayley's  linear  trans- 
formation-theory, and  the  modulus,  when  it  appears  in  the  result, 
may  have  any  one  of  the  six  values  obtained  as  the  solution  of  an 
auxiliary  reciprocal  equation  of  the  sixth  degree,  the  character  of 
whose  roots  is  determined  by  the  invariants  of  the  original 
quartic. 

The  form  of  the  linear  transformation,  in  the  first  instance,  is 

_ 


*  The  quartic  is  supposed  to  be  originally  in  the  homogeneous  form 

P = ax4  +  4tba?y  +  fee V  +  Idxy3  +  ex4, 

which  reduces  to  Vx*  by  the  substitution  v=yjx.  The  linear  transformation  for 
the  homogeneous  form  is  x = \x'  +  ^  y',y  =  \2x'  +  fi.2y',  and  the  substitution  v' =y'lx' 
brings  us  back  to  the  form  V.  [See  the  paper  On  the  Jacobian  Elliptic  Functions, 
Section  3,  Annals  of  Mathematics,  vol.  8,  p.  105.] 

c.  P.  23 


354  IRVING   STKINGHAM. 


wherein  X-T^/X^  //,  =  ^  fj,lt  g  =  \1/fr,  and  this  is  followed  by  such 
subsidiary  displacement  of  the  new  variable  v'  as  may  be  found 
desirable. 

The  following  further  notations  are  employed. 

(2)  V=a  +  4,bv  +  Qcv2  +  4,dvs  +  ev*, 

(3)  V  =  a'  +  4>a'vf  +  6cV2  +  4,d'v'3  +  e'v'\ 

(4)  g2>  &'  =  ae  -  4>bd  +  3c2,    a'e'  -  4b'd'  +  3c'2, 

(5)  gs,  ffs  =  ace  +  2bcd  -  ad?  -  e¥  -  c3, 

a'c'e'  -f  We'd'  -  a'd'*  -  e'V*  -  c'\ 

(6)  A  =  fc« 


4  '- 


(9)          A  =  a  +  46\  +  6c\2  +  4d\s  +  e\3, 

(10)  B  = 

(11)  0= 

(12)  D  =  a  +  b  (X  +  3/*)  +  3c  (X 

(13)  Jf  =  a 

pt_ 


wherein  v  is  a  root  of 

(16)  4aV  -  g^av  -g3  =  Q. 

4.     Classification. 

In  the  reduction  of  the  elliptic  differential  dv/^V, 
(2)  F=  a  +  46^  +  6^+4^  +  ^ 

to  a  standard,  or  normal  form  dv/«/V,  and  the  subsequent 
definition  of  an  elliptic  function  that  shall  satisfy  the  differential 
equation 


ON    ELLIPTIC   FUNCTIONS.  355 

the  coefficients  of  V  are  determined  by  assumptions  concerning 
the  nature  of  the  roots  of  the  transformed  quartic  F'  =  0.  By 
a  suitable  transformation,  in  general  a  linear  transformation  of  the 
form  v  =  (\2  +  /*2*0/(^i  +  Piv')>  we  raay  propose  to  cause  two  of  the 
coefficients  of  the  quartic  to  disappear,  and  accordingly  to  in- 
vestigate the  question :  What  pairs  of  coefficients  should  be  made 
to  disappear,  in  order  that  the  subsequent  theory  may  rest  upon 
the  most  advantageous  basis  ? 

In  the  transformed  quartic,  which  we  write  in  the  form 

a'  +  46V  +  6cV2  +  4>d'v's  +  e'v* 

and  denote  by  V,  there  are  ten  pairs  of  coefficients,  namely : 
(i)      V,  d', 
(ii)      a,  e, 
(iii)     e,  c    and  a,  c', 
(iv)      b',  e'  and  a,  d', 
(v)      c',  d'  and  b',  c', 
(vi)     a',  6'  and  d',  e, 

of  which  we  may  propose  that  any  one  pair  shall  vanish*.  The 
vanishing  of  either  of  the  pairs  of  the  sixth  group,  however,  would 
presuppose  that  two  of  the  roots  of  the  original  quartic  were  equal, 
and  both  of  these  cases  may  therefore  be  at  once  excluded  from 
the  category  of  possible  transformations  of  the  general  quartic. 
In  each  of  the  groups  (iii),  (iv),  (v)  the  two  alternative  cases  lead 
to  the  same  transformation  theory,  and  only  one  of  them  need  be 
considered.  There  are  thus  five  distinct  linear  transformations 
that  may  be  adopted  as  leading  to  a  standard,  or  normal  form 
of  elliptic  integral.  The  several  results  of  the  transformations  are 
as  follows.  The  details  of  the  calculations  are  omitted. 


*  This  assumes  that  a  linear  transformation  may  be  assigned  that  shall  cause 
any  two  points  of  the  complex  plane  to  assume  any  two  new  arbitrary  positions  not 
coincident  with  one  another. 


23—2 


356  IRVING   STRINGHAM. 

5.     General  Transformations. 

I.     The   assumption   that  a'  —  d'  =  0   leads    to    Legendre's 

normal   form  and  to  what  we  may  call  the  Cayley-Legendre 
Transformation-theory.     The  resulting  differential  equation  is 

dv  =  /Ar4+14A;-2+i  dx 

VF     V          12^ 

and  &2  is  a  root  of  the  equation 
(18) 


Or,  if  k  -  Ar1  =  41 V^  -  1  and  therefore 


» 

^  is  a  root  of 

(20)  ^3 

which  may  be  appropriately  called  Cay  ley's  cubic  resolvent. 
These  are  the  results  given  by  Cay  ley  in  his  original  trans- 
formation. 

The  relation  between  x  and  v  is 

4  +  14A 


and 

(22)  \  = 

(23)  /*  = 

II.  The  assumption  that  a'  =  e'  =  0  leads  to  Klein's  normal 
form  (Weber  calls  it  Legendre's  normal  form,  but  in  order  to 
distinguish  it  from  the  preceding  it  is  desirable  to  give  it  a 
distinctive  name)  and  to  what  we  may  call  the  Cayley-Klein* 
transformation-theory.  The  resulting  differential  equation  is 

fill  /  V      ^   !/•      2      I       1  \  2  ft  9 

/  •  •  \          \MV  I  i*  **•         i^  »  \  \AJ& 

W     -717-  = 


and  K?  is  a  root  of  the  equation 
(24)  («4-«2  +  l)3- 


*  See  Klein  :  Elliptische  Functionen  und  Gleichungen  fiinften  Grades,  Mathe- 
matische  Annalen,  Bd.  xiv.  (1879),  p.  116. 


ON    ELLIPTIC    FUNCTIONS.  357 


Or,  if  K  —  K~I  =  V0  —  1,  and  therefore 


(25)  K  =  £  (0^T  ±  V0 

0  is  a  root  of  Cayley's  cubic  resolvent 
(20)  0*-R(0  -!)  =  (). 

The  relation  between  z  and  v  is 


z 


and  X  and  /u,  are  the  two  roots  of  the  quartic  equation  V=0, 
corresponding  to  the  roots  0  and  oo  of  z(z  +  l)(ic~*z  +  l)  =  0 
regarded  as  a  quartic  in  z. 

It  is  well  known  (see  Klein  l.c.)  that  the  six  values  of  K?, 
obtained  as  the  solution  of  the  above  sextic  equation,  are  the 
six  anharmonic  ratios  formed  with  the  differences  of  the  roots 
of  the  original  quartic  equation  V=0. 

III.  Either  of  the  assumptions  e  =  c'  =  0,  or  a  =  c  =  0,  leads 
to  Hermite's  normal  form  and  to  the  Cayley-Hermite  linear 
transformation-theory.  The  resulting  differential  equation  is 

...        dv  _  d 

VK- 
the  relation  between  £  and  v  is 


and  /A  is  a  root  of  the  quartic  equation  V  =  0,  corresponding  to  the 
root  oo  of  4£3  —g^—g-A  =  0,  and  X  is  a  root  of  C  =  0. 

IV.     For  the  purpose  of  reduction  in  case  (iv)  we  may  assume 
V  =  e'  =  0.     The  resulting  differential  equation  is 

r  \      dv 
Here 


and   involves  only   the  absolute  invariant  g^lg*   and   numerical 
coefficients.     If  /j,  be  a  root  of  the  quartic  equation  F  =  0,  corres- 


358  IRVING   STRINGHAM. 

ponding  to  the  root  oo  of  f3  +  £2  -  g0  =  0,  and  \  a  root  of  B  =  0, 
the  relation  between  £  and  v  is 

(28)  £ .  (p  -  \)2  V3a2  =  2D .  ^— -W . 

•y  —  u. 

V.     In  the  remaining  case,  assuming  c'  =  rf'  =  0  we  obtain 
,  x      c?v  d?7 

(V)        -7T7-  =     /-•  ,— --         — 


and  the  relation 

(29)  ,  , 

fl—\      V  —  /J, 

and  X  and  p  satisfy  the  equations 

(7  =  0  and  D=0. 

6.     Subsidiary  Transformations. 

By  performing  the  indicated  transformations  it  may  now  be 
shown  that  the  first  four  of  these  normal  or  standard  forms  of  the 
elliptic  differential  are  interchangeable  with  one  another  by  means 
of  the  following  series  of  very  simple  substitutions, 

1  /  *r2      if2  4- 1  \  1  /«2     K2  -4-  1 

\  -1- — I  — -4- 

^  —     — -~ ^ 


3 
2 


in  which  the  variables  x,  z,  £  and  £  belong  respectively  to  the 
forms  designated  (i),  (ii),  (iii),  (iv). 

In  like  manner,  the  respective  roots  of  Cay  ley's  resolvent 
B3  —  R  (6  —  1)  =  0,  of  the  ordinary  reducing  cubic  4>t?  —  g^—g3  =  0, 
and  of  the  cubic  equation  £3  4-  £2  —  gQ  =  0,  are  connected  with  one 
another  by  the  mutual  relations 


We  may  thus  readily  pass  from  any  one  to  any  other  of  these 
four  forms  by  means  of  predetermined  substitutions,  and  we  may 
propose  to  adopt  any  one  of  the  four  transformation-theories  above 
outlined,  or,  if  preferable,  the  Cay  ley-  Her  mite  quartic  trans- 
formation, as  an  unique  and  fundamental  basis  of  the  theory,  and 


ON   ELLIPTIC   FUNCTIONS.  359 

produce  the  other  normal  forms  by  the  successive   simpler  and 
subsidiary  transformations. 

Form  (v)  may  be  transformed  into  any  one  of  the  others 
by  a  substitution  of  the  form  77  =  (X  +  ^2/)/(l  +  y).  The  values  of 
X  and  fi  and  of  the  determinant  (/*  —  \),  in  each  of  the  four 
transformations,  seem,  however,  to  be  quite  complicated ;  at  least 
I  have  found  in  this  case  no  relations  comparable  in  simplicity 
with  the  others  here  given. 

7.     The  Elliptic  Functions. 

Discarding  the  fifth  form,  as  at  the  present  writing  unfruitful, 
or  at  least  unpromising,  we  derive  from  the  others  four  differential 
equations, 

(i)  '- 


and  through  these  we  may  define  four  corresponding  elliptic 
functions, 

(32)  {£**      jl^ 

to  each  of  which,  for  obvious  reasons,  I  assign  a  distinctive 
notation.  It  may  also  be  convenient  to  introduce,  as  notations 
for  the  corresponding  inverse  functions,  the  symbolic  forms 

In  virtue  of  the  relations  between  the  variables  x,  z,  £  and  £, 
announced  in  section  6,  these  four  functions  are  connected  with 
one  another  by  the  like  relations 

/00\  an  —  or)    2  — 

V«>o;  »»  —  bll«   9> 


(35)  pa  =  jVfy,  {g  (12jr,)» »  +  il- 


360  IRVING   STRINGHAM. 

8.     General  Addition  Theorem. 

As  a  basis  for  the  addition  theorem  I  am  accustomed  to  prove 
Abel's  theorem  for  the  function  x=$u  defined  by  means  of  the 
differential  equation 


(36)  j 
\au/ 

For  this  case  it  may  be  stated  in  the  following  terms  : 

If  (f>u  be  defined  as  a  function  of  u  through  the  differential 
equation 

(37)  \~JJ  =  ao  +  ai<l>u  +  ...  +ah<j>hu, 

and  P  +  Q<$>'u  be  any  integral  function  of  <f>u  and  <f>'u,  then  the 
complete  cycle  ofr  values  ult  u2,  u3,  ...  ur  that  satisfy  the  equation 

(38)  P  +  Q(f>'u  =  0 
satisfy  simultaneously  the  relation 

(39)  M1  +  Ma+W3+...+ttr  =  0. 

The  application  is  as  follows.     Let  the  equations  defining  <£  be 


(v\2 
-r-}  = 


dv        , 

V  =  <pu,         -j-  =  <p  u. 
du 

The  function 

1     v      <t>'u 

(41) 


» 

is  rational  and  integral  in  <f>u  and  <f>'u,  of  the  form 
(42)  A+Bv+C$u, 

in  which 

{A  =Vi<j>u3-v,<l>'u1, 
B  =  <£X  -  <f>'u2, 
C=v2-v1, 

and  the  degree  of  <j>'u  is  4.     Two  of  the  roots  of  the  quartic 
(44)  (A  +  £y)2  -  &  ($uf  =  0 


ON    ELLIPTIC    FUNCTIONS. 


361 


are  vly  v2.  If  v3,  v4  be  its  other  two  roots,  then  arranging  it 
with  respect  to  the  powers  of  v  and  expressing  the  sum  of  its 
roots  and  of  the  products  of  pairs  of  its  roots  in  terms  of  the 
coefficients,  we  easily  deduce 


(45) 

V    vl-vi 

=  e  (vi2  +  v22  +  v 
and  by  Abel's  theorem 


4>d  (v,  +  v.2  +  v3)  +  6c  ; 


(46) 


u4  =  0. 
(f>'u 


Again 

v      v- 

v1 

V2 

is  a  rational  integral  function  of  <f>u  and  <f>u,  of  the  form 
(47)  Av  +  Btf  +  C<j>u, 

where 

A  =  Vi2<f>'u2  —  vz2  <f>'ui, 


Two  of  the  roots  of  the  quartic  equation 

(49)  v-  (A  +  Bv)2  -  C2  (<j>'Uy2  =  0 

are   vlt   v.2.     If  v3,   v4   be  its  other  two  roots,  and  its  terms  be 

arranged  according  to  the  powers  of  v,  arid  the  product  of  its  roots 

and  the  sum  of  their  products  by  threes  be  expressed  in  terms  of 

the  coefficients,  we  find  that 


(50) 


and  by  Abel's  theorem 


=  a 


9.     Addition  Theorem  for  the  Functions  p,  g,  s,  sn. 

The    first   of  these   two   addition   equations    becomes,   when 
<f)U  =  pu  and  therefore  e  =  0,  c  =  0,  d  =  1,  u4  =  0, 


(51) 


=  PHI  +  PM,  +  pM», 


!  +  u.,  +  v3  =  0  ; 


362  IRVING   STRINGHAM. 

when  <f>u  =  gu  and  therefore  e  =  0,  c  =  £,  d  =  £,  u4  =  0, 

(52)          (&&)'*  **+*"'+«*+1- 

M!  +  M2  4-  M3  =  0. 

The  second  becomes,  when  <f>u  =  su  and  therefore  a  =  0,  e  =  0, 
6  =  i,w4  =  0, 

/SUjS'tt,  —  St*XM8       Sl^  .  SM2 

(00)  —  , 

\         SUj  —  SW2        /  SM3 

«i  +  "2  +  u3  =  0. 
From  this  last  equation,  through  the  substitution 

(54)  s2?t  =  sn(t2w, 

the   addition   equation   for  the  sn,,  function  is  easily  developed 
in  the  form 

sn.'-u,  —  sn^w- 

(55)  8Bi(*i  +  *»)='-        -V-1  ,     . 

sn,,  it^snn  u.2  —  sn^t^sn^  iti 

The  many  other  forms  of  the  addition  equation  for  the  various 
kinds  of  elliptic  functions  are  derived,  through  easy  transformations, 
from  those  herein  enumerated,  by  the  establishment  of  which 
the  foundations  of  a  theory  of  elliptic  functions  are  thus  securely 
laid. 

10.     Short  Account  of  the  Functions  snK,  cnK,  dn^. 

As  supplementary  to  the  foregoing  outline  I  append  a  short 
account  of  the  series  of  functions  that  present  themselves  in 
connection  with  the  transformation-theories  of  cases  I.  and  II. 

By  the  substitution  z  =  a?,  the  differential  equation 


becomes 
(56) 

(f?T\Z 
^J  «(a*  +  l)  <«-**»+!); 

and,  by  virtue  of  the  previous  linear  transformation  of  case  II., 
,-7\  dv 


ON   ELLIPTIC   FUNCTIONS.  363 

in  which 

(58)  0*-a  =  *-«  -*-»  +  !. 

We  may  now,  as  previously  in  section  7,  define  outright 

(59)  a?  =  sn(CM, 

or  we  may  proceed  as  follows.     With  reference  to  the  modulus  K, 
itself  defined  by  the  identity 

(60)  K  =  |  ic  |  (cos  £  +  1  sin  /3), 

sine  and  cosine  are  defined  by  the  further  identities 

(61)  sinKw=   1:(ewiK  -  e~wlK\     cos,™  =  £  (ewl*  +  e~wlK\ 

£ 

in   which   w  is   in   general   complex.     These   two   functions  are 
connected  by  the  relation 

(62)  cos^w  -  ar'sin,2  w=l, 

which  may  be  verified  by  a  very  simple  calculation.    Let  x  —  sm^  ; 
then 

(63)  dx  =  cosK<f>d<j>, 

(64)  a;2  +  1  =  sin,2^  +  1, 

(65)  /e-'a8  +  1  =  tc-'sin,?  0  +  1  =  cos^2^, 
and  therefore 

(66) 


,- 
+  1)  (K-*X*  +  1)     Vsin,2^)  +  1 

If  now 
(67) 


..  -f 

Vsm,,2  <#>  +  1 

^>  is  the  amplitude  of  it  with  respect  to  the   modulus  K;   sym- 
bolically 

(68)  </>  =  am^M. 

With  respect  to  the  same  modulus,  let  us  also  define 


(69)        siuK<J>  =  snKw,     COSK<£  =  cn.it,     ^/smK2<f>  +  1= 
It  then  follows  that 


dn»M-sn«au=l. 


364 


IRVING    STRINGHAM. 


The  differentials  of  these  functions  obviously  are 
d  amKu  =  dn^  .  du, 
d  sn^u,  =  cnKu  .  dnKu  .  du, 
d  cnKw  =  K~2  snKu  .  dnKu  .  du, 
=  sn^w  .  en,,  u  .  du. 


11.     Transition  to  Cyclo-  and  Hyperbo-Elliptic  Forms. 

Since  sin^d)  =  IK  sin  ?-  , 
IK 


(72) 
and 


IK 


(73) 

or 

(74) 

or 

(75) 

Hence 


(76) 


—    ft  tf 

- 


IK 


d>  u 

.'.  -P  =  &m  — 

IK  IK 


amKu  = 


u 

IK 


•=du; 


IK 


sn^w  =  IK  sin  -r-  =  IK  sn  — , 

IK  IK 

d>  u 

cu..u  =  cos  -f-  =  en  —  , 

IK  IK 


=  A  / 1  —  *2  sin2  f-  =  dn  ~  . 

V  IK  IK 


Similarly,  since  sin*  d>  =  K  sinh  -  , 

K 


(77) 
and 


(78) 


=K  

'  +  1  /  $ 

V  *2  s^nn"  K 


=  du. 


ON   ELLIPTIC    FUNCTIONS. 


365 


Hence,  if  the  hyperbolic  forms  corresponding  to  am,  sn,  en,  dn  be 
denoted  by  hm,  hs,  he,  hd  respectively,  then 


(79) 
or 

(80) 
and 

(81) 


0        ,         U 

—  =  hm-, 

K  K 


,      f'' 
u  =  /chm  - , 


=  /esinh  —  =  /ehs-. 

tC  K 


cnKu  =  cosh  —  =  he  - , 
K  K 


=A/sinh2  — 
V  K 


=  hd^. 

K 


Hence,  also,  writing  for  the  moment  w  =  u/tc, 


(82) 


,  .       w 

hm  w  =  i  am  — , 
i 

i  hm  w  =  am  iw, 
ihsw  =  sn  iw, 
he  w  =  en  iw, 
hd  w  =  dn  iw. 


that 
(83) 


12.     Zero-Values,  Negative-Values  and  Limits. 
We  may  now  pass  to  further  details  of  the  theory  and  show 

8^0  =  0,        cnK0=l,        dn)C0  =  l, 


that 

(84)     snK  (-  u)  =  -  snKu,    cnK  (-  u)  =  cr\Ku,    dnK  (-  u)  = 

and  that  if 

ri* 
(85) 

J  o 


dx 


(86) 


r 


dx 


366  IRVING   STRINGHAM. 

then 

(87)  Bn.KiicK 


etc.    etc.    etc. 

13.     Conclusion. 

One  does  not  at  once  and  without  question  decide  which  of 
the  above-outlined  transformation-theories,  with  its  corresponding 
series  of  functions,  will  provide  the  most  satisfactory  standard 
formulary.  Each  has  doubtless  some  peculiar  advantage  of 
its  own,  and  we  may  come  to  the  conclusion  that  the  general 
theory  is  large  enough  to  contain  them  all. 

The  p-function  is  no  doubt  destined  to  be  retained  as  an 
important  instrument  both  in  the  theory  and  in  practice  ;  but,  for 
the  student,  quite  as  much  interest  may  attach  to  what  I  have 
here  called  the  s-function,  and  the  Jacobian  theory  certainly 
acquires  new  interest  from  the  enlarged  view  which  the  Cayleyan 
transformations  permit  us  to  take,  as  the  investigations  of  Klein, 
Weber  and  other  recent  writers  sufficiently  attest. 

UNIVERSITY  OF  CALIFORNIA,  July,  1893. 


ALTERE    UND   NEUERE    UNTERSUCHUNGEN 
UBER   SYSTEME    COMPLEXER   ZAHLEN. 

VON 
E.    STUDY  IN   MARBURG. 

DER  Zweck  der  folgenden  Zeilen  ist,  einen  Uberblick  liber  eine 
Reihe  von  Untersuchungen  zu  geben,  in  denen  Systeme  von 
complexen  Zahlen  in  Verbindung  mit  gevvissen  Transformations  - 
gruppen  auftreten.  Wir  gehen  dabei  ziemlich  weit  zuriick,  um 
die  Wurzeln  der  neueren  Erkenntnisse  in  der  alteren  Litteratur 
aufzudecken. — 

Bekanntlich  hatte  Gauss  eine  Ausserung  in  dem  Sinne 
gethan,  dass  die  gewohnlichen  imaginaren  Zahlen  der  Form 
x  +  \l—\.y  fur  die  Bediirfhisse  der  Analysis  ausreichten.  Der 
Umstand,  dass  man  hieraus  eine  formliche  Verurtheilung  aller 
anderen  Systeme  von  complexen  Zahlen  herausgelesen  hat,  mag 
eine  der  Hauptursachen  daflir  gewesen  sein,  dass  die  Entwickelung 
einer  allgemeinen  Theorie  dieser  Algorithmen  so  lange  hat  auf 
sich  warten  lassen,  wie  es  thatsachlich  der  Fall  gewesen  ist. — 
Wir  werden  im  ersten  Theile  dieses  Berichtes,  der  die  Zeit  bis 
zum  Jahre  1888  umfasst,  vorwiegend  von  speciellen  Untersuch- 
ungen zu  reden  haben,  die  durch  Hamilton's  Entdeckung  der 
Quaternionen  (1843)  veranlasst  worden  siiid.  Auf  Hamilton's 
eigene  Arbeiten,  sowie  auf  H.  Grassmann's  verwandte  Gedanken 
einzugehen,  mtissen  wir  uns  leider  versagen. 

Friihzeitig  schon  ist  der  Zusammenhang  des  Quaternionen- 
calculs  mit  gewissen  Transformationsgruppen  hervorgetreten. 
Cay  ley  hat  bereits  1843  die  Entdeckung  gemacht,  dass  die  von 
Euler  (1770)  aufgefundenen  und  von  Rodrigues  (1840)  vervoll- 


368  E.    STUDY. 

standigten  Formeln  zur  Transformation  rechtwinkliger  Coor- 
dinaten  oder  zur  Darstellung  der  Drehungen  um  einen  Punkt 
&uf  eine  einfache  Weise  aus  dem  Quaternionencalctil  hergeleitet 
werden  konnen*.  Spater  haben  Laguerre  und  Cayley  ge- 
funden,  dass  zwischen  den  Quaternionen  und  der  Gruppe  der 

proiectiven    Transformationen    x'  =  ~    des  binaren   Gebietes 

yx  +  6 

ein  enger  Zusammenhang  besteht^.  Diese  Beraerkungen  sind 
nachher  von  besonderer  Wichtigkeit  geworden.  Sie  haben  den 
Ausgangspunkt  gebildet  fur  eine  umfangreiche  Untersuchung  von 
Stephanos  liber  binare  biliueare  FormenJ,  fur  verschiedene  Ar- 
beiten  von  F.  Klein  §  und  dessen  Schiilern,  endlich  fur  die 
modernen  Untersuchungen  liber  den  Zusammenhang  zwischen 
complexen  Zahlen  und  Transformationsgrupperi  uberhaupt. 

Andrerseits  hat  die  Art,  wie  Hamilton  selbst  seinen  Algo- 
rithmus  handhabte,  zu  einer  wichtigen  Erweiterung  der  Quater- 
nionentheorie  gefiihrt.  Wir  meinen  die  von  Clifford  einge- 
fuhrten  Biquaternionen\\,  von  deren  Anwendung  auf  die  Geometric 
des  Raumes  ihr  Urheber  sich  den  grossten  Nutzen  versprach. 
Die  Biquaternionen  sind  ursprlinglich  nichts  Anderes  als  Qua- 
ternionen mit  gewohnlichen  complexen  Zahlencoefficienten.  Fasst 
man  aber  die  Quaternioneneinheiten  und  ihre  Producte  mit  der 
imaginaren  Einheit  V—  1  wiederum  als  neue  Einheiten  auf,  so 
erhalt  man  ein  neues  System,  ein  System  mit  acht  Hauptein- 
heiten,  das,  wie  man  sagen  kann,  durch  "Multiplication"  aus  dem 
Quaternionensystem  Q  und  dem  System  der  gewohnlichen  com- 
plexen Zahlen  e0=l>  e1  =  V— 1,  oder  besser,  aus  Q  und  dem 
System 

(1)  eo2  =  e<»     e0e1  =  e1e0  =  e1,     e^  =  -  efl 

hervorgegangen  ist.     An  Stelle  ties  Systems  (1)  konnte  Clifford 


*  Cayley,  Cambridge  Math.  Journal,  t.  in.  1843  ;  Philos.  Mag.  1843,  i. 

t  Laguerre,  Journal  de  VEc.  Polyt.,  cah.  42,  1867.  Cayley,  Math.  Ann. 
Bd.  lo,  1879. 

J  Stephanos,  Math.  Ann.  Bd.  22  (1883). 

§  F.  Klein,  Vorlesungen  iiber  das  Icosaeder  (Leipzig,  1884);  s.  insbes.  i. 
Abschn.,  §  2. 

||  (1873).     S.  Clifford,  Collected  Mathematical  Papers,  Lond.  1882. 


SYSTEME   COMPLEXER   ZAHLEN.  369 

noch  ernes  der  folgenden  beiden  Systeme  von  zwei  Haupteinheiten 
setzen : 

(2)  e02  =  <?0,     606,  =  6,69  =  6,,     e,2  =  0, 

(3)  €02  =  e0,     60  ej  =  e,e0  =  e, ,     e,s  =  +  e0. 

Auf  diese  Weise  entstanden  drei  verschiedene  Systeme  von 
"  Biquaternionen,"  von  denen  das  mittlere  in  einer  nahen  Be- 
ziehung  zur  Gruppe  der  oo 6  Euclidischen  Bewegungen  steht, 
wahrend  die  beiden  anderen  in  derselben  Weise  den  beiden 
Hauptarten  der  Nicht-Euclidischen  Geometric,  also  der  Gruppe 
einer  reellen  nicht-geradlinigen  und  der  Gruppe  einer  imagi- 
naren  Flache  2.  O.  mit  reellem  Polarsystem  entsprechen.  Allerdings 
hat  der  friihzeitig  verstorbene  Clifford  das  VVesen  dieser 
Beziehungen  nicht  klar  erkannt ;  doch  zeigen  die  uns  hinter- 
lassenen,  von  Buchheim*  bearbeiteten  Bruchstiicke,  dass  ihm 
das  Vorhandensein  eines  Zusammenhanges  bekannt  gewesen 
ist. — Die  hier  zuerst  beniitzte  Operation  der  "  Multiplication" 
zweier  Systeme  von  complexen  Zahlen,  die  darin  besteht, 
dass  man  die  Produkte  der  zu  beiden  Systemen  gehorigen 
Einheiten  als  die  Grundeinheiten  eines  neuen  Systems  definirt, 
hat  in  den  spater  zu  nennenden  Arbeiten  von  Scheffers  eine 
besondere  Bedeutung  gewonnen. — 

Die  bereits  hervorgetretene  Mannigfaltigkeit  der  Systeme  von 
complexen  Zahlen  musste  es  wiinschenswerth  erscheinen  lassen, 
weuigstens  fur  eine  kleine  Zahl  n  von  Haupteinheiten  die  Ge- 
sammtheit  dieser  Algorithmen  zu  kennen.  Diese  Frage  hat  frei- 
lich  erst  viel  spater  eine  Beantwortung  gefunden ;  wir  wollen  aber 
hier  eine  umfangreiche  Arbeit  von  B.  Peirce  nicht  unerwahnt 
lassen,  in  der  verwandte  Fragestellungen  behandelt  sind-f*.  Leider 
ist  die  Darstellungsweise  von  Peirce  sehr  unvollkommen.  Es  halt 
daher  schwer,  zu  erkennen,  welche  Probleme  er  eigentlich  gelost 
hat,  und  was  mit  der  Losung  gewonnen  ist.  Im  Falle  n  =  2  erge- 
ben  sich,  wie  Weierstrass  und  Cay  ley  bemerkt  haben,  nur 
die  oben  verzeichneten  Systeme  (1),  (2),  (3)J. 


*  Buchheim,  Am.  J.  v.  vin.  1885. 
t  B.  Peirce  (1870),  u.  C.  S.  Peirce,  Am.  J.  v.  iv.  1881. 

J  Pincherle,  Giornale  di  Matematiche  xvin.  1880.    Cayley,  Proc.  of  the  Land. 
Math.  Soc.  xv.  (1883—84). 

c.  P.  24 


370  E.    STUDY. 

Die  vorhin  beriihrte  Darstellung  der  Bewegungen  im  Nicht- 
Euclidischen  Raum  ist  inzwischen  von  Cay  ley  geleistet  worden, 
allerdings  ohne  Beziehung  auf  die  Biquaternionen*.  Cay  ley 
gelangte  zu  einem  Formelsystem,  das  die  linearen  automor- 
phen  Transformationen  einer  Summe  von  vier  Quadraten 
mit  Hiilfe  der  Biquaternionen,  die  aus  obigeri  Formeln  (3) 
hervorgehen,  in  ganz  ahnlicher  Weise  darzustellen  erlaubt,  wie 
man  vorher  schon  die  automorphe  Transformation  einer  Summe 
von  drei  Quadraten  mit  Hiilfe  der  Hamilton'schen  Quaternionen 
dargestellt  hatte.  (S.  die  obigen  Bemerkungen  iiber  die  Formeln 
von  Euler  und  Rodrigues.)  Merkwlirdiger  Weise  zeigte  sich 
auch  hier  wieder  eine  nahe  Beziehung  zu  einer  schon  von  Euler 
entdeckten  Formelgruppe. — 

Hinter  der  erwahnten  Formelgruppe  Cay  ley's  bleiben  die 
beruhmten  Formeln,  durch  die  derselbe  Autor  das  allgemeinere 
Problem  der  automorphen  Transformation  einer  Summe  von  n 
Quadraten  gelost  hat,  in  doppelter  Hinsicht  zurtick.  Einmal 
gibt  es,  sobald  n  >  3  ist,  lineare  Transformationen,  die  zwar  die 
Summe  von  n  Quadraten  (eigentlich)  in  sich  selbst  transformiren, 
sich  aber  der  Cayley'schen  Darstellung  entziehen*^.  Sodann  ist 

die   Zusammensetzung   der      ^    — -     unabhangigen    Parameter, 

durch  die  Cay  ley  die  fragliche  Transformation  darstellt,  nicht 
"bilinear"  wie  der  Referent  sich  ausdrtickt.  Sowohl  bei  der 
Euler'schen  Transformation  einer  Summe  von  drei  Quadraten, 
als  auch  bei  der  erwahnten  Cayley'schen  einer  Summe  von  vier 
Quadraten,  kann  man  namlich  sehr  leicht  zwei  Transformationen 
hinter  einander  ausfuhren :  Die  vier,  bez.  acht  homogenen  Para- 
meter der  zusammengesetzten  Transformation  werden  lineare 
Functionen  der  Parameter  einer  jeden  der  beiden  gegebenen 
Transformationen.  Ahnliches  ist  bei  den  allgemeineren  Formeln 
Cayley's  nicht  mehr  der  Fall.  Hier  setzt  nun  eine  Unter- 
suchung  von  Lipschitz  einj.  Lipschitz  zeigt,  wie  man  mit 
Hiilfe  eines  bereits  von  Clifford  entdeckten,  aus  2n-1  Hauptein- 


*  Cayley,  Crelle's  J.  Bd.  32,  1846;  50,  1855. 

t  Die  eben  besprochenen,  auf  den  Fall  n=4  beziiglichen  Formeln  Cayley's 
ordnen  sich  seinen  allgemeinen  Formeln  nicht  ohne  Weiteres  unter,  sondern  gehen 
aus  ihnen  erst  durch  Einfuhrung  eines  iiberzahligen  Hiilfsparameters  hervor. 

J  Lipschitz,  Untersitchungen  iiber  die  Summen  von  Quadraten.     Bonn,  1886. 


SYSTEME   COMPLEXER   ZAHLEN.  371 

heiten  bestehenden  Systems  von  complexen  Zahlen  die  auto- 
morphen  Transformationen  einer  Summe  von  n  Quadraten  so 
ausdrucken  kann,  dass  die  obigen  Forderungen  der  Darstellbar- 
keit  einer  jeden  Transformation  und  der  bilinearen  Zusammen- 
setzung  erfiillt  werden.  Im  Falle  n  =  3  kommt  man  auf  die 
Formeln  von  Euler  und  Rodrigues,  im  Falle  n  =  4>  (was  Herrn 
Lipschitz  entgangen  zu  sein  scheint)  auf  die  erwahnten  Formeln 
Cayley's  zuriick.  —  Die  Zahl  der  Einheiten,  die  Lipschitz 
benutzt,  ist,  wie  gesagt,  2n-1,  also  eine  Zahl,  die  mit  steigenden 
Werthen  von  n  viel  rascher  wachst,  nicht  nur  als  die  Zahl 

72.  (fl  ~~  1  ^ 

~    '-  der  unabhangigen  Parameter  einer  orthogonalen  Trans- 

formation, sondern  auch  als  die  Zahl  ri*  der  Coefficienten  einer 
allgemeinen  linearen  Transformation  im  Gebiet  nter  Stufe.  Es 
bleibt  daher  die  Frage  offen,  ob  man  nicht  die  automorphen 
linearen  Transformationen  einer  quadratischen  Form  in  noch 
einfacherer  Weise  mit  Htilfe  einer  kleineren  Zahl  von  Einheiten 
behandeln  kann.  Thatsachlich  kann  man  in  dem  allerdings 
singularen  Falle  n  =  6  mit  Hlilfe  eines  Systems  von  16  Einheiten 
die  automorphe  Transformation  der  quadratischen  Form 
(4)  /  =  x?  -  x*  +  x*  -  x?  -t-  x?  -  x* 

6'5 
durch  16  =  1+  -^-  homogene  Parameter  mit  bilinearer  Zusarnmen- 

z 

setzung  leisten*,  und  zwar  ohne  Auftreten  irgend  welcher 
Ausnahmefalle  ;  wahrend  nach  der  Methode  von  Lipschitz 
2s  =  32  Einheiten  erforderlich  sind.  Hier  ist  also  ein  Punkt,  wo 
kiinftige  Forschungen  einzusetzen  haben  werden. 

Mit  den  besprochenen  Untersuchungen  hangt  nahe  zusammen 
eine  Reihe  von  Arbeiten  iiber  bilineare  Formen  und  Matrices. 
Durch  die  lineare  Schaar  der  bilinearen  Formen  Sa^iM*  eines 


Gebietes  ?iter  Stufe  wird  in  der  einfachsten  Weise  ein  System 
complexer    Zahlen   mit    n2    Haupteinheiten    definirt,   wenn   das 
"Produkt"  zweier  Formen  der  Schaar  durch  die  Formeln 
(5)  (xiuk}(xkuj)  =  (xiUj),     (xiUk}  (xiUj)  =  0  O=H) 

erklart   wird-f.     Diese  "Multiplication"  der  bilinearen   Formen 

*  F.  Klein,  Math.  Ann.  Bd.  4  u.  ff. 

t  Cayley,  Phil.  Trans,  v.  148,  1858.     Frobenius,  Crelle's  J.  Bd.  84,  1878. 
Vgl.  Sylvester,   "Universal  Algebra,"  Am.  J.  v.  vi.  1884.     Ed.  Weyr,  Prager 

24—2 


372  E.    STUDY. 

lauft  offenbar  der  Zusammensetzung  der  collinearen  Transforma- 
tionen  x^  =  'Za.ucXi  des  Gebietes  nter  Stufe  parallel  ;  wir  wollen 

i 

daher    sagen,    dass    das    System  von  n-    Einheiten   e^   mit    den 
Multiplicationsregeln 

(6)  eik  .  ehn  —  0  (k  4=  I),     eik  •  ekj  =  eij 

zur  allgemeinen  projectiven  Gruppe  (der  Gruppe  alter  collinearen 
Transformationen)  des  Gebietes  nter  Stufe  gehort 

Fiihrt  man  zwei  Transformationen  Sa^a;^*  =  0,  ^bycxiUje  =  Q 
hinter  einander  aus,  so  setzt  sich  die  Matrix  <?,*  der  resultirenden 
Transformation  in  einfacher  Weise  aus  den  Matrices  and  und  !6,-*| 
der  Componenten  zusammen  : 


1  1 

man  kann  daher  die  Multiplication  zweier  Zahlen  unseres  Systems 
auch  auffassen  als  eine  "  Multiplication"  der  zugehorigen  Matrices. 
Umgekehrt  wird  jede  Untersuchung  liber  die  Zusammensetzung 
der  Matrices,  oder  der  bilinearen  Formen,  oder  der  Transforma- 
tionen der  allgemeinen  projectiven  Gruppe,  als  eine  Untersuchung 
iiber  das  aus  w2  Einheiten  gebildete  System  (6)  von  complexen 
Zahlen  angesehen  werden  konnen. 

Der  auf  den  Fall  n  =  2  beziiglichen  Untersuchungen  von 
Laguerre,  Cayley  und  Stephanos  haben  wir  schon  gedacht. 
Hier  haben  wir  noch  hinzuzufugen,  dass  das  im  Falle  n  =  3 
entstehende  System  von  neun  Einheiten  identisch  ist  mit  dem 
System  der  Nonionen,  das  von  Sylvester  als  ein  Analogon  der 
Hamilton'schen  Quaternionen  aufgestellt  worden  ist*,  sowie, 
dass  das  aus  der  Annahme  n  =  4  hervorgehende  System  zur  auto- 
morphen  Transformation  der  quadratischen  Form  (4)  dient. 

Unter  den  auf  die  Gruppe  der  collinearen  Transformationen 
beziiglichen  Untersuchungen  ist  besonders  hervorzuheben  die 
erwahnte  Arbeit  von  Frobenius,  die  eine  grosse  Menge  werth- 
voller  Ergebnisse  enthalt.  Im  Schlussparagraphen  dieser  Ab- 
handlung  werden  ausdriicklich  Systeme  complexer  Zahlen  einge- 


Berichte,   1887;   Bulletin  des  Sci.  Math.    2  ser.   xv.    1887;    Wiener   Monatsh.  f. 
Math.  u.  Phys.  i.  1890. 

*  Sylvester,  Johns  Hopkins  Circular,  1882,  n.    Comptes  Rendus,  1883,  S.  1336  ; 
1884,  S.  273,  471. 


SYSTEME   COMPLEXER   ZAHLEN.  373 

fuhrt,  allerdings  auf  Grund  einer  mangelhaften  Definition. 
Frobenius  zeigt  u.  A.,  doss  die  gewdhnlichen  complexen  Zahlen 
und  die  Quaternwnen  die  einzigen  Systeme  complexer  Zahlen  sind, 
bei  denen  ein  Produkt  zweier  Factor  en  nicht  verschwinden  kann, 
ohne  dass  einer  der  Factor  en  verschwindet 

Endlich  wollen  wir  einer  im  Ubrigen  nicht  einwandsfreien 
Note  von  Poincare'  gedenken,  der  hervorgehoben  hat,  dass  mit 
jedem  System  complexer  Zahlen  zwei  protective  Gruppen  x'  =  ax, 
x'  =  xb  verkniipft  sind*;  was  uns  allerdings  ziemlich  selbstver- 
standlich  erscheint. 


In  beinahe  alien  bis  jetzt  erwahnten  Untersuchungen  hat  sich 
ein  Zusammenhang  der  Systeme  complexer  Zahlen  mit  gewissen 
Transformationsgruppen  gezeigt;  eine  Thatsache,  die  allerdings 
von  den  Autoren  selbst  nicht  immer  hervorgehoben  worden  ist. 
Die  Systeme  complexer  Zahlen  erscheinen  als  ein  Mittel,  gewisse 
Gruppen  linearer  Transformationen  in  iibersichtlicher  Weise 
darzustellen,  und  die  Regeln  ihrer  Zusammensetzung  kurz  zu 
beschreiben.  In  den  Arbeiten,  die  wir  jetzt  zu  nennen  haben 
werden,  wird  die  Theorie  der  complexen  Zahlen  von  vorn  herein 
als  ein  Theil  der  grossen,  von  Sophus  Lie  begriindeten  Theorie 
der  Transformationsgruppen^  hingestellt.  Es  handelt  sich  darum, 
die  Besonderheit  gewisser  mit  System  en  complexer  Zahlen 
verknupfter  Gruppen  klar  zu  erfassen,  die  Zahlensysteme  syste- 
matisch  zum  Studium  dieser  Gruppen  zu  verwerthen,  endlich 
umgekehrt  die  in  der  allgemeinen  Theorie  der  Transformations- 
gruppen entwickelten  Gedanken  fur  das  Studium  der  Zahlen- 
systeme nutzbar  zu  machen. 

Die  Reihe  dieser  Arbeiten  wird  eroffnet  durch  eine  Abhand- 
lung  von  Schur  £.  Schur  ersetzt  die  Gleichungen  des  associa- 
tiven  und  distributiven  Gesetzes  der  Multiplication 

(7)  a(bc)  =  (ab)c, 

a(b  +  c)  =  ab  +  ac,     (a  +  b)  c  =  ac  +  be 


*  Poincare,  Comptes  Itendus,  1884,  S.  740. 

t  Theorie    der    Tran*formationsgmppen,    unter   Mitwirkung   von    Fr.    Engel 
bearbeitet  von  S.  Lie.     Leipzig  (Bd.  i.  1888;   Bd.  n.  1890). 
J  Schur,  Math.  Ann.  Bd.  33,  1888. 


374  E.    STUDY. 

durch  allgemeinere  Functionalgleichungen ;  er  zeigt  sodann,  dass 
diese  Functionalgleichungen  durch  Einfiihrung  von  geeigneten 
Veranderlichen  auf  die  Form  (7)  gebracht  werden  konnen,  dass 
also  die  durch  jene  Functionalgleichungen  gekennzeichneten 
Gruppen  durch  Einfiihrung  neuer  Veranderlicher  aus  Gruppen 
hervorgehen,  die  mit  Systemen  complexer  Zahlen  verkniipft  sind. 
Die  Arbeit  ist  besoriders  dadurch  bemerkenswerth,  dass  sie  der 
Ausgangspunkt  fur  die  wichtigen  Untersuchungen  geworden  ist, 
mit  denen  Schur  die  Theorie  der  Transformationsgruppen 
spater  bereichert  hat. 

Bis  hierher  war  noch  kein  Versuch  gemacht  worden,  fiir 
kleine  Werthe  der  Zahl  n  die  Systeme  mit  n  Haupteinheiten 
erschb'pfend  aufzuzahlen,  abgesehen  von  dem  bereits  erwahnten, 
mit  weuigen  Federstrichen  zu  erledigenden  Fall  n  =  2.  Diese 
Aufgabe  ist  vom  Referenteu  angegriffen  worden*.  Man  kann 
der  vorliegenden  Frage  gegenuber  zwei  wesentlich  verschiedene 
Standpunkte  einnehmen:  Man  kann  einmal  zwei  Systeme  als 
aquivalent  betrachten,  wenn  sie  durch  Einfuhruncj  neuer  Grund- 
zahlen  vermoge  einer  linearen  Transformation  mit  gewohnlichen 
complexen  Coefficienten  in  einander  iibergehen  (Problem  der 
Aufzahlung  der  "  Typen") ;  oder  man  kann  die  Aquivalenz  durch 
eine  lineare  Transformation  mit  reellen  Coefficienten  definiren, 
wobei  dann  natiirlich  in  der  Multiplicationstafel  auch  nur  reelle 
Coefficienten  zulassig  sind  (Problem  der  Aufzahlung  der  <;  Ge- 
stalten").  Beide  Aufgaben  siod  vom  Referenten  fur  die  Werthe 
n  =  3  und  n  =  4,  durch  ein  elementares  Verfahren,  vollstandig 
erledigt  worden.  Die  Systeme  werden  classificirt  nach  ihrer 
Reducibilitdt  (ein  System  heisst  reducibel,  wenn  man  die  passend 
wahlten  Haupteinheiten  in  Gruppen  ei,  fK,...  theilen  kann, 
derart,  *dass  eieK  =  €&  =  0  ist)  und  nach  ihrem  Grade  k,  einer 
bereits  von  B.  Peirce  eingeftihrten  Zahl,  die  angibt,  wieviele 
unter  den  Potenzen  einer  allgemein  gewahlten  Zahl  des  Systems 
linear-unabhangig,  d.  h.  durch  keine  lineare  Relation  mit  nuiner- 
ischen  Coefficienten  verkniipft  sind.  Ausserdem  wird  noch  der 
Fall  k  =  n  allgemein  erledigt.  Einige  (sehr  specielle)  Systeme 
dieser  Art  waren  bereits  vorher  von  Weierstrass  auigezahlt 


*  Study,  Gott.  Nadir.  1889;  Moiiatsh.f.  Math.  u.  Phys.  i.  1890;  n.  1891. 


SYSTEME    COMPLEXER   ZAHLEN.  375 

und  classificirt  worden*.  Eine  zweite  Abhandlung  des  Refer- 
enten  bringt  ausfuhrliche  Darlegungen  liber  den  Zusammenhang 
zwischen  Systemen  complexer  Zahlen  und  Transformationsgrup- 
pen-f-.  Es  handelt  sich  dabei  hauptsachlich  um  Eigenschaften 
der  Gruppe 

(8)  x'  =  axb, 

n 

in  der  die  Coefficienten  xi  der  Grosse  x  —  Sa^  als  homogene 
Veranderliche  aufgefasst  werden,  und  ihrer  Untergruppen 

(9)  x  =  ax,     x  =  xb, 

(10)  x'  =  a'1  xa. 

Die  Gleichungen  (9)  stellen  ein  Paar  von  einfach-bransitiven, 
sogenannten  reciproken  projectiven  Gruppen  dar;  aus  der  Zu- 
sammensetzung  der  Transformationen  beider  Gruppen  entsteht 
die  umfassendere  Gruppe  (8),  deren  allgemeine  Transformation 
von  2n  —  m  —  \  wesentlichen  Parametern  abhangt,  wenn  das 
vorgelegte  Zahlensystem  in  linear-unabhangige,  mit  jeder  Zahl 
des  Systems  vertauschbare  Zahlen  x  (ax  =  xa)  enthalt.  Aus  der 
Gruppe  (8)  geht  sodann  die  Gruppe  (10)  hervor,  wenn  man  einen 
gewissen  Punkt  von  allgemeiner  Lage  festhalt.  Diese  Gruppe 
(10),  deren  allgemeine  Transformation  n  —  m  Parameter  hat,  ist 
nicht  wesentlich  verschieden  von  der  "  Adjungirten"  einer  jeden 
der  beiden  Gruppen  (9). 

Da  sich  zeigen  lasst,  dass  jedes  Paar  von  reciproken  projectiven 
Gruppen  durch  Gleichungen  von  der  Form  (9)  dargestellt  werden 
kann,  so  ist  mit  der  Auffindung  aller  wesentlich  verschiedenen 
Zahlensysteme  mit  n  Haupteinheiten  eine  bestimmte  Aufgabe 
der  Gruppen theorie  gelost,  namlich  das  Problem  der  Aufstellung 
aller  Typen  von  Paaren  reciproker  projectiver  Gruppen. 

Die  Bedeutung  dieser  Satze  beruht  darauf,  dass  sie  in 
gewissen  Fallen  zu  einer  besonders  einfachen  Darstellung  con- 
tinuirlicher  Transfer mationsgruppen  fuhren.  Jedesmal  namlich, 
wenn  die  Gruppen  (9)  isomorph  sind  zu  einer  r-gliedrigen  con- 
tinuirlichen  Gruppe,  kann  man  die  Transformationen  dieser 

*  Weierstrass,  Gott.  Nachr.  1884;  vgl.  Schwarz,  Dedekind,  Petersen, 
Holder  ebenda,  1884—1886. 

t  Study,  Ber.  d.  k.  slicks.  Ges.  d.  W.  1889;  oder  Moiiatsliefte  fiir  Math.  u. 
Physik,  i.  1890. 


376  E.    STUDY. 

Gruppe  in  der  Weise  durch  Parameter  darstellen,  dass  fiir  diese 
Parameter  "  bilineare  Zusammensetzung  "  besteht  (s.  oben),  womit 
eine  besonders  einfache  Grundlage  fiir  die  Behandlung  der 
r-gliedrigen  Gruppe  gegeben  ist. 

Identificirt  man  das  System  complexer  Zahlen  mit  den 
Quaternionen,  so  stellen  die  Formeln  (9)  die  beiden  dreigliedrigen 
projectiven  Gruppen  dar,  die  je  eine  Geradenschaar  der  Flache 
2.  O.  x0-  +  #!2  +  x£  +  x£  =  0  in  Ruhe  lassen  (die  sogenannten 
Schiebungen  dieser  Flache),  (10)  aber  liefert  die  Euler- 
Cayley'sche  Darstellung  der  Drehungen  um  einen  festen  Punkt 
(s.  oben). 

Die  ausgedehnte  Anwendbarkeit  des  Quaternionencalculs  in  der 
Maassgeometrie  beniht  hiernach  auf  Folgendem : 

Erstens  darauf,  dass  die  Gruppe  der  Drehungen  im  (Euclidi- 
schen  oder  Nicht-Euclidischen)  Raume  isomorph  ist  mit  einem  Paar 
von  reciproken  projectiven  Gruppen, 

Zweitens  darauf,  dass  diese  ihre  beiden  Parametergruppen 
identisch  sind  mit  den  beiden  Gruppen  von  "Schiebungen"  eines 
Nich  t-Euclidischen  Raumes, 

.  Drittens  darauf,  dass  die   Gruppe   der  Drehungen  um  einen 
festen  Punkt  ihre  eigene  adjungirte  Gruppe  ist. 

Der  letzte  Umstand  namentlich  ermoglicht  die  fruchtbare 
Doppel-Auffassung  einer  Quaternion,  ivonach  diese  bald  als  Symbol 
eines  Punktes  im  Raume,  oder  der  vom  Anfangspunkt  nach 
diesem  Punkte  gezogenen  Strecke,  bald  als  Symbol  einer  Drehung 
erscheint. — 

Das  Problem  der  Classification  und  Bestimmung  der  Systeme 
complexer  Zahlen  ist,  mit  umfassenderen  Htilfsmitteln,  auf- 
genommen  worden  von  Scheffers*.  Scheffers  gibt  zunachs.t 
ein  einfaches  Kriterium  der  Reducibilitat. 

Ein  System  S  ist  dann  und  nur  dann  reducibel,  wenn  es 
ausser  dem  sogenannten  Modul  (der  Zahl  e,  die  den  Bedingungen 
x  =  ex,  x  =  ixe  identisch  genilgt)  noch  mindestens  eine  Zahl  €i 
enthdlt,  die  mit  alien  Zahlen  des  Systems  vertauschbar  ist  fax  =  o*€i) 
und  deren  Quadrat  ihr  selbst  gleich  ist.  €i  und  (e  —  ej)  sind  dann 
die  Moduln  zweier  Systeme  mit  einer  geringeren  Zahl  von 


*  Scheffers,  Her.   d.  k.  .SY/C/W.  Ge$.  d.   W.  1889;  Math.  Aim.  Bd.  39,    1890; 
Bd.  41,  1892. 


SYSTEME    COMPLEXER   ZAHLEN.  377 

Einheiten,  in  die  das  System  $  zerlegt  werden  kann.  Die 
wiederholte  Anwendung  dieses  Kriteriuitis  fiihrt  zur  vollstandigen 
Zerlegung  des  Systems  S  in  kleinere  Systeme,  einer  Zerlegung, 
die  immer  nur  in  einer  Weise  bewerkstelligt  werden  kann. 

Neben  die  Eintheilung  der  Zahlensysteme  in  reducibele  und 
irreducibele  stellt  Scheffers  eine  zweite,  nicht  minder  wichtige: 
die  Eintheilung  in  Quaternionsysteme  and  Nichtquaternionsysteme. 

Nach  einem  fundamentalen  Satze  von  Engel*  zerfallen  alle 
r-gliedrigen  continuirlichen  Gruppen  in  zwei  Classen.  Die 
Gruppen  der  ersten  Classe  enthalten  eine  dreigliedrige  Unter- 
gruppe  von  der  Zusammensetzung  der  projectiven  Gruppe  eines 
Kegelschnittes  in  der  Ebene  (oder  der  Gruppe  der  Drehungen 
des  Raumes  um  einen  festen  Punkt);  die  Gruppen  der  zweiten 
Classe  sind,  nach  der  Ausdrucksweise  von  S.  Lie,  integrabel',  d.  h. 
jede  von  ihnen  hat  eine  (r  —  l)-gliedrige  Untergruppe,  diese 
wiederum  hat  eine  (r  —  2)-gliedrige  Untergruppe,  u.  s.  f.  Diese 
Eintheilung  vvird  nun  auf  die  aus  n  Einheiten  gebildeten  Systeme 
complexer  Zahlen  iibertragen,  wenn  man  an  Stelle  der  r-gliedrigen 
Gruppe  eine  der  beiden  (n  —  l)-gliedrigen  Gruppen  (9)  setzt.  Die 
zur  ersten  Classe  gehorigen  Systeme,  die  Qitaternionsysteme, 
lassen  sich,  nach  einem  allerdings  zunachst  nur  vermutheten 
Satze  •}*,  immer  so  schreiben,  dass  ein  Theil  ihrer  Multiplications- 
regeln  mit  den  Multiplicationsregem  der  Quaternionen  liberein- 
stimmt.  Die  Haupteinheiten  eines  Nichtquaternionsy  stems  lassen 
sich  in  zwei  Gruppen  ely  e.2,...er',  %,  rj2>...rjg  theilen,  derart,  dass 
jedes  ei6j  ausdriickbar  ist  durch  die  e;  und  6j  vorhergehenden 
Einheiten ;  dass  rjtf  =  •%  und  -q-^k  =  0  ist  filr  i^k ;  dass  endlich 
alle  Produkte  7?^  und  e^  fur  k=l,  2,...s  verschwinden  mit 
Ausnahmeje  eines  einzigen,  das  gleich  ei  ist  (77^;  =  ^-,  ^77^  =  6,:). 

Auf  Grund  dieses  und  ahnlicher  Satze  gelingt  es  nicht  nur, 
die  Bestimmung  aller  Typen  auch  noch  fur  den  Fall  n  =  5  durch- 
zufuhren,  sondern  auch  die  Falle  k  —  n  —  1  und  k  =  n  —  2,  und  bis 
zu  einem  gewissen  Grade  den  Fall  k  =  2  allgemein  zu  erledigen. 
Die  Quaternions}'steme  werden  bis  zu  acht  Einheiten  hin 
bestimmt,  ohne  dass  der  oben  erwahute  Satz  vorausgesetzt 
wiirde. — Besonders  bemerkenswerth  erscheint  die  Rolle,  die  der 

*  Engel,  Per.  d.  k.  sacli.  Ges.  d.  W.  1887,  1893. 

t  Der  Satz  lasst  sich  aus  der  spater  zu  besprechenden  Theorie  von  Molien 
ableiten. 


378  E.    STUDY. 

bereits  besprochene  Process  der  "  Multiplication"  in  dieser  Unter- 
suchung  spielt.  Jedes  Zahlensystem  8,  das  das  System  Q  der 
Quaternionen  enthdlt,  und  den  Quaternionenmodul  zum  Gesammt- 
modul  hat,  ist  das  Produkt  aus  Q  und  irgend  einem  Zahlen- 
system P 

S  =  P.Q.- 

Was  wird  insbesondere  aus  dera  System  S,  wenn  man  auch  das 
System  P  mit  dem  Quaternionensystem  identificirt  ?  Mit  Riick- 
sicht  auf  den  mehrfach  besprochenen  Zusammenhang  der  Qua- 
ternionentheorie  mit  den  linearen  Transformationen  eines  binaren 
Gebietes  mogen  wir  die  Frage  zunachst  noch  etwas  verallge- 
meinern,  und  dann  die  Antwort  in  den  folgenden,  bis  jetzt 
allerdings  wohl  noch  nicht  ausgesprochenen  Satz  fassen  :  Das  Pro- 
dukt aus  den  beiden  Zahlensystemen  Sni  und  $„#,  die  zur  allgemeinen 
projectiven  Gruppe  eines  Gebietes  nter  und  eines  Gebietes  mter 
Stufe  gehoren,  ist  demselben  Typus  (wie  auch  derselben  Gestalt) 
zuzurechnen,  wie  das  System  S  (nm^,  das  zur  allgemeinen  projec- 
tiven Gruppe  eines  Gebietes  (nm)ter  Stufe  gehort. 

An  die  besprochenen  Untersuchungen  von  Scheffers  schliesst 
sich  an  eine  Arbeit  des  Referenten,  in  der  die  Beziehung  der  aus 
dem  System  (2)  und  dem  Quaternionensystem  Q  durch  Multi- 
plication entstehenden  Biquaternionen  zur  Euklidischen  Raum- 
geometrie  klargestellt  wird*.  Es  wird  verlangt,  die  Coefficienten 
der  allgemeinen  Transformation  rechtwinkliger  Parallelcoordinaten 
ini  Raume  durch  eine  moglichst  kleine  Zahl  von  Parametern  in 
der  Weise  auszudriicken,  dass  fur  diese  Parameter  "  bilineare 
Zusammensetzung"  besteht,  dass  also  bei  Zusammensetzung 
zweier  Bewegungen  die  Parameter  der  resultirenden  Transforma- 
tion ganze  lineare  homogene  Functionen  der  Parameter  einer 
jeden  der  gegebenen  Transformationen  werden.  Die  Lb'sung 
geschieht  mit  Hiilfe  des  erwahnten  Biquatemionensystems  durch 
ein  System  von  acht  Parametern,  zwischen  denen  eine  quadratische 
Gleichung  besteht.  Die  gefundenen  Formeln  werden  zur  Grund- 
lage  einer  umfassenden  Theorie  der  Bewegungen  sowohl  wie  der 
symmetrischen  Transformationen  des  Raumes  gemacht. — Die 
Methode  lasst  sich  ausdehnen  nicht  nur  auf  den  Nicht-Euclidischen 
Raum — bei  Annahme  einer  positiven  Krlimmung  kommt  man 

*  Study,  Math.  Ann.  Bd.  39,  1891. 


SYSTEME   COMPLEXER   ZAHLEN. 


379 


dann  auf  die  besprochenen  Formeln  Cay  ley's  fur  die  automorphe 
Transformation  von  vier  Quadraten  zurlick — sondern,  wie  beilaufig 
bemerkt  werden  mag,  auch  auf  die  Theorie  der  Ahnlichkeits- 
transformationen  des  vierfach-  wie  des  dreifach-ausgedehnten 
Raumes.  Zur  Parameterdarstellung  dieser  Transformationen 
namlich  kann  ein  System  von  3  .  4  Einheiten  dienen,  das  durch 
Multiplication  des  Quaternionensystems  Q  mit  dem  System 


e0 

61 

e2 

e0 

e0 

0 

e2 

ti 

0 

6j 

0 

02 

0 

e, 

0 

hervorgeht. 

Eine  wesentliche  Vertiefung  unserer  Einsicht  in  die  Structur 
der  Systeme  von  complexen  Zahlen  hat  endlich  eine  Arbeit  von 
Molien  gebracht*.  Hier  werden  eine  Reihe  neuer  und  wichtiger 
Begriffe  entwickelt ;  vor  Allen  der  des  begleitenden  Zahlensystems 
eines  gegebenen. 

Lassen  sich  die  geeignet  gewahlten  Grundzahlen  eines  Zahlen- 
systems in  zwei  Gruppen  e1...er,  T^... rjs  theilen,  derart,  dass  alle 
eiejc  sich  durch  die  ei  allein  ausdriicken  lassen,  wahrend  die 
Produkte  e^jc,  %£*,  ^i^k  durch  die  rji  allein  ausgedriickt  sind,  so 
bilden  die  Grundzahlen  el...er  ein  Zahlensystem,  von  dem  Molien 
sagt,  dass  es  das  gegebene  "  begleitet."  Ein  Zahlensystem,  das 
kein  kleineres  begleitendes  System  enthalt,  heisst  ein  "  ursprung- 
liches  Zahlensystem."  Ein  Hauptziel  der  Molien'schen  Arbeit  ist 
die  Bestimmung  aller  dieser  urspriinglichen  Zahlensysteme. 

Jedes  ursprilngliche  Zahlensystem  hat  eine  quadratische  Zahl 
von  Haupteinheiten,  und  ist  identisch  mit  einem  der  Zahlensysteme, 
die,  wie  wir  oben  sagten,  zur  allgemeinen  projectiven  Gruppe  eines 
Gebietes  mter  Stufe  gehoren. 

Wenn  ein  Zahlensystem  nicht  urspriinglich  ist,  so  bestimmen 
die  oben  mit  %...7;g  bezeichneten  Zahlen  eine  invariante  Unter- 
gruppe  einer  jeden  der  mit  dem  Zahlensystem  verkniipften 
reciproken  Gruppen  (9).  Ist  das  Zahlensystem  dagegen  ur- 

*  Molien,   Uber  Systeme  hoherer  complexer  Zahlen,  Diss.  Dorpat,  1892,  oder 
Math.  Ann.  Bd.  41,  1893. 


380  E.    STUDY. 

spriinglich,  so  haben  die  zugehorigen  Parametergruppen  (9)  iiber- 
haupt  keine  invarianten  Untergruppen,  da  die  allgemeine  pro- 
jective  Gruppe  bekanntlich  einfach  ist. 

Durch  den  angefuhrten  Satz  sind  also  alle  Zahlensysteme  mit  n 
Haupteinheiten  bestimmt,  deren  zugehorige  Parametergruppen  (9) 
einfach  sind. 

Die  Bedeutung,  die  die  Bestimmung  der  urspriinglichen 
Systeme  fiir  die  allgemeine  Theorie  der  Systeme  complexer 
Zahlen  hat,  geht  aus  dem  folgenden  Satze  hervor: 

Jedes  System  Sn  von  complexen  Zahlen  enthdlt  eine  endliche 
Zahl  p  von  begleitenden  ursprunglichen  Systemen,  deren  Hauptein- 
heiten sdmmtlich  linear-unabhdngig  sind. 

Seien  eu...elri;  e.2l...e^;  ...epl...rpr  die  Grundzahlen  dieser  p 
begleitenden  ursprunglichen  Systeme,  1)^... TI^  die  ubrigen  Einheiten 
des  gegebenen  Systems  (r±  +  . . .  +  rp  +  p  =  n),  so  werden  alle  Produkte 
&ik  •  &ji  —  0,  sobald  i^j,  und  die  ubrigen  Produkte  €&  •  *?* .  Vi-  eik  und 
rH^lm  drilcken  sich  durch  die  Grundzahlen  ^...tjn  allein  aus. 

Die  Produkte  e^e«  folgen  den  uns  bereits  bekannten  Multipli- 
cationsregeln. 

Auf  Grund  dieser  und  anderer  Satze,  auf  die  wir  ihrer 
verwickelten  Natur  wegen  nicht  eingehen  konnen,  gelangt 
Molien  zu  einer  Classification  sammtlicher  Zahlensysteme.  Die 
Systeme  werden  in  Classen  getheilt,  deren  jede  einem  der 
Scheffers'schen  Nichtquaternionsysteme  entspricht.  Die  ur- 
sprunglichen Zahlensysteme  bilden  fur  sich  allein  eine  Classe,  die 
dem  System  der  gewohnlichen  Zahlen  mit  einer  Haupteinheit 
zugeordnet  ist. 

Als  ein  Vorzug  der  Molien'schen  Untersuchung  im  Vergleich 
zu  der  von  Scheffers  muss  es  betrachtet  werden,  dass  Molien 
sich  nirgends  auf  Satze  stiitzt,  die  nicht  der  Theorie  der  complexen 
Zahlen  unmittelbar  angehoren,  sondern  mit  anderen,  fremdartigen 
Hiilfsmitteln  bewiesen  sind.  Zu  bedauern  ist  es  jedoch,  dass  Herr 
Molien  es  verschmaht  hat,  seine  Theorie  durch  ausgefiihrte 
Beispiele  zu  erlautern  ;  zu  bedauern  nicht  allein  deshalb,  weil 
das  Heil  der  Wissenschaft  nicht  ausschliesslich  in  der  Abstraction 
liegt.  Dass  die  Bestimmung  wenigstens  der  Quaternionsysteme 
nochmals  aufgenommen  und  ein  gutes  Stuck  weitergefuhrt  werden 
mb'chte,  erscheint  im  Interesse  der  geometrischen  Anwendungen 
jedenfalls  sehr  wiinschenswerth. — 


SYSTEME   COMPLEXER    ZAHLEN.  381 

Wir  schliessen  dieses  Referat  mit  einer  Aufzahlung  der 
zusammenfassenden  Arbeiten,  die  der  Leser,  der  sich  naher  iiber 
unseren  Gegenstand  zu  unterrichten  wiinscht,  zu  Rathe  ziehen 
moge. 

H.  Hankel,  Theorie  der  complexen  Zahlensysteme.  Leipzig, 
1867. 

W.  Gibbs,  An  address  before  the  section  of  Mathematics  and 
Astronomy  of  t/ie  American  Association  for  the  Advancement  of 
Science,  Buffalo  Meeting,  August  1886,  Salem  Mass.  1886. 

Cay  ley,  "On  multiple  Algebra."  Quarterly  Journal  of  Mathe- 
matics, v.  22  (1887),  p.  270. 

Study,  "  Uber  Systeme  complexer  Zahlen  und  ihre  Anwendung 
in  der  Theorie  der  Transfer rnationsgnippen."  Monatshefte  f.  Math.  u. 
Phys.  i.  (Wien,  1890),  S.  283. 

Scheffers,  "Zuriickfiihrung  complexer  Zahlensysteme  auf  typische 
Formen."  Math.  Ann.  Bd.  39,  S.  293. 

Molien,  Uber  Systeme  Jwherer  complexer  Zahlen.  Dorpat,  1892  ; 
oder  Math.  Ann.  Bd.  41,  1893,  S.  83. 

MARBURG,  im  Juni  1893. 

[Zu  der  vorliegenden  Aufzahlung  ist  noch  hinzuzufiigeu  : 
Sophus  Lie,    Vorlesungen  iiber  continuirlic/ie  Gruppen.     Leipzig, 
1893.     Dieses    Werk    bringt    in    Abtheilung    V    hauptsachlich    eine 
Ubersicht  (iber  die  Arbeiten  von  Study  und  Scheffers. 

Ferner  sind  seit  Abfassung  dieses  Referats  noch  zwei  Abhandlungen 
von  Scheffers  erschienen  (Sachs.  Berichte,  1893  und  1894),  in  denen 
die  Functionentheorie  der  commutativen  Systeine  entwickelt  und  auf 
einige  wichtige  gruppentheoretische  Probleme  angewendet  wird. 

BONN,  im  October  1895.] 


SOME  RESEARCHES  IN  SPHERICAL 
TRIGONOMETRY. 

BY 
E.  STUDY  OF  MARBURG. 

I  BEG  your  permission,  members  of  the  Congress,  to  give 
you  an  account  of  a  book,  which  has  just  appeared  in  the 
Reports  of  the  Saxon  Academy  (1893,  vol.  xx.  Nr.  2)*. 

The  matter  is  quite  elementary ;  I  am  to  speak  about  Spherical 
Trigonometry. 

I  do  not  know  whether  you  will  be  interested  in  this  subject 
or  not ;  certainly  I  have  found  some  persons  who  think  that 
Elementary  Geometry  must  be  nearly  exhausted,  that  there 
can  be  almost  nothing  left  in  it,  worth  doing.  My  opinion,  I 
confess,  is  directly  the  opposite ;  and  so  I  entered  upon  a  research 
into  Spherical  Trigonometry,  the  results  of  which,  I  hope,  will  not 
be  without  interest. 

I  began  by  considering  the  relations  among  the  coefficients 
of  an  orthogonal  substitution.  Let  the  coefficients  aw,  a11,...a33  of 
such  a  substitution  be  expressed  in  terms  of  Euler's  parameters, 
i.e.,  the  four  well-known  homogeneous  quantities  introduced  by 
Euler.  It  is  the  advantage  of  this  method,  as  you  know,  that  it 
reduces  the  relations  just  mentioned  to  identities.  Would  it  not 
be  likewise  advantageous  to  express  in  the  same  way  the  sides 
and  angles  of  a  spherical  triangle  as  symmetrically  as  possible  by 
a  system  of  three  quantities,  or  better,  by  four  homogeneous 
quantities,  and  so  to  reduce  the  formulae  of  Spherical  Trigon- 
ometry to  identities  ? 


*    Spharische     Trigonometrie,    orthogonale     Substitutionen    und    elliptische 
Functionen.     Published   also   separately   at   Hirzel's,   Leipzig. 


SPHERICAL   TRIGONOMETRY. 


383 


Sine  and  cosine  of  an  angle  may  be  expressed  rationally  in 
terms  of  the  cotangent  of  the  half  angle  and  vice  versa.  We 
may  therefore  investigate  the  relations  among  the  functions 
cotangents  of  the  half  sides  and  the  half  angles  of  the  triangle. 


Fig.J. 


Let  the  sides  be  denoted  by  a1}  a2,  o3,  the  angles  by  «j,  c^,  «3, 
as  shown  in  the  adjoined  figures  (1),  which  are  understood  to  be 
stereographical  projections  of  spherical  triangles. 

Further  denote  ctg  ^  by  lit  and  ctg  °j-  by  A;.  Starting  from  the 
formulae  called  Delambre's  or  Gauss',  you  will  find  after  some 


384  E.    STUDY. 

reckoning,  that  these  two  sets  of  quantities  are  connected  by 
the  three  following  equations  : 


/t  \  I!  "21  4"  ^3^-1  + 

''''- 


and  the  three  equations,  which  result  from  these  by  interchanging 
the  I's  and  X's. 

The  remarkable  characteristic  of  these  equations  is,  that  they 
are  linear  in  terms  of  the  products  lilK,  X^X*.  Therefore  we  may 
easily  express  these  products  in  terms  of  one  set  of  four  homo- 
geneous quantities  X0,  X1}  Xz,  X.A. 

Indeed,  supposing 

2F0  =  X0  +  Xi  +  X2  +  X3,     2z0  =  X0  —  Xi  —  X2  —  X3, 

2  Fj  =  X0  +  X1  —  Xz  —  Xs,     2Zi  =  X0  —  Xl  +  X2  4-  X3, 
(  —  ) 


the  said  products  may  be  expressed  as  follows  : 

Z  Y 

(3)  lJa  =  -F, 

"o 

from  which 


i  _       ti»»  _ 
= 


(4)  -  (etc.). 

_ 


When  now  we  express  the  functions  cos  at-,  cosotf  in  terms 
of  the  quantities  Xit  there  appears  a  remarkable  fact,  not  to 
have  been  foreseen,  the  fact  that  there  is  a  very  near  connection 
between  Spherical  Trigonometry  and  the  above-mentioned  ortho- 
gonal substitutions  :  the  cosines  have  the  simple  values 

dn%  dfn  ftjo 

COS  Ctj  =  —  ,       COS  a2  —  —  ,       COS  «3  =  —  , 

/-\  #11  ^22  ^33 

\°) 

COS  «j  =  —  ,      COS  Oj  =  —  ,      COS  C£3  =  —  , 
ftu  &.&  Ctga 

where  the  quantities  afK  are  exactly  the  Eulerian  expressions 
for  the  coefficients  of  an  orthogonal  substitution  in  terms  of 
the  parameters  X^ 


SPHERICAL   TRIGONOMETRY.  385 

Therefore  to  each  orthogonal  substitution  belongs  a  certain 
spherical  triangle,  given  by  the  cosines  of  its  sides  and  angles  ;  and 
vice  versa,  to  each  triangle  appertains  a  certain  orthogonal 
substitution. 

A  great  many  consequences  follow  from  this  theorem.  I  must 
confine  myself  to  giving  you  an  idea  of  some  of  them  ;  a  compre- 
hensive theory  is  developed  in  the  book  mentioned  above. 

As  a  first  application  of  quite  an  elementary  character  may  be 
mentioned  the  research  of  the  relations  between  the  radii  of  the 
inscribed  and  circumscribed  circles. 

Let  the  cotangents  of  the  spherical  radii  of  the  four  inscribed 
circles  be  denoted  by  p0,  p1}  p2,  ps,  and  the  reciprocal  quantities, 
the  tangents  of  the  radii  of  the  circumscribed  circles,  by  r0,  rl5  r2, 
r3;  we  have 


(6)  R 


/o»  a,  o." 

V   2  '  2  '  2  ' 


Eliminating  the  quantities  Yt,  Zi  or  Xt,  we  find 

2r0  =  -  p0  +  p1  +  p2  +  p3,     2pt(  =  -  r0  +  rx  +  r2 

2n=    po-pi  +  pt  +  ps,    fyi=    n,-n  +  r2 


(r0r2  +  r3n)  (r0r3  +  n^) 

(8)  =  ^onrjr,  .  p0pip2p3 

=  (p0/3!  +  p2/33)  (p0p2 
As  a  second  application  we  give  by  means  of  a  construction 
of  plane  Geometry  a  solution  of  the  following  problem  :  To  find 
the  angles  of  a  spherical  triangle,  when  the  sides  are  given,  and  vice 
versa. 
Write 

2s0  =  2-Tr  —  al  —  a2  —  a3,     2 


j  - 

I") 

2o-= 


c.  P. 


—  as,     2cr3= 

25 


386 


E.    STUDY. 


where  the  sum  of  the  right  members  in  each  case  is  2?r ;   then 
we  have 


(10)        sin  Si  = 


&Z.Z&Z, 

R 


2VF0F1F2F3 
R 


Therefore  we  are  able  to  construct  two  inscribed  quadrilaterals, 
whose  sides  are  proportional  to  the  quantities  Fr-,  Zi  [Fig.  2]. 


We  may  choose  the  absolute  size  of  the  two  figures  in  such  a 
manner,  that  the  relations  between  the  sides  of  both  quadrilaterals 
become  exactly  the  same  as  the  relations  between  the  quantities 
Yi,  Zi.  Then  the  diagonals  of  both  quadrilaterals  have  the  same 
length*.  Hence  the  one  quadrilateral  may  be  constructed,  when 
the  other  is  known. 

So  we  have  the  following  construction:  We  seek  first  the 
angles  2§f ;  then  we  construct  the  first  quadrilateral,  of  any  size  we 
choose;  then  the  second  quadrilateral  is  to  be  constructed,  by 
means  of  the  known  length  of  its  sides  and  diagonals ;  and  this 
second  quadrilateral  gives  immediately  the  angles  o-;.  Besides, 
we  find  in  our  figure  not  only  the  angles  Si  and  a-i}  but  also  the 
angles  at-  and  Of  themselves,  as  shown  in  the  diagram  [Fig.  2]. 


*  Since  we  may  change  the  order  of  the  sides  we  have  three  diagonals  for 
each  quadrilateral.  The  three  diagonals  of  the  first  quadrilateral  are  equal  to  the 
three  diagonals  of  the  second  quadrilateral. 


SPHERICAL   TRIGONOMETRY. 
Let  us  now  consider  the  ratios 


387 


as  coordinates  of  a  point  in  space,  and  more  particularly  the 
quantities 

JLi         A  .^         A 

Z~ '       1?"  '       ~Y  ' 
0  -A-o  -Afl 

as  rectangular  Cartesian  coordinates.  Then  we  have  made 
to  correspond  to  each  triangle  of  given  shape  a  certain  point 
in  space,  and  vice  versa. 

To  every  real  triangle  corresponds  also  a  real  point ;  but 
not  reciprocally. 

The  space-locus  of  the  points  to  which  real  triangles  correspond 
is  remarkable  enough. 

Consider  the  linear  equations  Yt  =  0,  Zt  =  0.  Each  of  these 
two  systems  of  four  equations  represents  the  faces  of  a  regular 
tetrahedron.  Both  tetrahedrons  constitute  a  simple  figure,  since 
their  vertices  are  the  vertices  of  a  cube.  They  intersect  each 


Fig.3. 


other  so  as  to  include  a  regular  octahedron  [Fig.  3].  To  all 
the  points  in  the  interior  of  this  octahedron  correspond  real 
triangles ;  but  not  to  these  points  only.  There  are  still  three 
other°  octahedrons  (using  the  word  in  the  sense  of  projective 
Geometry),  to  the  points  in  the  interior  of  which  correspond  real 
triangles.  Consider  any  vertex  of  our  regular  octahedron,  and 
let  every  face  meeting  in  this  vertex  be  continued,  so  as  to  form 
the  second  sheet  of  a  cone  with  four  plane  sides.  We  have  three 

25—2 


388 


E.    STUDY. 


pairs  of  such  half-cones,  each  pair  being  opposite  in  the  octahedron, 
[Fig.  4]. 


Now  in  projective  Geometry  every  pair  is  to  be  considered  as 
a  regular  octahedron,  passing  through  infinity ;  and  to  all  points 
in  the  interior  of  any  one  of  these  four  octahedrons,  which  we  have 
thus  constructed,  corresponds  a  real  triangle  and  vice  versa. 

To  the  points  of  the  4 . 8  faces  correspond  triangles,  which 
depend  on  only  two  constants:  half  of  them  represent  triangles, 


Fig.5. 


whose  angular  points  are  in  a  great  circle,  [Fig.  5],  the  other  half 
triangles,  all  the  sides  of  which  pass  through  the  same  two  points 
of  the  sphere  [Fig.  6]. 


SPHERICAL   TRIGONOMETRY. 


389 


The  edges  and  the  vertices  of  the  four  octahedrons,  the  number 
of  which  is  12,  are  singular  points  of  our  representation  of 
the  spherical  triangles  by  points  of  space.  Every  vertex  represents 
oo 2  triangles,  each  of  which  has  degenerated  in  such  a  manner, 
that  one  of  its  sides  has  a  length  congruent  to  zero,  and  in  the 
same  way  the  opposite  angle  a  magnitude  congruent  to  zero 
(mod.  TT),  as  it  is  to  be  seen  in  the  figure  7.  Two  angular  points 
of  such  a  triangle,  which  still  depends  on  two  parameters,  are 
either  coincident,  or  opposite  points  (poles)  of  the  sphere. 


Flg.7. 


Now  with  every  triangle  is  intimately  connected  an  infinite 
series  of  other  triangles,  the  whole  of  which  may  be  called  a  group 
of  neighbouring  triangles.  All  of  them  belong  to  the  same  three- 
flat  or  three-edge.  They  are  connected  by  linear  substitutions: 
Let  a/,  a/  be  the  sides  and  angles  of  any  one  of  them,  then 
we  have 


(11) 
where 

(12) 


TO!  +  e2  +  e3  =  0, 
w2  +  es  +  61  =  0, 

==  0, 


€3  =  0, 
+  e3  +  el  =  0, 


(mod.  2). 


390 


E.    STUDY. 


To  all  these  triangles  correspond  only  16  different  points 
in  space,  that  is  to  say,  the  ratios  of  the  quantities  Xi  have  only 
16  different  values,  namely 


(13) 


X3'=±X3 


±X0 

+  z. 


±X3 


O  -X-i  -^  a  -As 


From  this  we  deduce  immediately  a  remarkable  theorem : 
The  16  points  of  space,  corresponding  to  a  group  of  neighbouring 
triangles,  constitute  what  is  called  the  configuration  of  Kummer. 

There  is,  moreover,  another  remarkable  configuration  connected 
with  our  representation  of  the  spherical  triangles.  We  have 
already  spoken  of  the  two  tetrahedrons  Ff  =  0,  Zt-  =  0.  Add  the 
third  tetrahedron,  defined  by  the  four  coordinate  planes  Xt  =  0, 
with  one  vertex  in  the  middle  of  our  cube,  and  the  three  others  at 
infinity,  and  we  have  the  famous  figure  of  three  so-called  desmic 
tetrahedrons.  We  will  return  to  this  point  later  on. 


Let  me  pass  now  to  the  most  important  application  of  our 
formulae. 

Lagrange  noticed,  as  you  know,  that  there  is  a  certain 
connection  between  Spherical  Trigonometry  and  Elliptic  Functions. 
In  reproducing  and  completing  the  theorem  of  Lagrange,  we 
make  use  of  the  notation  introduced  by  Weierstrass.  Then  the 
theorem  in  question  can  be  established  as  follows.' 

We  denote  by  «DA,  «<v,  ««>•/  a  set  of  three  half  periods,  two 
of  which  are  independent,  and  the  sum  of  which  is  zero  : 


further  we  denote  by  u1}  u2,  us  a  set  of  three  parameters,  the  sum 
of  which  is  also  zero  : 

^  +  1*2+^3  =  0. 
Then  we  have  in  ail  four  independent  homogeneous  quantities  : 


SPHERICAL    TRIGONOMETRY. 
Now  it  is  possible  to  substitute  : 


391 


(14) 


-  eA  a-  (2 


, 
where 


and 


Jb--, 


<TxW 

-,  etc. 


The  reciprocal  quantities  \K  have  the  same  values,  the  letters  /* 
and  v  being  interchanged. 

The  values  of  the  quantities  cos  alt,  sin  c^,  cos  a*,  sin  aK  are 
these  : 


cos  aK  = 


.  /  - 

in  a,  =  v  e  —  e\  . 


sin 


<r,,(2w)t)         . 

cos  aK  =  —  TH  —  f>     sm  a*  = 
' 


In  this  manner  to  each  set  of  given  values  of  o>  :  u  corresponds 
a  certain  triangle,  and  vice  versa,  to  each  triangle,  given  by  the 
quantities  1K,  \K  corresponds  a  set  of  values  of  the  ratios  o>  :  u, 
or  more  precisely,  an  infinity  of  values  of  o>  :  u,  connected  by 
linear  substitutions: 


(16) 


(«  =  1,2,3), 

/3  +  7  =  0 


where 

(17)  (a  +  8)2  =  2y87,        /3  +  7  =  0  (mod.  2), 

that  is  to  say 

(17)  2/8  =  27  =  a  +  S  =  0  (mod.  4). 

This  is  the  theorem  of  Lagrange,  which  has  however  not 
been  given  heretofore  in  this  symmetric  and  comprehensive  form. 


392 


E.    STUDY. 


Now,  by  means  of  our  theory,  it  may  be  changed  into  another 
theorem,  orthogonal  substitutions  being  introduced  instead  of 
spherical  triangles.  This  theorem,  which  is.  I  think,  entirely  new, 
may  be  expressed  as  follows  : 

The  quantities 


(18) 


ov  (2«3) 


<r(%uj  '      <r(2«3)  ' 
in  this  order,   are  nine  of  the  ten  coefficients   of  an  orthogonal 
substitution, 


i,        (Z22, 


connected  with  the  spherical  triangle  we  have  spoken  of.     The  tenth 
coefficient  has  the  following  value 


where  Q  (u,  v,  w),  provided  u 


.-ev\ 


=  Q,  denotes  the  function 
oyv  a-pW      <rvu  <rvv  <rvw\ 


<7U     (TV      <TW          <TU     (TV     (TW  ] 


(19)       Q  < 


(r^u  crvu\ 
\<TV   <rw       cru  <ru  ) 


+piv 


_  1  p'v  —p'w  _  1  p'w—p'u  _  1  p'u  —  p'v 
2  pv—  pw      2pw—pu      2  pu  —  pv  ' 

known  from  the  addition-theorem  of  the  function  pu. 

Now  investigate  the  Eulerian  parameters  of  our  orthogonal 
substitution.     They  also  have  simple  values,  viz., 


ev) 


(20) 


SPHERICAL    TRIGONOMETRY.  393 

where  p  is  a  factor  of  proportionality,  common  to  all  of  them. 

When  in  these  formulae  (20)  we  make  the  quantities  ult  u2,  us 
vary  in  such  a  manner,  that 

=  0, 


while  keeping  the  values  of  &>A,  w^,  &>„  fixed,  we  obtain  the  points 
of  a  certain  surface  in  space.  This  surface  is  of  the  4th  order  and 
the  12th  class,  and  it  has  12  conical  points  in  the  vertices  of  our 
desrnic  tetrahedrons  X  t  =  0,  Ft-  =0,  Zt  =  0  ;  it  is  nothing  else  than 
the  desmic  surface,  a  surface  which  belongs  to  the  same  pencil  with 
the  three  tetrahedrons,  and  ivhich  is  the  reciprocal  of  the  surface  of 
centres  of  an  ellipsoid. 

Therefore  we  have  a  close  connection  between  Spherical 
Trigonometry  and  the  theory  of  this  desmic  surface. 

The  theorem  contained  in  the  formulae  (18)  and  (19)  is 
a  special  case  of  a  much  more  general  theorem. 

Consider  three  sets  of  four  homogeneous  quantities,  connected 
with  one  another  by  linear  equations 


(21)  = 

27'  =     a  -  ft  +  7  -  8,      27"  =  -a- 

28'=     a-p- 


and  form  these  products  of  functions  a;  namely 


n^w  =  (ev  -  ej  (ex  -  eM)  . 
then  the  quantities 

(liAAAA  +  11^^  + 
•'-l 


are  always  the  coefficients  of  an  orthogonal  substitution.  They 
do  not  change  their  values,  when  the  quantities  «'...§'  or  a"...S" 
are  substituted  for  the  quantities  a  ...  8. 

The  latter  part  of  this  theorem,  which  is  one  of  256  similar 
theorems,  can  be  derived  algebraically  from  the  famous  addition- 


394  E.    STUDY. 

theorem  due  to  Jacobi,  communicated  in  the  lectures  published 
after  Jacobi's  death  by  Borchardt. 

There  is  finally  another  remarkable  special  case  of  this  general 
theorem  : 

The  cosines  of  the  sides  and  angles  of  a  spherical  triangle  may 
be  expressed  in  terms  of  elliptic  functions  also  by  means  of  the 
following  formulae  : 


a 
cos  Oj  =  --  —  -r  —  ,        cos  «x  = 


r  —  ,  x     --   —  —:        , 

(v  +  w)  <rv  0-A  (v  +  w)  aw 

<r(v+  w)  cr^v  a  (v  +  w)  a^w 

(23)       cosa2  =  --  \     ,    \*   ,  cos  02  =  --  \    ,        *    , 
ov.  (v  +  w)  <rv  ov.  (v  +  iv)  aw 


cos  a,  =  --  -  —  -  ,        cos  a,  = 


,  ,  ,  . 

0V  (v  +  w)  av  av  (v  +  w)  aw 

The  theorems  just  explained  are  merely  a  part  of  the  theory 
which  I  have  developed.  But  I  hope  I  have  shown  even  by 
the  examples  given  that  Spherical  Trigonometry  is  not  so  well 
known  as  one  might  have  supposed,  considering  the  small  progress 
made  in  this  part  of  elementary  Geometry  in  recent  years. 


ON    ORTHOGONAL   SUBSTITUTION. 

BY 

HENRY  TABER   OP  WORCESTER,    MASS. 
(Abstract.) 

§  1.  IN  1846  in  Crelle's  Journal,  Cay  ley  gave  the  general 
solution  of  the  problem  to  express  the  coefficients  of  a  proper 
orthogonal  substitution  of  n  variables  as  rational  functions  of  the 
minimum  number  of  parameters.  Subsequently  in  Vol.  50  of 
Crelle's  Journal,  Cayley  expressed  this  representation  in  the 
"  notation  of  matrices." 

In  accordance  with  this  notation  two  linear  substitutions  are 
regarded  as  susceptible  of  addition  and  subtraction.  If  (<£)« 
denotes  the  coefficient  of  the  linear  substitution  (f>  in  the  rth  row 
and  sth  column  of  its  matrix,  or  square  array  of  its  coefficients,  the 
sum  or  difference  of  two  linear  substitutions  <£  and  ty  is  defined  as 
follows : 

(<t>  ±  +)rs  =  (<f>\s  +  Wrs      (r,  S  =  1,  2,  . . .  «). 

Multiplication  is  of  course  taken  as  equivalent  to  the  composition 
of  linear  substitutions,  and  is  consequently  associative  and  dis- 
tributive. The  linear  substitution  which  is  the  reciprocal  of  <£ 
(such  that  the  product  by  or  into  <£  gives  the  identical  substitution) 
is  denoted  by  <frl.  The  linear  substitution  transverse  or  conjugate 

V  V 

to  <£  will  be  denoted  by  <j>.     We  have  (<£)«  =  (<£)«.  (r,  s  -  1, 2, . .  .n). 

In  this  notation  Cayley's  representation  of  the  general  proper 
orthogonal  substitution  of  n  variables  is 


396  HENRY    TABER. 

in  which  8  denotes  the  identical  substitution  and  T  an  arbitrary 
skew  symmetric  linear  substitution  ;  that  is 

(8)rr=l,     (8)rs  =  0 


for  r,  s=l,  2,  ...  w. 

If  —  1  is  not  a  root  of  the  characteristic  equation  of  <£,  namely 

*(«)»-(*)«  =0*, 
<£  may  always  be  given  this  representation. 

From  the  above  expression  for  <£  in  terms  of  T,  we  obtain 


Therefore  (8)r,  +  (<£)r,|  x  \(B\.  +  (T)r.|  =  2»f. 

Consequently,  if  —  1  is  a  root  of  the  characteristic  equation  of  </>, 
this  orthogonal  substitution  cannot  be  given  the  above  representa- 
tion in  terms  of  the  parameters  (T)rg.  Nevertheless,  as  shown  by 
Frobenius  in  Crelles  Journal  for  1858,  we  can  approach  as  near  as 
we  please  to  any  one  of  the  class  of  orthogonal  substitutions,  for 
which  |  (8)M  +  (<£)„  =0, 

by  increasing  without  limit  one  or  more  of  the  parameters  (T)r,, 
subject  to  the  condition  that 

I0V.+CTV.I+01 

We  may  avoid  the  limitiog  case  and  yet  obtain  a  rational 
representation  of  any  proper  orthogonal  substitution  by  doubling 
the  number  of  parameters.  Thus  Kronecker  has  shown  (Berliner 
Sitzungsber.,  1890)  that  every  proper  orthogonal  substitution  is 
given  by  the  composition  or  product  of  two  of  Cayley's  forms. 
In  this  paper  I  show  that  we  may  also  avoid  the  limiting  case  by 
taking  the  positive  or  negative  square  (or  second  power)  of  the 
substitutions  given  by  Cayley's  representation,  and  thus  obtain  a 
rational  representation  in  the  minimum  number  of  parameters  of 
all  proper  orthogonal  substitutions  of  n  variables,  for  any  value  of 
n  if  the  substitutions  are  real,  and  for  71  =  2,  3,  4,  or  6,  if  the 
substitutions  are  imaginary.  But  in  this  representation  the  para- 
meters cannot  be  expressed  as  rational  functions  of  the  coefficients 

*  In  what  follows  the  determinant  of  a  linear  substitution  0  will  be  denoted  by 

|<*U 

t  We  have  |  (0f),  |  =  j  (*)„  |  x  |  (f)n  \. 


ON    ORTHOGONAL    SUBSTITUTION.  397 

of  the  orthogonal  substitution,  whereas  in  Cayley's  representation 
they  can  be  so  expressed. 

The  method  of  proof  is  as  follows.  Let  <£  be  a  proper 
orthogonal  substitution  of  n  variables  the  roots  of  whose  charac- 
teristic equation  are  +  1  of  multiplicity  m0,  —  1  of  multiplicity  mt*, 
and  gr,  gr~l  of  multiplicity  mr  (r=l,  2,...^).  Corresponding 
respectively  to  the  distinct  roots  of  the  characteristic  equation  of 
<f>  are  certain  polynomials  in  8  and  <f>  which  may  be  denoted  by 

<J>0,  <J>e,  <S>r>  3>/,  (r  =  l,  2,.../4 
If 

w  =  [(0  -  $p.  -(g8B-  ay.]""  [(<£  -  S)"*  -  (ffr1*  -  S)w°]m'' 

Q  M  = 


then  -»---  •  G 

^°~  (_l)^e(m0+i)2m0me 

[(^  +  g)^-(g  +  8)^. 

W«"  (_l)mo2mem() 

and  for  /•=  1,  2,  .../*, 

_  [(»  -  ^8)-  -  (§  -      *        -       -  -  - 


while  <I>r  is  obtained  from  <l>r  by  substituting  throughout  in  the 
latter  ^r-1  for  #r.  The  binary  products  of  different  polynomials  is 
zero,  and  we  have 

4V  =  3>0,  (£-  $)*.<&„  =  0, 


(r  =  1,  2,  .  .  .  yu,).     Moreover, 

4o=3>0,        ^e  =  0e,        4=0/        (r 

and  a  =  <E>0  +  <E>e  +  <I)i  +  ^>i/+---  + 

*  Since  <j>  is  proper  me  is  even. 


398  HENRY   TABER. 

If  now  we  put 


,—  r 

+  V-l 


in  which  c0,  Cj,  C2,  etc.  denote  the  coefficients  of  1,  z,  z*,  etc.,  in  the 
development  of  (1  +  z}*  by  the  binomial  theorem,  we  have 


and 

A  linear  substitution  SP  can  always  be  found  such  that 


=  0. 

If  now  (j>  is  such  that  the  factor  <f>  +  B  is  contained  linearly  in  the 
fundamental  syzygy  of  <j>  (meaning  by  the  fundamental  syzygy  of 
^>  the  identical  relation  between  8  and  powers  of  <f>  of  lowest  order 
in  <j>),  "^  is  commutative  with  <f>  ;  and  if 


we  have 


That  is  ^  is  an  orthogonal  square  root  of  <f>.  Moreover,  —  1  is  not 
a  root  of  the  characteristic  equation  of  ^r1.  Therefore  this 
orthogonal  substitution  is  given  by  Cayley's  expression,  and  <f>  by 
the  square  of  Cayley's  expression,  that  is  by  the  expression 

(S  -  Ty 

U  +  1V  ' 

in  which  T  is  skew  symmetric.  A  fortiori,  if  —  1  is  not  a  root  of 
the  characteristic  equation  of  <£,  this  orthogonal  substitution  can 
be  given  this  representation  ;  for  then  3>e  =  0.  Finally,  if  <£  is 


ON   ORTHOGONAL    SUBSTITUTION.  399 

real,  ^  can  be  taken  real  ;  therefore  if  <f>  is  real,  the  parameters 
which  enter  into  this  representation  may  all  be  taken  real. 

From  a  theorem  of  Stieltjes*  it  follows  that  if  —  1  is  a  root  of 
the  characteristic  equation  of  <f>  of  multiplicity  two,  the  factor  <j>  +  8 
enters  linearly  into  the  fundamental  syzygy  of  <j>.  Therefore 
imaginary  proper  orthogonal  substitutions  of  two  or  of  three 
variables  are  given  by  the  square  of  Cayley's  expression,  since  for 
these  substitutions  —  1  is  a  root  of  multiplicity  at  most  equal  to 
two.  Again,  if  <f>  is  an  imaginary  proper  orthogonal  substitution 
of  four  or  six  variables,  then  —  1  is  a  root  of  multiplicity  not 
exceeding  two  of  the  characteristic  equation  of  <f>  or  of  —<j>. 
Therefore  <f>  is  given  by  the  positive  or  negative  square  of  Cayley's 
expression. 

If  <£  is  real,  and  if  —  1  is  a  root  of  the  characteristic  equation 
of  <£,  the  factor  <£  +  8  in  the  fundamental  syzygy  of  <f>  is  linearf  . 
Therefore,  every  real  proper  orthogonal  substitution  is  given  by 
the  square  of  Cayley's  expression,  the  parameters  being  all  real. 

§  2.  The  preceding  theorems  give  rise  to  an  exponential 
representation  of  any  proper  orthogonal  substitution  of  n  variables 
(for  n  =  2,  3,  4,  6,  if  the  substitution  is  imaginary,  and  for  any 
value  of  n  if  the  substitution  is  real)  in  terms  of  a  skew  symmetric 
linear  substitution  J. 

§  3.  The  theorems  of  §  1  give  a  rational  representation  of  any 
symmetric  linear  substitution  of  n  variables  in  fyn(n—  1)  para- 
meters for  any  value  of  n  if  the  substitution  is  real,  and  for  n  =  2, 
3,  4,  or  6,  if  the  substitution  is  imaginary.  Thus,  let  T  denote  an 
arbitrary  skew  symmetric  linear  substitution  of  n  variables,  but 
such  that  |(S)rs  +  (T)rsj4=0. 

Let  =    8 


and  denoting  by  v  the  greatest  integer  in  \  (n  +  1),  let  the  linear 
substitution  ^  be  defined  as  follows  : 


*  See  page  400. 

t  Frobenius,  Crelle,  1878. 

J  The  exponential  representation  of  real  proper  orthogonal  substitutions 
was  given  by  the  author  in  a  paper  presented  to  the  American  Academy  of 
Arts  and  Sciences,  in  May,  1892.  From  this  representation,  the  representation  of 
real  proper  orthogonal  substitutions  by  the  square  of  Cayley's  expression  follows  at 
once.  See  Proceedings  of  the  American  Academy  of  Arts  and  Sciences,  vol.  28,  p.  212. 


400 


HENRY    TABER. 


in  which  r  is  to  take  all  values  from  1  to  n,  and 
0,=  ±1,     02  =±1,  ...0V=±1. 

Then,  if  <£  is  any  symmetric  orthogonal  substitution  of  n  variables, 
for  any  of  the  values  of  n  above  enumerated, 


=  ± 


If  (j>  is  real,  the  parameters  (T)rs  can  all  be  taken  real. 

§  4.  Let  (f>  be  an  orthogonal  substitution  of  n  variables  of 
which  —  1  is  a  root  of  multiplicity  raM  of  the  characteristic  equation. 
Let  the  nullities*  of  the  first  /u,  powers  of  <£  +  8,  namely 


be 


ra 


Then  if  w^  —  «v_!  =  1, 

/i  is  odd. 

From  this  follows  at  once  the  following  theorem.     Namely,  let 
—  1  be  a  root  of  multiplicity  ra  of  the  characteristic  equation  of  </>, 


and  let  A  denote  the  determinant  \(<j>\s  + 
A  = 


,  that  is  let 


then  if  m  =  1  +  K  (mod.  2 A;), 

and  if  the  (K  —  l)th  minors  of  A  are  all  zero,  the  /cth  minors  are  all 
zero  also.  For  K  =  1,  this  is  the  theorem  of  Stieltjes  mentioned 
above  •}*. 

Finally,  if  <f>  is  an  orthogonal  substitution  given  by  Cayley's 
representation,  we  have  the  following  theorem.  If  all  the  (2w)th 
minors  of  A  are  zero,  all  the  (2m  +  l)th  minors  are  zero  also. 

*  If  all  the  (m  -  l)th  minors  of  the  determinant  of  a  linear  substitution  <f>  are 
zero  but  not  all  its  mth  minors,  the  nullity  of  tj>  is  TO.  The  term  nullity  is  Sylvester's, 
t  See  Netto,  Acta  Mathematica,  vol.  9,  p.  295. 


ZUR     THEORIE     DER     GANZZAHLIGEN 
ALGEBRAISCHEN    GLEICHUNGEN. 

VON 

HEINRICH   WEBER   IN   GOTTINGEN. 

DER  beriihmte  Beweis  von  Abel  von  der  Unmoglichkeit  der 
algebraischen  Auflosung  einer  algebraischen  Gleichung  von 
hbherem  als  dem  vierten  Grad  zeigt  zunachst  nur,  dass  es 
unmoglich  1st,  eine  von  fiinf  Veranderlichen  a^,  a2,  a3,  a4,  a5 
abhangige  Function 

/(a1;  a,,  a,,  a4,  a,)  =/ 

nur  durch  die  in  endlicher  Anzahl  angewandten  Zeichen  der 
Addition,  Subtraction,  Multiplication,  Division  und  des  Poten- 
zierens  mit  ganzen  oder  rational  gebrochenen  Exponenten  so 
zusammenzustellen,  dass  die  Gleichung 

/5  +  aj/4  +  «2/3  +  «3/2  +  aj+  a5  =  0 

identisch  befriedigt  wird,  wie  es  doch  bei  Gleichungen  zweiten, 
dritten  und  vierten  Grades  moglich  ist.  Die  Frage,  von  welcher 
Zahlenart  die  Coefficienten  einer  Gleichung  sein  miissen,  wenn  es 
moglich  sein  soil,  durch  die  rationalen  Rechenoperationen  in 
Verbindung  mit  dem  Radicieren  die  Wurzeln  der  Gleichung 
abzuleiten,  ist  damit  nicht  beantwortet.  So  vor  allem  liegt 
die  Frage  nahe,  ob  nicht  etwa  der  Umstand,  dass  die  Coefficienten 
der  Gleichung  rationale  Zahlen  sind,  allem  schon  gentigt,  die 
Gleichung  algebraisch  auflosbar  zu  machen. 

Abel  hat  spater  noch  von  anderer  Seite  die  Frage  nach  den 
algebraisch  losbaren  Gleichungen  behandelt,  wie  in  dem  merk- 
wlirdigen  Brief  an  Orelle  vom  14ten  Marz  1826,  wo  er  die 
allgemeinste  Form  eines  algebraischen  Ausdrucks  angiebt,  der 
einer  Gleichung  oten  Grades  geniigen  kann.  An  diese  Betracht- 
ungen  hat  spater  Kronecker  angekntipft  in  der  Abhandlung  liber 
c.  P.  26 


402  HEINRICH    WEBER. 

die  algebraische  Auflosung  der  Gleichungen  in  den  Monats- 
berichten  der  Berliner  Akademie  vom  20ten  Juni  1853,  wo  er 
die  Aufgabe  behandelt,  den  allgemeinsten  Ausdruck  ftir  die 
Wurzeln  einer  algebraisch  losbaren  Gleichung  von  Primzahlgrad 
aufzustellen,  und  zwar  in  einer  Form,  die  nichts  anderes  als 
solche  Wurzeln  enthalt. 

Neue  Hilfsmittel  zur  Untersuchung  algebraischer  Gleich- 
ungen hat  Galois  geschaffen  durch  die  Aufstellung  des  Begriffs 
der  Permutationsgruppe  einer  Gleichung,  aus  der  man,  wenn 
sie  bekannt  ist,  die  wesentlichen  Eigenschaften  der  Gleichung 
ablesen  kann.  So  hat  Galois  gezeigt,  wie  die  Permutationsgruppe 
einer  Gleichung  beschaffen  sein  muss,  wenn  die  Gleichung 
algebraisch  losbar  sein  soil,  woraus  sich  jedenfalls  soviel  ergiebt, 
dass  eine  Gleichung  nicht  algebraisch  losbar  ist,  wenn  ihre 
Permutationsgruppe  aus  alien  II  (n)  Permutationen  der  n  Wurzeln 
besteht,  oder,  wie  man  sich  auch  ausdruckt,  wenn  ihre  Gruppe 
die  symmetrische  Gruppe  ist. 

Wenn  die  Galois'sche  Gruppe  einer  Gleichung  nicht  die 
symmetrische  Gruppe  ist,  so  sagt  man  auch,  nach  Kronecker,  dass 
die  Gleichung  einen  Affect  hat ;  und  es  ist  also  sicher,  dass  die 
algebraisch  auflosbaren  Gleichungen,  sobald  sie  den  vierten  Grad 
iibersteigen,  einen  Affect  haben. 

Die  Frage,  die  ich  oben  aufgeworfen  habe,  ob  es  algebraisch 
unlosbare  Gleichungen  mit  rationalen  Coefficienten  giebt,  ist  also 
in  der  allgemeineren  enthalten,  ob  es  algebraische  Gleichungen 
mit  rationalen  Coefficienten  giebt,  die  keinen  Affect  haben. 

Man  kann  die  vollstandige  Lb'sung  einer  Gleichung  nteii 
Grades  abhangig  machen  von  der  Aufgabe,  eine  Wurzel  der 
Galois'schen  Resolvente  zu  finden,  durch  die  sich  sammtliche 
Wurzeln  der  gegebenen  Gleichung  und  auch  die  iibrigen  Wurzeln 
der  Galois'schen  Resolvente  rational  ausdriicken  lassen.  Hat 
die  gegebene  Gleichung  wten  Grades  keinen  Affect,  so  ist  die 
Galois'sche  Resolvente  vom  Grade  II  (n),  und  dieser  Fall  tritt 
ein,  wenn  die  Coefficienten  der  Gleichung  unabhangige  Variable 
sind.  Die  Galois'sche  Resolvente  hat  dann  die  Form 

G(t,  al}  a2,  ...  an)  =  0, 

wenn  G  eine  rationale  Function  der  Variablen  t,  aly  a2, ...  an  ist. 
Setzt  man  aber  ftir  die  Coefficienten  irgend  besondere  Werthe, 


GANZZAHLIGE   ALGEBRAISCHE   GLEICHUNGEN.        403 

so  kann  diese  Gleichung  II  (w)ten  Grades  in  rationale  Factoren 
zerfallen,  und  dieses  Zerfallen  ist  das  Kennzeichen  fur  das 
Eintreten  eines  Affectes.  Die  Galois'sche  Resolvente  ist  dann 
eiri  irreducibler  Factor  dieser  Gleichung  II  (n)ten  Grades.  Unsere 
Frage  wird  also  darauf  zuriick  gefuhrt :  Kann  man  fur  die 
Variablen  a  solche  rationale  Werthe  setzen,  dass  eine  gegebene 
unzerfallbare  rationale  Function  G(t,  a1}  a2,  ...an)  der  Variablen 
t,  alt  «2,  •••.  «n  auch  nach  der  Substitution  dieser  ratioualen 
Werthe  fur  die  Variablen  a  nicht  in  Factoren  zerfallt,  die 
rational  von  t  und  von  ratioualen  Zahlen  abhangen  ? 

Die  Frage  ist  in  bejahendem  Sinne  allgemein  beantwortet 
durch  einen  fundaraentalen  Satz,  den  Hilbert  in  einer  Abhand- 
lung  im  llOten  Band  des  Journals  fur  Mathematik  bewiesen  hat, 
der  noch  mannigfache  andere  Anwendungen  gestattet,  und  der 
sich  kurz  so  aussprechen  lasst. 

"  In  einer  irreducibeln  ganzzahligen  ganzen  rationalen  Function 
von  mehreren  Verdnderlichen  kann  man  fur  einen  beliebigen  Theil 
der  Verdnderlichen  solche  rationale  Zahlen  setzen,  dass  die 
Function  auch  nach  dieser  Substitution  irreducibel  bleibt." 

Der  Beweis  dieses  allgerneinen  Satzes  ist  aber  schwierig  und 
erfordert  mancherlei  Hilfsmittel,  so  dass  daneben  vielleicht  noch 
ein  ganz  einfacher  rein  algebraischer  Beweis  fur  die  Existenz 
ganzzahliger  Gleichungen  ohne  Affect  einiges  Interesse  bietet, 
wenn  er  auch  nicht  so  allgemein  und  namentHch  bis  jetzt  nur 
auf  Gleichungen  von  Primzahlgrad  anwendbar  ist. 

Ich  habe  den  Grundgedanken  dieses  Beweises  schon  vor 
langerer'Zeit  in  einer  Vorlesung  auf  Gleichungen  5ten  Grades 
angewandt,  und  will  ihn  hier  verallgemeinert  mittheilen. 

Er  beruht  auf  zwei  Lemmen,  die  ich  zunachst  ableite. 

Ites  Lemma.  Es  giebt  unendlich  viele  irreducible  Gleichungen 
beliebigen  Grades : 

(1 )  xn  +  C.X11-1  +  c2xn~2  +  . . .  +  cn  =  0 

mit  rationalen  Zahlencoejjicienten,  und  zwar  so,  dass  die  Coef- 
ficienten  clt  c2,...cn  einem  beliebig  gegebenen  reellen  Zahlensystem 
beliebig  nahe  kommen. 

Beim  Beweise  dieses  Satzes  benutze  ich  einen  Gedanken,  den 
Eiseustein  auf  den  Beweis  der  Irreducibilitat  der  Kreistheilungs- 
gleichung  angewandt  hat. 

26—2 


404  HEINRICH    WEBER. 

1st  p  eine  beliebige  Primzahl,  a0,  a^,  a2,  ...,an  ganze  Zahlen, 
von  denen  a0  nicht  durch  p  theilbar  ist,  wahrend  a^,  a2,  ...,  an 
durch  p  theilbar  sind,  aber  an  nicht  durch  p2,  so  ist 

(2)  f(x)  =  a0xn  +  Ojtf"-1  +  ...+  an^x  +  an 

irreducibel,  d.  h.  nicht  in   Factoren  von  niedrigerem  Grade  mit 

rationalen  Coefficienten  zerlegbar. 

Ist  eine  ganze  rationale  Function  mit  ganzzahligen  Coef- 
ficienten, wief(x),  in  Factoren  mit  rationalen  Zahlencoefficienten 
zerlegbar,  so  ist  sie  nach  einem  bekannten  Satze  von  Gauss 
(Disq.  arithmeticae  art.  42)  auch  in  Factoren  mit  ganzzahligen 
Coefficienten  zerlegbar.  Wenn  also 

f(x)  =  (a,,^  +  a,  a**-1  +  .  .  .  +  O  (&ar  +  frx"-1  +...+£„) 
ist,  worin  die  a  nnd  ft  ganze  Zahlen  sind,  die  den  Gleichungen 
genugen 


(3) 

«„  = 


so  muss  nach  unserer  Voraussetzung  einer  der  beiden  Factoren 
«M,  ftv  durch  p  theilbar  sein,  der  and  ere  nicht  (weil  sonst  an  durch 
jp2  theilbar  ware).  Sei  also  aM  durch  p  theilbar,  ftv  nicht  durch 
p  theilbar.  Dann  folgt  aus  der  zweiten  Gleichung  (3),  dass  a^_a , 
aus  der  dritten,  dass  «M_2  u.  s.  f.,  aus  der  i/ten  Gleichung  (3),  dass  afl 
durch  p  theilbar  sein  muss.  Dies  aber  ist  gegen  unsere  Annahme, 
dass  a0  =  Oo/30  durch  p  nicht  theilbar  sein  sollte  ;  also  istf(x)  miter 
den  gemcichten  Voraussetzungen  unzerlegbar. 
Setzt  man  nun 

r  _^i         r  -^         c    -  a» 

I/!  —          ,  1/2  —          ,  . . .   t/n  —  , 

a0  «o  «o 

so  entsteht  aus  (1)  eine  irreducible  Function,  und  in  den  a  bleibt 
noch  Willkiirlichkeit  genug,  um  diese  rationalen  Briiche  jedem 
beliebigen  Zahlensystem  beliebig  anzunahern. 

2tes  Lemma.      Wenn  in  einer  Permutations- Gruppe    von    n 
Ziffern.  G,  irgend  eine  einfache  Transposition  vorkommt,  so  ist  die 


GANZZAHLIGE    ALGEBRAISCHE    GLEICHUNGEN.         405 

Gruppe  entweder  die  symmetrische  Gruppe,  oder  sie  ist  imprimitiv, 
oder  endlich  sie  ist  intransitiv  *. 

Nehmen  wir  an,  es  komme  in  der  Gruppe  G  die  Transposition 
(1,  2)  vor,  und  ausserdem  mogen  noch  die  Transpositionen 

(4)  (1,3),     (l,4),...,(l,v), 

darin  enthalten  sein,  sonst  aber  keine  Transposition  mit  der 
Ziffer  1.  Wegen  der  Zusammensetzung 

(1,2)  (1,3)  (1,2)  =  (2,  3) 

enthalt  die  Gruppe  G  alle  Transpositionen  von  zwei  Ziffern 
aus  der  Reihe 

(5)  1,  2,  3,  ...,1;, 

und  damit  die  ganze  Gruppe  GI,  die  aus  den  II  (v)  Permutationen 
dieser  Ziffern  besteht.  Dagegen  kommt  in  G  keine  Trans- 
position vor,  die  eine  der  Ziffern  (5)  mit  einer  nicht  in  (5) 
enthaltenen  Ziffer  vertauscht.  Denn  ware  etwa  noch  (2,  v  +  1)  in 
G  enthalten,  so  ware  auch 

(1,  2)  (2,  v  +  !)(!,  2)  =  (l,p+  1), 
darin  enthalten,  gegen  die  Voraussetzung. 

Wenn  nun  die  Gruppe  G  transitiv  ist,  so  kommt  darin,  wenn 
v  <  n  ist,  eine  Permutation  TTJ  vor,  durch  die  1  in  v  +  1  tibergefuhrt 
wird,  und  die  gleichfalls  in  G  enthaltene  transformirte  Gruppe 

(6)  irr'fliin-tf,, 

besteht  auch  aus  alien  Permutationen  von  v  Ziffern,  von  denen 
keine  in  (5)  enthalten  sein  kann.  Diese  Ziffern  wollen  wir  mit 

(7)  i/+l,  v  +  2,  ...,2v 

bezeichnen.  Ist  damit  die  Gesammtheit  der  n  Ziffern  noch 
nicht  erschopft,  so  konnen  wir  eine  Permutation  7T2  in  G  finden, 
durch  die  1  in  2i/  -f  1  iibergeht,  und 

(8)  irr1^*-,-*?, 

ist  wieder  eine  in  G  enthaltene  Gruppe,  die  aus  den  Permutationen 
der  Ziffern 

(9)  2v  +  l,  2i/  +  2,  ...,3i/ 

besteht ;  und  so  fahren  wir  fort,  bis  alle  Ziffern  erschopft  sind. 


*  Dieser  Satz  findet  sich  als  specieller  Fall  eines  allgemeineren  in  der  "  Substi- 
tutionen-Theorie  "  von  Netto  §  74,  Leipzig  1882. 


406  HEINRICH    WEBER. 

Alle  Permutationen  von  G  haben  also  die  Eigenschaft,  die 
Ziffern  der  einzelnen  Reihen  (5),  (7),  (9),...  nur  unter  sich  zu 
vertauschen,  oder  die  gesamrnten  Reihen  in  einander  iiberzu- 
fiihren  ;  d.  h.  G  ist  imprimitiv.  Da  v  ein  Theiler  von  n  sein  tnuss, 
so  kann  dieser  Fall  nicht  vorkommen,  wenri  n  eine  Primzahl  ist, 
und  dies  wollen  wir  jetzt  voraussetzen. 

Es  sei  also 
(10)  /(«)=<> 

eine  Gleichung  nten  Grades  mit  rationalen  Zahlencoefficienten, 
und  G  ihre  Galois'sche  Gruppe  im  Korper  der  rationalen  Zahlen. 
Wenn  G  nicht  die  symmetrische  Gruppe  ist,  wenn  also  die 
Gleichung  /(#)  =  0  irgend  einen  Affect  hat,  so  kann  G  nach  dem 
zweiten  Lemma  keine  Permutation  von  nur  zwei  Ziffern  enthalten. 
Wenn  wir  also  dem  Korper  der  rationalen  Zahlen  irgend  n  —  '2 
von  den  Wurzeln  von  f(oc)  adjungiren,  so  muss  sich  die  Gruppe 
(die  ausserdem  nur  noch  in  der  Permutation  der  beiden  tibrigen 
Wurzeln  bestehen  kb'nnte)  auf  die  identische  Permutation  re- 
ducieren,  d.  h.  die  beiden  letzten  Wurzeln  sind  rational  durch 
die  n  —  2  librigen  ausdrlickbar.  Wenn  also  n  —  2  von  den 
Wurzeln  von  f(x)  reell  sind,  so  sind  auch  die  beiden  letzten  reell, 
und  es  folgt  der  dritte  Satz  : 

3tes  Lemma.  Eine  irreducible  Gleichung  von  Primzahlgrad 
mit  irgend  einem  Affect  kann  nicht  zwei  imagindre  und  n  —  2  reelle 
Wurzeln  haben  *. 

Nun  giebt  es  aber  sicher  Gleichungen  mit  reellen  Coefficienten 
von  jedem  beliebigen  Grade  n,  die  zwei  conjugiert  imaginare  und 
n  —  2  reelle  Wurzeln  haben,  und  dieser  Charakter  wird  nicht 
geandert,  wenn  die  Coefficienten  innerhalb  gewisser  Grenzen 
stetig  verandert  werden.  Folglich  giebt  es  nach  dem  ersten 
Lemma  auch  irreducible  Gleichungen  mit  rationalen  Coefficienten 
von  dieser  Beschaffenheit,  also,  wenn  n  eine  Primzahl  ist,  rationale 
Gleichungen  ohne  Affect. 

Sehen  wir  die  n  Coefficienten  von  f(x)  als  Coordinaten   in 


*  Dieser  Satz  ist  eine  Verallgemeinerung  eines  Satzes  von  Kronecker,  class 
eine  rationale  irreducible  algebraisch  losbare  Crleichung  von  Primzahlgrad  entweder 
nur  eine  oder  lauter  reelle  Wurzeln  hat.  Monatsbericht  der  Berliiier  Akadernie, 
14.  April  1856. 


GANZZAHLIGE    ALGEBRAISCHE    GLEICHUNGEN.        407 

einem  Raurne  von  n  Dimensionen  an,  so  reprasentirt  jeder  Punkt 
eine  gewisse  Gleiehung  nten  Grades  mit  reellen  Coefficienten. 
In  unmittelbarer  Nahe  eines  jeden  Punktes  liegen  nach  dem 
Lemma  1,  unendlich  viele  Reprasentanten  von  irreducibeln  ratio- 
nalen  Gleichungen.  Aus  diesem  Raume  wird  durch  Nullsetzen 
der  Discriminante  von  f  (x)  eine  Mannigfaltigkeit  von  n  —  1 
Dimensionen,  die  "  Discriminanten-Flache  "  ausgesondert.  Diese 
Flache  theilt  den  Raum  in  £(n  +  l)  Regionen  (0),  (2),  (4),..., 
deren  jede  eine  nicht  verschwindende  Ausdehnung  in  n  Di- 
mensionen hat,  in  denen  die  Reprasentanten  der  Gleichungen 
f(x)  =  0  mit  0,  2,  4,...  Paaren  conjugiert  imaginarer  Wurzeln 
liegen. 

Wenn  nun  n  eine  Primzahl  ist,  so  sind  alle  irreducibeln 
Gleichungen,  deren  Reprasentanten  in  der  Region  (2)  liegen, 
ohne  Affect,  und  damit  ist  wenigstens  bewiesen,  dass  es  rationale 
Gleichungen  von  Primzahlgrad  ohne  Affect  giebt. 

GOTTINGEN,  15te«  Juli  1893. 


SUR   L'EQUATION    DES    LIGNES    GEODESIQUES. 

PAR 

M.    EDOUARD   WEYR  A   PRAGUE. 

LE  carre  de  1'element  lineaire  d'une  surface 

ds-  =  Edu*  +  ZFdudv  +  Gdtf 
etant  mis  sous  la  forme 
(1)  Edu?  +  ZFdudv  +  Gdv*  =  d0*  +  <rn-d^, 

1'dquation  r)  =  const,  represente  des  lignes  geodesiques  et  6  est 
1'arc  de  ces  lignes.  Reciproquement,  en  choisissant  un  systeme 
de  lignes  geodesiques  et  leurs  trajectoires  orthogonales  pour 
lignes  coord onnees,  le  carre  de  1'element  lineaire  pourra  etre 
mis  sous  la  forme  (1). 

On  voit  facilement  qu'on  peut,  pour  la  definition  des  lignes 
geodesiques,  partir  de  1'equation  (1),  et  il  est  naturel  de  se 
demander  alors  de  quelle  maniere  on  tire  de  (1)  1'equation 
differentielle  des  lignes  geodesiques. 

M.  Darboux,  dans  ses  "  Le9ons  sur  la  theorie  generate  des 
surfaces  et  les  applications  geometriques  du  calcul  infinitesimal," 
t.  III.  p.  25,  repond  a  cette  question  en  la  rattachant  a  la  theorie 
des  equations  aux  derivees  partielles  ;  on  arrive  au  meme  but  par 
la  consideration  suivante  qui,  peut-etre,  n'est  pas  depourvue  de 
tout  interet. 

Si  0  designe  line  solution  de  1'equation  aux  derivees  partielles 

0       V  -2Fd        +  E          =  EG-  ^', 


LIGNES    GEODESIQUES.  409 

contenant  une  constante  a  autre  que  celle  qu'on  peut  toujours 
ajouter  a  6,  1'equation 

de 

•=-  =  const. 
da 

appartient  aux  lignes  geodesiques  qui  sont  les  trajectoires  or- 
thogonales  des  courbes  6  =  const.  (1.  c.  t.  II.  p.  424  et  suiv.).  Ce 
r&mltat  rappele,  on  voit  qu'il  ne  s'agit  que  d'eliminer  6  a  1'aide 
de  ces  deux  equations. 

Pour  simplifier  1'ecriture  designons  par  0lt  02,  0U,  012,  0y, 
les  derivees  premieres  et  secondes  de  0  prises  par  rapport  a  u,  v, 
par  GI,  Gz,  ...  les  derivees  de  G,  ...  et  mettons  A  pour  EG  —  F2. 
Nous  aurons 

(2)  QO?  -  2F0,  0,  +  EOf  =  A, 
et  sur  les  lignes  geodesiques  : 

(3)  d 


En  derivant  (2)  par  rapport  a  a  on  a 

(«**•*»  8  -<*-••«£-  ft 

et,  en  vue  de  (3), 

(3')  (F0,  -  E09)  du  +  (GO,  -  F0Z)  dv  =  0. 

Par  la  differentiation  de  cette  equation  on  obtient 

(4)    L  +  (F&  -  E&)  die1  +  (F,0,  -  E&  +  G101-  F&)  dudv 

+  (G&  -  F&)  dv2  +  (F0l  -  E02)  d*u  +  (G01  -  F0,)  d*v  =  0, 

ou  Ton  a  mis,  pour  abreger, 

L  =  (F6n  -  E012)  du2  +  (G0n  -  E6^  dudv  +  (G0J2  -  F6^)  dv\ 

Ajoutons  a  cela  les  deux  equations  qu'on  tire  de  (2)  en  derivant 
par  rapport  a  u,  v  : 


(5) 

(6)  2[Ge&,-F(016s2  +  0.20l,)+E0,0v]  +  G&*  -  2F&  0,  +  E&  =  A2. 


On  peut,  des  cinq  equations  (2),  (3'),  (4),  (5),  (6),  eliminer  les 
cinq  derivees  6l,  0^,  0n,  012,  0~2,  et  cela  de  la  maniere  suivante. 


410  M.    EDO  HARD   WEYR. 

Resolvant  d'abord  (2)  et  (3')  par  rapport  a  Bl  ,  02  on  a 

(7)  0l  =  E^  +  F^-,  ft=F^  +  G^, 

ds         as  ds         ds 

ou  bien 


(8)  Mu  =  (00!-  F02)  ds,       Mv  =  -  (F0,  -  E02)  ds. 

Mettant  dans  L  pour  du,  dv  ces  valeurs,  on  trouve  ais^ment 

L=[020n  (00,  -  F02)  +  012 


Multipliant  (5)  par  02,  (6)  par  01  et  soustrayant  les   r^sultats, 
on  obtient 

2  [0,0U  (G0,  -  F0,)  +  0n  (Ed?  -  G0S)  +  d>  0^  (F0,  - 


ce  qui  permet  de  chasser  de   L   les   derivees  secondes  de  0  et 
d'ecrire 

2L  =  [Aj  02  -  A2^  +  0,  (GJ?  -  2F& 


Par  cela  0  n'entre  dans  1'equation  (4)  que  par  ses  derive'es 
premieres  0lt  0.2;  si  done  on  les  y  remplace  par  leurs  valeurs  (7),  la 
fonction  0  se  trouvera  eliminee. 

Ecrivons  d'abord 

2AZ  =  [2  (OF)  F  -  (60)  E  -  (6E)  G]  (Edu*  +  ZFdudv  +  Gdv*) 
+  (  00)  (Edu  +  Fdv)*  -  2  (0F)  (Edu  +  Fdv)  (Fdu  +  Gdv) 

+  (6E)  (Fdu  +  Gdv)*, 

ou  Ton  designe  par  (0E),...  les  determinants  01E2  —  02E1,,.. 

Si  Ton  ordonne  a  droite  par  rapport  a  E,  F,  G,  on  trouve 
1'expression 

-  (EG  -  F*)  [(0E)  dv?  +  2  (0F)  dudv  +  (00)  dv2], 
de  sorte  que 

L  =  -  $  [(0E)  du*  +  2  (0F)  dudv  +  (0G)  dv^. 


LIGNES    GEODESIQUES.  411 


L'equation  (4)  donne  done 
[F,  B^-E^-\  (6E)]  du- 


~  (du&v  -  dvd*u)  =  0, 
ds 

ou,  multipliant  par  ds  et  rempla9ant  les  produits  61ds,  02ds  par 
leurs  valeurs  (7), 


2A  (dudzv  -  dvd*ii)  =  (FE1  +  EE2  -  2EFJ  dus 
+  (GEl  +  3FE2  -  2EG,  -  2FFJ  du*dv 
-  (EG,  +  SFG1  -  2GE2  -  2FFJ  dudv*  -(GG,  +  FG2  -  2GFJ  d*. 

C'est  1'equation  differentielle  des  lignes  geodesiques. 
PRAGUE,  juillet  1893. 


Cambridge : 

PRINTED    BY   J.    &   C.    F.    CLAY, 

AT    THE    UNTVFtfKITY    PRESS. 


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Los  Angeles 
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DEC  12  1986 


PSTL 


NOV  2  6  1986 


IWO  WEEKS  FROM  DATE  OF  RECEIPT 
NON-RENEWABLE 

RECEIVED 

DEC  31  1986 
STACK  ANNEX 


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